湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共18页。

（本试卷共8面，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填入题后的括号内．
1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. 清华大学 B. 北京大学
C. 中国人民大学 D. 浙江大学
答案：B
解析：解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解： A、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
B、是分式，故此选项正确，符合题意；
C、是单项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
D、是多项式，属于整式，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为m，用科学记数法表示，则n为（ ）
A. B. C. 5D. 6
答案：B
解析：解：；
∴n；
故选B．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
5. 如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A. 105°B. 90°C. 75°D. 60°
答案：C
解析：解：∵，
∴，
故选C．
6. 若，则下列分式化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：当，时，
，，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
而 故C符合题意；
．故D不符合题意
故选：C．
7. 下列各等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：A.，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：D．
8. 多边形内角和为，那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线条数是（ ）
A. 12条B. 10条C. 9条D. 8条
答案：C
解析：解：由题意，，
解得，
∴一个顶点引出的对角线条数是；
故选：C．
9. 利用图形中阴影部分的面积与边长a，b之间的关系，可以验证某些数学公式．例如，根据图①，可以验证两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，根据图②能验证的数学公式是( )
A. (a－2b)2＝a2－4ab＋4b2
B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2
C. a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D. (a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2
答案：B
解析：解：（a-b）2=a2-2ab+b2．
∵图②阴影部分的面积=（a-b）2，
还可以表示为a2-2b(a-b)-b²= a2-2ab+b2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2．故选B.
10. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（ ）

①；②；
③；④；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：D
解析：解：∵是高，
∴．
∴，①正确；
∵是中线，
∴．
令中边上的高为h，
∴,②正确；
∵
∴.
∵是角平分线，
∴．
∴，③正确；
如图，过点E作，垂足为H，I，
∵是角平分线，
∴．

．④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把正确答案填在题后的横线上．
11. 如果三角形的两边分别为3和5，那么它的第三边的值可能是_________．（写一个即可）
答案：3（答案不唯一）
解析：解：由题意得，，即，
故答案为：3（答案不唯一）．
12. 计算_________．
答案：##
解析：解：
．
故答案为：．
13. 如图，C处在B处的北偏西方向，C处在A处的北偏西方向，则的度数为__________．

答案：##度
解析：解：如图，，

，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
答案：
解析：解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
15. 如图，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．
答案：14
解析：解：如图所示，连接AE，BP，
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
∴，，
在中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时，的值最小，最小值等于BC的长，
∴周长的最小值，
故答案为：14．
16. 如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是____________．

答案：或
解析：解：，，，，
，
由折叠得：，，
当时，，
，
是等边三角形，
，
；
当时，，
在中，，
，
；
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
；
小问2解析：
．
18. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：
；
小问2解析：
解：
．
19. 先化简，然后从取一个合适的值作为x的值代入求值．
答案：，
解析：解：原式
在，
∵或1时，原式无意义，
∴当时，
原式．
20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点 A、C的坐标分别为．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出关于 y 轴对称的；
（3）点的坐标为 ．
（4）的面积为 ．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）4
小问1解析：
如图，
小问2解析：
如图，即为所求．
小问3解析：
由图可知，．
故答案为：．
小问4解析：
．
故答案为：4．
21. 如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG．求证：△MNG是等边三角形．
答案：见解析
解析：证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
22. 如图，点C在线段AB上，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED．
（1）尺规作图：过点C作射线CF平分∠DCE交DE于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在第（1）问已作出射线CF的条件下，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
答案：（1）见解析；（2）
解析：解：（1）以为圆心，以任意长为半径画弧交、于两点
分别以为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，交于点，如下图：
（2）∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴为等腰三角形
由（1）得平分
∴．
23. 疫情期间，为满足市民防护需求，某药店购进A、B两种口罩，A型口罩的每盒进价比B型口罩的每盒进价便宜10元，某商家用8000元购进B型口罩和6000元购进的A型口罩盒数相同．
（1）每盒A型口罩和每盒B型口罩的进价分别是多少元?
（2）药店在销售过程中，将B型口罩的每盒售价在进价的基础上提高30%进行销售，每天卖出50盒，经过市场调研发现，在每盒售价基础上每减少1元，每天可以多卖出2盒
①若药店将每盒B型口罩在售价基础上降低5元，则当天B型口罩每盒的售价是__________；总销售量是___________；当天药店B型口罩的总销售额是__________．
②若药店将每盒B型口罩在售价基础上降低元（若，且为整数），请你用含的代数式表示当天药店销售B型口罩获得的总利润．
答案：（1）每盒A型口罩和每盒B型口罩的进价分别是30元,40元
（2）①47元，60盒，2820元；②
小问1解析：
解：设每盒A型口罩进价是x元, 每盒B型口罩的进价为元，则
解得，经检验，是方程的解，
；
答：每盒A型口罩和每盒B型口罩的进价分别是30元,40元．
小问2解析：
解：①降低5元，每盒的售价是（元）；总销售量为（盒）；总销售额为（元）；
②每盒B型口罩在售价基础上降低元（若，且为整数），则总利润为
．
24. （1）如图1，四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线；
（2）如图2，若将题（1）中“”改为“”，其它条件不变，题（1）的结论还成立吗？若成立请写出证明过程，若不成立，说明理由
（3）在（2）的条件下若，，，求的长．

答案：（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）4
解析：（1）如图，延长，交的延长线于点，
∵，
∴．
∴．
又，
∴．
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
∴
∴是的角平分线．

（2）成立．同（1）延长，交的延长线于点，

∵，
∴．
∴．
又，
∴，
∴，．
∵平分，
∴．
∴．
∴
∴是的角平分线．
（3）由（2）知，中，，
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴
中，∵，
∴．
∴．
25. 如图所示，在平面直角坐标系中，轴于点B，轴于点D．点，，且a，b满足．

（1）如图1，求证：；
（2）如图1，若，在x轴上是否存在点F，使是以CO为腰的等腰三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点．
答案：（1）见解析 （2），或，或；
（3）见解析
小问1解析：
证明：，
，
∴，，
，，
，
轴于点B，轴于点D，
，，
，，
；
小问2解析：
解：在轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下，
当时，则点，或，，
当时，
，
，
，
点，
综上所述：点，或，或；
小问3解析：
证明：如图2中，过作，交于，

轴，轴，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点．