2024年安徽省滁州市凤阳县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年安徽省滁州市凤阳县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024的倒数是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.初步核算2023年安徽省全省生产总值(GDP)为47050亿元，比上年增长5.8%，将数据47050亿元用科学记数法表示为( )
A. 4.705×1012B. 4.705×108C. 47050×108D. 0.4705×1012
3.下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. 2x2−x2=x2C. x2⋅x3=x6D. (x2)3=x5
4.如图是一种六角螺栓的示意图，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
5.将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放(直角顶点重合)，已知∠AOC=45°，则∠DEB的度数是( )
A. 20°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
6.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. x2−x−2=x(x−1)−2B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2)D. x−2=x(1−2x)
7.某校举行演讲比赛，计划在九年级选取1名主持人，报名情况为：九(1)班有2人报名，九(2)班有4人报名，九(3)班有6人报名.若从这12名同学中随机选取1名主持人，则九(1)班同学当选的概率是( )
A. 112B. 13C. 12D. 16
8.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是( )
A. 25°B. 60°C. 65°D. 75°
9.若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx−k的图象只能是图中的( )
A. B. C. D.
10.如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG=4，CF=3，则AE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算：38−|2− 2|=______
12.写出命题“如果ab=0，那么a=0或b=0.”的逆命题：______．
13.如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是______．
14.在矩形ABCD中，AB=4，点E为边AD上一点，AE=3，F为BE的中点，
(1)EF= ______；
(2)若CF⊥BE，CE、DF相交于点O，则OCCE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算(−2024)0−2tan45°+|−2|+ 9．
16.(本小题8分)
某商店在2019年至2021年期间销售一种礼盒.2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完，2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
(1)2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−4,−1)，B(−2,−4)，C(−1,−2)．
(1)请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于直线y=−x对称的△A2B2C2；
(3)线段B1B2的长是______．
18.(本小题8分)
【观察思考】如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点ABCDE把原五边形分割成一些三角形(互相不重叠)．

【规律总结】
(1)填写下表：
【问题解决】
(2)原五边形能否被分割成2023个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点；若不能，请说明理由．
19.(本小题10分)
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCD，培育绿植销售，空地南北边界AB/​/CD，西边界BC⊥AB，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点D的北偏东48°方向，BC=780米，求空地南北边界AB和CD的长(结果保留整数，参考数据：tan48°≈1.1，tan58°≈1.6)．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AE=3，EF=1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
21.(本小题12分)
据人民日报客户端消息，2022年11月30日7时33分，神舟十四号航天员乘组顺利打开“家门”，热情欢迎神舟十五号航天员乘组入驻“天宫”，胜利“会师”！某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分100分.竞赛成绩如图所示：

