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沪科版七年级数学下册第九章《分式》（同步教学设计）
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0沪科版七年级数学下册第九章（同步教学设计）第9章 分 式单 元 备 课 9.1 分式及其基本性质第1课时 分式的概念 9.1 分式及其基本性质第2课时 分式的基本性质及约分 9.2 分式的运算9.2.1 分式的乘除 9.2 分式的运算9.2.2 分式的加减第1课时 分式的通分 9.2 分式的运算9.2.2 分式的加减第2课时 分式的加减 9.2 分式的运算9.2.2 分式的加减第3课时 分式的混合运算 9.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法 9.3 分式方程第2课时 分式方程的应用 第9章本单元所需课时数10课时课标要求1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式加减乘除运算.2.能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.3.能解可化为一元一次方程的分式方程.4.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.教材分析本章是在学生掌握整式的四则运算、多项式的因式分解以及一元一次方程解法的基础上,对代数式及方程相关知识进一步的学习.另外本章教材内容呈现遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律，突出知识技能的教学，同时十分注重数学思想的应用（类比思想、方程思想等），注重教学内容的实际背景，让学生体会到分式在实际生活中的应用.主要内容本章的主要内容是分式及其基本性质、分式的运算和分式方程.9.1节“分式及其基本性质”通过分数的意义、基本性质类比引出分式的相关概念及性质；9.2节“分式的运算”的学习，同样通过观察、猜想、归纳等学习活动，让学生类比分数的运算法则得出分式的运算法则；9.3节“分式方程”的学习则借助转换的思想，化为一元一次方程再进行求解，区别在于求出解以后要验根.教学目标1.经历用分式表示现实情景中的数量关系的过程,了解分式、有理式的概念,进一步发展学生的符号感.2.通过观察、类比、猜想、归纳等方法，经历获得分式的基本性质和分式的加减法、乘（方）除法运算法则的过程，发展学生的合情推理能力.3.熟练掌握分式的基本性质，能进行分式的约分和通分，了解最简分式的概念，能进行简单的分式加、减、乖(方)、除混合运算.4.经历用分式方程表示实际问题中等量关系的过程，了解分式方程的概念.5.会解可化为一元一次方程的分式方程,掌握解分式方程验根的方法,体会解分式方程中的转化思想，能解决一些与分式方程有关的实际问题.课时分配9.1 分式及其基本性质 2课时9.2 分式的运算 4课时9.3 分式方程 2课时小结 2课时教与学建议1.关注新旧知识的区别与联系.2.重视分式运算与解分式方程的训练.3.重视教学内容与实际生活的联系.4.突出对学生思维品质的培养和数学思想方法的教学.5.切实把握教学要求.课题分式的概念课型新授课教学内容教材第89-90页的内容教学目标1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想.2.了解分式、有理式的概念，明确分式与整式的区别.3.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件.教学重难点教学重点：理解并掌握分式的概念.教学难点：能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题问题① 有两块稻田，第一块是4 hm²，每公顷收水稻10 500 kg，第二块是3 hm²，每公顷收水稻9 000 kg，这两块稻田平均每公顷收水稻__________kg.老师：读完题目，我们知道，这是已知水稻总产量和稻田的面积，求单位产量的问题.下面我们一起分析一下：（师生互动）①这两块稻田一共是4+3=7(hm²)；②这两块稻田一共收水稻10 500×4+9 000×3=69 000(kg).所以这两块稻田平均每公顷收水稻的质量为69 0007 kg.老师：如果我们把上面问题中的数字换成字母呢，如果第一块是m hm²，每公顷收水稻a kg，第二块是n hm²，每公顷收水稻b kg，这两块稻田平均每公顷收水稻__________kg.（同学们交流讨论）提问学生按照上面的方法分析、并解答.学生：①这两块稻田一共是(m+n)hm²；②这两块稻田一共收水稻(am+bn)kg.所以这两块稻田平均每公顷收水稻的质量为 am+bnm+n kg.老师：回答的很好.下面我们再看下一个问题.问题② 已知一个长方形的面积为10 m²,长为7 m，则宽为______m;已知一个长方形的面积为S m²,如果它的长为a m,那么它的宽为______m.老师：请同学们思考一下，然后提问两名学生回答.学生1：长方形的宽为107 m.学生2：长方形的宽为 Sa m.老师：回答的很好.下面请同学们思考一下，上面问题中出现的代数式am+bnm+n和Sa，它们有什么共同特征？与整式有什么不同？2.探索新知，归纳知识（老师引导学生回顾整式的概念）单项式和多项式统称为整式.学生：这两个式子形式上都具有分数的特征，分子、分母都是整式，且分母中含有字母.老师总结：同学们观察的很正确. 一般地，如果a,b表示两个整式,并且b中含有字母，那么式子ab叫做分式.其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母.分式是两个整式相除的商，正如分数可看成两个整数相除的商一样. 整式和分式统称为有理式.即老师提问：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.如果要使分式有意义，那么分式应满足什么条件？学生：猜想分式中也要求分母不为零.老师：下面我们通过两个例题，进一步理解分式.验证一下猜想是否正确.【教材例题】例1 （1）当x取何值时，分式4x−2有意义？老师分析：类比分数的意义，我们知道当分母的值等于零时，分式没有意义.除此以外，分式都有意义.所以由x-2=0，解得x=2.因而，当x≠2时，分式4x−2有意义.老师：请同学们分组交流探索一下第（2）题.（2）当x是什么数时，分式x+42x−3的值为零？学生1：类比分数的值为零的条件，可以令分子为零.老师：还有要补充的吗？学生2：还应该保证分母不为零.老师：很好，我们一起按照这两位同学的思路分析一下.当分子的值等于零时，分式的值为零.所以由x+4=0，解得x=-4.当x=-4时，分母2x-3=2×(-4)-3=-11≠0.因而，当x=-4时，分式x+42x−3的值为零.老师：通过这个例题，我们了解了分式有意义及分式的值为零的条件，下面我们做一下练习.3.学以致用，应用新知考点1 判断代数式是否为分式【例1】在式子eq \f(1,a)、eq \f(2xy,π)、eq \f(3a2b3c,4)、eq \f(5,6＋x)、eq \f(x,7)＋eq \f(y,8)、9x＋eq \f(10,y)中，分式有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案：B考点2 根据实际问题列分式【例2】如果一辆汽车行驶a km用b h，那么它的平均车速为 km/h；如果一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，那么它的平均车速为 km/h.答案：ab ab−1考点3 分式有意义（或无意义）的条件【例3】已知分式x−1(x+1)(x−2)有意义，则x应满足的条件是（ ）A. x≠－1 B．x≠2 C．x≠－1且x≠2 D．以上结果都不对答案：C【例4】使分式eq \f(x,3x－1)无意义的x的值是( )A．x＝0 B．x≠0 C．x＝eq \f(1,3) D．x≠eq \f(1,3)答案：C考点4 分式的值为零的条件【例5】若分式x²−1x−1的值为零，则x的值为( ) A．0 B．1 C．－1 D．±1解析：分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0.由x2－1＝0，得x＝±1.当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意；当x＝－1时，x－1＝－2≠0，所以x＝－1时分式的值为0.答案：C4.随堂训练，巩固新知（1）下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？答案:分式有：整式有：（2）①当x=3时，分式的值是多少?解：当 x = 3 时，分式值为②当x满足什么条件时，分式有意义?解：要使分式有意义，则有x+2≠0，所以x满足x≠-2时，分式有意义.③当x满足什么条件时，分式的值为零？解：要使分式的值为零，则有x²-4=0，且x+2≠0，所以x=2，所以当x=2时，分式的值为零.（3）绵阳到某地相距n千米，提速前火车从绵阳到某地要t小时，提速后行车时间减少了0.5小时，提速后火车的速度比原来速度快了( )A.eq \f(n,t－0.5) B.eq \f(n,t) C.eq \f(n,t－0.5)－eq \f(n,t) D.eq \f(n,t)－eq \f(n,t－0.5)答案：C5.课堂小结，自我完善（1）分式的概念一般地，如果a,b表示两个整式,并且b中含有字母，那么式子ab叫做分式.其中a叫做分式的分子,b叫做分式的分母.（2）分式ab有无意义的条件当b≠0时，分式有意义；当b＝0时，分式无意义．（3）分式ab值为0的条件当a＝0，b≠0时，分式的值为0.6.布置作业课本P90练习第1-3题，P93习题9.1第1、2题.问题①设置两个填空，首先是根据已知数字运算得到分数结果，然后进一步把相关数字换成字母，引导学生类比分析，最后得到含字母的式子.这样有利于让学生体会分数与分式的联系.根据长方形的面积公式，进一步体会用分式表示现实情景中的数量关系，鼓励学生独立解决问题.教学中提出问题，引导学生自主探索，通过观察、猜想、归纳的过程，引出分式的概念.例题1的目的是为了加深对分式概念的理解，教学时除与分数类比（由特殊到一般）外，还需要说明，虽然字母x本身可以表示任何数，但是在分母上时，还需要考虑分母不为0.增加限制条件x≠0（由一般到特殊）.练习中强调分式的概念,关键是分母中含有字母,格外注意,π是数字不是字母.本题是典型的路程问题，根据公式“速度=路程时间”列式即可.分式有意义的条件是：分母≠0；分式无意义的条件是：分母=0.分式值为零的条件是：分子=0,分母≠0.板书设计教后反思本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识，又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序渐进，先易后难、由简到繁，台阶式的提问使问题解决水到渠成.课题分式的基本性质及约分课型新授课教学内容教材第91-94页的内容教学目标1.理解并掌握分式的基本性质和符号法则.2.能正确、熟练地运用分式的基本性质对分式进行约分.教学重难点教学重点：分式约分中符号的处理及公因式的确定.教学难点：能熟练地利用分式的基本性质解决问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：根据之前学过的分数的基本性质，完成下面等式的填空，并说出从左到右变化的依据.（1）13=2（ ）=（ ）12；（ ） （2）618=3（ ）=（ ）3.（ ） 学生：13=2（ 6 ）=（ 4 ）12；（ 分式的基本性质 ） 618=3（ 9 ）=（ 1 ）3.（ 分式的基本性质 ） 老师：根据上面的等式，请同学们思考一下，下面的式子是否成立？ 学生：我猜测是成立的.老师：类比分数的基本性质，猜想分式有什么性质？并验证上面两式是否成立.2.探索新知，归纳知识与分数类似，分式有如下的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.上述性质可以用式表示为：（老师提醒学生注意，m表示不等于零的整式）老师：通过分式的基本性质，我们可以判定上一位同学的猜想是正确的.下面我们做一下教材中例2，进一步理解分式的基本性质.【教材例题】例2 根据分式的基本性质填空：（师生互动）看一下（1）题，发现，分母由2xy变为2y，显然要使分式仍然成立，分式的分子与分母需要同除以x，老师：找3名同学上来做一下剩下的3题，并标注变化过程.学生1： 学生2： 学生3：老师：通过上面的练习，相信同学们对分式的基本性质也有一定的了解了，下面我们利用分式的基本性质进行化简. 类比分数的约分，我们可以得到分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分．老师：同学们自己做一下教材例3.【教材例题】例3 约分：老师点评：同学们做的都很正确，且化简成了不能再化简的形式，也就是最终结果分子、分母不能有公因式.像，，这样，分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式．约分通常是把分式化成最简分式或者整式.老师：请同学们思考一下，约分过程中，符号的变化，有什么规律？（学生交流讨论）学生：分式的分子、分母的符号一起变化时，分式的值得符号不变，单只有一个变化时，分式的值得符号也改变.老师：很好，同学们的回答我们可以用式子归纳总结：ab=−−ab=−ab=−a−b3.学以致用，应用新知考点1 分式的基本性质【例1】 利用分式的基本性质，下列式子从左到右的变形一定正确的是( )A.eq \f(a＋3,b＋3)＝eq \f(a,b) B.eq \f(a,b)＝eq \f(ac,bc) C.eq \f(3a,3b)＝eq \f(a,b) D.eq \f(a,b)＝eq \f(a2,b2)答案：C【例2】不改变分式eq \f(0.2x＋1,2＋0.5x)的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A.eq \f(2x＋1,2＋5x) B.eq \f(x＋5,4＋x) C.eq \f(2x＋10,20＋5x) D.eq \f(2x＋1,2＋x)答案：C考点2 分式的约分【例3】约分：（1）−25a²bc³15ab²c； （2）x²−9x²+6x+9.解：（1）−25a²bc³15ab²c=−5abc·5ac²5abc·3b=−5ac²3b.（2）x²−9x²+6x+9=(x−3)(x+3)(x+3)²=x−3x+3.考点3 最简分式【例4】下列分式是最简分式的是( )答案：D考点4 分式的化简求值【例5】先约分，再求值：x²−2xy+y²x²−y²，其中x = 5，y = 3.解：x²−2xy+y²x²−y²=(x−y)²(x−y)(x+y)=x−yx+y.当x=5，y=3时，原式=x−yx+y=5−35+3=14.4.随堂训练，巩固新知（1）下列各式中是最简分式的是（ ）答案：B（2）约分：5.课堂小结，自我完善（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.（2）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分．（3）最简分式像，，这样，分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式．约分通常是把分式化成最简分式或者整式.6.布置作业课本P91练习第1-2题，P93练习1-3题.回顾分数的基本性质，依据分数的基本性质填空.教学中让学生自主探索练习，观察归纳得出结论，从而类比出分式的基本性质.渗透了类比思想.还可以利用其他例子进行验证或进一步说明.用式子表示分式的基本性质与用式子表示分数的基本性质是一样的，只是这里的字母表示整式，且分母中含有字母.这个例题是分式基本性质的简单应用，（1）（3）中分别隐含x≠0，(a+b)≠0;（2）中涉及符号变换,注意分式的分子、分母要同时变号.(1)(2)(3)题实际上也算是分式的约分，提前做铺垫.注意引导学生，约分的关键是找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质进行约分.例3的教学重点是引导学生寻找分子与分母的公因式，鼓励学生自主解决，教师可提醒学生利用因式分解的方法寻找公因式.另外这4个小题也相当于是单项式除以单项式、多项式除以多项式.分式的符号法则属于拓展内容，教学中应引导学生理解，不要求记忆公式.