2024年广东省江门市第二中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A. 运出30吨粮食B. 亏损30吨粮食C. 卖掉30吨粮食D. 吃掉30吨粮食
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
2. 河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸．以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形特点逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 亚投行候任行长金立群月日在北京表示，亚投行将在月底前正式成立，计划在年第二季度开始试营，计划总投入亿美元，中国计划投入亿美元，折合人民币约亿元，将亿元用科学记数法表示为( )元．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故选C．
4. 如图，已知直线a，b被直线c所截，下列属于同旁内角是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查同位角、对顶角、内错角和同旁内角的定义，根据各自定义逐项判断即可．
【详解】解：A、与属于同位角，故本选项不符合题意；
B、与属于对顶角，故本选项不符合题意；
C、与属于内错角，故本选项不符合题意；
D、与属于同旁内角，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 计算的结果是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是分式的加减，先通分最简公分母是，再根据分母不变，把分子相加减约分后可得答案．
【详解】解：原式
，
故选：A．
6. 有张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式．根据概率公式求解即可．
【详解】解：张卡片中，属于物理变化的有水结成冰，灯泡发光两种，
从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是，
故选：B．
7. 将如图所示放置的一个直角三角形，（），绕斜边旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（ ）

A. B.
C.
D.

【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面图形旋转后得到立体图形的正视图，先根据旋转的性质得到空间几何体，然后从正面得到正视图，根据旋转得到几何体是解题的关键．
【详解】解：绕斜边旋转一周，所得到的几何体是两个圆锥的组合体，
它的正视图是两个等腰三角形，三角形之间有一条虚线段，
如图：
故选：C．
8. 利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：∵
∴
即
∴
故选：D
9. 如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：，，
∴，
∵，
，
为的直径，
，
在中，，
∴，
故选：A．
10. 已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据①，分别判断和时抛物线与x轴交点情况；根据②可得时y值为负，结合②③判断a为负，排除A、B选项；再根据C、D选项中对称轴的位置，与y轴的交点位置，判断是否满足，即可得出答案．
【详解】解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③，
由①知，当时，，抛物线与x轴有两个交点，当时，，抛物线与x轴没有交点，
由②可知，当时，，
由③可知，，
又，
，
抛物线开口向下，与x轴没有交点，
排除AB选项；
由选项C的图象可知，抛物线与y轴的交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，
，，
，
，与③矛盾，
排除C选项；
由选项D的图象可知，抛物线与y轴的交点在负半轴，对称轴在y轴左侧，
，，
，
，
有可能满足③，
故满足条件的图象可能是D中的图象，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的对称轴等，有一定难度．见，应想到；见，应想到时，，注意数形结合是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 因式分解：_________________．
【答案】
【解析】
【分析】提公因式法和应用公式法因式分解．
【详解】解： ．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
12. 若实数、满足，则____.
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查二次根式的非负性，绝对值的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
13. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，那么这个角的度数是________．
【答案】45
【解析】
【分析】设这个角为，表示出其余角，补角，列式计算即可．本题考查了余角即两个角的和为，补角即两个角的和为，熟练掌握余角，补角表示方法是解题的关键．
【详解】解：设这个角为，则，
∴，
故这个角为，
故答案为：45．
14. 学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压、电流、电阻三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：．由此可得，当电阻时，电流______A．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到的值是一个定值，然后将代入函数解析式，求出的值即可．
【详解】解：由题意可得，
，由表格可知：当时，，
，
解得，
，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值．
15. ，，…均为等腰直角三角形，依次如图方式放置，点和分别在直线和x轴上，则的坐标为________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了直线上点的坐标的变换规律，利用枚举法，计算发现规律解答即可．
【详解】∵，，…均为等腰直角三角形，在直线上，
∴即，，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴即，
…
∴，
故答案为：．
三、解答题（一）（共3题，16题10分，17、18题各7分，共24分）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
17. 河对岸有铁塔，在C处测得塔顶A的仰角为，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为，求铁塔的高（参考数据：，，结果保留整数）．
【答案】铁塔的高约为19米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，先解得到，再解得到，据此可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴铁塔的高约为19米．
18. 如图，在中，，点为的中点，为一条射线．
（1）请用尺规作图法，作的角平分线，交于点（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，，连接，则的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理；熟练掌握“等腰三角形的底边上的中线和底边上的高重合；角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得；根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得，可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
如图，
【小问2详解】
∵，点为的中点，
∴，即，
又∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
故是等腰直角三角形，
∴；
则．
故答案为：．
四．解答题（二）（共3小题，每题9分，共27分）
19. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（写出必要的计算过程）
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
【答案】（1）280名
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用树状图或列表法求概率，能从统计图中找到相关信息是解答的关键．
（1）用关注“平等”的人数除以其所占的百分比求解即可；
（2）求出关注“互助”和“进取”的人数，进而补全统计图即可；
（3）画出树状图得到所有等可能的结果，再找到满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（名），
答：这次调查的学生共有280名；
【小问2详解】
解：关注“互助”的人数为（名），关注“进取”的人数为（名），
补全条形统计图，如图所示，
【小问3详解】
解：由题意，学生关注最多的两个主题是“感恩”和“进取”，即“C”和“E”，
列树状图如下：
由图知，共有20种等可能的结果数，其中恰好选到“C”和“E”有两种，
所以恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率．
20. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】（1）A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元
（2）至少需购买A型垃圾桶120个
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用．
（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得，
解得，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
【小问2详解】
设A型垃圾桶a个，
由题意可得∶ ，
解得：，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
21. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：，
可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为______________；
（2）分式不等式的解集为_______________；
（3）解一元二次不等式．
【答案】（1）或
（2）或
（3）
【解析】
【分析】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则．
（1）利用因式分解法得到，把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可；
（2）把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可；
（3）把原不等式可转化为①或②，然后解两个不等式组即可．
【小问1详解】
解：，
可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或，
故答案为：或．
【小问2详解】
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
的解集为或，
故答案为：或．
【小问3详解】
解：∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
①，②，
解不等式组①，得，解不等式组②无解，
的解集为，
即一元二次不等式的解集为．
五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）OB最小值为；（3）能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
由任务1设抛物线解析式为：，代入，即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：，代入即可求抛物线解析式，从而求的值；在任务3中，设，则，代入对应的抛物线解析式即可．
【详解】任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
23. 如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G，以为底边在下方作等腰，且．

