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2024年河南省商丘六中中考数学模拟试卷（含解析）
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这是一份2024年河南省商丘六中中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−18的绝对值是( )
A. 18B. −18C. 8D. −8
2.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒=0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10−9秒B. 15×10−9秒C. 1.5×10−8秒D. 15×10−8秒
3.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
4.3x+1>42x−1≤3不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，CD//AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF=( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
6.下列条件不能够判定“平行四边形ABCD是菱形”的是( )
A. AB=BCB. AC⊥BDC. AD=CDD. AC=BD
7.一元二次方程x2−5x−8=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
8.中国目前是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为做的国家名片，某兴趣小组通过网络查询，收集到四张高铁发展历程的邮票(除内容外，其余完全相同)，若由小霞同学先随机抽取一张卡片，然后将卡片放回，洗匀，再由小强抽取，则两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率是( )
A. 12B. 14C. 23D. 16
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=mx−n的图象和二次函数y=mx2+nx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，AB//x轴，已知点B(4,3)，D(2,6)，固定A，B两点，拖动CD边向右下方平行移动，是平行四边形ABCD的面积变为原来的13，则变换后点D的对应点D′的坐标为( )
A. (2 3,3)
B. (2 3,6)
C. ( 3,4)
D. (2 3,4)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−2 3)0−38= ______．
12.请写出一个图象经过点(1,2)的函数的关系式______．
13.课程改革以来，数学老师积极组织学生参与“综合与实践”活动，学校随机调查了七年级部分同学某月参与“综合与实践”活动的时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图(如图所示)，根据图中信息可知扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是______．
14.如图1，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点F从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B−C−D运动到点D停止.图2是点E，F运动时，△BEF的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为斜边AB的中点，点P为BC边上的一动点，沿着PD所在直线折叠△PBD，得到△PB′D，当DB′垂直于Rt△ABC的直角边时，PB的长度为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)化简：(2x−1)2+(x+6)(x−2)；
(2)解方程：x−3x−2+1=12−x．
17.(本小题9分)
“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级(1)班和九年级(2)班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
九年级(1)班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1．
九年级(2)班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1．
【整理数据】
(1)九年级(1)班学生视力的扇形统计图：(2)九年级(2)班学生视力的频数分布直方图：
【分析数据】
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)九年级(1)班视力中位数a落在扇形统计图的______部分(填A、B、C)；
(2)请补全九年级(2)班视力的频数分布直方图；
(3)表中b=______；
(4)若九年级(2)班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有______人；
【做出决策】
根据九年级(1)班、九年级(2)班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由．
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过A(2,m+3)，B(8,m)两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直线AB分别交x轴、y轴于M，N两点．
①请用无刻度的直尺和圆规，作出∠MON的平分线，交直线AB于点P；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
②求出点P的坐标．
19.(本小题9分)
学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n=sinαsinβ称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm．
(1)求入射角α的度数．
(2)若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
20.(本小题9分)
某学校计划一次性购买A，B两种类型的书架，用于建设班级读书角，方便学生利用课余时间阅览图书.已知购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元．
(1)求购买一个A型书架和一个B型书架各需多少元．
(2)该学校打算购买A，B型书架共52个，且购买的总费用不超过4700元.若A型书架的最大放书量为80册，B型书架的最大放书量为65册，请设计出放书总量最大的购买方案，并说明理由．
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
(1)求证：AE平分∠DAC；