考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．最简分式的标准是分子、分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．板书设计教后反思本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习，一步一步地来完成既定目标，整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效.课题分式的乘除课型新授课教学内容教材第96-98页的内容教学目标1.经历分式的乘（方）除运算法则的探索过程，理解算理，并能结合具体情境说明其合理性，发展学生合情推理能力.2.能进行简单的分式乘方、乘除运算.3.能解决一些简单的与分式乘（方）除运算相关的实际问题.教学重难点教学重点：理解并掌握分式的乘（方）除运算法则.教学难点：能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：同学们还记得分数的乘除运算吗？计算下面各题：学生：（1）45 （2）27 （3）−23 （4）−23 老师：同学们的计算都很正确.下面我们找一位同学说明一下分数乘除法的计算法则.学生：两个分数相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母，结果化为最简分数；一个数除以分数，就是乘这个分数的倒数.老师：同学们做一下,任给下面式子中a,b,c,d一组数值，求下面两式子的值，再任选一组a,b,c,d的值进行计算，从中你能得出什么结论？（学生分组交流验证，教师提问学生回答）学生：（1）ab·cd= acbd ;（2）ab÷cd= adbc .老师：同学们的总结正确，那么通过上面的总结，大家可以得出分式乘除的运算法则吗？2.探索新知，归纳知识（师生互动）与分数乘除类似，总结分式的乘除法则如下：乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母.除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 上面的运算法则，我们可以用字母式子表示为：ab·cd= acbd ; ab÷cd= adbc .老师：下面通过例题来巩固一下运算法则.【教材例题】例1 计算：（1）6x5y·−10y²3x³； （2）9a²b²2c÷3ab³8c².学生1：6x5y·−10y²3x³ 学生2：9a²b²2c÷3ab³8c²=6x·（−10y²）5y·3x³ =9a²b²2c×8c²3ab³=−4yx². =12acb.老师：两位同学的计算过程都很规范、正确.上面的例题，两个分式的分子、分母都是单项式，如果遇到多项式，要怎么处理呢？例2 计算：x−1x²−4x+4÷x²−1x²−4.（请学生尝试计算）学生：x−1x²−4x+4÷x²−1x²−4=x−1x²−4x+4·x²−4x²−1=(x−1)(x²−4)(x²−4x+4)(x²−1)=(x−1)(x−2)(x+2)(x−2)²(x−1)(x+1)=−x+2(x−2)(x+1).老师：计算正确，不过这道题我们还有更简便的方法.x−1x²−4x+4÷x²−1x²−4=x−1x²−4x+4·x²−4x²−1=x−1(x−2)²··(x−2)(x+2)(x−1)(x+1) 先分解因式，约分后再乘.=−x+2(x−2)(x+1). 老师：请同学们回忆一下，我们之前学习过的积的乘方.（师生互动）老师：根据积的乘方的规律，探索一下分式的乘方的规律.怎样计算ab2，ab3，ab4？学生1：(ab)²=ab·ab=a²b²;学生2：(ab)3=ab·ab·ab=a³b³;学生3：(ab)4=ab·ab·ab·ab=a4b4.老师：以上三位同学很好的结合了乘方的意义与分式乘法法则，计算正确.那么我们可以总结，分式的乘法法则：（师生互动）一般地，当n是正整数时，n 个 an 个 abn 个 b即 这就是说，分式乘方就是把分子、分母分别乘方.我们学习过负整数次幂，知道所以，根据负整数次幂的意义，可知：这就是说，分式的乘方可以转化为积的乘方.老师：我们一起看一下教材P98练习T3，练习一下分式的乘方运算.【教材练习题】3.计算：解：3.学以致用，应用新知考点1 利用分式的乘、除法法则进行计算【例1】 计算： 解：考点2 分式的乘除混合运算【例2】计算：eq \f(a－1,a＋2)·eq \f(a2－4,a2－2a＋1)÷eq \f(1,a2－1).解：原式＝eq \f(a－1,a＋2)·eq \f(（a＋2）（a－2）,（a－1）2)·eq \f(（a＋1）（a－1）,1)＝(a－2)(a＋1) ＝a2－a－2.考点3 分式的乘方运算【例3】下列运算结果不正确的是( )A．(eq \f(8a2bx2,6ab2x))2＝(eq \f(4ax,3b))2＝eq \f(16a2x2,9b2)B．[－(eq \f(x3,2y))2]3＝－(eq \f(x3,2y))6＝－eq \f(x18,64y6)C．[eq \f(y－x,（x－y）2)]3＝(eq \f(1,y－x))3＝eq \f(1,（y－x）3)D．(－eq \f(xn,y2n))n＝eq \f(x2n,y3n)答案：D4.随堂训练，巩固新知（1）计算：①eq \f(ab2,2c2)·eq \f(4cd,－3a2b2)； ②eq \f(x2＋3x,x2－9)·eq \f(3－x,x＋2)；③－3xy÷eq \f(2y2,3x)； ④(xy－x2)÷eq \f(x－y,xy).解：①eq \f(ab2,2c2)·eq \f(4cd,－3a2b2)＝－eq \f(ab2·4cd,2c2·3a2b2)＝－eq \f(4ab2cd,6a2b2c2)＝－eq \f(2d,3ac)；②eq \f(x2＋3x,x2－9)·eq \f(3－x,x＋2)＝eq \f(x（x＋3）,（x＋3）（x－3）)·eq \f(3－x,x＋2)＝eq \f(x,x－3)·eq \f(－（x－3）,x＋2)＝－eq \f(x,x＋2)；③－3xy÷eq \f(2y2,3x)＝－3xy·eq \f(3x,2y2)＝－eq \f(9x2,2y)；④(xy－x2)÷eq \f(x－y,xy)＝(xy－x2)·eq \f(xy,x－y)＝－x(x－y)·eq \f(xy,x－y)＝－x2y.（2）计算：①(－eq \f(x2,y))2·(－eq \f(y2,x))3·(－eq \f(1,x))4；②eq \f(（2－x）（4－x）,x2－16)÷(eq \f(x－2,4－3x))2·eq \f(x2＋2x－8,（x－3）（3x－4）).解：①原式＝eq \f(x4,y2)·(－eq \f(y6,x3))·eq \f(1,x4)＝－eq \f(y4,x3)；②原式＝eq \f(（x－2）（x－4）,（x＋4）（x－4）)·eq \f(（3x－4）2,（x－2）2)·eq \f(（x－2）（x＋4）,（x－3）（3x－4）)＝eq \f(3x－4,x－3).5.课堂小结，自我完善（1）分式的乘除运算法则乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母.除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. （2）分式的乘方运算法则分式乘方就是把分子、分母分别乘方.（3）分式的乘除混合运算 先乘方，后乘除.6.布置作业课本P98练习第1-2题，P103习题9.2第1-3题.回顾复习分数的乘除法，让学生根据计算回忆分数乘除法的法则.鼓励学生自主探索，给字母赋值计算，然后小组内交流讨论，得出结论.让学生根据前面的填空、猜想，尝试写出答案，然后教师引导学生类比分数的乘除法，总结出分式的乘除法法则.例1涉及约分、分式符号运算及分式除法转化等内容，要让学生明确，分式的除法首先应转化为乘法，而分式乘法的实质就是运用约分化简算式.例2分式的分子、分母都是多项式，鼓励学生独立尝试计算，教师指导，提醒学生，遇到比较复杂的分式乘除，可以先分解因式，约分后再计算.这样是运算简便，不易出错.引导学生回忆积的乘方，根据乘方的意义与分式乘法的法则，通过思考探究，总结出结论.分式的乘方运算是分式乘法运算的特烈，要求学生理解算理即可.至于语言描述，不要求与教材一致，例如，分式的乘方等于分子、分母各自乘方.通过回顾负整数次幂，将分式的乘方转化成积的乘方，帮助学生理解.板书设计教后反思本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．采用这种温故知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程.课题分式的通分课型新授课教学内容教材第99-100页的内容教学目标1.了解并掌握通分、最简公分母的概念.2.会找分式的最简公分母.教学重难点教学重点：掌握最简公分母的概念，能够求出几个分式的最简公分母.教学难点：能够对几个分式进行通分，并运用其解决问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：请同学们回顾一下分式的基本性质.学生：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.老师：上节课我们利用分式的基本性质，学习了分式的约分，（师生互动） 把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分.老师：我们都知道，异分母分数相加减，首先要通分，对于异分母的分式相加减，也是要通分.这节课我们来学习分式的通分.2.探索新知，归纳知识老师：通分712与18.学生： 老师：显然，异分母分数通分时找12和8的最小公倍数，然后根据分数的基本性质通分.据此我们知道，通分的关键是确定几个分母的最小公倍数.老师：我们再来看下一个问题.填空：学生：根据分式的基本性质，老师：联想分数的通分及分式的基本性质，你能想出如何将分式进行通分吗？（学生交流）（师生互动）化异分母的分式为同分母的分式的过程，叫做分式的通分.老师补充：分式通分的关键是寻找公分母.下面我们通过例题来学习一下寻找公分母的方法.【教材例题】例3 通分：（1）13a²b，14ab²，112ab； （2）1x²−y²，1x²+2xy+y²，1x²+xy.解:（1）三个分式的分母3a²b，4ab²，12ab中系数的最小公倍数为12，字母a的最高次幂为a²，字母b的最高次幂为b²，故公分母为12a²b²，利用分式的基本性质，通分后分别为：13a²b=4b12a²b²， 14ab²=3a12a²b²， ab12a²b².（2）先把三个分式的分母因式分解，得x²-y²=（x-y）（x+y），x²+2xy+y²=（x+y）²，x²+xy+y²=x（x+y），三个分式的分母中所含的因式有x，（x−y），（x+y）,分别取它们的最高次幂，故公分母为x（x+y）²（x-y）.利用分式的基本性质，通分后分别为：1x²−y²=xx+yxx+y²x−y，1x²+2xy+y²=xx−yxx+y²x−y，1x²+xy=x−yx+yxx+y²x−y.老师：根据分数通分，求两个分母最小公倍数的方法，我们可以类比到分式，（师生互动）异分母分式通分时,关键是确定公分母.通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫作最简公分母.老师提醒学生，在求最简公分母时应注意：（1）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）当分母是多项式时，一般应先分解因式.【随堂练习】找最简公分母：（1）x−13x²，2ax的最简公分母是：_______；（2）3a2a−b，1b−2a的最简公分母是：_______；（3）aa²−9，a−1a²+6a+9的最简公分母是：_______.答案：（1）3ax² （2）（2a-b）或（b-2a） （3）（a+3）²（a-3）3.学以致用，应用新知考点1 求最简公分母【例1】 求分式eq \f(x,2x＋2)，eq \f(x,x2＋x)，eq \f(1,x2＋1).的最简公分母.解：eq \f(x,2x＋2)，eq \f(x,x2＋x)，eq \f(1,x2＋1)的分母分别是2x＋2＝2(x＋1)，x2＋x＝x(x＋1)，x2＋1，故最简公分母是2x(x＋1)(x2＋1)．考点2 通分【例2】 解：（1）最简公分母是2a²b²c, ， .（2）最简公分母是(x−5)(x+5).，.4.随堂训练，巩固新知通分：①eq \f(c,bd)，eq \f(ac,2b2)； ②eq \f(b,2a2c)，eq \f(2a,3bc2)；③eq \f(a,2（a＋1）)，eq \f(1,a2－a)； ④eq \f(2mn,4m2－9)，eq \f(3m,4m2－12m＋9).解：①最简公分母是2b2d，eq \f(c,bd)＝eq \f(2bc,2b2d)，eq \f(ac,2b2)＝eq \f(acd,2b2d)；②最简公分母是6a2bc2，eq \f(b,2a2c)＝eq \f(3b2c,6a2bc2)，eq \f(2a,3bc2)＝eq \f(4a3,6a2bc2)；③最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，eq \f(a,2（a＋1）)＝eq \f(a2（a－1）,2a（a＋1）（a－1）)，eq \f(1,a2－a)＝eq \f(2（a＋1）,2a（a＋1）（a－1）)；④最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，eq \f(2mn,4m2－9)＝eq \f(2mn（2m－3）,（2m＋3）（2m－3）2)，eq \f(3m,4m2－12m＋9)＝eq \f(3m（2m＋3）,（2m＋3）（2m－3）2).5.课堂小结，自我完善（1）通分化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分.通分的依据：分式的基本性质.（2）最简公分母 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母.（3）确定最简公分母的一般思路：①找系数； ②找字母； ③找指数；④当分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母；⑤若分母的系数是负数，应利用符号法则，把负号提取到分式前面.6.布置作业课本P100练习第1-2题.回顾复习分式的基本性质与约分，通过异分母分数的相加减，类比异分母分式的相加减，从而让学生体会学习分式通分的必要性.引导学生回顾分数通分，自然的类比出分式通分.借助分式的基本性质填空，为接下来学习分式的通分做铺垫.讲解例题时，可引导学生类比异分母分数通分找分母的最小公倍数的方法，归纳总结出分式通分的最小公倍式，从而引出最简公分母的概念.确定最简分式的最简公分母的一般思路：（1）找系数；（2）找字母；（3）找指数；（4）当分母是多项式时,先将各分母分解因式,再确定最简公分母；（5）若分母的系数是负数,利用符号法则，把负号提取到分式前面.通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．板书设计教后反思本节课学习了分式的通分，引导学生类比分数的通分．总结分式的通分.在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．确定公分母时，可引导学生回顾小学学过的分数的最简公分母、各分母的最小公倍数，在此基础上直接借用类比得出分式各分母的最简公分母，不必做过多说明.课题分式的加减课型新授课教学内容教材第101-102页的内容教学目标1.理解并掌握分式加减法法则.2.会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．教学重难点教学重点：理解并掌握分式加减法法则.教学难点：会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：你还记得分数的加减运算吗？ 学生：同分母分数相加减，直接分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数后，再加减.老师：计算下面各题.（1）32+12=_______； （2）−34−14=_______；（3）−25+−13=_______； （4）−12−+13=_______；学生：（1）2 （2）-1 （3）−1115 （4）−56老师：类比分数的加减的运算，下面分式的加减运算如何进行呢？2.