2023-2024学年陕西省西安市铁一中高二（下）月考数学试卷（一）（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市铁一中高二（下）月考数学试卷（一）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a8=3a11，则S12S6=( )
A. 109B. 910C. 89D. 98
2.若对∀x∈R，(ax+b)5=(x+2)5−5(x+2)4+10(x+2)3−10(x+2)2+5(x+2)−1恒成立，其中a，b∈R，则a−b=( )
A. 3B. 2C. 0D. −1
3.已知随机变量ξ～N(2,σ2)，且P(0≤ξ≤2)+P(ξ>m)=0.5，则m=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.若函数f(x)=x3+ax2+6x−3在R上存在极值，则正整数a的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有( )
A. 450种B. 180种C. 720种D. 360种
6.已知函数f(x)=cs2(x+π6)−2sin2(x+π6)+2.则关于它该函数性质的说法中，正确的是( )
A. 最小正周期为2π
B. 将其图象向右平移π6个单位，所得图象关于y轴对称
C. 对称中心为(π12+kπ2,0)(k∈Z)
D. [0,π2]上单调递减
7.已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边AD和BC上，则该椭圆的离心率为( )
A. 22B. 3−12C. 5−12D. 32
8.下列说法正确的是( )
A. 线性回归模型y=bx+a+e是一次函数
B. 在线性回归模型y=bx+a+e中，因变量y是由自变量x唯一确定的
C. 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适
D. 用R2=1−ni =1(yi−yi)2ni =1(yi−y)2来刻画回归方程，R2越小，拟合的效果越好
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有( )
A. E(aX+b)=aE(X+ba)B. D(aX+b)=a2D(X+ba)
C. D(X)=E(X2)−E(X)D. D(X)=E(X2)−(E(X))2
10.对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A. 若a⋅b<0，则a，b的夹角是钝角
B. 若a=(1,2,3)，b=(−1,−1,1)，则a⊥b
C. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
D. 若a=(1,0,0)，b=(0,2,0)，c=(0,0,3)，则a，b，c可以作为空间中的一组基底
11.在等差数列{an}中，a66<0，a67>0，且a67>|a66|，Sn为数列{an}的前n项和，则( )
A. 公差d<0B. a66+a67<0
C. S131<0D. 使Sn>0的n的最小值为132
12.甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件A，B，C是两两互斥的事件B. 事件A与事件D为相互独立事件
C. P(D|A)=29D. P(D)=1972
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量a=(−2,0)，b=(m,1)，若(a+b)⊥b，则|a+b|= ______．
14.双曲线x2−15y2=a(a>0)与椭圆x225+y29=1的焦点相同，则实数a= ______．
15.已知函数f(x)=ax(x<0)(a−3)x+4a(x≥0)为减函数，则a的取值范围是______．
16.已知函数g(x)=13x3+2x−3+mx(m>0)是[1,+∞)上的增函数.当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率．
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n．
(1)求{an}的通项公式；
(2)已知cn=122an,n=2k−12an⋅an+2,n=2k，k∈N*，求数列{cn}的前20项和．
19.(本小题12分)
“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
附表：
(1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
20.(本小题12分)
已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点．BF⊥A1B1．
(1)求证：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
21.(本小题12分)
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2( 2+1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线y=kx−1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，|MN|=λ|PQ|，求实数λ的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=ex−ax2−x−1．
