贵州省遵义市桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）月考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断点是否在直线上，再求出交集即可.
【详解】因为点在直线上，点不在直线上，
又，，
所以.
故选：B
2. 已知函数，若且，则它的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项.
【详解】由且，得，
所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
3. 某同学一学期七次模拟考试数学成绩（满分150分）依次为88，98，112，106，122，118，110，则这名同学七次数学成绩的分位数为（ ）
A. 110B. 112C. 115D. 118
【答案】D
【解析】
【分析】将某同学一学期七次模拟考试数学成绩从低到高排列，根据百分位数的概念，即可求得答案.
【详解】将某同学一学期七次模拟考试数学成绩从低到高排列依次为88，98，106，110，112，118，122，
由于，故这名同学七次数学成绩的分位数为第6个数，即118，
故选：D
4. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；
对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；
对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；
对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
故选：A.
5. 如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何关系，利用向量线性运算方法用表示出，从而可得m、n的取值．
【详解】依题意得，
，
故，
所以
故．
故选：A﹒
6. 已知，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据将进行转化，再利用在上为增函数进行判断即可.
【详解】由得：，，，
因为在上为增函数，
所以，
即
故选：B.
7. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），则“该环田”的面积为（ ）

A 600平方步B. 640平方步
C. 660平方步D. 700平方步
【答案】C
【解析】
【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十五步，外周一百二十五步，列关系式即可.
【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，,解得：，
则“该环田”的面积为平方步.
故选：C
8. 已知条件：“不等式解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为不等式的解集是空集，
所以不等式的解集是，
当即 时，
若 ，则 ， 舍；
若 ，则 ， ；
当时，则 ，解得 ，
综上所述 ，
所以条件是条件的充分不必要条件．
故选：A．
二、多选题
9. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题设结合基本不等式，可判断A；将平方后，结合基本不等式，即可判断B；化为，结合基本不等式，即可判断C；将化为，展开后结合基本不等式，即可判断D.
【详解】对于A，，，，则，
当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，，，
又，则，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，，则，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，，，则
，当且仅当，即时取等号，D正确，
故选：ACD
10. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】CD
【解析】
【分析】分和两种情况进行讨论即可
【详解】因为函数，，
所以当时，，解得；
当时，，即解得，
故选：CD
11. 已知角的终边经过点，且，则的值可能是（ ）
A. 4B. 3C. -4D. -3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可得，则.
故选：AC.
12. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】当时，则由求得的值，进而根据各选项的要求逐项判断.
【详解】由题意，代入，即，
整理得，即，
解得或，因为，所以，
于是，故B正确.
因为，所以，故A正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13. 若有意义，则实数的取值范围为______________
【答案】
【解析】
【分析】结合负分数指数幂化简，再由分式和根式的意义即可求解.
【详解】由，要使得有意义，则满足，解得，
故答案为：．
14. 甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出两人均没能破译这份密码的概率，进而利用对立事件求概率公式求出答案.
【详解】两人均没能破译这份密码的概率为，
故甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率为.
故答案为：
15. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，则.
故答案为：
16. 已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可.
【详解】依题意，函数与轴有个交点， 即与有3个交点，
作分段函数的图像如下，

由图可知，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
四、解答题
17. 求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）0
【解析】
【分析】（1）利用换底公式即可求值；
（2）利用指数运算，对数运算法则即可．
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
.
18. 已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：，，三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据平面向量基本定理用，分别表示出，，有，且都过点，进而可证，，三点共线；
（2）根据已知条件有，求得，解出即可.
【小问1详解】
证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
【小问2详解】
因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
19. 某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米.
（1）若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积；
（2）当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？
【答案】（1）平方米.
（2）该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36.
【解析】
【分析】（1）根据弧长公式及扇形面积公式即可求解；
（2）结合扇形面积公式及二次函数的最值即可求解.
【小问1详解】
设该扇形菜地的半径为，弧长为，
则，解得，
故该扇形菜地的面积平方米.
【小问2详解】
因为，所以，
则.
当时，取得最大值36，
此时，从而.
故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36.
20. 已知是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，求出时的解析式，即得答案；
（2）作出函数的图象，数形结合，结合题意列出不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知是定义在R上的偶函数，当时，，
故当时，，
故函数在R上的解析式为；
【小问2详解】
作出函数的图象如图：
结合图象可得若函数在区间单调递增，
需满足，即.
21. 已知、是方程的两个实数根．
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）若,，求的值
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理结合平方关系即可求解；
（2）切化弦化简即可求解；
（3）由韦达定理求出即可求解.
【小问1详解】
因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，，
由，
则，
所以；满足.
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为，所以①，，
所以，
因为,，所以，，②，
所以由①②可得，
所以．
22. 某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）
物理成绩统计表
（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；
（2）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
【答案】（1）117.8分；
（2）.
【解析】
【分析】（1）计算，再利用频率分布直方图估计平均数.
（2）计算得到两科均为“优”的人数为3人，设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，列出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【小问1详解】
依题意，，
解得，
所以数学成绩的平均分：
.
【小问2详解】
数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，则两科均为“优”的人数为3人.
设两科均为“优”的同学为，物理成绩不是“优”的同学为B，
则从4人中随机抽取2人的所有情况有：，
符合题意的情况有：，
故两人恰好均为物理成绩“优”概率.分组
频数
6
9
20
10
5