探索新知，归纳知识类比分数的加减，并利用分式的通分，可以得到上面式子的值分别为：（1）b+ca; （2）b−ca; （3）2b²+3a²6ab; （4）2b²−3a²6ab.（师生互动）总结：与分数加减类似，分式加减的法则为：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减.老师：下面我们练习一下分式的加减运算.【教材例题】例4 计算：（同分母分式相加减）（1）b2a−a+b2a； （2）aa−1+a−31−a.老师引导学生分析：同学们需要注意，在进行分式的加减运算时，分子相加减时，要将每一个分子看作一个整体，例如（1）中（a+b），在计算时要加上括号，看作一个整体；另外，（2）中涉及符号的变化，注意1-a=-(a-1).通过改变符号化为同分母分式.请2名学生上讲台板书演示.解:（1）b2a−a+b2a （2）aa−1+a−31−a.=b−a+b2a =aa−1+3−aa−1=b−a−b2a =a+3−aa−1=−a2a =3a−1.=−12.老师点评：两道题目的运算过程及结果都是正确的.下面计算一下异分母分式的加减法.例5 计算：（异分母分式相加减）（1）32x²+45x； （2）m−15m²−9-23−m.老师引导学生分析：（1）题比较简单，分式的分母是单项式，能直接看出最简公分母是10x².通分，然后进行加减就可以.（2）题中分式分母是多项式，在找最简公分母时需要先分解因式，确定各分母中所含因式及其指数.对于比较复杂的算式，运算结果一定要画出最简分式.请2名学生上讲台板书演示.解:（1）32x²+45x=1510x²+8x10x²=8x+1510x².（2）m−15m²−9−23−m=m−15m+3m−3+2m+3m+3m−3=m−15+2m+6m+3m−3=3m−9m+3m−3=3m−3m+3m−3=3m+3.老师点评：两位同学做的都很正确.注意在开始学习分式的加减法时，通分的过程不能省略.3.学以致用，应用新知考点1 同分母分式的加减【例1】计算：解：考点2 异分母分式的加减【例2】计算：(1)eq \f(x2,x－1)－x－1； (2)eq \f(x＋2,x2－2x)－eq \f(x－1,x2－4x＋4).解：(1)eq \f(x2,x－1)－x－1＝eq \f(x2,x－1)－eq \f(x2－1,x－1)＝eq \f(1,x－1)；(2)eq \f(x＋2,x2－2x)－eq \f(x－1,x2－4x＋4)＝eq \f(（x＋2）（x－2）,x（x－2）2)－eq \f(x（x－1）,x（x－2）2)＝eq \f(x2－4－x2＋x,x（x－2）2)＝eq \f(x－4,x3－4x2＋4x).考点3 分式加减的化简求值【例3】 先化简，再求值：eq \f(3,x－3)－eq \f(18,x2－9)，其中x＝2 024.解：原式＝eq \f(3,x－3)－eq \f(18,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(3（x＋3）－18,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(3（x－3）,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(3,x＋3)，当x＝2 024时，原式＝32 027.4.随堂训练，巩固新知计算：解：（3）原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2) =2a−(a+2)(a+2)(a−2)=a−2(a+2)(a−2)=1a+2.5.课堂小结，自我完善分式加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减.6.布置作业课本P100练习第1-4题.分式加减法则，教材中通过给出分数的（同分母、异分母）加减，让学生回顾旧知，结合上一节学习的分式的通分，类比得出用字母表示的同分母（异分母）分式的加减，渗透类比思想.教学时鼓励学生用自己的语言（文字或数学符号）进行表述，根据学生掌握的实际情况引导总结归纳.教学中要提醒学生，进行分式加减时，要把分子看作一个整体.教学中带领学生分析，鼓励学生独立计算.异分母的分式通常是利用通分，转化为同分母分式在进行计算，其中蕴含了转化思想.通过做练习，让学生熟练掌握分式的加减运算，为下一节解分式方程奠定基础.板书设计教后反思从分数加减法引入，结合分式的通分，类比得出分式的加减法.本节的重点是分式加减法则的运用；易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．教学中，引导学生分析问题，鼓励学生独立自学，解决不了的问题在小组内讨论交流，然后师生共同探究解决.课题分式的混合运算课型新授课教学内容教材第103-104页的内容教学目标1.掌握分式加、减、乘（乘方）、除法的法则，并会运用法则进行分式加、减、乘（乘方）、除法的计算.2.能够运用分式加、减、乘（乘方）、除法法则来解决混合运算的实际问题．教学重难点教学重点：掌握分式加、减、乘（乘方）、除法的法则.教学难点：会利用分式的四则混合运算法则解决问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：我们一起回顾一下有关分式的加、减、乘、除、乘方法则. （师生互动）老师：接下来，同学们做一做下面2道题，想一想，有理数的混合运算的顺序.（1）12+12÷−14−32； （2）3²-5÷43−1.2名学生讲台板书计算.（1）12+12÷−14−32 （2）3²-5÷43−1 =12+12×−4−32 =9-5÷13 =12−2−32 =9-5×3 =−3 =-6老师：计算正确，其他同学对比一下自己的答案，下面我们请1名学生说一下有理数混合运算的顺序.学生：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的.同级运算按照从左到右的顺序进行.老师：回答的很好，很全面.那么结合有理数的混合运算法则，你能猜想将分式的乘除、乘方和加减运算混合在一起，应该怎么计算吗？2.探索新知，归纳知识老师：如何计算？请同学们先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.（留时间交流讨论）学生1：这道题包含的运算有：分式的乘方、分式乘法、分式减法和分式除法.老师：很好，知道了有什么运算，下面请1位同学猜想一下运算顺序，并计算一下.学生：我猜想是和有理数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减.下面是我的做法：老师：观察这位同学的计算，显然他的猜想是正确的.（老师总结）分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号里的运算.老师：下面我们再看一道有括号的分式混合运算.【教材例题】例6 计算：（x−1x−xx+1)−xx²−1÷(xx−1)².解：（x−1x−xx+1)−xx²−1÷(xx−1)² =x²−1−x²x（x+1）−xx²−1·（x−1）²x² =−1x（x+1）−x−1x（x+1） =−xx（x+1） =−1x+1. 老师：通过这两道题目相信大家已经掌握了分式混合运算的顺序，注意计算要正确，计算结果要化为最简分式或整式．3.学以致用，应用新知考点1 分式的混合运算【例1】计算：（教材P103练习）解：考点2 分式的化简求值【例2】先化简代数式eq \f(x2－2x＋1,x2－1)÷1－?? \?(3,?＋1)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．解：原式＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)÷?? \?(?＋1,?＋1)－?? \?(3,?＋1)＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)×eq \f(x＋1,x－2)＝eq \f(x－1,x－2)，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝eq \f(1,2).考点3 利用公式变形对分式进行化简【例3】 已知a＋eq \f(1,a)＝5，求eq \f(a2,a4＋a2＋1)的值．解：因为a＋eq \f(1,a)＝5，所以a＋?? \?(1,?)2＝25，即a2＋eq \f(1,a2)＝23，所以eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq \f(1,a2)＝23＋1＝24.所以eq \f(a2,a4＋a2＋1)＝eq \f(1,24).4.随堂训练，巩固新知(1)计算：①?? \?(3?,?－3)－?? \?(?,?＋3)·eq \f(a2－9,a)；②x＋?? \?(?,?2－1)÷2＋?? \?(1,?－1)－?? \?(1,?＋1)．③a²+2aa²−4−a−2a·2aa−2².解：①原式＝eq \f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）)·eq \f(（a＋3）（a－3）,a)＝2a＋12；②原式＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)÷eq \f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x2)＝eq \f(x,2).③原式=a(a+2)(a+2)(a−2)−a−2a·4a²(a−2)² =aa−2−4aa−2=−3aa−2.（2）先化简：，当b=3时，再从-2＜a＜2的范围内选取一个合适的整数a代入求值.在-2＜a＜2中，a可取的整数为－1，1，所以当b=3，a=－1时，原式的值是12；当b=3，a=1时，原式的值是14.5.课堂小结，自我完善分式的四则混合运算：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号里的运算.6.布置作业课本P103习题9.2第4、7、8题.教学中引领学生共同回顾前面学习过的加、减、乘、除、乘方法则，这是学习分式混合运算的基础.通过让学生计算有理数的混合运算，回顾有理数混合运算的顺序，引出分式的混合运算.鼓励学生间的交流合作，经历猜想、尝试、归纳的过程，在这种独立探究的过程中体会分式的混合运算.教学中点评学生的计算过程，总结分式混合运算顺序，师生共同计算教材例题，在实际计算找那个梳理运算顺序，规范书写.课堂增加练习，巩固知识.把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.利用x和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．板书设计教后反思在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的混合运算法则，提高运算能力．注意在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率.课题分式方程及其解法课型新授课教学内容教材第105-107页的内容教学目标1.了解分式方程的概念.2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过2个），会检验根.3.在探究分式方程及其解法的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.教学重难点教学重点：理解并掌握掌握解分式方程的基本思路和解法.教学难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．教 学 过 程备 注1.回顾旧知，创设情景，引入课题回顾方程的概念，引出非整式方程（分式方程）.老师：同学们判断一下，下列哪些是方程？哪些是整式方程，哪些不是整式方程？(1) 2x+5=7； (2) 9x–5； (3) 6y+1>2y； (4) 7–2=5；(5) 4x+3y=3； (6) ； (7) .答案：是方程的有：(1)(5)(6)(7)，其中(1)(5)(6)等号两边都是整式，为整式方程.(7)等号两边不全是整式，含分式，不是整式方程.（给出章首引言中的问题，在实际问题中引出分式方程）为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列出运行速度.在相距1 600 km的两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4 h，你能求出列车提速前的速度吗?老师：这是路程-速度问题，首先我们一起分析题意.设列车提速前的速度为x km/h，填写下表：(提问学生回答)路程速度时间提速前1 600kmx km/h1 600x h提速后1 600kmx(1+25%) km/h1 600x(1+25%) h老师：根据上面的表格，我们知道是路程不变，速度变大了，相应的所用时间就减少了，也就是条件中“运行时间缩短了4 h”，所以请同学们说一下可以得到怎样的等量关系？学生：提速前所用时间-提速后所用时间=4 h.可以列方程，得1 600x−1 600x(1+25%)=4.老师提问：如果设提速前所用时间为t h，那么又能得到什么样的方程呢？请同学们交流一下.学生：设提速前所用时间为t h，那么提速后的时间为(t-4)h.可以根据速度关系：提速前速度×(1+25%)=提速后速度，列方程，得1 600t×(1+25%)=1 600t−4.老师：同学们的分析与所列方程都很正确.2.探索新知，归纳知识老师：请同学们观察一下，这两个方程有什么共同的特点呢?学生：这两个方程都是只含有一个未知数，且分母中都含有未知数.老师：像这两个方程这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（随堂练习）判断一下，下面是分式方程的为______.答案：②④老师：知道了什么是分式方程，那么如何解分式方程呢？1 600x−1 600x(1+25%)=4可整理，得1 600x−1 60054x=4.老师提问：（1）这个方程和我们以前学过的方程有什么区别？这个方程的分母中含有未知数.（2）以前学过的方程中有分母时怎么解？以前是先去分母，再解方程.（3）对于这个方程该怎么解？尝试解答.同样先去分母，再解方程.(老师板书方程解法，让学生归纳解方程的步骤)解：方程两边同乘以最简公分母54x，得2 000-1 600=5x，解这个整式方程，得x=80.把x=80代入上述分式方程检验：左边=1 60080−1 60054×80=4=右边.所以x=80是该分式方程的解.因而，列车提速前的速度为80 km/h.学生：先去分母，化为整式方程，然后解整式方程（一元一次方程），最后验根（检验根的合理性）.老师总结：解分式方程的步骤如下：（1）去分母：方程的两边都乘以各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解方程：解这个整式方程；（3）验根：将整式方程的解代入原方程的最简公分母，看其是否为零；（4）下结论：舍去使公分母为零的增根.老师：你学会了解分式方程了吗？试试下面这个题：【探究】解方程2−xx−3=13−x−2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？学生：方程两边同乘以最简公分母x–3，得2–x=–1–2(x–3).解这个整式方程，得x=3.把x=3代入上述分式方程检验：方程中分式的分母为零，分式无意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解.(师生互动，带领学生阅读教材，讨论增根产生的原因和概念)对于上面我们探究的分式方程，x=3是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，像x=3这样的根，称为增根.解分式方程时可能产生增根，所以必须验根.老师：同学们可以用自己的语言说一下增根的概念.学生：使公分母等于0的未知数的值就是这个分式方程的增根.老师：产生增根的原因呢？学生：因为在去分母时，在分式方程的两边同时乘以一个等于0的整式，所以得到的根使分式方程无意义.老师：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．【教材例题】例1 解方程：x−1x+3−2=x3−x.（学生自己解，老师最后出示答案，纠正错误）解:方程两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3），得（x-1）（x-3）-2（x+3）（x-3）=-x（x-3）.