2022-2023学年福建省厦门市海沧区北附学校八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年福建省厦门市海沧区北附学校八年级（下）期中数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2， 2， 3C. 8，24，25D. 9，12，15
2.若二次根式 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB // CD，AD=BCB. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB=AD，CB=CDD. AB // CD，AB=CD
4.如图，点M表示的实数是( )
A. 5B. 2C. 3D. 6
5.下列运算正确的是( )
A. 8− 2= 6B. 3× 7= 21
C. a+1a−1a=a,a≠0D. (−x2)3=x6
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AB的中点，点P在边BC上，且BP=BM.将点M平移到点P，则平移的距离等于( )
A. AB
B. 12AB
C. 12AC
D. 12BD
7.下面命题中，其逆命题是真命题的是( )
A. 全等三角形的对应角相等
B. 矩形的四个角都是直角
C. 正方形是对角线互相垂直且相等的四边形
D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
8.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )
A. x2+102=(x+1)2B. (x−1)2+52=x2
C. x2+52=(x+1)2D. (x−1)2+102=x2
9.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为( )
A. 45°B. 60°C. 67.5°D. 77.5°
10.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的三角形△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是( )
A. 5B. 3C. 2D. 7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.(1)计算：(3 2)2= ______； (−5)2= ______；( 5− 2)2= ______；
(2)化简： 40= ______； 95= ______；
(3)因式分解：3a2b−6ab= ______；
(4)不等式3x+2<−1的解集为______．
12.已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=______．
13.如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时：乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECD是______度．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，BC=4，点P为斜边AB上的一个动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，当CP取最小值时，QE= ______．
16.菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E在线段BC上，CE=2 3，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE=CP，则∠EPC的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 27× 24+ 18÷ 2；
(2)(5 2+2 5)(5 2−2 5)− 2( 2+ 6)；
(3)解方程组：2k+b=8−2k+b=−2．
18.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：AE=CF．
19.(本小题8分)
先化简再求值：(a+1−3a−1)÷a2+4a+4a−1，其中a= 2−2．
20.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5，AF/​/CE，AF=CE，求证：四边形ACEF是矩形．
21.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE垂直BC于点E，AB=2．
(1)求OE的长；
(2)若AB=BO，连接AE，求△AOE的面积．
22.(本小题8分)
如图1是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图2所示，“综合与实践”小组开展了测量篮板AB长度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，“综合与实践”小组设计了如下方案：
根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校篮板AB的长度(结果精确到0.01米)．
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AD=3，CD= 2，且∠D=45°，求菱形AECF的周长．
24.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是AD边上一点，将△ABP沿着直线PB折叠，得到△EBP．

(1)尺规作图：在AD边上作出一点P，使P，E，C三点在一直线上(不写作法，保留作图痕迹)，则此时AP的长为______；
(2)尺规作图：在AD边上作出一点P，使BE平分∠PBC(不写作法，保留作图痕迹)，此时△BEC的面积为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、∵1+2=3，故不能组成三角形，不符合题意；
B、( 2)2+( 3)2≠22，故不是直角三角形，不符合题意；
C、82+242≠252，故不是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，符合题意；
故选：D．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2.【答案】A
【解析】解：二次根式 x−3在实数范围内有意义，
则x−3≥0，
解得：x≥3，
则x的取值范围在数轴上表示为．
故选：A．
直接利用二次根式有意义的条件结合数轴得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确．
故选D．
平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
4.【答案】A
【解析】解：由图可知，OM= 22+12= 5，
故点M表示的数是 5，
故选：A．
根据图形可以求得矩形对角线的长，从而可以得到点M表示的实数，本体得以解决．
本题考查实数与数轴、勾股定理，解题的关键是明确题意，求出矩形对角线的长．
5.【答案】B
【解析】解：A、 8− 2=2 2− 2= 2≠ 6，本选项不符合题意；
B、 3× 7= 21，本选项符合题意；
C、a+1a−1a=a+1−1a=1≠a，本选项不符合题意；
D、(−x2)3=−x6≠x6，本选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的运算法则、同分母的分式减法、积的乘方法则计算出正确结果即可判断．
本题考查了二次根式的运算，分式的加减，积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵M是边AB的中点，
