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    河南省郑州市基石中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

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    河南省郑州市基石中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

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    这是一份河南省郑州市基石中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题,文件包含高二数学月考参考答案docx、高二数学月考试卷docx、高二数学月考答题卡pdf等3份试卷配套教学资源,其中试卷共11页, 欢迎下载使用。
    【分析】利用基本初等函数导数公式求解即可.
    【详解】由,得,
    故选:A.
    2.C
    【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
    【详解】
    设,由图可得,
    而,
    故,
    故选:C.
    3.B
    【分析】求函数在处的导数即可.
    【详解】因为,
    所以
    曲线在点处的切线的斜率为.
    故选:B
    4.【答案】D
    5.B
    【解析】求出导函数,代入即可求解.
    【详解】函数的导数为,
    则.
    故选:B.
    6.A
    【分析】每人都有3种选法,结合分布计数原理即可求解.
    【详解】由题可知,每名同学都有3种选法,故不同的选购方式有种,经检验只有A选项符合.
    故选:A
    7.【答案】C
    8.A
    【分析】根据给定条件,利用二项式定理求出的系数.
    【详解】在的展开式中,项为,
    所以的系数为.
    故选:A
    9.BCD
    【分析】根据排列的定义判断即可.
    【详解】对于A:不存在顺序问题,不是排列问题;
    对于B:存在顺序问题,是排列问题;
    对于C:两个数相除与这两个数的顺序有关,是排列问题;
    对于D:车票使用时有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题.
    故选:BCD
    10.【答案】A,B,C
    11.AD
    【分析】对于AB,根据对数函数和余弦函数的求导公式判断即可,对于C,根据指数函数的求导公式即可,D选项根据幂函数的求导公式即可.
    【详解】对A,若,则,正确
    对B,若,则,错误;
    对C,,则,错误;
    对D,若,则,正确.
    故选:AD.
    12.ACD
    【分析】利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误.
    【详解】A:,正确;
    B:,错误;
    C:,正确;
    D:,正确;
    故选:ACD
    13.
    【分析】根据导数的几何意义求解即可.
    【详解】,,,
    故函数的图象在点处的切线方程为,即.
    故答案为:
    14.
    【分析】变形函数,利用求导公式及法则求解即得.
    【详解】依题意,函数,
    所以.
    故答案为:
    15.【答案】156
    16./2.25
    【分析】对位移与时间的函数关系求导,代入即可求解.
    【详解】,则.
    故答案为:.
    17.(1)
    (2)函数在上单调递减,在上单调递增
    【分析】(1)利用导数的几何意义求出斜率,写出方程即可.
    (2)含参讨论函数单调性即可.
    【详解】(1)当时,,故,
    此时函数在处的切线方程为:.
    (2)由题意,的定义域为,

    则当时,单调递增;当时,单调递减.
    故函数在上单调递减,在上单调递增.
    18.(1)
    (2)
    【分析】(1)(2)由二项式定理求解.
    【详解】(1)由题意可得,,解得;
    (2),
    二项展开式的通项为
    由,得.
    展开式中的系数为.
    19.(1)12
    (2)
    【分析】(1)利用分类加法计数原理进行求解;
    (2)利用分步乘法计数原理进行求解.
    【详解】(1)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会,结果可分为3类:
    第一类,选一名教师主持,有3种选法;
    第二类,选一名男同学主持,有4种选法;
    第三类,选一名女同学主持,有5种选法.
    根据分类加法计数原理,共有种不同的选法.
    (2)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会,可分3步:
    第一步,选出一名教师,有3种选法;
    第二步,选出一名男同学,有4种选法;
    第三步,选出一名女同学,有5种选法,
    以上3个步骤依次完成后,事情才算完成.
    根据分步乘法计数原理,共有种不同的选法.
    20.(1)24
    (2)10
    【分析】(1)利用分步乘法计数原理求不同的取法;
    (2)利用分类加法计数原理求不同的取法;
    【详解】(1)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3个步骤完成:
    第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法,
    第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法,
    第3步从第3层取1本体育书,有2种方法,
    根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是.
    (2)分为3类:第1类取两本计算机书有6种取法;
    第2类取两本文艺书有3种取法;
    第3类取两本体育书有1种取法;
    不同取法的种数共有.
    21.【答案】(1)解:设数列{an}的公差为d,
    则a3=a1+2d=5a7=a1+6d=13,
    解得a1=1d=2,
    故an=1+(n−1)×2=2n−1.
    (2)解:由(1)知an=2n−1,
    则bn=1(2n+1)an=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1),
    所以Sn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=12(11−13)+12(13−15)+⋅⋅⋅+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1.
    22.(1)极小值为a﹣1﹣alna;(2)证明见解析;(3)[﹣3,0).
    【解析】(1)求出原函数的导函数,然后对分类求解函数的极值;
    (2)由(1)知,当时,函数在上是增函数,而(1),可得当时,,与恒成立相矛盾;当时,函数在上是增函数,在上是减函数,结合(1),可得若对恒成立,则;
    (3)设,则等价于函数在区间,上是减函数即使在,上恒成立,然后利用分离法将分离出来,从而求出的范围.
    【详解】(1),
    若,则在上恒成立,在上单调递增,原函数无极值;
    若,则当时,,当时,,
    在上为减函数,在上为增函数,
    则的极小值为(a);
    (2)由(1)知,当时,函数在上是增函数,
    而(1),当时,,与恒成立相矛盾,
    不满足题意;
    当时,函数在上是增函数,在上是减函数,
    (a)
    (1),当时,(a)(1),此时与恒成立相矛盾.

    (3)由(2)可知,
    当时,函数在,上是增函数,又函数在,上是减函数,
    不妨设,
    则,
    ,即.
    设,
    则等价于函数在区间,上是减函数.
    ,在,上恒成立,
    即在,上恒成立,即不小于在,内的最大值.
    而函数在,是增函数,的最大值为.

    又,,.
    【点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.

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