展开，得x²-4x+3-2x²+18=-x²-3x.解方程，得x=21.检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0.因而，原方程的根是x=21.老师最后做总结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根.（给出下面图示）3.学以致用，应用新知考点1 列分式方程【例1】（教材P109习题9.3T1）某地修建一条轻轨铁路，要使工程提前3个月完成，需将原定的工作效率提高12%.如果设原计划完成这项工程用x个月，那么x应满足怎样的方程？答案：1x×(1+12%)=1x−3考点2 解分式方程【例2】 解方程：(1)eq \f(5,x)＝eq \f(7,x－2)； (2)eq \f(1,x－2)＝eq \f(1－x,2－x)－3.解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，去括号，得5x－10＝7x，移项、合并同类项，得2x＝－10，系数化为1，得x＝－5.检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，所以x＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2.检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，所以原方程无解．考点3 由分式方程的解确定字母的取值范围【例3】关于 x 的方程的解是正数，则a的取值范围是_________.解析：去分母得 2x＋a＝x-1，解得 x＝-a-1.因为关于x的方程的解是正数，所以x＞0且x≠1.所以-a-1＞0且-a-1≠1，解得a＜-1且a≠-2.答案：a＜-1且a≠-2考点4 与分式方程的增根相关的问题【例4】 若关于 x 的方程有增根，求 m 的值.解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4.所以m=3x-6.因为该分式方程有增根，所以x-2=0，即x=2.所以m=0.4.随堂训练，巩固新知（1）解下列分式方程：解：①方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4，解得x=1.检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原分式方程的解，则原分式方程无解. ②方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x，解得x=1.5.检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0，所以原分式方程的解是x=1.5. ③原分式方程可化为x+1（2x+1）（2x−1）=32x+1−22x−1 ,方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ，解得x=6，检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，所以原分式方程的解是x=6. （2）如果关于x的分式方程eq \f(2,x－3)＝1－eq \f(m,x－3)有增根，则m的值为( )A．－3 B．－2 C．－1 D．3答案：B（3）若关于x的分式方程eq \f(2,x－2)＋eq \f(mx,x2－4)＝eq \f(3,x＋2)无解，求m的值．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2.当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，解得m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(-2)＝－10，解得m＝6.所以m的值是1，－4或6.5.课堂小结，自我完善（1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（2）分式方程的解法：一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程.（3）增根：像x=3这样的根，是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，称为增根.（也可以说是使分式方程的公分母为0的未知数的值）6.布置作业课本P107练习第1-2题，P109习题9.3第2、3题.通过回顾方程，观察出整式方程和分式方程的区别，从而自然过渡到分式方程的概念.教学中引领学生思考实际问题，以提问引导的方式进行.通过此部分设计，使学生感知研究分式方程在实际生活中的必要性.鼓励学生从不通的角度分析问题、解决问题，拓展学生的思维.及时巩固分式方程概念问题，加强易错点的点拨.（π是实数，不是字母）通过一步一步提问的分式引导学生，由含分母的整式方程的解法类比得到分式方程的解法.鼓励学生根据教师的板书过程，分组交流讨论、总结出解分式方程的步骤.带领学生探究分式方程有无解可能性，以及体会验根的必要性.先引入有解的分式方程，再引入无解的分式方程，最后解释为何会存在无解，从而表明需要验证，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.让学生巩固解分式方程，鼓励学生交流、讨论，能自我纠正或互相纠正错误.带领学生明白，等式两边同乘一个整式，方程的解不变（这个结论的前提是这个整式是非零的）.解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．板书设计1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤教后反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法，来学习分式方程的解法，从而归纳出解分式方程的基本步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要验根，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验的必要性，避免解题出错．课题分式方程的应用课型新授课教学内容教材第107-109页的内容教学目标1.会列分式方程解决实际问题.2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理．3.通过分式方程的应用的学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问题与解决问题的能力.教学重难点教学重点：理解实际问题，设合适的未知数，列分式方程解决实际问题.教学难点：正确找出实际问题中的等量关系，列分式方程解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习（老师提问，引导学生集体回答，复习旧知）老师：解分式方程的基本思路是什么？学生：把分式方程去分母，转化为整式方程再求解.老师：说一下解分式方程的步骤.学生：①去分母化为整式方程，②解整式方程，③检验整式方程的根，④写出答案.老师：你们是怎么验根的？学生：把整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中，看公分母的值是否为零，若不为零，则是分式方程的根，若为零，则是增根，原分式方程无解.老师提问：我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？学生1：行程问题：路程 = 速度×时间.学生2：工程问题：工作总量 = 工作时间×工作效率.学生3：销售利润问题：批发成本 = 批发数量×批发价；销售利润=销售收入－成本；利润率 = 利润÷进价（或成本）.学生4：数字问题：两位数ab可以表示为10a+b.学生5：……老师：知道了这些实际问题相关的关系式，接下来我们学习分式方程的应用，就可以根据关系式列分式方程.2.创设情景，归纳知识老师：我们首先看一下教材中例2，虽然看上去是一道分式方程的应用问题，实质上是解分式方程.【教材例题】例2 有一并排电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：1R=1R1+1R2.若已知R1，R2，求R.解:方程两边同乘以R1R2R，得R1R2=RR2+RR1，即R1R2=R（R1+R2）.因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0.两边同除以（R1+R2），得R=R1R2R1+R2.老师：通过上面这个题目，我们知道，像物理中的一些公式可以利用解分式方程的方法进行变形，这说明了分式方程的重要性.接下来我们看一下分式方程的应用问题.同样借助例题讲解.例3 七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知甲班每天比乙班多种10棵树，如果分配给甲、乙两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？老师：仿照上节课初学分式方程时的分析，同学们自己分析一下题意.（交流讨论）学生：设乙班每天植树x棵，那么甲班每天植树（x+10）棵，列表格分析：植树任务每天植树量植树天数甲班150棵（x+10）棵150x+10天乙班120棵x棵120x天老师：同学列表格分析的很清楚，那么根据题目要求“两班同时完成任务”，可以列方程（学生集体回答，老师板书）150x+10=120x.老师：找一位同学按照上节课解分式方程的步骤解这个方程.学生：方程两边同时乘以x(x+10)，得150x=120(x+10)，解这个方程，得x=40.检验：x=40是原方程的根.此时x+10=50.因而，当乙班每天植树40棵，甲班每天植树50棵时，两个班能同时完成任务.老师：很好，解决实际问题的题目，最后要记得加上“结论”.老师：根据解决上面这个题，同学们能总结出列分式方程解应用题的一般过程吗？学生：首先设未知数，然后列方程，解方程，再检验，最后作答.老师：很好，接下来我们一起梳理一下.（师生互动）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；列：找出题中的等量关系，正确列出分式方程；解：解所列分式方程；验：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意；答：写出答案.3.学以致用，应用新知考点 分式方程的应用【例1】行程问题甲、乙两火车站相距1 200千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3倍，从甲站到乙站的时间缩短了10小时，求列车提速后的速度．解：设列车提速前的速度为x km/h，由题意，得1 200x−1 2003x=10，解得x＝80.检验：x＝80是原分式方程的解，此时3x=3×80＝240.答：列车提速后的速度是240 km/h．【例2】 工程问题安徽省某市计划建一个绿色休息区，若甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3天才能完成．现甲、乙两队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，4天后完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少天？解：设甲队单独完成需要x天，则乙队需要(x＋3)天．由题意，得2x+2+4x+3＝1，解得x＝6.检验：x＝6是方程的解．此时x＋3＝9.答：甲队单独完成全部工程需6天，乙队单独完成全部工程需9天．【例3】销售购物问题小明和同学去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？ 解:设文学书的价格是本x元/本，则科普书1.5x元/本.根据题意，得15x−151.5x=1，解得x = 5.检验：x = 5是所列方程的根.此时1.5x=1.5×5=7.5.答:文学书的价格是每本5元，科普书每本7.5元.【例4】销售盈亏问题佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1 200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1 452元所购买的数量比第一次多20 kg，以每千克9元售出100 kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意，得eq \f(1452,1.1x)－eq \f(1200,x)＝20，解得x＝6.检验：x＝6是原方程的解．答：第一次水果的进价是每千克6元.（2）第一次购买水果1200÷6＝200（kg）．第二次购买水果200＋20＝220（kg）．第一次赚钱为200×（8－6）＝400（元），第二次赚钱为100×(9－6.6）＋120×(9×0.5－6.6）＝－12（元）．所以两次共赚钱400－12＝388（元）．答：该果品店在这两次销售中，总体上赚钱了,共赚了388元．4.随堂训练，巩固新知（1）某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月份的水费15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.解：设去年用水的价格为x元/m3，则今年的水价为1+13x元/m3.由题意，得301+13x−15x=5，解得x=1.5.检验：x=1.5是所列方程的根.此时1+13x=1+13×1.5=2.答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.（2）甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵所用的时间相等，问：甲、乙两班每小时各种多少棵树？解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵，根据题意，得60x=66x+2.解这个方程，得x＝20.检验：x＝20是原方程的根．此时x+2＝20+2＝22．所以甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．（3）甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．求甲、乙每小时各做多少个零件．解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（35﹣x）个零件．根据题意，得90x=9035−x，解得x＝15．检验：x＝15是原方程的解．此时35－x=20.答：甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件．5.课堂小结，自我完善列分式方程解应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；列：找出题中的等量关系，正确列出分式方程；解：解所列分式方程；验：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意；答：写出答案.6.布置作业课本P108练习第2-3题，P109习题9.3第5、6题.带领学生回顾旧知，鼓励学生独立思考，积极回答，为下面分式方程的应用做计算基础.以提问的形式，使学生回顾以前学过的应用类型.这是一个应用解分式方程的方法进行物理学公式的变形问题，其主要目的是加强学科的融合与联系，为其他学科中公式的变形作准备.以学生常见的植树问题为背景，方便学生理解.鼓励学生交流合作，初学阶段列表格分析问题，可以降低学生思考难度，有利于学生正确找到问题中的等量关系.引导学生根据解决问题的过程总结解决实际问题的一般步骤，培养学生归纳、总结能力.通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性,以及回顾实际问题的几种模型.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过小结让学生进一步熟悉、巩固本节课所学的知识.板书设计教后反思本节课分式方程的应用，教学中要充分调动学生学习的积极性，使学生自主学习、探索，采用提问引导、小组合作探究以及讲练相结合的教学方式．通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程.