(1)当a=e2时，求f(x)的极值点个数；
(2)当x∈[0,+∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围；
(3)求证：22e−1+22e2−1+⋯+22en−1<32，其中n∈N*．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，由a8=3a11，得a8=3a8⋅q3，∴q3=13，
∴S12S6=a11−q(1−q12)a11−q(1−q6)=1+q6=1+(13)2=109．
故选：A．
由题意，利用等比数列的定义、性质、前n项和公式，计算求得要求式子的值．
本题主要考查等比数列的定义、性质、前n项和公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对∀x∈R，(ax+b)5=(x+2)5−5(x+2)4+10(x+2)3−10(x+2)2+5(x+2)−1恒成立，其中a，b∈R，
令x=0，可得b5=32−80+80−40+10−1=1，∴b=1，
再令x=−2，可得(1−2a)5=−1，∴a=1，
则a−b=0．
故选：C．
在所给的等式中，分别令x=0、x=−2，求得a、b的值，可得a−b的值．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵ξ～N(2,σ2)，∴P(0≤ξ≤2)+P(ξ<0)=0.5，∴P(ξ<0)=P(ξ>m)，
∴0+m2=2，解得：m=4．
故选：B．
根据正态分布曲线性质知P(ξ<0)=P(ξ>m)，由对称性可构造方程求得结果．
本题主要考查正态分布曲线，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+6x−3，
∴f′(x)=3x2+2ax+6，
∵函数f(x)=x3+ax2+6x−3在R上存在极值，
∴函数f(x)=x3+ax2+6x−3在R上不是单调函数，
可得f′(x)=3x2+2ax+6有两个不等的根，
即Δ=4a2−72>0，
解得a<−3 2，或a>3 2，
∴正整数a的最小值为5．
故选：B．
求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上有两个不等实数根，再由判别式大于0求出实数a的取值范围，即可得到正整数a的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查化归与转化思想，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：方案一：每个舱各安排2人，共有C62C42C22A33⋅A33=90(种)不同的方案；
方案二：分别安排3人，2人，1人，共有C63C32C11A33=360(种)不同的方案，
所以共有90+360=450种不同的安排方案．
故选：A．
安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=cs2(x+π6)−2sin2(x+π6)+2
=1+cs(2x+π3)2−2×1−cs(2x+π3)2+2=32cs(2x+π3)+32，
周期为：T=2π2=π，所以A不正确；
将其图象向右平移π6个单位，所得函数y=f(x−π6)=32cs2x+32，则图象关于y轴对称，所以B正确；
令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2(k∈Z)，对称中心为(π12+kπ2,32)(k∈Z)，所以C不正确；
当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，函数先减后增，所以D不正确；
故选：B．
化简函数的解析式，求出函数的周期怕啥A；利用函数的平移变换求解函数的解析式判断B；利用函数的对称中心判断C，函数的单调性判断D；
本题考查三角函数的图象变换，三角函数的化简求值，函数的单调性对称轴以及函数的周期的求法，是中档题．
7.【答案】C
【解析】解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
当x=c时，y=±b2a，
可得|AB|=2c,|BC|=2b2a，
四边形ABCD为正方形，
故2c=2b2a，即b2=ac，
所以a2−c2=ac，
所以e2+e−1=0，解得e=−1± 52，因为e∈(0,1)，
所以e= 5−12，(负值舍)．
故选：C．
根据椭圆的性质得到2c=2b2a，进而求解结论．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．A不正确，
根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故B不正确；
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
用相关指数R2可以刻画回归的效果，R2的值越大说明模型的拟合效果越好，故D不正确．
故选：C．
由条件利用残差、相关指数R2的意义、线性回归模型的意义即可作出判断．