(2)若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
22.(本小题10分)
某农户用喷枪将斜坡OA上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线.经测量，P处的喷水头距地面1m，水柱在距喷水头水平距离4m处达到最高，最高点与水平线OB的距离为5m，建立如图所示的直角坐标系，并设抛物线的解析式为y=a(x−h)2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距水平线的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若斜坡OA上有一棵2.9m高的树EC，它与喷水头的水平距离为5m，tan∠AOB=25，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
23.(本小题10分)
某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为BC的中点，将BC绕点B逆时针旋转，得到BF，旋转角的度数为α，交AC于点G，连接EF．
(1)当EF过AC的中点时，α的值为______；
操作发现
(2)当∠ACF=α时，求证：CG=CF；
数学思考
(3)在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，求此时EF的长；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−18|=18．
故选：A．
直接根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=−a．
2.【答案】C
【解析】解：所用时间=15×0.000 000 001=0.000 000 015=1.5×10−8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包含小数点前面的一个零)所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包含小数点前面的一个零)所决定．
3.【答案】A
【解析】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．
故选A．
由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2.据此可作出判断．
本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4.【答案】C
【解析】解：3x+1>4①2x−1≤3②，
解不等式①得x>1，
解不等式②得x≤2，
故不等式组的解集为1在数轴上表示为：
故选：C．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠AOD+∠D=180°，
∴∠AOD=70°，
∴∠DOB=110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°，
∴∠DOF=90°−55°=35°，
∴∠AOF=70°−35°=35°，
故选：C．
根据平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形；
C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形；
D、选项中是矩形，不能判定其为菱形；
故选：D．
根据菱形的判定方法逐项分析即可．
此题考查菱形的判定，考查在平行四边形的基础上加上一个条件使其满足成为菱形．熟练掌握菱形的性质及判定定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵Δ=(−5)2−4×1×(−8)
=57>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先求判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：把四张邮票从左向右分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小霞和小强两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的结果有4种，
∴两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率是416=14，
故选：B．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小霞和小强两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】D
【解析】解：A，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，图象没过原点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y=mx−n中，m>0，n<0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0，与图象不符，不符合题意；
D，结合图象y=mx−n中，m<0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0与图象符合，符合题意；
故选：D．
利用对称轴x=−b2a，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐个判断即可．
本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
10.【答案】D
【解析】解：∵▱ABCD的顶点A在y轴上，B(4,3)，
∴A(0,3)，
∴AB=4，
∵D(2,6)，
∴平行四边形面积=4×3=12，
∵平行四边形的面积缩小为原来的13，
∴D′到AB的距离为1，
∴D′的纵坐标为4，
设D′(x,4)，
∵AD= 22+32= 13，
∴A′D= x2+1= 13，
∴D′(2 13,4)．
故选：D．
根据已知条件求出A点坐标，根据面积缩小为原来的13，D′的纵坐标为4，由AD=AD′，即可求D′坐标．
本题考查平行四边形的性质，平面内点的坐标；掌握平行四边形的性质和面积的求法是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：(−2 3)0−38=1−2=−1．
故答案为：−1．
先根据零指数幂和立方根的意义化简，再算加减即可．
本题考查了零指数幂和立方根的意义，熟练掌握相关运算法则是关键．
12.【答案】y=2x(答案不唯一)
【解析】解：函数y=2x经过点(1,2)．
故答案为：y=2x(答案不唯一)．
让x=1时，函数值y=2写出一个正比例函数即可．也可以写符合条件的一次函数、反比例函数或二次函数．
本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质．
13.【答案】144°
【解析】解：根据题意得：30÷30%=100(人)，
∴学生活动时间为“1.5小时”的人数为100−(12+30+18)=40(人)，
40%×360°=144°，