0沪科版七年级数学下册第九章（同步教学设计）第9章 分 式单 元 备 课 9.1 分式及其基本性质第1课时 分式的概念 9.1 分式及其基本性质第2课时 分式的基本性质及约分 9.2 分式的运算9.2.1 分式的乘除 9.2 分式的运算9.2.2 分式的加减第1课时 分式的通分 9.2 分式的运算9.2.2 分式的加减第2课时 分式的加减 9.2 分式的运算9.2.2 分式的加减第3课时 分式的混合运算 9.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法 9.3 分式方程第2课时 分式方程的应用 第9章本单元所需课时数10课时课标要求1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式加减乘除运算.2.能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.3.能解可化为一元一次方程的分式方程.4.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.教材分析本章是在学生掌握整式的四则运算、多项式的因式分解以及一元一次方程解法的基础上,对代数式及方程相关知识进一步的学习.另外本章教材内容呈现遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律，突出知识技能的教学，同时十分注重数学思想的应用（类比思想、方程思想等），注重教学内容的实际背景，让学生体会到分式在实际生活中的应用.主要内容本章的主要内容是分式及其基本性质、分式的运算和分式方程.9.1节“分式及其基本性质”通过分数的意义、基本性质类比引出分式的相关概念及性质；9.2节“分式的运算”的学习，同样通过观察、猜想、归纳等学习活动，让学生类比分数的运算法则得出分式的运算法则；9.3节“分式方程”的学习则借助转换的思想，化为一元一次方程再进行求解，区别在于求出解以后要验根.教学目标1.经历用分式表示现实情景中的数量关系的过程,了解分式、有理式的概念,进一步发展学生的符号感.2.通过观察、类比、猜想、归纳等方法，经历获得分式的基本性质和分式的加减法、乘（方）除法运算法则的过程，发展学生的合情推理能力.3.熟练掌握分式的基本性质，能进行分式的约分和通分，了解最简分式的概念，能进行简单的分式加、减、乖(方)、除混合运算.4.经历用分式方程表示实际问题中等量关系的过程，了解分式方程的概念.5.会解可化为一元一次方程的分式方程,掌握解分式方程验根的方法,体会解分式方程中的转化思想，能解决一些与分式方程有关的实际问题.课时分配9.1 分式及其基本性质 2课时9.2 分式的运算 4课时9.3 分式方程 2课时小结 2课时教与学建议1.关注新旧知识的区别与联系.2.重视分式运算与解分式方程的训练.3.重视教学内容与实际生活的联系.4.突出对学生思维品质的培养和数学思想方法的教学.5.切实把握教学要求.课题分式的概念课型新授课教学内容教材第89-90页的内容教学目标1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想.2.了解分式、有理式的概念，明确分式与整式的区别.3.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件.教学重难点教学重点：理解并掌握分式的概念.教学难点：能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．教 学 过 程备 注1.创设情境，引入课题问题① 有两块稻田，第一块是4 hm²，每公顷收水稻10 500 kg，第二块是3 hm²，每公顷收水稻9 000 kg，这两块稻田平均每公顷收水稻__________kg.老师：读完题目，我们知道，这是已知水稻总产量和稻田的面积，求单位产量的问题.下面我们一起分析一下：（师生互动）①这两块稻田一共是4+3=7(hm²)；②这两块稻田一共收水稻10 500×4+9 000×3=69 000(kg).所以这两块稻田平均每公顷收水稻的质量为69 0007 kg.老师：如果我们把上面问题中的数字换成字母呢，如果第一块是m hm²，每公顷收水稻a kg，第二块是n hm²，每公顷收水稻b kg，这两块稻田平均每公顷收水稻__________kg.（同学们交流讨论）提问学生按照上面的方法分析、并解答.学生：①这两块稻田一共是(m+n)hm²；②这两块稻田一共收水稻(am+bn)kg.所以这两块稻田平均每公顷收水稻的质量为 am+bnm+n kg.老师：回答的很好.下面我们再看下一个问题.问题② 已知一个长方形的面积为10 m²,长为7 m，则宽为______m;已知一个长方形的面积为S m²,如果它的长为a m,那么它的宽为______m.老师：请同学们思考一下，然后提问两名学生回答.学生1：长方形的宽为107 m.学生2：长方形的宽为 Sa m.老师：回答的很好.下面请同学们思考一下，上面问题中出现的代数式am+bnm+n和Sa，它们有什么共同特征？与整式有什么不同？2.探索新知，归纳知识（老师引导学生回顾整式的概念）单项式和多项式统称为整式.学生：这两个式子形式上都具有分数的特征，分子、分母都是整式，且分母中含有字母.老师总结：同学们观察的很正确. 一般地，如果a,b表示两个整式,并且b中含有字母，那么式子ab叫做分式.其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母.分式是两个整式相除的商，正如分数可看成两个整数相除的商一样. 整式和分式统称为有理式.即老师提问：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.如果要使分式有意义，那么分式应满足什么条件？学生：猜想分式中也要求分母不为零.老师：下面我们通过两个例题，进一步理解分式.验证一下猜想是否正确.【教材例题】例1 （1）当x取何值时，分式4x−2有意义？老师分析：类比分数的意义，我们知道当分母的值等于零时，分式没有意义.除此以外，分式都有意义.所以由x-2=0，解得x=2.因而，当x≠2时，分式4x−2有意义.老师：请同学们分组交流探索一下第（2）题.（2）当x是什么数时，分式x+42x−3的值为零？学生1：类比分数的值为零的条件，可以令分子为零.老师：还有要补充的吗？学生2：还应该保证分母不为零.老师：很好，我们一起按照这两位同学的思路分析一下.当分子的值等于零时，分式的值为零.所以由x+4=0，解得x=-4.当x=-4时，分母2x-3=2×(-4)-3=-11≠0.因而，当x=-4时，分式x+42x−3的值为零.老师：通过这个例题，我们了解了分式有意义及分式的值为零的条件，下面我们做一下练习.3.学以致用，应用新知考点1 判断代数式是否为分式【例1】在式子eq \f(1,a)、eq \f(2xy,π)、eq \f(3a2b3c,4)、eq \f(5,6＋x)、eq \f(x,7)＋eq \f(y,8)、9x＋eq \f(10,y)中，分式有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个答案：B考点2 根据实际问题列分式【例2】如果一辆汽车行驶a km用b h，那么它的平均车速为 km/h；如果一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，那么它的平均车速为 km/h.答案：ab ab−1考点3 分式有意义（或无意义）的条件【例3】已知分式x−1(x+1)(x−2)有意义，则x应满足的条件是（ ）A. x≠－1 B．x≠2 C．x≠－1且x≠2 D．以上结果都不对答案：C【例4】使分式eq \f(x,3x－1)无意义的x的值是( )A．x＝0 B．x≠0 C．x＝eq \f(1,3) D．x≠eq \f(1,3)答案：C考点4 分式的值为零的条件【例5】若分式x²−1x−1的值为零，则x的值为( ) A．0 B．1 C．－1 D．±1解析：分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0.由x2－1＝0，得x＝±1.当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意；当x＝－1时，x－1＝－2≠0，所以x＝－1时分式的值为0.答案：C4.随堂训练，巩固新知（1）下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？答案:分式有：整式有：（2）①当x=3时，分式的值是多少?解：当 x = 3 时，分式值为②当x满足什么条件时，分式有意义?解：要使分式有意义，则有x+2≠0，所以x满足x≠-2时，分式有意义.③当x满足什么条件时，分式的值为零？解：要使分式的值为零，则有x²-4=0，且x+2≠0，所以x=2，所以当x=2时，分式的值为零.（3）绵阳到某地相距n千米，提速前火车从绵阳到某地要t小时，提速后行车时间减少了0.5小时，提速后火车的速度比原来速度快了( )A.eq \f(n,t－0.5) B.eq \f(n,t) C.eq \f(n,t－0.5)－eq \f(n,t) D.eq \f(n,t)－eq \f(n,t－0.5)答案：C5.课堂小结，自我完善（1）分式的概念一般地，如果a,b表示两个整式,并且b中含有字母，那么式子ab叫做分式.其中a叫做分式的分子,b叫做分式的分母.（2）分式ab有无意义的条件当b≠0时，分式有意义；当b＝0时，分式无意义．（3）分式ab值为0的条件当a＝0，b≠0时，分式的值为0.6.布置作业课本P90练习第1-3题，P93习题9.1第1、2题.问题①设置两个填空，首先是根据已知数字运算得到分数结果，然后进一步把相关数字换成字母，引导学生类比分析，最后得到含字母的式子.这样有利于让学生体会分数与分式的联系.根据长方形的面积公式，进一步体会用分式表示现实情景中的数量关系，鼓励学生独立解决问题.教学中提出问题，引导学生自主探索，通过观察、猜想、归纳的过程，引出分式的概念.例题1的目的是为了加深对分式概念的理解，教学时除与分数类比（由特殊到一般）外，还需要说明，虽然字母x本身可以表示任何数，但是在分母上时，还需要考虑分母不为0.增加限制条件x≠0（由一般到特殊）.练习中强调分式的概念,关键是分母中含有字母,格外注意,π是数字不是字母.本题是典型的路程问题，根据公式“速度=路程时间”列式即可.分式有意义的条件是：分母≠0；分式无意义的条件是：分母=0.分式值为零的条件是：分子=0,分母≠0.板书设计教后反思本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学生实践应用能力．提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识，又在类比过程中获得了解决新知识的途径．在这一环节提问应注意循序渐进，先易后难、由简到繁，台阶式的提问使问题解决水到渠成.课题分式的基本性质及约分课型新授课教学内容教材第91-94页的内容教学目标1.理解并掌握分式的基本性质和符号法则.2.能正确、熟练地运用分式的基本性质对分式进行约分.教学重难点教学重点：分式约分中符号的处理及公因式的确定.教学难点：能熟练地利用分式的基本性质解决问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：根据之前学过的分数的基本性质，完成下面等式的填空，并说出从左到右变化的依据.（1）13=2（ ）=（ ）12；（ ） （2）618=3（ ）=（ ）3.（ ） 学生：13=2（ 6 ）=（ 4 ）12；（ 分式的基本性质 ） 618=3（ 9 ）=（ 1 ）3.（ 分式的基本性质 ） 老师：根据上面的等式，请同学们思考一下，下面的式子是否成立？ 学生：我猜测是成立的.老师：类比分数的基本性质，猜想分式有什么性质？并验证上面两式是否成立.2.探索新知，归纳知识与分数类似，分式有如下的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.上述性质可以用式表示为：（老师提醒学生注意，m表示不等于零的整式）老师：通过分式的基本性质，我们可以判定上一位同学的猜想是正确的.下面我们做一下教材中例2，进一步理解分式的基本性质.【教材例题】例2 根据分式的基本性质填空：（师生互动）看一下（1）题，发现，分母由2xy变为2y，显然要使分式仍然成立，分式的分子与分母需要同除以x，老师：找3名同学上来做一下剩下的3题，并标注变化过程.学生1： 学生2： 学生3：老师：通过上面的练习，相信同学们对分式的基本性质也有一定的了解了，下面我们利用分式的基本性质进行化简. 类比分数的约分，我们可以得到分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分．老师：同学们自己做一下教材例3.【教材例题】例3 约分：老师点评：同学们做的都很正确，且化简成了不能再化简的形式，也就是最终结果分子、分母不能有公因式.像，，这样，分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式．约分通常是把分式化成最简分式或者整式.老师：请同学们思考一下，约分过程中，符号的变化，有什么规律？（学生交流讨论）学生：分式的分子、分母的符号一起变化时，分式的值得符号不变，单只有一个变化时，分式的值得符号也改变.老师：很好，同学们的回答我们可以用式子归纳总结：ab=−−ab=−ab=−a−b3.学以致用，应用新知考点1 分式的基本性质【例1】 利用分式的基本性质，下列式子从左到右的变形一定正确的是( )A.eq \f(a＋3,b＋3)＝eq \f(a,b) B.eq \f(a,b)＝eq \f(ac,bc) C.eq \f(3a,3b)＝eq \f(a,b) D.eq \f(a,b)＝eq \f(a2,b2)答案：C【例2】不改变分式eq \f(0.2x＋1,2＋0.5x)的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A.eq \f(2x＋1,2＋5x) B.eq \f(x＋5,4＋x) C.eq \f(2x＋10,20＋5x) D.eq \f(2x＋1,2＋x)答案：C考点2 分式的约分【例3】约分：（1）−25a²bc³15ab²c； （2）x²−9x²+6x+9.解：（1）−25a²bc³15ab²c=−5abc·5ac²5abc·3b=−5ac²3b.（2）x²−9x²+6x+9=(x−3)(x+3)(x+3)²=x−3x+3.考点3 最简分式【例4】下列分式是最简分式的是( )答案：D考点4 分式的化简求值【例5】先约分，再求值：x²−2xy+y²x²−y²，其中x = 5，y = 3.解：x²−2xy+y²x²−y²=(x−y)²(x−y)(x+y)=x−yx+y.当x=5，y=3时，原式=x−yx+y=5−35+3=14.4.随堂训练，巩固新知（1）下列各式中是最简分式的是（ ）答案：B（2）约分：5.课堂小结，自我完善（1）分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.（2）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分．（3）最简分式像，，这样，分子与分母只有公因式1的分式，叫做最简分式．约分通常是把分式化成最简分式或者整式.6.布置作业课本P91练习第1-2题，P93练习1-3题.回顾分数的基本性质，依据分数的基本性质填空.教学中让学生自主探索练习，观察归纳得出结论，从而类比出分式的基本性质.渗透了类比思想.还可以利用其他例子进行验证或进一步说明.用式子表示分式的基本性质与用式子表示分数的基本性质是一样的，只是这里的字母表示整式，且分母中含有字母.这个例题是分式基本性质的简单应用，（1）（3）中分别隐含x≠0，(a+b)≠0;（2）中涉及符号变换,注意分式的分子、分母要同时变号.(1)(2)(3)题实际上也算是分式的约分，提前做铺垫.注意引导学生，约分的关键是找分子、分母的公因式，然后根据分式的基本性质进行约分.例3的教学重点是引导学生寻找分子与分母的公因式，鼓励学生自主解决，教师可提醒学生利用因式分解的方法寻找公因式.另外这4个小题也相当于是单项式除以单项式、多项式除以多项式.分式的符号法则属于拓展内容，教学中应引导学生理解，不要求记忆公式.考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．最简分式的标准是分子、分母中不含公因式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．