江苏省南通市海安市海陵中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题纸相应位置上）
1. 下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，，C. 1，1，2D. 5，12，15
2. 如图，在中，，，，则的周长为（ ）

A. B. C. D.
3. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
4. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 对角线相等的菱形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
D. 有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
5. 如图，四边形中，，，，，则（ ）．
A. 20B. 25C. 35D. 30
6. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是( )
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 无法判断
7. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对边平行B. 对边相等
C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
8. 如图，四边形是菱形，于点H，若，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
9. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
10. 如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（本大题共有8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，合计30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
11. Rt△ABC的两条直角边的长分别为4、5，则它的斜边长为________．
12. 如图，在菱形中，，则的度数是_____．

13. 如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB=3，AE=1，则BC=____．

14. 我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.
15. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是正方形外部一点，以为边作正方形，与相交于点M，与相交于点N，若，，则四边形OMBN的面积为 _____．

16. 如图，已知正方形的边长为2，点E是边的中点，点是对角线上的一个动点，则线段的最小值是 _______________．
17. 在平面直角坐标系中，已知点，，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是______．
18. 如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则______．

三、解答题（本大题共有6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 如图，在中，．

（1）求的长；
（2）求的面积．
20. 如图，已知线段，且，求作矩形．小明的作法如下：①以A为圆心，长为半径画弧；②以C为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点D，连接．于是就作出了矩形．
（1）尺规作图补全图形；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
（2）补全下述证明过程：
∵，______．
∴四边形是平行四边形．
又∵ ，
∴平行四边形是矩形．（_______）
21. 在，对边分别为a，b，c，，
（1）如果，求b、c的长度；
（2）如果，求a、b的长度．
22. 如图，已知在平行四边形中，点E，F是对角线上的两点，且，分别连接．求证：四边形是平行四边形．
23. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边落在对角线BD上，点A落在点A′处，折痕为DG，求AG的长．
24. 如图，同学们想测量旗杆高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处，作垂直于点．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度；
（2）在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度．
25. 如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．

（1）求证；
（2）连接，取中点，连接并延长交于，连接．
①依题意，补全图形：
②求证；
③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．
26. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．