则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°，
故答案为：144°．
根据学生参加活动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360°即可得到结果．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14.【答案】9 3
【解析】解：由题意得：当E运动到B时，S为0，当E运动AB中点时，F到C点处，此时S最大为a，
∴AB=6，∴BC=2AB=12，
∴S=12×12×3×sin60°=18× 32=9 3，
故答案为：9 3．
由题意得：当E运动到B时，S为0，当E运动AB中点时，F到C点处，此时S最大为a，再根据三角形的面积公式求解．
本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】52或5
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=12AB=5，
如图1，DB′⊥BC，垂足为点E，则∠DEB=∠PEB′=90°，
∵∠DEB=∠C=90°，
∴DE//AC，
∴CEBE=ADBD=1，
∴CE=BE=12BC=4，
∴DE=12AC=3，
由折叠得B′D=BD=5，
∴EB′=B′D−DE=5−3=2，
∵EB′2+PE2=PB′2，且PB′=PB，PE=4−PB，
∴22+(4−PB)2=PB2，
解得PB=52；
如图2，DB′⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴DB′//BC，
∴∠ADB′=∠B，
由折叠得∠B′=∠B，
∴∠B′=∠ADB′，
∴PB′//BD，
∴四边形PBDB′是平行四边形，
∵B′D=BD，
∴四边形PBDB′是菱形，
∴PB=BD=5，
综上所述，PB的长为52或5，
故答案为：52或5．
由∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB= AC2+BC2=10，则AD=BD=5，再分两种情况讨论，一是DB′⊥BC于点E，则DE//AC，所以CEBE=ADBD=1，则CE=BE=12BC=4，DE=12AC=3，由折叠得B′D=BD=5，则EB′=B′D−DE=2，由勾股定理得22+(4−PB)2=PB2，求得PB=52；二是DB′⊥AC，则DB′//BC，可证明四边形PBDB′是菱形，则PB=BD=5，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等知识，当DB′⊥AC时，证明四边形PBDB′是菱形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4x2−4x+1+x2−2x+6x−12
=5x2−11．
(2)去分母，得x−3+x−2=−1，
移项、合并同类项，得2x=4，
系数化为1，得x=2．
检验：当x=2时，x−2=0，
故x=2不是原方程的解，故原方程无解．
【解析】(1)根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项；
(2)先去分母，解整式方程，再检验即可．
此题考查了计算能力：整式的混合运算及解分式方程，正确掌握完全平方公式及多项式乘以多项式法则和分式方程的解法是解题的关键．
17.【答案】B 4.8 15
【解析】解：(1)由题意可知，九年级(1)班视力中位数a落在扇形统计图的B部分．
故答案为：B；
(2)九年级(2)班“4.65−4.85”的有：10−1−3−2=4(人)，
补全九年级(2)班视力的频数分布直方图如下：
(3)∵九年级(2)班学生视力数据中4.8出现最多，故b=4.8；
故答案为：4.8；
(4)若九年级(2)班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有：50×310=15(人)，
故答案为：15；
【做出决策】(1)班级学生的视力健康情况更何况更好一些，理由如下：
因为两个班的视力的平均数相同，(1)班的方差小于(2)班，故(1)班级学生的视力健康情况更何况更好一些．
(1)根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
(2)根据题意得出九年级(2)班“4.65−4.85”的人数，再补全九年级(2)班视力的频数分布直方图即可；
(3)根据众数的定义解答即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；
(4)用样本估计总体即可；
【做出决策】估计表格中的数据判断即可．
本题考查了平均数、中位数、方差的意义以及频数分布表，明确平均数、中位数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．
18.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过A(2,m+3)，B(8,m)两点．
∴2(m+3)=8m，解得：m=1，
∴A(2,4)，B(8,1)，
∴k=8，
∴反比例函数的表达式：y=8x，
(2)①根据角平分线的做法，如图示：
②∵A(2,4)，B(8,1)在直线AB上，设解析式为y=kx+b，
∴2k+b=48k+b=1，解得k=−12b=5，
∴直线AB的解析式为：y=−12x+5．
∵∠MON的平分线解析式为：y=x，
联立方程得：y=xy=−12x+5，解得x=103y=103，
∴交点P的坐标为(103,103).
【解析】(1)根据两点都在反比例函数图象上，则2(m+3)=8m，解得：m=1，继而求出反比例函数解析式：
(2)①根据角平分线的做法，画出图象即可；
②根据∠MON的平分线可得它的解析式为y=x，和一次函数解析式联立方程组解出即为P点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
19.【答案】解：(1)如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG=BGDG=1612=43，
∴∠BDG=53°，
∴∠PDH=∠BDG=53°，
∴入射角α的度数为53°；
(2)∵BG=16cm，BC=7cm，
∴CG=BG−BC=9(cm)，
在Rt△CDG中，DG=12cm，
∴DC= CG2+DG2= 92+122=15(cm)，
∴sinβ=sin∠GDC=CGCD=915=35，
由(1)得：∠PDH=53°，
∴sin∠PDH=sinα≈45，
∴折射率n=sinαsinβ=4535=43，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为43．
【解析】(1)过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BDG的值，从而可得∠BDG=53°，再根据对顶角相等可得∠PDH=∠BDG=53°，即可解答；
(2)根据已知可得CG=9cm，然后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠GDC的值，再利用(1)的结论可得：∠PDH=53°，从而可得sin∠PDH=sinα≈45，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，