板书设计教后反思本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则．在每个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、方法指导和变式练习，一步一步地来完成既定目标，整个学习过程轻松、愉快、和谐、高效.课题分式的乘除课型新授课教学内容教材第96-98页的内容教学目标1.经历分式的乘（方）除运算法则的探索过程，理解算理，并能结合具体情境说明其合理性，发展学生合情推理能力.2.能进行简单的分式乘方、乘除运算.3.能解决一些简单的与分式乘（方）除运算相关的实际问题.教学重难点教学重点：理解并掌握分式的乘（方）除运算法则.教学难点：能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：同学们还记得分数的乘除运算吗？计算下面各题：学生：（1）45 （2）27 （3）−23 （4）−23 老师：同学们的计算都很正确.下面我们找一位同学说明一下分数乘除法的计算法则.学生：两个分数相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母，结果化为最简分数；一个数除以分数，就是乘这个分数的倒数.老师：同学们做一下,任给下面式子中a,b,c,d一组数值，求下面两式子的值，再任选一组a,b,c,d的值进行计算，从中你能得出什么结论？（学生分组交流验证，教师提问学生回答）学生：（1）ab·cd= acbd ;（2）ab÷cd= adbc .老师：同学们的总结正确，那么通过上面的总结，大家可以得出分式乘除的运算法则吗？2.探索新知，归纳知识（师生互动）与分数乘除类似，总结分式的乘除法则如下：乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母.除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 上面的运算法则，我们可以用字母式子表示为：ab·cd= acbd ; ab÷cd= adbc .老师：下面通过例题来巩固一下运算法则.【教材例题】例1 计算：（1）6x5y·−10y²3x³； （2）9a²b²2c÷3ab³8c².学生1：6x5y·−10y²3x³ 学生2：9a²b²2c÷3ab³8c²=6x·（−10y²）5y·3x³ =9a²b²2c×8c²3ab³=−4yx². =12acb.老师：两位同学的计算过程都很规范、正确.上面的例题，两个分式的分子、分母都是单项式，如果遇到多项式，要怎么处理呢？例2 计算：x−1x²−4x+4÷x²−1x²−4.（请学生尝试计算）学生：x−1x²−4x+4÷x²−1x²−4=x−1x²−4x+4·x²−4x²−1=(x−1)(x²−4)(x²−4x+4)(x²−1)=(x−1)(x−2)(x+2)(x−2)²(x−1)(x+1)=−x+2(x−2)(x+1).老师：计算正确，不过这道题我们还有更简便的方法.x−1x²−4x+4÷x²−1x²−4=x−1x²−4x+4·x²−4x²−1=x−1(x−2)²··(x−2)(x+2)(x−1)(x+1) 先分解因式，约分后再乘.=−x+2(x−2)(x+1). 老师：请同学们回忆一下，我们之前学习过的积的乘方.（师生互动）老师：根据积的乘方的规律，探索一下分式的乘方的规律.怎样计算ab2，ab3，ab4？学生1：(ab)²=ab·ab=a²b²;学生2：(ab)3=ab·ab·ab=a³b³;学生3：(ab)4=ab·ab·ab·ab=a4b4.老师：以上三位同学很好的结合了乘方的意义与分式乘法法则，计算正确.那么我们可以总结，分式的乘法法则：（师生互动）一般地，当n是正整数时，n 个 an 个 abn 个 b即 这就是说，分式乘方就是把分子、分母分别乘方.我们学习过负整数次幂，知道所以，根据负整数次幂的意义，可知：这就是说，分式的乘方可以转化为积的乘方.老师：我们一起看一下教材P98练习T3，练习一下分式的乘方运算.【教材练习题】3.计算：解：3.学以致用，应用新知考点1 利用分式的乘、除法法则进行计算【例1】 计算： 解：考点2 分式的乘除混合运算【例2】计算：eq \f(a－1,a＋2)·eq \f(a2－4,a2－2a＋1)÷eq \f(1,a2－1).解：原式＝eq \f(a－1,a＋2)·eq \f(（a＋2）（a－2）,（a－1）2)·eq \f(（a＋1）（a－1）,1)＝(a－2)(a＋1) ＝a2－a－2.考点3 分式的乘方运算【例3】下列运算结果不正确的是( )A．(eq \f(8a2bx2,6ab2x))2＝(eq \f(4ax,3b))2＝eq \f(16a2x2,9b2)B．[－(eq \f(x3,2y))2]3＝－(eq \f(x3,2y))6＝－eq \f(x18,64y6)C．[eq \f(y－x,（x－y）2)]3＝(eq \f(1,y－x))3＝eq \f(1,（y－x）3)D．(－eq \f(xn,y2n))n＝eq \f(x2n,y3n)答案：D4.随堂训练，巩固新知（1）计算：①eq \f(ab2,2c2)·eq \f(4cd,－3a2b2)； ②eq \f(x2＋3x,x2－9)·eq \f(3－x,x＋2)；③－3xy÷eq \f(2y2,3x)； ④(xy－x2)÷eq \f(x－y,xy).解：①eq \f(ab2,2c2)·eq \f(4cd,－3a2b2)＝－eq \f(ab2·4cd,2c2·3a2b2)＝－eq \f(4ab2cd,6a2b2c2)＝－eq \f(2d,3ac)；②eq \f(x2＋3x,x2－9)·eq \f(3－x,x＋2)＝eq \f(x（x＋3）,（x＋3）（x－3）)·eq \f(3－x,x＋2)＝eq \f(x,x－3)·eq \f(－（x－3）,x＋2)＝－eq \f(x,x＋2)；③－3xy÷eq \f(2y2,3x)＝－3xy·eq \f(3x,2y2)＝－eq \f(9x2,2y)；④(xy－x2)÷eq \f(x－y,xy)＝(xy－x2)·eq \f(xy,x－y)＝－x(x－y)·eq \f(xy,x－y)＝－x2y.（2）计算：①(－eq \f(x2,y))2·(－eq \f(y2,x))3·(－eq \f(1,x))4；②eq \f(（2－x）（4－x）,x2－16)÷(eq \f(x－2,4－3x))2·eq \f(x2＋2x－8,（x－3）（3x－4）).解：①原式＝eq \f(x4,y2)·(－eq \f(y6,x3))·eq \f(1,x4)＝－eq \f(y4,x3)；②原式＝eq \f(（x－2）（x－4）,（x＋4）（x－4）)·eq \f(（3x－4）2,（x－2）2)·eq \f(（x－2）（x＋4）,（x－3）（3x－4）)＝eq \f(3x－4,x－3).5.课堂小结，自我完善（1）分式的乘除运算法则乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母.除法法则：两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. （2）分式的乘方运算法则分式乘方就是把分子、分母分别乘方.（3）分式的乘除混合运算 先乘方，后乘除.6.布置作业课本P98练习第1-2题，P103习题9.2第1-3题.回顾复习分数的乘除法，让学生根据计算回忆分数乘除法的法则.鼓励学生自主探索，给字母赋值计算，然后小组内交流讨论，得出结论.让学生根据前面的填空、猜想，尝试写出答案，然后教师引导学生类比分数的乘除法，总结出分式的乘除法法则.例1涉及约分、分式符号运算及分式除法转化等内容，要让学生明确，分式的除法首先应转化为乘法，而分式乘法的实质就是运用约分化简算式.例2分式的分子、分母都是多项式，鼓励学生独立尝试计算，教师指导，提醒学生，遇到比较复杂的分式乘除，可以先分解因式，约分后再计算.这样是运算简便，不易出错.引导学生回忆积的乘方，根据乘方的意义与分式乘法的法则，通过思考探究，总结出结论.分式的乘方运算是分式乘法运算的特烈，要求学生理解算理即可.至于语言描述，不要求与教材一致，例如，分式的乘方等于分子、分母各自乘方.通过回顾负整数次幂，将分式的乘方转化成积的乘方，帮助学生理解.板书设计教后反思本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．采用这种温故知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程.课题分式的通分课型新授课教学内容教材第99-100页的内容教学目标1.了解并掌握通分、最简公分母的概念.2.会找分式的最简公分母.教学重难点教学重点：掌握最简公分母的概念，能够求出几个分式的最简公分母.教学难点：能够对几个分式进行通分，并运用其解决问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：请同学们回顾一下分式的基本性质.学生：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.老师：上节课我们利用分式的基本性质，学习了分式的约分，（师生互动） 把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分.老师：我们都知道，异分母分数相加减，首先要通分，对于异分母的分式相加减，也是要通分.这节课我们来学习分式的通分.2.探索新知，归纳知识老师：通分712与18.学生： 老师：显然，异分母分数通分时找12和8的最小公倍数，然后根据分数的基本性质通分.据此我们知道，通分的关键是确定几个分母的最小公倍数.老师：我们再来看下一个问题.填空：学生：根据分式的基本性质，老师：联想分数的通分及分式的基本性质，你能想出如何将分式进行通分吗？（学生交流）（师生互动）化异分母的分式为同分母的分式的过程，叫做分式的通分.老师补充：分式通分的关键是寻找公分母.下面我们通过例题来学习一下寻找公分母的方法.【教材例题】例3 通分：（1）13a²b，14ab²，112ab； （2）1x²−y²，1x²+2xy+y²，1x²+xy.解:（1）三个分式的分母3a²b，4ab²，12ab中系数的最小公倍数为12，字母a的最高次幂为a²，字母b的最高次幂为b²，故公分母为12a²b²，利用分式的基本性质，通分后分别为：13a²b=4b12a²b²， 14ab²=3a12a²b²， ab12a²b².（2）先把三个分式的分母因式分解，得x²-y²=（x-y）（x+y），x²+2xy+y²=（x+y）²，x²+xy+y²=x（x+y），三个分式的分母中所含的因式有x，（x−y），（x+y）,分别取它们的最高次幂，故公分母为x（x+y）²（x-y）.利用分式的基本性质，通分后分别为：1x²−y²=xx+yxx+y²x−y，1x²+2xy+y²=xx−yxx+y²x−y，1x²+xy=x−yx+yxx+y²x−y.老师：根据分数通分，求两个分母最小公倍数的方法，我们可以类比到分式，（师生互动）异分母分式通分时,关键是确定公分母.通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫作最简公分母.老师提醒学生，在求最简公分母时应注意：（1）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）当分母是多项式时，一般应先分解因式.【随堂练习】找最简公分母：（1）x−13x²，2ax的最简公分母是：_______；（2）3a2a−b，1b−2a的最简公分母是：_______；（3）aa²−9，a−1a²+6a+9的最简公分母是：_______.答案：（1）3ax² （2）（2a-b）或（b-2a） （3）（a+3）²（a-3）3.学以致用，应用新知考点1 求最简公分母【例1】 求分式eq \f(x,2x＋2)，eq \f(x,x2＋x)，eq \f(1,x2＋1).的最简公分母.解：eq \f(x,2x＋2)，eq \f(x,x2＋x)，eq \f(1,x2＋1)的分母分别是2x＋2＝2(x＋1)，x2＋x＝x(x＋1)，x2＋1，故最简公分母是2x(x＋1)(x2＋1)．考点2 通分【例2】 解：（1）最简公分母是2a²b²c, ， .（2）最简公分母是(x−5)(x+5).，.4.随堂训练，巩固新知通分：①eq \f(c,bd)，eq \f(ac,2b2)； ②eq \f(b,2a2c)，eq \f(2a,3bc2)；③eq \f(a,2（a＋1）)，eq \f(1,a2－a)； ④eq \f(2mn,4m2－9)，eq \f(3m,4m2－12m＋9).解：①最简公分母是2b2d，eq \f(c,bd)＝eq \f(2bc,2b2d)，eq \f(ac,2b2)＝eq \f(acd,2b2d)；②最简公分母是6a2bc2，eq \f(b,2a2c)＝eq \f(3b2c,6a2bc2)，eq \f(2a,3bc2)＝eq \f(4a3,6a2bc2)；③最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，eq \f(a,2（a＋1）)＝eq \f(a2（a－1）,2a（a＋1）（a－1）)，eq \f(1,a2－a)＝eq \f(2（a＋1）,2a（a＋1）（a－1）)；④最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，eq \f(2mn,4m2－9)＝eq \f(2mn（2m－3）,（2m＋3）（2m－3）2)，eq \f(3m,4m2－12m＋9)＝eq \f(3m（2m＋3）,（2m＋3）（2m－3）2).5.课堂小结，自我完善（1）通分化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分.通分的依据：分式的基本性质.（2）最简公分母 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母.（3）确定最简公分母的一般思路：①找系数； ②找字母； ③找指数；④当分母是多项式时，应先将各分母分解因式，再确定最简公分母；⑤若分母的系数是负数，应利用符号法则，把负号提取到分式前面.6.布置作业课本P100练习第1-2题.回顾复习分式的基本性质与约分，通过异分母分数的相加减，类比异分母分式的相加减，从而让学生体会学习分式通分的必要性.引导学生回顾分数通分，自然的类比出分式通分.借助分式的基本性质填空，为接下来学习分式的通分做铺垫.讲解例题时，可引导学生类比异分母分数通分找分母的最小公倍数的方法，归纳总结出分式通分的最小公倍式，从而引出最简公分母的概念.确定最简分式的最简公分母的一般思路：（1）找系数；（2）找字母；（3）找指数；（4）当分母是多项式时,先将各分母分解因式,再确定最简公分母；（5）若分母的系数是负数,利用符号法则，把负号提取到分式前面.通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．板书设计教后反思本节课学习了分式的通分，引导学生类比分数的通分．总结分式的通分.在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．确定公分母时，可引导学生回顾小学学过的分数的最简公分母、各分母的最小公倍数，在此基础上直接借用类比得出分式各分母的最简公分母，不必做过多说明.课题分式的加减课型新授课教学内容教材第101-102页的内容教学目标1.理解并掌握分式加减法法则.2.会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．教学重难点教学重点：理解并掌握分式加减法法则.教学难点：会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：你还记得分数的加减运算吗？ 学生：同分母分数相加减，直接分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，先通分，化为同分母分数后，再加减.老师：计算下面各题.（1）32+12=_______； （2）−34−14=_______；（3）−25+−13=_______； （4）−12−+13=_______；学生：（1）2 （2）-1 （3）−1115 （4）−56老师：类比分数的加减的运算，下面分式的加减运算如何进行呢？2.探索新知，归纳知识类比分数的加减，并利用分式的通分，可以得到上面式子的值分别为：（1）b+ca; （2）b−ca; （3）2b²+3a²6ab; （4）2b²−3a²6ab.