本题考查回归分析，本题解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，本题是一个中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，E(aX+b)=aE(X+ba)，故A正确；
对于B，D(aX+b)=a2D(X)=a2D(X+ba)，故B正确；
对于C，D，D(X)=E(X2)−(E(X))2，故C错误；D正确．
故选：ABD．
根据已知条件，结合期望与方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查期望与方差的线性公式，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，若a⋅b<0，则a，b的夹角θ满足csθ<0，
所以θ是钝角或θ=π，所以选项A错误；
对于B，因为a⋅b=−1−2+3=0，所以a⊥b，选项B正确；
对于C，根据向量的数量积定义知，a⋅b=b⋅c时，a=c不一定成立，选项C错误；
对于D，因为b≠λa+μb，所以向量a、b、c不共面，
a，b，c可以作为空间中的一组基底，选项D正确．
故选：BD．
根据题意，对选项中的命题进行分析与判断，即可得出正确的答案．
本题考查了空间向量的有关概念和运算律，也考查了分析与判断能力，是基础题．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的定义，性质及求和公式的应用，属于中档题．
结合等差数列的定义可判断选项A，结合已知项的符号可判断选项B；结合等差数列的求和公式及性质可判断选项C，D．
【解答】
解：因为等差数列{an}中，a66<0，a67>0，
所以d>0，A错误；
因为a67>|a66|，
所以a67>−a66，即a67+a66>0，B错误；
S131=131(a1+a131)2=131a66<0，C正确；
S132=132(a1+a132)2=66(a67+a66)>0，
故Sn>0的n的最小值为132，D正确．
故选：CD．
12.【答案】ACD
【解析】解：由题意可得P(A)=38，P(B)=38，P(C)=14，
显然事件A，B，C是两两互斥的事件，故A正确，
P(D)=P(DA)+P(DB)+P(DC)=38×29+38×39+14×29=1972，P(AD)=38×29=672，
因为P(AD)≠P(A)P(D)，故事件A与事件D不是相互独立，故B错误，
P(D|A)=P(DA)P(A)=67238=29，故C正确，
P(D)=1972，故D正确．
故选：ACD．
根据互斥事件和相互独立事件即可判断A、B，由概率计算值即可判断C、D．
本题考查互斥事件、相互独立事件、概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】 2
【解析】解：因为a=(−2,0)，b=(m,1)，
所以a+b=(m−2,1)，
因为(a+b)⊥b，
所以(a+b)⋅b=0，即m(m−2)+1=0，
解得m=1，所以a+b=(−1,1)，
所以|a+b|= 1+1= 2．
故答案为： 2．
由平面向量的坐标运算计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
14.【答案】15
【解析】解：由椭圆的标准方程x225+y29=1可知：该椭圆的焦距为2× 25−9=8，
所以该椭圆的焦点坐标为(4,0)，(−4,0)，
由x2−15y2=a(a>0)⇒x2a−y2a15=1⇒4= a+a15⇒a=15．
故答案为：15．
根据椭圆的焦点坐标，结合双曲线的性质进行求解即可．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了双曲线的性质，属于基础题．
15.【答案】(0,14]
【解析】解：因为函数f(x)为减函数，
所以y=ax递减，y=(a−3)x+4a递减，且a0≥(a−3)×0+4a，
所以0故答案为：(0,14].
由题意可知，y=ax递减，y=(a−3)x+4a递减，且a0≥(a−3)×0+4a，由此可得关于a的不等式组，解出即可．
本题考查函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
16.【答案】(0,−3)
【解析】解：由g(x)=13x3+2x−3+mx得g′(x)=x2+2−mx2．
∵g(x)是[1,+∞)上的增函数，∴g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，即x2+2−mx2≥0在[1,+∞)上恒成立．设x2=t，∵x∈[1,+∞)，∴t∈[1,+∞)，即不等式t+2−mt≥0在[1,+∞)上恒成立．
设y=t+2−mt，t∈[1,+∞)，
因为y′=1+mt2>0，所以函数y=t+2−mt在[1,+∞)上单调递增，
因此ymin=3−m．
∵ymin≥0，∴3−m≥0，即m≤3．
又m>0，故0故得g(x)=13x3+2x−3+3x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)．
将函数g(x)的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为ϕ(x)=13x3+2x+3x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)．
由于ϕ(−x)=−ϕ(x)，所以ϕ(x)为奇函数，故ϕ(x)的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数g(x)的图象关于点Q(0,−3)成中心对称．