根据题意得：3x+4y=6405x+2y=670，
解得：x=100y=85．
答：购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元；
(2)放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由如下：
设购买m个A型书架，则购买(52−m)个B型书架，
根据题意得：100m+85(52−m)≤4700，
解得：m≤563．
设购买两种书架的放书总量为w册，则w=80m+65(52−m)=15m+3380．
∵15>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≤563，且m为整数，
∴当m=18时，w取得最大值，此时52−m=34，
∴放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架．
【解析】(1)设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，根据“购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，设购买m个A型书架，则购买(52−m)个B型书架，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4700元，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种书架的放书总量为w册，根据A，B两种型号书架的最大放书量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：连接OE，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE//AD，
∴∠DAE=∠AEO，
∵AO=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠OAE=∠DAE，
∴AE平分∠DAC；
(2)解：①∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．
∴∠EAB=30°，
在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，
AE= 3BE=2 3，
在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，
∴DE=12AE= 3，
∴AD= 3DE= 3× 3=3；
②∵OA=OB，
∴∠AEO=∠OAE=30°，
∴∠AOE=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOE−S△AOE
=S扇形AOE−12S△ABE
=120⋅π⋅22360−12⋅12⋅2 3⋅2
=43π− 3．
【解析】(1)连接OE，如图，根据切线的性质由CD与⊙O相切得到OD⊥CD，而AD⊥CD，则OE//AD，所以∠DAE=∠AEO，由于∠AEO=∠OAE，所以∠OAE=∠DAE；
(2)根据圆周角定理由AB是直径得到∠AEB=90°，由于∠ABE=60°，则∠EAB=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE中，计算出BE=12AB=2，AE= 3BE=2 3；在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，计算出DE=12AE= 3，AD= 3DE=3；
②先计算出∠AOE=120°，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形AOE−S△AOE=S扇形AOE−12S△ABE进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系．
22.【答案】解：(1)∵y=a(x−h)2+k过顶点坐标(4,5)，
∴设抛物线解析式为：y=a(x−4)2+5，
又抛物线y=a(x−4)2+5过点P(0,1)，
将点P(0,1)代入解析式，
∴1=a(0−4)2+5，
解得：a=−14，
∴抛物线解析式为：y=−14(x−4)2+5；
(2)不能，理由：
如图，过点E作EH⊥OB，由题意得点E、C、H的横坐标5，即OH=5，
∵tan∠AOB=25，
∴CHOH=25，
∴CH=2，
∵CE=2.9m，
∴EH=CE+CH=4.9m，
当x=5时，y=−14(5−4)2+5=4.75，
∵4.9>4.75，
∴P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
【解析】(1)根据抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，(4,5)为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由P(0,1)是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可；
(2)连接OE，过点E作EH⊥OB，根据题意点E、C、H点横坐标5，得OH=5，由tan∠AOB=25.即可求出CH，从而得到EH，然后另x=5代入(1)中求解出的解析式中，得到y，比较y与EH即可．
本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
23.【答案】60°
【解析】(1)解：设AC的中点为O，
∵O为AC的中点，E为BC的中点，
∴OE//AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
∴EF⊥BC，
∴EF为BC的中垂线，
∴BF=CF，
又∵将BC绕点B逆时针旋转得到BF，
∴BF=BC，
∴BF=CF=BC，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠FBC=60°，
∴α=60°，
故答案为：60°；
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠FGC=∠GBC+∠GCB=α+45°，
又∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+α，
∴∠BFC=∠FGC，
∴CG=CF；
(3)解：存在．若EF=CF，如图，作CE的中垂线FN，交BC于点M，
∴EM=CM=1，
∴BM=BE+EM=2+1=3，
∵BF=BC=4，
∴FM= BF2−BM2= 42−32= 7，
∴EF= EM2+FM2= 12+( 7)2=2 2，
若EF=CE，则EF=2；
∵△BFC是等腰三角形，
∴CF=CE不可能．
综上所述，EF的长为2 2或2．
(1)由三角形的中位线得出OE//AB，证明EF为BC的中垂线，得出BF=CF，证出△BCF为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠FBC=60°，则可得出结论；
(2)由正方形的性质及等腰三角形的性质得出∠BFC=∠FGC，则可得出结论；
(3)分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．班级
平均数
中位数
众数
方差
九年级(1)班
4.88
a
4.9