（师生互动）总结：与分数加减类似，分式加减的法则为：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减.老师：下面我们练习一下分式的加减运算.【教材例题】例4 计算：（同分母分式相加减）（1）b2a−a+b2a； （2）aa−1+a−31−a.老师引导学生分析：同学们需要注意，在进行分式的加减运算时，分子相加减时，要将每一个分子看作一个整体，例如（1）中（a+b），在计算时要加上括号，看作一个整体；另外，（2）中涉及符号的变化，注意1-a=-(a-1).通过改变符号化为同分母分式.请2名学生上讲台板书演示.解:（1）b2a−a+b2a （2）aa−1+a−31−a.=b−a+b2a =aa−1+3−aa−1=b−a−b2a =a+3−aa−1=−a2a =3a−1.=−12.老师点评：两道题目的运算过程及结果都是正确的.下面计算一下异分母分式的加减法.例5 计算：（异分母分式相加减）（1）32x²+45x； （2）m−15m²−9-23−m.老师引导学生分析：（1）题比较简单，分式的分母是单项式，能直接看出最简公分母是10x².通分，然后进行加减就可以.（2）题中分式分母是多项式，在找最简公分母时需要先分解因式，确定各分母中所含因式及其指数.对于比较复杂的算式，运算结果一定要画出最简分式.请2名学生上讲台板书演示.解:（1）32x²+45x=1510x²+8x10x²=8x+1510x².（2）m−15m²−9−23−m=m−15m+3m−3+2m+3m+3m−3=m−15+2m+6m+3m−3=3m−9m+3m−3=3m−3m+3m−3=3m+3.老师点评：两位同学做的都很正确.注意在开始学习分式的加减法时，通分的过程不能省略.3.学以致用，应用新知考点1 同分母分式的加减【例1】计算：解：考点2 异分母分式的加减【例2】计算：(1)eq \f(x2,x－1)－x－1； (2)eq \f(x＋2,x2－2x)－eq \f(x－1,x2－4x＋4).解：(1)eq \f(x2,x－1)－x－1＝eq \f(x2,x－1)－eq \f(x2－1,x－1)＝eq \f(1,x－1)；(2)eq \f(x＋2,x2－2x)－eq \f(x－1,x2－4x＋4)＝eq \f(（x＋2）（x－2）,x（x－2）2)－eq \f(x（x－1）,x（x－2）2)＝eq \f(x2－4－x2＋x,x（x－2）2)＝eq \f(x－4,x3－4x2＋4x).考点3 分式加减的化简求值【例3】 先化简，再求值：eq \f(3,x－3)－eq \f(18,x2－9)，其中x＝2 024.解：原式＝eq \f(3,x－3)－eq \f(18,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(3（x＋3）－18,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(3（x－3）,（x＋3）（x－3）)＝eq \f(3,x＋3)，当x＝2 024时，原式＝32 027.4.随堂训练，巩固新知计算：解：（3）原式=2a(a+2)(a−2)−1a−2=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2) =2a−(a+2)(a+2)(a−2)=a−2(a+2)(a−2)=1a+2.5.课堂小结，自我完善分式加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减.6.布置作业课本P100练习第1-4题.分式加减法则，教材中通过给出分数的（同分母、异分母）加减，让学生回顾旧知，结合上一节学习的分式的通分，类比得出用字母表示的同分母（异分母）分式的加减，渗透类比思想.教学时鼓励学生用自己的语言（文字或数学符号）进行表述，根据学生掌握的实际情况引导总结归纳.教学中要提醒学生，进行分式加减时，要把分子看作一个整体.教学中带领学生分析，鼓励学生独立计算.异分母的分式通常是利用通分，转化为同分母分式在进行计算，其中蕴含了转化思想.通过做练习，让学生熟练掌握分式的加减运算，为下一节解分式方程奠定基础.板书设计教后反思从分数加减法引入，结合分式的通分，类比得出分式的加减法.本节的重点是分式加减法则的运用；易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．教学中，引导学生分析问题，鼓励学生独立自学，解决不了的问题在小组内讨论交流，然后师生共同探究解决.课题分式的混合运算课型新授课教学内容教材第103-104页的内容教学目标1.掌握分式加、减、乘（乘方）、除法的法则，并会运用法则进行分式加、减、乘（乘方）、除法的计算.2.能够运用分式加、减、乘（乘方）、除法法则来解决混合运算的实际问题．教学重难点教学重点：掌握分式加、减、乘（乘方）、除法的法则.教学难点：会利用分式的四则混合运算法则解决问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习，引入课题老师：我们一起回顾一下有关分式的加、减、乘、除、乘方法则. （师生互动）老师：接下来，同学们做一做下面2道题，想一想，有理数的混合运算的顺序.（1）12+12÷−14−32； （2）3²-5÷43−1.2名学生讲台板书计算.（1）12+12÷−14−32 （2）3²-5÷43−1 =12+12×−4−32 =9-5÷13 =12−2−32 =9-5×3 =−3 =-6老师：计算正确，其他同学对比一下自己的答案，下面我们请1名学生说一下有理数混合运算的顺序.学生：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的.同级运算按照从左到右的顺序进行.老师：回答的很好，很全面.那么结合有理数的混合运算法则，你能猜想将分式的乘除、乘方和加减运算混合在一起，应该怎么计算吗？2.探索新知，归纳知识老师：如何计算？请同学们先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.（留时间交流讨论）学生1：这道题包含的运算有：分式的乘方、分式乘法、分式减法和分式除法.老师：很好，知道了有什么运算，下面请1位同学猜想一下运算顺序，并计算一下.学生：我猜想是和有理数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减.下面是我的做法：老师：观察这位同学的计算，显然他的猜想是正确的.（老师总结）分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号里的运算.老师：下面我们再看一道有括号的分式混合运算.【教材例题】例6 计算：（x−1x−xx+1)−xx²−1÷(xx−1)².解：（x−1x−xx+1)−xx²−1÷(xx−1)² =x²−1−x²x（x+1）−xx²−1·（x−1）²x² =−1x（x+1）−x−1x（x+1） =−xx（x+1） =−1x+1. 老师：通过这两道题目相信大家已经掌握了分式混合运算的顺序，注意计算要正确，计算结果要化为最简分式或整式．3.学以致用，应用新知考点1 分式的混合运算【例1】计算：（教材P103练习）解：考点2 分式的化简求值【例2】先化简代数式eq \f(x2－2x＋1,x2－1)÷1－?? \?(3,?＋1)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．解：原式＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)÷?? \?(?＋1,?＋1)－?? \?(3,?＋1)＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)×eq \f(x＋1,x－2)＝eq \f(x－1,x－2)，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝eq \f(1,2).考点3 利用公式变形对分式进行化简【例3】 已知a＋eq \f(1,a)＝5，求eq \f(a2,a4＋a2＋1)的值．解：因为a＋eq \f(1,a)＝5，所以a＋?? \?(1,?)2＝25，即a2＋eq \f(1,a2)＝23，所以eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq \f(1,a2)＝23＋1＝24.所以eq \f(a2,a4＋a2＋1)＝eq \f(1,24).4.随堂训练，巩固新知(1)计算：①?? \?(3?,?－3)－?? \?(?,?＋3)·eq \f(a2－9,a)；②x＋?? \?(?,?2－1)÷2＋?? \?(1,?－1)－?? \?(1,?＋1)．③a²+2aa²−4−a−2a·2aa−2².解：①原式＝eq \f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）)·eq \f(（a＋3）（a－3）,a)＝2a＋12；②原式＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)÷eq \f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x2)＝eq \f(x,2).③原式=a(a+2)(a+2)(a−2)−a−2a·4a²(a−2)² =aa−2−4aa−2=−3aa−2.（2）先化简：，当b=3时，再从-2＜a＜2的范围内选取一个合适的整数a代入求值.在-2＜a＜2中，a可取的整数为－1，1，所以当b=3，a=－1时，原式的值是12；当b=3，a=1时，原式的值是14.5.课堂小结，自我完善分式的四则混合运算：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算也是先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号里的运算.6.布置作业课本P103习题9.2第4、7、8题.教学中引领学生共同回顾前面学习过的加、减、乘、除、乘方法则，这是学习分式混合运算的基础.通过让学生计算有理数的混合运算，回顾有理数混合运算的顺序，引出分式的混合运算.鼓励学生间的交流合作，经历猜想、尝试、归纳的过程，在这种独立探究的过程中体会分式的混合运算.教学中点评学生的计算过程，总结分式混合运算顺序，师生共同计算教材例题，在实际计算找那个梳理运算顺序，规范书写.课堂增加练习，巩固知识.把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.利用x和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．板书设计教后反思在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的混合运算法则，提高运算能力．注意在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率.课题分式方程及其解法课型新授课教学内容教材第105-107页的内容教学目标1.了解分式方程的概念.2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过2个），会检验根.3.在探究分式方程及其解法的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.教学重难点教学重点：理解并掌握掌握解分式方程的基本思路和解法.教学难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．教 学 过 程备 注1.回顾旧知，创设情景，引入课题回顾方程的概念，引出非整式方程（分式方程）.老师：同学们判断一下，下列哪些是方程？哪些是整式方程，哪些不是整式方程？(1) 2x+5=7； (2) 9x–5； (3) 6y+1>2y； (4) 7–2=5；(5) 4x+3y=3； (6) ； (7) .答案：是方程的有：(1)(5)(6)(7)，其中(1)(5)(6)等号两边都是整式，为整式方程.(7)等号两边不全是整式，含分式，不是整式方程.（给出章首引言中的问题，在实际问题中引出分式方程）为了满足经济高速发展的需求，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列出运行速度.在相距1 600 km的两地之间运行一列车，速度提高25%后，运行时间缩短了4 h，你能求出列车提速前的速度吗?老师：这是路程-速度问题，首先我们一起分析题意.设列车提速前的速度为x km/h，填写下表：(提问学生回答)路程速度时间提速前1 600kmx km/h1 600x h提速后1 600kmx(1+25%) km/h1 600x(1+25%) h老师：根据上面的表格，我们知道是路程不变，速度变大了，相应的所用时间就减少了，也就是条件中“运行时间缩短了4 h”，所以请同学们说一下可以得到怎样的等量关系？学生：提速前所用时间-提速后所用时间=4 h.可以列方程，得1 600x−1 600x(1+25%)=4.老师提问：如果设提速前所用时间为t h，那么又能得到什么样的方程呢？请同学们交流一下.学生：设提速前所用时间为t h，那么提速后的时间为(t-4)h.可以根据速度关系：提速前速度×(1+25%)=提速后速度，列方程，得1 600t×(1+25%)=1 600t−4.老师：同学们的分析与所列方程都很正确.2.探索新知，归纳知识老师：请同学们观察一下，这两个方程有什么共同的特点呢?学生：这两个方程都是只含有一个未知数，且分母中都含有未知数.老师：像这两个方程这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（随堂练习）判断一下，下面是分式方程的为______.答案：②④老师：知道了什么是分式方程，那么如何解分式方程呢？1 600x−1 600x(1+25%)=4可整理，得1 600x−1 60054x=4.老师提问：（1）这个方程和我们以前学过的方程有什么区别？这个方程的分母中含有未知数.（2）以前学过的方程中有分母时怎么解？以前是先去分母，再解方程.（3）对于这个方程该怎么解？尝试解答.同样先去分母，再解方程.(老师板书方程解法，让学生归纳解方程的步骤)解：方程两边同乘以最简公分母54x，得2 000-1 600=5x，解这个整式方程，得x=80.把x=80代入上述分式方程检验：左边=1 60080−1 60054×80=4=右边.所以x=80是该分式方程的解.因而，列车提速前的速度为80 km/h.学生：先去分母，化为整式方程，然后解整式方程（一元一次方程），最后验根（检验根的合理性）.老师总结：解分式方程的步骤如下：（1）去分母：方程的两边都乘以各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解方程：解这个整式方程；（3）验根：将整式方程的解代入原方程的最简公分母，看其是否为零；（4）下结论：舍去使公分母为零的增根.老师：你学会了解分式方程了吗？试试下面这个题：【探究】解方程2−xx−3=13−x−2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？学生：方程两边同乘以最简公分母x–3，得2–x=–1–2(x–3).解这个整式方程，得x=3.把x=3代入上述分式方程检验：方程中分式的分母为零，分式无意义，所以x=3不是原方程的根，原方程无解.(师生互动，带领学生阅读教材，讨论增根产生的原因和概念)对于上面我们探究的分式方程，x=3是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，像x=3这样的根，称为增根.解分式方程时可能产生增根，所以必须验根.老师：同学们可以用自己的语言说一下增根的概念.学生：使公分母等于0的未知数的值就是这个分式方程的增根.老师：产生增根的原因呢？学生：因为在去分母时，在分式方程的两边同时乘以一个等于0的整式，所以得到的根使分式方程无意义.老师：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．【教材例题】例1 解方程：x−1x+3−2=x3−x.（学生自己解，老师最后出示答案，纠正错误）解:方程两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3），得（x-1）（x-3）-2（x+3）（x-3）=-x（x-3）.展开，得x²-4x+3-2x²+18=-x²-3x.解方程，得x=21.