∴AM=BM=12AB=12BC，
∵BP=BM，
∴BP=12BC，
∴点P是BC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴PM=12AC，即平移的距离等于12AC，
故选C．
先证点P是BC的中点，由三角形中位线定理可得结论．
本题考查了菱形的性质，平移的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、命题：全等三角形对应角相等，其逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，逆命题为假命题，故该选项不符合题意；
B、命题：矩形的四个角都是直角，其逆命题为：四个角都是直角的四边形是矩形，逆命题为真命题，故该选项符合题意；
C、命题：正方形是对角线互相垂直且相等的四边形，其逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，逆命题为假命题，故该选项不符合题意；
D、命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，其逆命题为：如果两实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，逆命题为假命题，故该选项不符合题意；
故选：B．
首先分别写出各命题的逆命题，再判断其真假即可．
本题考查了判断一个命题的逆命题的真假，准确写出各命题的逆命题且判断出其真假是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设芦苇长x尺，由题意得：
(x−1)2+52=x2，
故选：B．
首先设芦苇长x尺，则为水深为(x−1)尺，根据勾股定理可得方程(x−1)2+52=x2．
此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAF=∠ABE=90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠ADF=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°，∠ADC=90°，
∴∠ADF=22.5°，
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°，
故选：C．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出∠ADF的度数．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直角三角形斜边中线定理、坐标与图形的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题．
取AB的中点F，连接CF、OF.首先求出OF=FC=1，根据三角形的三边关系可知：OC≤OF+OC，推出当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．
【解答】
解：取AB的中点F，连接CF、OF．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∵∠AOB=90°，AF=FB，
∴OF=FC=12AB=1，
∵OC≤OF+OC，
∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．
故选：C．
11.【答案】18 5 7−2 10 2 10 3 55 3ab(a−2) x<−1
【解析】解：(1)(3 2)2=18； (−5)2=|−5|=5；( 5− 2)2=5−2 10+2=7−2 10，
故答案为：18、5、7−2 10；
(2) 40= 4× 10=2 10， 95= 9×55×5= 9× 5 52=3 55，
故答案为：2 10、3 55；
(3)3a2b−6ab=3ab(a−2)，
故答案为：3ab(a−2)；
(4)∵3x+2<−1，
∴3x<−1−2，
3x<−3，
则x<−1，
故答案为：x<−1．
(1)依据二次根式的性质和完全平方公式逐一化简即可；
(2)根据二次根式的性质化简即可；
(3)提取公因式3ab即可；
(4)依次移项、合并、系数化为1即可．
本题主要考查二次根式的混合运算、因式分解、解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式的性质、因式分解的步骤和依据、解一元一次不等式的步骤．
12.【答案】36°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC/​/AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故答案为36°．
首先利用平行四边形性质得到∠C=∠A，BC/​/AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．
本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．
13.【答案】7：33
【解析】解：设x分钟后两船距离最近，
当如图EF⊥BD，AE=DF时，两船距离最近，
根据题意得出：36x=18.9−27x，
解得：x=0.3，
0.3小时=0.3×60分钟=18(分钟)，
则两船距离最近时的时刻为7：33．
故答案为：7：33．
根据平行线的性质得出当两船距离最近，36x=18.9−27x，进而求出x即可得出答案即可．
此题主要考查了平行线的之间的距离以及一元一次方程的应用，根据已知得出等式方程是解题关键．
14.【答案】45
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=90°×11+3=22.5°，
∠ACD=90°×31+3=67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B=90°−22.5°=67.5°，
∵E是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴∠ECD=∠BCE−∠BCD=67.5°−22.5°=45°，
故答案为：45．
先求出∠BCD和∠ACD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE，根据等边对等角可得∠BCE=∠B，再求出∠ECD=45°．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
15.【答案】 2
【解析】解：∵∠ACB=90°，PD⊥AC，PE⊥BC，
∴四边形PDCE是矩形，
∴PC=DE，QE=12DE=12PC，
当CP⊥AB时，CP取最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴Rt△ABC是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB= 42+42=4 2，
∵CP⊥AB，∠ACB=90°，
∴CP=12AB=2 2，
∴QE=12CP= 2，
故答案为： 2．
先证明四边形PDCE是矩形，得到QE=12DE=12PC，当CP⊥AB时，CP取最小值，再利用勾股定理求得AB的长，利用直角三角形的性质即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16.【答案】30°或45°或75°
【解析】解：如图所示：连接EP交AC于点H．
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠BCD=120°，∠ECH=∠PCH=60°．
∵CE=CP
∴∠EHC=∠PHC=90°，EH=PH．
∴∠EPC=90°−60°=30°；
如图2所示：当P在AD边上，CP⊥AD时，
则CP=2 3，
∵EC=2 3，