0.0156
九年级(2)班
4.88
4.85
b
0.0256
1.−18的绝对值是( )
A. 18B. −18C. 8D. −8
2.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒=0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10−9秒B. 15×10−9秒C. 1.5×10−8秒D. 15×10−8秒
3.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
4.3x+1>42x−1≤3不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，CD//AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF=( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
6.下列条件不能够判定“平行四边形ABCD是菱形”的是( )
A. AB=BCB. AC⊥BDC. AD=CDD. AC=BD
7.一元二次方程x2−5x−8=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
8.中国目前是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为做的国家名片，某兴趣小组通过网络查询，收集到四张高铁发展历程的邮票(除内容外，其余完全相同)，若由小霞同学先随机抽取一张卡片，然后将卡片放回，洗匀，再由小强抽取，则两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率是( )
A. 12B. 14C. 23D. 16
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=mx−n的图象和二次函数y=mx2+nx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，AB//x轴，已知点B(4,3)，D(2,6)，固定A，B两点，拖动CD边向右下方平行移动，是平行四边形ABCD的面积变为原来的13，则变换后点D的对应点D′的坐标为( )
A. (2 3,3)
B. (2 3,6)
C. ( 3,4)
D. (2 3,4)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(−2 3)0−38= ______．
12.请写出一个图象经过点(1,2)的函数的关系式______．
13.课程改革以来，数学老师积极组织学生参与“综合与实践”活动，学校随机调查了七年级部分同学某月参与“综合与实践”活动的时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图(如图所示)，根据图中信息可知扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是______．
14.如图1，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点F从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B−C−D运动到点D停止.图2是点E，F运动时，△BEF的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D为斜边AB的中点，点P为BC边上的一动点，沿着PD所在直线折叠△PBD，得到△PB′D，当DB′垂直于Rt△ABC的直角边时，PB的长度为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)化简：(2x−1)2+(x+6)(x−2)；
(2)解方程：x−3x−2+1=12−x．
17.(本小题9分)
“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级(1)班和九年级(2)班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
九年级(1)班学生视力数据统计如下：4.9，4.8，4.9，4.6，4.8，4.9，4.9，5.0，4.9，5.1．
九年级(2)班学生视力数据统计如下：4.8，5.1，4.7，5.0，4.9，4.8，5.0，4.6，4.8，5.1．
【整理数据】
(1)九年级(1)班学生视力的扇形统计图：(2)九年级(2)班学生视力的频数分布直方图：
【分析数据】
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)九年级(1)班视力中位数a落在扇形统计图的______部分(填A、B、C)；
(2)请补全九年级(2)班视力的频数分布直方图；
(3)表中b=______；
(4)若九年级(2)班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有______人；
【做出决策】
根据九年级(1)班、九年级(2)班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由．
18.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过A(2,m+3)，B(8,m)两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直线AB分别交x轴、y轴于M，N两点．
①请用无刻度的直尺和圆规，作出∠MON的平分线，交直线AB于点P；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
②求出点P的坐标．
19.(本小题9分)
学科综合
我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n=sinαsinβ称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16cm．
(1)求入射角α的度数．
(2)若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
20.(本小题9分)
某学校计划一次性购买A，B两种类型的书架，用于建设班级读书角，方便学生利用课余时间阅览图书.已知购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元．
(1)求购买一个A型书架和一个B型书架各需多少元．
(2)该学校打算购买A，B型书架共52个，且购买的总费用不超过4700元.若A型书架的最大放书量为80册，B型书架的最大放书量为65册，请设计出放书总量最大的购买方案，并说明理由．
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
(1)求证：AE平分∠DAC；
(2)若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
22.(本小题10分)