这表明存在点Q(0,−3)，使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故答案为：(0,−3)．
先求出m的最大值为3，可得g(x)=13x3+2x−3+3x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，利用函数g(x)的图象关于点Q(0,−3)成中心对称，即可求出点Q的坐标．
本题考查导数知识的运用，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)记事件A为任取一个零件，计算它是次品，
P(A)=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第(i=123)台车床加工的概率，就是计算在A发生的条件下，事件B发生的概率，
P(AB1)=0.06×0.25=0.015，
P(B1|A)=P(AB1)P(A)=，
同理得，P(B2|A)=27，P(B3|A)=37．
【解析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；
(2)分别计算第i台车床的次品率，再根据条件概率公式计算即可．
本题考查相互独立事件的概率公式以及条件概率，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵a1+2a2+…+nan=n①，
∴当n=1时，a1=1，
当n≥2时，a1+2a2+⋅⋅⋅+(n−1)an−1=n−1②，
由①−②得an=1n(n≥2)，
当n=1时，a1=1满足an=1n，
∴数列{an}的通项公式为an=1n；
(2)由(1)得an=1n，cn=122an,n=2k−12an⋅an+2,n=2k，k∈N*，
∴c1+c3+⋅⋅⋅+c19=1+3+5+⋯+1922=(1+19)×102×22=10022，
c2+c4+⋅⋅⋅+c20=22×4+24×6+⋅⋅⋅+220×22=((12−14)+(14−16)+⋅⋅⋅+(120−122))=12−122=1022，
c1+c2+c3+c4+⋅⋅⋅+c19+c20=10022+1022=5，
故数列{cn}的前20项和为5．
【解析】(1)根据数列的递推式，当n=1时，求出a1=1，当n≥2时，a1+2a2+⋅⋅⋅+(n−1)an−1=n−1，作差即可得出答案；
(2)由(1)得an=1n，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得，爱好运动的员工共有30×815=16人，由表中男爱好运动的员工为10人，可得女爱好运动的员工有6人，
故可得如下2×2列联表：
零假设为H0：爱好运动与否与性别没有关系，
χ2=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即接受H0，即认为爱好运动与否与性别没有关系．
(2)X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C82C142=413，
P(X=1)=C81C61C142=4891，
P(X=2)=C62C142=1591，
所以X的分布列为：
X的数学期望为：
E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．
【解析】(1)根据题意完成2×2列联表，求得X2，与观测值表进行比较，即可得出结论；
(2)求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
20.【答案】(1)证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC−A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB=BC=2，
∴CF=1，BF= 5，
∵BF⊥A1B1，AB/​/A1B1，
∴BF⊥AB，
∴AF= AB2+BF2= 22+ 52=3，AC= AF2−CF2= 32−12=2 2，
∴AC2=AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，
设B1D=m，则D(m,0,2)，
∴BF=(0,2,1)，DE=(1−m,1,−2)，
∴BF⋅DE=0，即BF⊥DE．
(2)解：由(1)知：AB⊥平面BB1C1C，
∴平面BB1C1C的一个法向量为n1=(1,0,0)，
由(1)知，DE=(1−m,1,−2)，EF=(−1,1,1)，
设平面DEF的法向量为n2=(x,y,z)，
则n2⋅DE=0n2⋅EF=0，即(1−m)x+y−2z=0−x+y+z=0，
令x=3，则y=m+1，z=2−m，
∴n2=(3,m+1,2−m)，
∴cs=n1·n2|n1|⋅|n2|
=31× 9+(m+1)2+(2−m)2
=3 2m2−2m+14=3 2(m−12)2+272，
∴当m=12时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大为 63，此时正弦值最小为 33．
【解析】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
(1)连接AF，易知CF=1，BF= 5，由BF⊥A1B1⇒BF⊥AB，再利用勾股定理求得AF和AC的长，从而证明BA⊥BC，然后以B为原点建立空间直角坐标系，证得BF⋅DE=0，即可；