检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0.因而，原方程的根是x=21.老师最后做总结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根.（给出下面图示）3.学以致用，应用新知考点1 列分式方程【例1】（教材P109习题9.3T1）某地修建一条轻轨铁路，要使工程提前3个月完成，需将原定的工作效率提高12%.如果设原计划完成这项工程用x个月，那么x应满足怎样的方程？答案：1x×(1+12%)=1x−3考点2 解分式方程【例2】 解方程：(1)eq \f(5,x)＝eq \f(7,x－2)； (2)eq \f(1,x－2)＝eq \f(1－x,2－x)－3.解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，去括号，得5x－10＝7x，移项、合并同类项，得2x＝－10，系数化为1，得x＝－5.检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，所以x＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2.检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，所以原方程无解．考点3 由分式方程的解确定字母的取值范围【例3】关于 x 的方程的解是正数，则a的取值范围是_________.解析：去分母得 2x＋a＝x-1，解得 x＝-a-1.因为关于x的方程的解是正数，所以x＞0且x≠1.所以-a-1＞0且-a-1≠1，解得a＜-1且a≠-2.答案：a＜-1且a≠-2考点4 与分式方程的增根相关的问题【例4】 若关于 x 的方程有增根，求 m 的值.解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4.所以m=3x-6.因为该分式方程有增根，所以x-2=0，即x=2.所以m=0.4.随堂训练，巩固新知（1）解下列分式方程：解：①方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4，解得x=1.检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原分式方程的解，则原分式方程无解. ②方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x，解得x=1.5.检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0，所以原分式方程的解是x=1.5. ③原分式方程可化为x+1（2x+1）（2x−1）=32x+1−22x−1 ,方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ，解得x=6，检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，所以原分式方程的解是x=6. （2）如果关于x的分式方程eq \f(2,x－3)＝1－eq \f(m,x－3)有增根，则m的值为( )A．－3 B．－2 C．－1 D．3答案：B（3）若关于x的分式方程eq \f(2,x－2)＋eq \f(mx,x2－4)＝eq \f(3,x＋2)无解，求m的值．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2.当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10，解得m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(-2)＝－10，解得m＝6.所以m的值是1，－4或6.5.课堂小结，自我完善（1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（2）分式方程的解法：一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程.（3）增根：像x=3这样的根，是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，称为增根.（也可以说是使分式方程的公分母为0的未知数的值）6.布置作业课本P107练习第1-2题，P109习题9.3第2、3题.通过回顾方程，观察出整式方程和分式方程的区别，从而自然过渡到分式方程的概念.教学中引领学生思考实际问题，以提问引导的方式进行.通过此部分设计，使学生感知研究分式方程在实际生活中的必要性.鼓励学生从不通的角度分析问题、解决问题，拓展学生的思维.及时巩固分式方程概念问题，加强易错点的点拨.（π是实数，不是字母）通过一步一步提问的分式引导学生，由含分母的整式方程的解法类比得到分式方程的解法.鼓励学生根据教师的板书过程，分组交流讨论、总结出解分式方程的步骤.带领学生探究分式方程有无解可能性，以及体会验根的必要性.先引入有解的分式方程，再引入无解的分式方程，最后解释为何会存在无解，从而表明需要验证，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.让学生巩固解分式方程，鼓励学生交流、讨论，能自我纠正或互相纠正错误.带领学生明白，等式两边同乘一个整式，方程的解不变（这个结论的前提是这个整式是非零的）.解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．板书设计1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤教后反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法，来学习分式方程的解法，从而归纳出解分式方程的基本步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要验根，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验的必要性，避免解题出错．课题分式方程的应用课型新授课教学内容教材第107-109页的内容教学目标1.会列分式方程解决实际问题.2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理．3.通过分式方程的应用的学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问题与解决问题的能力.教学重难点教学重点：理解实际问题，设合适的未知数，列分式方程解决实际问题.教学难点：正确找出实际问题中的等量关系，列分式方程解决实际问题．教 学 过 程备 注1.回顾复习（老师提问，引导学生集体回答，复习旧知）老师：解分式方程的基本思路是什么？学生：把分式方程去分母，转化为整式方程再求解.老师：说一下解分式方程的步骤.学生：①去分母化为整式方程，②解整式方程，③检验整式方程的根，④写出答案.老师：你们是怎么验根的？学生：把整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中，看公分母的值是否为零，若不为零，则是分式方程的根，若为零，则是增根，原分式方程无解.老师提问：我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？学生1：行程问题：路程 = 速度×时间.学生2：工程问题：工作总量 = 工作时间×工作效率.学生3：销售利润问题：批发成本 = 批发数量×批发价；销售利润=销售收入－成本；利润率 = 利润÷进价（或成本）.学生4：数字问题：两位数ab可以表示为10a+b.学生5：……老师：知道了这些实际问题相关的关系式，接下来我们学习分式方程的应用，就可以根据关系式列分式方程.2.创设情景，归纳知识老师：我们首先看一下教材中例2，虽然看上去是一道分式方程的应用问题，实质上是解分式方程.【教材例题】例2 有一并排电路，如图，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者关系为：1R=1R1+1R2.若已知R1，R2，求R.解:方程两边同乘以R1R2R，得R1R2=RR2+RR1，即R1R2=R（R1+R2）.因为R1，R2都是正数，所以R1+R2≠0.两边同除以（R1+R2），得R=R1R2R1+R2.老师：通过上面这个题目，我们知道，像物理中的一些公式可以利用解分式方程的方法进行变形，这说明了分式方程的重要性.接下来我们看一下分式方程的应用问题.同样借助例题讲解.例3 七年级甲、乙两班师生前往郊区参加义务植树活动，已知甲班每天比乙班多种10棵树，如果分配给甲、乙两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？老师：仿照上节课初学分式方程时的分析，同学们自己分析一下题意.（交流讨论）学生：设乙班每天植树x棵，那么甲班每天植树（x+10）棵，列表格分析：植树任务每天植树量植树天数甲班150棵（x+10）棵150x+10天乙班120棵x棵120x天老师：同学列表格分析的很清楚，那么根据题目要求“两班同时完成任务”，可以列方程（学生集体回答，老师板书）150x+10=120x.老师：找一位同学按照上节课解分式方程的步骤解这个方程.学生：方程两边同时乘以x(x+10)，得150x=120(x+10)，解这个方程，得x=40.检验：x=40是原方程的根.此时x+10=50.因而，当乙班每天植树40棵，甲班每天植树50棵时，两个班能同时完成任务.老师：很好，解决实际问题的题目，最后要记得加上“结论”.老师：根据解决上面这个题，同学们能总结出列分式方程解应用题的一般过程吗？学生：首先设未知数，然后列方程，解方程，再检验，最后作答.老师：很好，接下来我们一起梳理一下.（师生互动）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；列：找出题中的等量关系，正确列出分式方程；解：解所列分式方程；验：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意；答：写出答案.3.学以致用，应用新知考点 分式方程的应用【例1】行程问题甲、乙两火车站相距1 200千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3倍，从甲站到乙站的时间缩短了10小时，求列车提速后的速度．解：设列车提速前的速度为x km/h，由题意，得1 200x−1 2003x=10，解得x＝80.检验：x＝80是原分式方程的解，此时3x=3×80＝240.答：列车提速后的速度是240 km/h．【例2】 工程问题安徽省某市计划建一个绿色休息区，若甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3天才能完成．现甲、乙两队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，4天后完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少天？解：设甲队单独完成需要x天，则乙队需要(x＋3)天．由题意，得2x+2+4x+3＝1，解得x＝6.检验：x＝6是方程的解．此时x＋3＝9.答：甲队单独完成全部工程需6天，乙队单独完成全部工程需9天．【例3】销售购物问题小明和同学去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比文学书少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？ 解:设文学书的价格是本x元/本，则科普书1.5x元/本.根据题意，得15x−151.5x=1，解得x = 5.检验：x = 5是所列方程的根.此时1.5x=1.5×5=7.5.答:文学书的价格是每本5元，科普书每本7.5元.【例4】销售盈亏问题佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1 200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1 452元所购买的数量比第一次多20 kg，以每千克9元售出100 kg后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意，得eq \f(1452,1.1x)－eq \f(1200,x)＝20，解得x＝6.检验：x＝6是原方程的解．答：第一次水果的进价是每千克6元.（2）第一次购买水果1200÷6＝200（kg）．第二次购买水果200＋20＝220（kg）．第一次赚钱为200×（8－6）＝400（元），第二次赚钱为100×(9－6.6）＋120×(9×0.5－6.6）＝－12（元）．所以两次共赚钱400－12＝388（元）．答：该果品店在这两次销售中，总体上赚钱了,共赚了388元．4.随堂训练，巩固新知（1）某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月份的水费15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.解：设去年用水的价格为x元/m3，则今年的水价为1+13x元/m3.由题意，得301+13x−15x=5，解得x=1.5.检验：x=1.5是所列方程的根.此时1+13x=1+13×1.5=2.答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.（2）甲、乙两班同学参加“绿化祖国”植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵所用的时间相等，问：甲、乙两班每小时各种多少棵树？解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵，根据题意，得60x=66x+2.解这个方程，得x＝20.检验：x＝20是原方程的根．此时x+2＝20+2＝22．所以甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．（3）甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个机器零件．求甲、乙每小时各做多少个零件．解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（35﹣x）个零件．根据题意，得90x=9035−x，解得x＝15．检验：x＝15是原方程的解．此时35－x=20.答：甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件．5.课堂小结，自我完善列分式方程解应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；列：找出题中的等量关系，正确列出分式方程；解：解所列分式方程；验：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意；答：写出答案.6.布置作业课本P108练习第2-3题，P109习题9.3第5、6题.带领学生回顾旧知，鼓励学生独立思考，积极回答，为下面分式方程的应用做计算基础.以提问的形式，使学生回顾以前学过的应用类型.这是一个应用解分式方程的方法进行物理学公式的变形问题，其主要目的是加强学科的融合与联系，为其他学科中公式的变形作准备.以学生常见的植树问题为背景，方便学生理解.鼓励学生交流合作，初学阶段列表格分析问题，可以降低学生思考难度，有利于学生正确找到问题中的等量关系.引导学生根据解决问题的过程总结解决实际问题的一般步骤，培养学生归纳、总结能力.通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性,以及回顾实际问题的几种模型.进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过小结让学生进一步熟悉、巩固本节课所学的知识.板书设计教后反思本节课分式方程的应用，教学中要充分调动学生学习的积极性，使学生自主学习、探索，采用提问引导、小组合作探究以及讲练相结合的教学方式．通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程.
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