某农户用喷枪将斜坡OA上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线.经测量，P处的喷水头距地面1m，水柱在距喷水头水平距离4m处达到最高，最高点与水平线OB的距离为5m，建立如图所示的直角坐标系，并设抛物线的解析式为y=a(x−h)2+k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距水平线的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若斜坡OA上有一棵2.9m高的树EC，它与喷水头的水平距离为5m，tan∠AOB=25，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
23.(本小题10分)
某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为BC的中点，将BC绕点B逆时针旋转，得到BF，旋转角的度数为α，交AC于点G，连接EF．
(1)当EF过AC的中点时，α的值为______；
操作发现
(2)当∠ACF=α时，求证：CG=CF；
数学思考
(3)在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，求此时EF的长；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−18|=18．
故选：A．
直接根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=−a．
2.【答案】C
【解析】解：所用时间=15×0.000 000 001=0.000 000 015=1.5×10−8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包含小数点前面的一个零)所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包含小数点前面的一个零)所决定．
3.【答案】A
【解析】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．
故选A．
由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2.据此可作出判断．
本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4.【答案】C
【解析】解：3x+1>4①2x−1≤3②，
解不等式①得x>1，
解不等式②得x≤2，
故不等式组的解集为1
故选：C．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠AOD+∠D=180°，
∴∠AOD=70°，
∴∠DOB=110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°，
∴∠DOF=90°−55°=35°，
∴∠AOF=70°−35°=35°，
故选：C．
根据平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形；
C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形；
D、选项中是矩形，不能判定其为菱形；
故选：D．
根据菱形的判定方法逐项分析即可．
此题考查菱形的判定，考查在平行四边形的基础上加上一个条件使其满足成为菱形．熟练掌握菱形的性质及判定定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵Δ=(−5)2−4×1×(−8)
=57>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先求判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】B
【解析】解：把四张邮票从左向右分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小霞和小强两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的结果有4种，
∴两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率是416=14，
故选：B．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小霞和小强两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】D
【解析】解：A，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y=mx−n中，m>0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m<0，图象没过原点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y=mx−n中，m>0，n<0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0，与图象不符，不符合题意；
D，结合图象y=mx−n中，m<0，n>0，此时二次函数y=mx2+nx中对称轴x=−n2m>0与图象符合，符合题意；
故选：D．
利用对称轴x=−b2a，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐个判断即可．
本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
10.【答案】D
【解析】解：∵▱ABCD的顶点A在y轴上，B(4,3)，
∴A(0,3)，
∴AB=4，
∵D(2,6)，
∴平行四边形面积=4×3=12，
∵平行四边形的面积缩小为原来的13，
∴D′到AB的距离为1，
∴D′的纵坐标为4，
设D′(x,4)，
∵AD= 22+32= 13，
∴A′D= x2+1= 13，
∴D′(2 13,4)．
故选：D．
根据已知条件求出A点坐标，根据面积缩小为原来的13，D′的纵坐标为4，由AD=AD′，即可求D′坐标．
本题考查平行四边形的性质，平面内点的坐标；掌握平行四边形的性质和面积的求法是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：(−2 3)0−38=1−2=−1．
故答案为：−1．
先根据零指数幂和立方根的意义化简，再算加减即可．
本题考查了零指数幂和立方根的意义，熟练掌握相关运算法则是关键．
12.【答案】y=2x(答案不唯一)
【解析】解：函数y=2x经过点(1,2)．
故答案为：y=2x(答案不唯一)．
让x=1时，函数值y=2写出一个正比例函数即可．也可以写符合条件的一次函数、反比例函数或二次函数．
本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质．
13.【答案】144°
【解析】解：根据题意得：30÷30%=100(人)，
∴学生活动时间为“1.5小时”的人数为100−(12+30+18)=40(人)，
40%×360°=144°，
则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°，
故答案为：144°．