（1）如图①，若点H恰好落在上，连接，．
①求证：；
②若，，求的面积；
（2）如图②．点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）①证明见解析；②10；
（2）
【解析】
【分析】（1）①如图1，过点E作，先证明，得到，再根据三线合一性质，得到，，然后证明四边形是矩形，进而推出，得到，得到正方形，即可证明结论；
②如图2，先根据正方形和等腰三角形的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得到，根据正切值，得到，根据全等三角形的性质可知，，设，求解出，最后利用勾股定理，求得，即可求出的面积；
（2）如图3，过点H作于点P，过点E作于点Q，连接、，同理可证，，四边形是矩形，推出正方形，得到，进而得到，设，则，，构建二次函数，求出的最大值为，即可得到答案．
【小问1详解】
①证明：如图1，过点E作交于点M，

四边形是矩形，
，
，
点E为边的中点，
，
在和中，
，
∴，
，
∴点E为中点，
∵是等腰直角三角形，
， ，
∴，
∵，
∴四边形矩形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
，
矩形是正方形，
∴，
；
②解：如图2，与相交于点N，

矩形是正方形，
，
，，
∴，
，
，
，
，
∴，
∵，，
，
设，则，，
，
∴，
∴，，
由勾股定理得：，
∵是等腰直角三角形，
，
∴；
【小问2详解】
如图3，过点H作于点P，过点E作于点Q，连接，，

同理可证，，四边形是矩形，
∴，，
矩形是正方形，
，
∵，点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
，
，
时，有最大值，最大值为，
∵，
四边形面积的最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题关键是寻找全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．如何设计喷泉安全通道？
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
素材3
安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
问题解决
任务1
确定喷泉形状．
在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐
标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2
确定喷泉跨度的最小值．
若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限．
现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道
上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人
的最大身高为多少？（精确到）