(1)你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由；
(2)请根据图表中的信息，回答下列问题．
①表中m= ______、n= ______．
②现要给成绩突出的年级领奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级领奖？
(3)若规定成绩100分获特等奖，90分获一等奖，80分获二等奖，直接说出哪个年级的获奖率高？
22.(本小题12分)
如图，在△ACB中，BA=BC，∠ABC=90°，点D为BC边的点，点F是AC边上的点，AF：FC=2：1，连接DF，且∠AFB=∠CFD．
(1)求证：BD=CD；
(2)求证：BF+DF=AD；
(3)连接CE，求BECE的值．
23.(本小题14分)
如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M.DE⊥BC于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段DE长度的最大值；
(3)连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2024的倒数是12024；
故选：C．
根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：47050亿=4705000000000=4.705×1012．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示形式，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、2x2−x2=x2，故此选项符合题意；
C、x2⋅x3=x5，故此选项不符合题意；
D、(x2)3=x6，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：该几何体的主视图如图，
故选：B．
根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解∵∠AOC=45°，∠C=45°，
∴∠AFD=∠CFO=90°，
在△AEF中，
∵∠A=30°，∠AFE=90°，
∴∠AEF=60°，
∴∠DEB=∠AEF=60．
故选：D．
根据三角形的外角的性质和三角形内角和定理解答即可．
本题主要考查了三角形的外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A.x2−x−2=x(x−1)−2，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故A不符合题意；
B.(a+b)(a−b)=a2−b2，是整式的乘法，不是因式分解，故B不符合题意；
C.x2+3x+2=(x+1)(x+2)，把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，是因式分解，故C符合题意；
D.x−2=x(1−2x)，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D不符合题意．
故选：C．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，分解要彻底．
7.【答案】D
【解析】解：∵九(1)班有2人报名，九(2)班有4人报名，九(3)班有6人报名，
∴共有12名同学，
∵九(1)班有2名，
∴P=212=16；
故选：D．
用一班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=25°，
∴∠CAD=90°−∠D=65°．
故选：C．
首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=25°，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴−k>0，
∴直线y=bx−k的图象经过一、二、三象限，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EF=GC=4，∠EFC=90°，
∴CE= CF2+EF2= 9+16=5，
∴AE=CE=5，
故选：C．
由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可证四边形CFEG是矩形，可得EF=GC=4，∠EFC=90°，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】 2
【解析】【分析】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】
解：原式=2−2+ 2= 2，
故答案为： 2．
12.【答案】如果a=0或b=0，那么ab=0
【解析】解：命题“如果ab=0，那么a=0或b=0.”的逆命题是如果a=0或b=0，那么ab=0，
故答案为：如果a=0或b=0，那么ab=0．
交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求逆命题的方法：交换原命题的条件与结论．
13.【答案】4
【解析】解：由题意可得：设C(2,a)，则E(1,a+2)，
可得：2a=1×(a+2)，
解得：a=2，
故C(2,2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴2=k2，
∴k=4．
故答案为：4．
根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
14.【答案】52 3239
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴BE= AB2+AE2= 42+32=5，
∵F为BE的中点，
∴EF=BF=12BE=52，
故答案为：52；
(2)如图，过点F作FG/​/BC交CE于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴AD//BC//FG，
∴△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠CBF+∠EBA=∠ABC=90°，
∴∠BCF=∠EBA，
∴△BCF∽△EBA，
∴BCEB=BFEA，
即BC5=523，
解得：BC=256，
∴AD=BC=256，
∴DE=AD−AE=256−3=76，
∵F为BE的中点，CF⊥BE，
∴CE=CB=256，
∵△EFG∽△EBC，
∴EGEC=FGBC=EFBE=12，
∴EG=12CE=2512，FG=12BC=2512，
∵△DOE∽△FOG，
∴OEOG=DEFG=762512=1425，
∴OE=1414+25EG=1439×2512=175234，
∴OC=CE−OE=256−175234=400117，
∴OCCE=400117256=3239，
故答案为：3239．
(1)由勾股定理求出BE的长，即可得出结论；
(2)过点F作FG/​/BC交CE于点G，则AD//BC//FG，得△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，证△BCF∽△EBA，求出BC=256，再由线段垂直平分线的性质得CE=CB=256，然后由相似三角形的性质求出OE的长，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
15.【答案】解：(−2024)0−2tan45°+|−2|+ 9
=1−2×1+2+3
=1−2+2+3
=4．
【解析】先根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值和算术平方根将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
16.【答案】解：(1)设2019年这种礼盒的进价是x元/盒，则2021年这种礼盒的进价是(x−11)元/盒，
依题意，得：3500x=2400x−11，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，且符合题意．
答：2019年这种礼盒的进价是35元/盒．
(2)2019年及2021年购进这种礼盒的数量为3500÷35=100(盒)．
设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，
依题意，得：(60−35)×100(1+y)2=(60−35+11)×100，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为20%．
【解析】(1)设2019年这种礼盒的进价是x元/盒，则2021年这种礼盒的进价是(x−11)元/盒，根据数量=总价÷单价结合2017年和2019年购入礼盒数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)利用数量=总价÷单价可求出2019年及2021年购进这种礼盒的数量，设该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率为y，根据2019年及2021年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3) 37．
【解析】【分析】
(1)根据平移的性质即可画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；
(2)根据对称性即可画出△ABC关于直线y=−x对称的△A2B2C2；
(3)根据勾股定理即可得线段B1B2的长．
本题考查了作图−轴对称变换、作图−平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)线段B1B2的长是 12+62= 37．
故答案为： 37．
18.【答案】11 2n+3
【解析】解：(1)∵五边形ABCDE内点的个数为1时，分割成的三角形的个数为5=2×1+3，
五边形ABCDE内点的个数为2时，分割成的三角形的个数为7=2×2+3，
五边形ABCDE内点的个数为3时，分割成的三角形的个数为9=2×3+3，
∴五边形ABCDE内点的个数为4时，分割成的三角形的个数为2×4+3=11，
……
∴五边形ABCDE内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为2n+3，
故答案为：11，2n+1；
(2)原五边形能被分割成2023个三角形，
由题意可得方程2n+3=2023，
解得n=1010，符合实际，
∴原五边形能被分割成2023个三角形．内部有1010个点．
(1)由题意可归纳出五边形ABCDE内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为2n+3；
(2)通过解方程2n+3=2023可判断此题的结果．
本题考查了图形类变化规律问题的解决能力，关键是能根据多边形的相关知识观察、猜想、归纳出该问题的规律．
19.【答案】解：由题意可知：∠BCA=58°，∠ADE=48°，
过D作于DE⊥AB于点E，
∵AB/​/CD，BC⊥AB，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=780米，
在Rt△ABC中，tan58°=ABBC，
∵BC=780米，tan58°≈1.6，
∴AB≈780×1.6≈1248(米)，
在Rt△ADE中，tan48°=AEDE，
∵DE=BC=780米，tan48°≈1.1，
∴AE≈780×1.1≈858(米)，
∴CD≈1248−858≈390(米)，
答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米．
【解析】由题意可知：∠BCA=58°∠ADE=48°，过D作于DE⊥AB于E，易得四边形BCDE为矩形，从而可知DE=BC，然后根据锐角三角函数的定义分别求出AB与AE的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出AE与CD的长度，本题属于基础题型．
20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD/​/AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
(2)解：连接DE，AD，

∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED=180°，
∵∠DEF+∠AED=180°，
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF=FC=1，AF=4，
∴AC=AF+CF=5，
∴AB=5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∴∠DAF=90°−∠ADF=∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴AFDF=DFCF，
∴DF2=AF⋅CF=4×1=4，
∴DF=2，
在Rt△ADF中，
AD= AF2+DF2=2 5，
∴sinC=ADAC=2 55，
∴sin∠ABC=2 55．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是2 55．
【解析】(1)由AB=AC，得∠B=∠C，即可得∠C=∠ODB，故OD/​/AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；
(2)连接DE，AD，由∠DEF=∠ABC，可得∠DEC=∠C，DE=DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF=FC=1，AF=4，AC=AF+CF=5，即得AB=5，⊙O的半径为2.5；证明△ADF∽△DCF，可得DF2=AF⋅CF=4，DF=2，在Rt△ADF中，AD= AF2+DF2=2 5，得sinC=ADAC=2 55，从而sin∠ABC=2 55．
本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】70 156
【解析】解：(1)由题意得：
八年级成绩的平均数是：(60×7+70×15+80×10+90×7+100×11)÷50=80(分)，
九年级成绩的平均数是：(60×8+70×9+80×14+90×13+100×6)÷50=80(分)，
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
(2)①九年级竞赛成绩中70出现的次数最多，
故众数m=70；
九年级竞赛成绩的方差为：s2=150×[8×(60−80)2+9×(70−80)2+14×(80−80)2+13×(90−80)2+6×(100−80)2]=156，
所以n=156，
故答案为：70，156；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7，九年级的众数为8，
所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为188，九年级的方差为156，
又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，
所以应该给九年级颁奖，
综上所述，应该给九年级颁奖；
(3)九年级的获奖率高，
八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%，
九年级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66%，
∵66%>56%，
∴九年级的获奖率高．
(1)根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解；
(2)①根据众数的定义，方差公式进行计算即可求解；②分别从方程与众数两方面分析即可求解；
(3)根据题意分别求得八年级与九年级的获奖率即可求解．
本题考查了折线统计图，求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图表中获取信息是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，

∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BCA=45°，
∴∠GCF=45°，
∵∠AFB=∠CFG，∠AFB=∠CFD，
∴∠CFG=∠CFD，
又∵CF=CF，
∴△DCF≌△GCF(ASA)，
∴CD=CG，
∵∠ABC=∠BCG=90°，
∴AB/​/CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴ABCG=AFCF=2，
∴AB=2CG，
又∵AB=CB，
∴BC=2CG=2CD，
∴BD=CD；
(2)证明：∵△DCF≌△GCF，
∴DF=FG，
∵BD=CD=CG，∠ABD=∠BCG=90°，AB=BC，
∴△ABD≌△BCG(SAS)，
∴AD=BG，
∵BG=BF+FG，
∴AD=BF+DF；
(3)解：过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M，

由(2)可知，∠BAD=∠CBF，
∵∠ABD=∠ABE+CBE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AD⊥BF，
∴DE/​/CM，
∵BD=CD，
∴BE=EM，
又∵AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，
∴△ABE≌△BCM(AAS)，
∴BE=CM，
∴EM=CM，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∴CE= 2CM= 2BE，
∴BECE= 22．
【解析】(1)过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，证明△DCF≌△GCF(ASA)，得出CD=CG，证明△ABF∽△CGF，由相似三角形的性质得出ABCG=AFCF=2，则可得出结论；
(2)证明△ABD≌△BCG(SAS)，由全等三角形的性质得出AD=BG，则可得出结论；
(3)过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M，证明△ABE≌△BCM(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=CM，证出EM=CM，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,3)代入，得：a×(0+1)×(0−3)=3，
解得a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设D(m,−m2+2m+3)，且0
在Rt△BOC中，BO=3，OC=3，BC= 32+32=3 2，
设直线BC的解析式为y=kx+n，将B(3,0)，C(0,3)代入，
得3k+n=0n=3，
解得k=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∴M(m,−m+3)，
∴DM=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM=∠BOC=90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ//y轴，
∴∠DME=∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴DEDM=BOBC，即DE−m2+3m=33 2，
∴DE=− 22m2+3 22m=− 22(m−32)2+9 28，
∴当m=32时，DE取得最大值，最大值是9 28；
(3)存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．

∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OC=OB=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ=∠DME=45°，
∵DE⊥BC，
∴ME=DE，
设D(m,−m2+2m+3)，且0∴CM= m2+(−m+3−3)2= 2m，
由(2)知DE=− 22m2+3 22m，
∴CE= 2m−(− 22m2+3 22m)= 22m2− 22m，
①若∠DCE=∠CAO，
∴tan∠DCE=tan∠CAO=OCOA=3，
∵tan∠DCE=DECE=3，
∴DE=3CE，
∴− 22m2+3 22m=3( 22m2− 22m)，
解得m=32或0(舍去)，
∴点D的坐标为(32,154)；
②若∠CDE=∠CAO，

则tan∠CDE=tan∠CAO=3，
∵tan∠CDE=CEDE=3，
∴CE=3DE，
∴3(− 22m2+3 22m)= 22m2− 22m，
解得m=52或0(舍去)，
∴点D的坐标为(52,74)；
综上，存在，点D的坐标为(32,154)或(52,74).
【解析】(1)根据题意可得y=a(x+1)(x−3)，将C(0,3)代入y=a(x+1)(x−3)，解方程即可；
(2)设D(m,−m2+2m+3)，先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
(3)△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE=∠CAO，②若∠CDE=∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．五边形ABCDE内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
5
7
9
______
…
______
众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
70
80
188
九年级竞赛成绩
m
80
n