∴△ECP为等腰直角三角形，
∴∠EPC=45°．
如图3所示：当P在AB边上，CP⊥AB时，
∴∠BCP=90°−∠CBA=30°，
∵CE=CP，
∴∠EPC=∠PEC=12(180°−30°)=75°，
故答案为：30°或45°或75°．
①当P在CD边上时，连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，根据三线合一可得∠EHC=∠PHC=90°，根据三角形内角和定理求解即可；
②当P在AD边上，CP⊥AD时，求得CP=2 3=CE，可得△ECP为等腰直角三角形即可求解；
③当P在AB边上，CP⊥AB时，求得∠BCP=30°，利用等腰三角形的性质即可求解．
本题主要考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1) 27× 24+ 18÷ 2
=3 3×2 6+3 2÷ 2
=6 18+3
=18 2+3；
(2)(5 2+2 5)(5 2−2 5)− 2( 2+ 6)
=50−20−2− 12
=28−2 3；
(3)2k+b=8①−2k+b=−2②，
①−②得4k=10，
解得k=2.5，
①+②得2b=6，
解得b=3，
∴方程组的解集为k=2.5b=3．
【解析】(1)根据二次根式的乘除法运算计算，再合并即可求解；
(2)根据平方差公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并即可求解；
(3)利用加减消元法求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
【解析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，AB/​/CD，再根据平行线的性质可得∠ABE=∠CDF，然后利用AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明AE=CF．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于基础题，比较简单．
19.【答案】解：(a+1−3a−1)÷a2+4a+4a−1
=(a2−1a−1−3a−1)÷(a+2)2a−1
=(a+2)(a−2)a−1⋅a−1(a+2)2
=a−2a+2，
当a= 2−2时，原式= 2−2−2 2−2+2= 2−4 2=1−2 2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．
20.【答案】证明：在△AOB中，AO=3，BO=4，AB=5，
32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°，即AO⊥BO，
∴▱ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵AF/​/CE，AF=CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵AD=CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形．
【解析】利用勾股定理的逆定理证明∠AOB=90°，推出▱ABCD是菱形，再证明四边形ACEF是平行四边形，据此即可证明结论成立．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=12BD，OC=OA=12AC，
∴OB=OC=OA，
∵OE⊥BC，
∴BE=CE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB=1；
(2)由(1)得OB=OA，又AB=BO，
∴AB=BO=OA，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB=AB=2，
在Rt△OBE中，OE=1，
∴BE= 22−12= 3，
∴△AOE的面积=12BE×OE= 32．
【解析】(1)利用矩形的性质证明OB=OC，利用等腰三角形的性质得到BE=CE，推出OE是△ABC的中位线，据此即可求解；
(2)证明△ABO是等边三角形，推出OB=AB=2，利用勾股定理求得BE的长，再利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC= AD2−CD2= 52−3.0622≈3.952(米)，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BC= BE2−CE2= 52−4.0732≈2.900(米)，
∴AB=AC−BC≈3.952−2.900≈1.05(米)，
答：篮板AB的长度约为1.05米．
【解析】在Rt△ADC中，由勾股定理求出AC的长，再在Rt△BEC中，由勾股定理得求出BC的长，即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用等知识，由勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∵AF=CF，AE=CE，
∴AE=EC=CF=AF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)解：过C作CH⊥AD于H，
则∠CHD=∠CHF=90°，
∵∠D=45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH=DH= 22CD，
∵CD= 2，
∴CH=DH=1，
∵AD=3，
∴AH=2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，
则FH=2−x，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，
∴x2=(2−x)2+12，
∴x=54，
∴AF=CF=54，
∴菱形AECF的周长=54×4=5．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得出AF=CF，AE=CE，根据全等三角形的判定推出△AOF≌△COE，根据全等三角形的性质得出AF=CE，求出AE=EC=CF=AF，根据菱形的判定得出即可；
(2)根据勾股定理得出OE，进而解答即可．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24.【答案】2 15
【解析】解：(1)如图，点P为所作；
∵CP=CB=10，
∴PD= CP2−CD2= 102−62=8，
∴AP=AD−DP=10−8=2；
故答案为：2；
(2)如图，点P为所作，
过E作EH⊥BC于H，
∵△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，BE=BA=6，
∴∠EBC=30°，
∴EH=12BE=3，
∴S△BEC=12×10×3=15．
故答案为：15．
(1)以C为圆心，BC长为半径作弧交AD于点P，即可，再利用勾股定理求得PD的长，据此即可求解；
(2)以为AB边在矩形内作等边三角形ABE，作∠ABE的角平分线与AD交于点P，则BE平分∠PBC，作EH⊥BC，然后求出BE，从而得到△BEC的面积．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和折叠的性质．课题
测量篮板的长度
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
工具
竹竿，皮尺，计算器等
测量
示意图
说明：AB垂直于地面于点C，线段AD，BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处．
测量数据
测量项目
数值
竹竿的长度
5米
CD的长度
3.062米
CE的长度
4.073米
参考数值
3.0622≈9.376，4.0732≈16.589， 15.624≈3.952， 8.411≈2.900