(2)易知平面BB1C1C的一个法向量为n1=(1,0,0)，求得平面DEF的法向量n2，再由空间向量的数量积可得cs=3 2(m−12)2+272，从而知当m=12时，得解．
21.【答案】解：(1)如图，其中A(−a,0)，F(c,0)，

双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2，
则a=b，c= a2+b2= 2a，由题知BF⊥AF，
所以B(c,b2a)，
则S△ABF=12|AF|⋅yB=12(c+a)⋅b2a=( 2+1)a22=2( 2+1)，解得a=2，
所以双曲线C的方程为x24−y24=1．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=kx−1x2−y2=4，消去y并整理可得，(1−k2)x2+2kx−5=0，
所以1−k2≠0Δ=4k2+20(1−k2)>0x1x2=−51−k2<0，则−1且x1+x2=−2k1−k2,x1x2=−51−k2，
所以|MN|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2 (−2k1−k2)2−4×−51−k2=2 1+k2× 5−4k21−k2，
设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，
由y=kx−1y=x，得x3=1k−1，同理，x4=1k+1，
所以|PQ|= 1+k2|x3−x4|= 1+k2|1k−1−1k+1|=2 1+k21−k2，
所以λ=|PQ||MN|=2 1+k2× 5−4k21−k22 1+k21−k2= 5−4k2，−1因为 5−4k2∈(1, 5],
所以λ的取值范围是(1, 5]．
【解析】(1)根据已知可得a=b，结合过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2( 2+1)，可得a的值，即可得双曲线方程；
(2)根据直线与双曲线相交，联立直线与双曲线，即可得交点坐标关系以及k的取值范围，由|MN|=λ|PQ|，分别求得|MN|与|PQ|的表达式，可得λ与k的关系式，即可得实数λ的取值范围．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=e2时，f(x)=ex−e2x2−x−1，
所以f′(x)=ex−ex−1，f″(x)=ex−e，
所以当x<1时，f″(x)<0，f′(x)在(−∞,1)上单调递减；
当x>1时，f″(x)>0，f′(x)在(1,+∞)上单调递增，
因为f′(0)=0，f′(1)=−1，f′(2)=e2−2e−1>0，
所以存在x0∈(1,2)，使f′(x0)=0，
所以，x∈(−∞,0)时，f′(x)>0；x∈(0,x0)时，f′(x)<0；x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，
所以0和x0是f(x)的极值点，
所以f(x)有两个极值点．
(2)f(x)=ex−ax2−x−1，f′(x)=ex−2ax−1，
设h(x)=f′(x)=ex−2ax−1(x≥0)，则h′(x)=ex−2a单调递增，
又h′(0)=1−2a，
所以当a≤12时，h′(x)≥0，h(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(0)=0，即f′(x)≥0，f(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)=0，符合题意，
当a>12吋，令h′(x)=0，解得x=ln2a，
当x∈[0,ln2a)时，h′(x)<0，h(x)在[0,ln2a)上单调递减，f′(x)=h(x)≤h(0)=0，
f(x)在(0,ln2a)上单调递减，
所以x∈(0,ln2a)时，f(x)所以a的取值范围是(−∞,12].
(3)由(2)可知a=12时，f(x)≥0，x∈[0,+∞)，即2ex−1≥x2+2x+1(x≥0)，
所以2en−1≥n2+2n+1>n2+2n，22en−1<2n(n+2)，
所以22e−1+22e2−1+...+22en−1<21×3+22×4+...+2n(n+2)=1−13+12−14+...+1n−1n+2=1+12−1n+1−1n+2<32．
【解析】(1)当a=e2时，f(x)=ex−e2x2−x−1，求导分析f′(x)的单调性，f′(x)的零点，进而可得f(x)的极值点．
(2)①f(x)=ex−ax2−x−1，f′(x)=ex−2ax−1，设h(x)=f′(x)=ex−2ax−1(x≥0)，分两种情况：当a≤12时，当a>12吋，f(x)的最小值，即可得出a的取值范围．
②由(2)可知a=12时，即2ex−1≥x2+2x+1(x≥0)，由放缩法得2en−1≥n2+2n+1>n2+2n，则22en−1<2n(n+2)，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，极值点，解题中需要理清思路，属于中档题．男性
女性
合计
爱好
10
不爱好
8
合计
30
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
合计
爱好
10
6
16
不爱好
6
8
14
合计
16
14
30
X
0
1
2
P
413
4891
1591