四川省成都市天府第七中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等B. 若满足且与同向，则
C. 对于任意向量，必有D. 平行向量不一定是共线向量
2. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列条件中，能判断平面与平面平行的是
A. 内有无穷多条直线都与平行
B. 与同时平行于同一条直线
C. 与同时垂直于同一条直线
D. 与同时垂直于同一个平面
4. 已知向量，若间的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A. 平面PACB. C. D. 平面平面PBC
6. 若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
8. 在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ）
A. B. C. D.
二、生选题（本愿共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要录，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A. B. 复数的虚部为
C. 若复数为纯虚数，则D.
10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是钝角三角形
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，，，则只有一解
11. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与， 不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A. 存在某个位置，使
B. 存在点，使得平面成立
C. 存在点，使得平面成立
D. 四棱锥体积最大值为
三、填空题（每题5分，4题共20分）
13. 已知，，，则______.
14 =______
15. “李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为_________.
16. 在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，_________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17. 已知向量，，．
（1）若，求值；
（2）若，求值．
18. 在中，分别是角所对的边，且满足．
（1）求角的大小；
（2）设向量，向量，且，判断形状．
19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，，平面是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
20. 如图1，在梯形中，，，，.现将梯形沿对角线折成直二面角，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.
21. 如图，四棱锥中，平面分别为线段 的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面
22. 如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，沿将折起，点在线段上.
（1）若，求证：平面；
（2）若平面平面，是否存在点，使得平面与平面的夹角为90°？若存在，求此时三棱锥的体积；若不存在，说明理由.