根据学生参加活动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360°即可得到结果．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
14.【答案】9 3
【解析】解：由题意得：当E运动到B时，S为0，当E运动AB中点时，F到C点处，此时S最大为a，
∴AB=6，∴BC=2AB=12，
∴S=12×12×3×sin60°=18× 32=9 3，
故答案为：9 3．
由题意得：当E运动到B时，S为0，当E运动AB中点时，F到C点处，此时S最大为a，再根据三角形的面积公式求解．
本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】52或5
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=12AB=5，
如图1，DB′⊥BC，垂足为点E，则∠DEB=∠PEB′=90°，
∵∠DEB=∠C=90°，
∴DE//AC，
∴CEBE=ADBD=1，
∴CE=BE=12BC=4，
∴DE=12AC=3，
由折叠得B′D=BD=5，
∴EB′=B′D−DE=5−3=2，
∵EB′2+PE2=PB′2，且PB′=PB，PE=4−PB，
∴22+(4−PB)2=PB2，
解得PB=52；
如图2，DB′⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴DB′//BC，
∴∠ADB′=∠B，
由折叠得∠B′=∠B，
∴∠B′=∠ADB′，
∴PB′//BD，
∴四边形PBDB′是平行四边形，
∵B′D=BD，
∴四边形PBDB′是菱形，
∴PB=BD=5，
综上所述，PB的长为52或5，
故答案为：52或5．
由∠C=90°，AC=6，BC=8，求得AB= AC2+BC2=10，则AD=BD=5，再分两种情况讨论，一是DB′⊥BC于点E，则DE//AC，所以CEBE=ADBD=1，则CE=BE=12BC=4，DE=12AC=3，由折叠得B′D=BD=5，则EB′=B′D−DE=2，由勾股定理得22+(4−PB)2=PB2，求得PB=52；二是DB′⊥AC，则DB′//BC，可证明四边形PBDB′是菱形，则PB=BD=5，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等知识，当DB′⊥AC时，证明四边形PBDB′是菱形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=4x2−4x+1+x2−2x+6x−12
=5x2−11．
(2)去分母，得x−3+x−2=−1，
移项、合并同类项，得2x=4，
系数化为1，得x=2．
检验：当x=2时，x−2=0，
故x=2不是原方程的解，故原方程无解．
【解析】(1)根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项；
(2)先去分母，解整式方程，再检验即可．
此题考查了计算能力：整式的混合运算及解分式方程，正确掌握完全平方公式及多项式乘以多项式法则和分式方程的解法是解题的关键．
17.【答案】B 4.8 15
【解析】解：(1)由题意可知，九年级(1)班视力中位数a落在扇形统计图的B部分．
故答案为：B；
(2)九年级(2)班“4.65−4.85”的有：10−1−3−2=4(人)，
补全九年级(2)班视力的频数分布直方图如下：
(3)∵九年级(2)班学生视力数据中4.8出现最多，故b=4.8；
故答案为：4.8；
(4)若九年级(2)班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有：50×310=15(人)，
故答案为：15；
【做出决策】(1)班级学生的视力健康情况更何况更好一些，理由如下：
因为两个班的视力的平均数相同，(1)班的方差小于(2)班，故(1)班级学生的视力健康情况更何况更好一些．
(1)根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
(2)根据题意得出九年级(2)班“4.65−4.85”的人数，再补全九年级(2)班视力的频数分布直方图即可；
(3)根据众数的定义解答即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；
(4)用样本估计总体即可；
【做出决策】估计表格中的数据判断即可．
本题考查了平均数、中位数、方差的意义以及频数分布表，明确平均数、中位数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．
18.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过A(2,m+3)，B(8,m)两点．
∴2(m+3)=8m，解得：m=1，
∴A(2,4)，B(8,1)，
∴k=8，
∴反比例函数的表达式：y=8x，
(2)①根据角平分线的做法，如图示：
②∵A(2,4)，B(8,1)在直线AB上，设解析式为y=kx+b，
∴2k+b=48k+b=1，解得k=−12b=5，
∴直线AB的解析式为：y=−12x+5．
∵∠MON的平分线解析式为：y=x，
联立方程得：y=xy=−12x+5，解得x=103y=103，
∴交点P的坐标为(103,103).
【解析】(1)根据两点都在反比例函数图象上，则2(m+3)=8m，解得：m=1，继而求出反比例函数解析式：
(2)①根据角平分线的做法，画出图象即可；
②根据∠MON的平分线可得它的解析式为y=x，和一次函数解析式联立方程组解出即为P点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
19.【答案】解：(1)如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，
在Rt△DGB中，tan∠BDG=BGDG=1612=43，
∴∠BDG=53°，
∴∠PDH=∠BDG=53°，
∴入射角α的度数为53°；
(2)∵BG=16cm，BC=7cm，
∴CG=BG−BC=9(cm)，
在Rt△CDG中，DG=12cm，
∴DC= CG2+DG2= 92+122=15(cm)，
∴sinβ=sin∠GDC=CGCD=915=35，
由(1)得：∠PDH=53°，
∴sin∠PDH=sinα≈45，
∴折射率n=sinαsinβ=4535=43，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为43．
【解析】(1)过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得DG=BF=12cm，BG=DF=16cm，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BDG的值，从而可得∠BDG=53°，再根据对顶角相等可得∠PDH=∠BDG=53°，即可解答；
(2)根据已知可得CG=9cm，然后在Rt△CDG中，利用勾股定理求出CD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sin∠GDC的值，再利用(1)的结论可得：∠PDH=53°，从而可得sin∠PDH=sinα≈45，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，
根据题意得：3x+4y=6405x+2y=670，
解得：x=100y=85．
答：购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元；
(2)放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由如下：
设购买m个A型书架，则购买(52−m)个B型书架，
根据题意得：100m+85(52−m)≤4700，
解得：m≤563．
设购买两种书架的放书总量为w册，则w=80m+65(52−m)=15m+3380．
∵15>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≤563，且m为整数，
∴当m=18时，w取得最大值，此时52−m=34，
∴放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架．
【解析】(1)设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，根据“购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，设购买m个A型书架，则购买(52−m)个B型书架，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4700元，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种书架的放书总量为w册，根据A，B两种型号书架的最大放书量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：连接OE，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE//AD，
∴∠DAE=∠AEO，
∵AO=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠OAE=∠DAE，
∴AE平分∠DAC；
(2)解：①∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．
∴∠EAB=30°，
在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，
AE= 3BE=2 3，
在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，
∴DE=12AE= 3，
∴AD= 3DE= 3× 3=3；
②∵OA=OB，
∴∠AEO=∠OAE=30°，
∴∠AOE=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOE−S△AOE
=S扇形AOE−12S△ABE
=120⋅π⋅22360−12⋅12⋅2 3⋅2
=43π− 3．
【解析】(1)连接OE，如图，根据切线的性质由CD与⊙O相切得到OD⊥CD，而AD⊥CD，则OE//AD，所以∠DAE=∠AEO，由于∠AEO=∠OAE，所以∠OAE=∠DAE；
(2)根据圆周角定理由AB是直径得到∠AEB=90°，由于∠ABE=60°，则∠EAB=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE中，计算出BE=12AB=2，AE= 3BE=2 3；在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，计算出DE=12AE= 3，AD= 3DE=3；
②先计算出∠AOE=120°，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形AOE−S△AOE=S扇形AOE−12S△ABE进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了扇形的面积公式和含30度的直角三角形三边的关系．
22.【答案】解：(1)∵y=a(x−h)2+k过顶点坐标(4,5)，
∴设抛物线解析式为：y=a(x−4)2+5，
又抛物线y=a(x−4)2+5过点P(0,1)，
将点P(0,1)代入解析式，
∴1=a(0−4)2+5，
解得：a=−14，
∴抛物线解析式为：y=−14(x−4)2+5；
(2)不能，理由：
如图，过点E作EH⊥OB，由题意得点E、C、H的横坐标5，即OH=5，
∵tan∠AOB=25，
∴CHOH=25，
∴CH=2，
∵CE=2.9m，
∴EH=CE+CH=4.9m，
当x=5时，y=−14(5−4)2+5=4.75，
∵4.9>4.75，
∴P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
【解析】(1)根据抛物线解析式为y=a(x−h)2+k，(4,5)为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由P(0,1)是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可；
(2)连接OE，过点E作EH⊥OB，根据题意点E、C、H点横坐标5，得OH=5，由tan∠AOB=25.即可求出CH，从而得到EH，然后另x=5代入(1)中求解出的解析式中，得到y，比较y与EH即可．
本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
23.【答案】60°
【解析】(1)解：设AC的中点为O，
∵O为AC的中点，E为BC的中点，
∴OE//AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
∴EF⊥BC，
∴EF为BC的中垂线，
∴BF=CF，
又∵将BC绕点B逆时针旋转得到BF，
∴BF=BC，
∴BF=CF=BC，
∴△BCF为等边三角形，
∴∠FBC=60°，
∴α=60°，
故答案为：60°；
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠FGC=∠GBC+∠GCB=α+45°，
又∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+α，
∴∠BFC=∠FGC，
∴CG=CF；
(3)解：存在．若EF=CF，如图，作CE的中垂线FN，交BC于点M，
∴EM=CM=1，
∴BM=BE+EM=2+1=3，
∵BF=BC=4，
∴FM= BF2−BM2= 42−32= 7，
∴EF= EM2+FM2= 12+( 7)2=2 2，
若EF=CE，则EF=2；
∵△BFC是等腰三角形，
∴CF=CE不可能．
综上所述，EF的长为2 2或2．
(1)由三角形的中位线得出OE//AB，证明EF为BC的中垂线，得出BF=CF，证出△BCF为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠FBC=60°，则可得出结论；
(2)由正方形的性质及等腰三角形的性质得出∠BFC=∠FGC，则可得出结论；
(3)分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．班级
平均数
中位数
众数
方差
九年级(1)班
4.88
a
4.9
0.0156
九年级(2)班
4.88
4.85
b
0.0256
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