2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江二中八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江二中八年级（下）期中数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若m>n，则下列选项中不成立的是( )
A. m+4>n+4B. m−4>n−4C. m4>n4D. −4m>−4n
3.下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是( )
A. a(x−y)=ax−ayB. 6ab=3a⋅2b
C. x2−4x+3=(x−3)(x−1)D. a2+1=a(a+1a)
4.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A. 8cmB. 13cmC. 8cm或13cmD. 11cm或13cm
5.当a，b互为相反数时，代数式a2+ab−2的值为( )
A. 2B. 0C. −2D. −1
6.已知△ABC的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. a=5，b=12，c=13
C. ∠A−∠B=∠CD. a2=b2−c2
7.在平面直角坐标系中，将点P(2,−2)绕原点逆时针旋转90°，得到的点Q的坐标为( )
A. (−2,2)B. (−2,−2)C. (2,2)D. (2,−2)
8.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集是( )
A. x>0
B. x<0
C. x>2
D. x<2
9.若关于x的不等式组x−a≥0x−3<0有3个整数解，则a的值最大可以是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
10.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB.下列结论中：
(1)∠1=∠EFD；
(2)BE=EC；
(3)BF=DF=CD；
(4)FD//BC．
正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.因式分解：3x2+6x= ______．
12.不等式2x−1>3的解集是 ．
13.如图△ABC平移后得到△DEF，若AE=11，DB=5，则平移的距离是______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是______．
15.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是______．
16.若不等式组x−a>1bx+3≥0的解集是−117.如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= ______．
18.如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=5，BC=6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为______．
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
分解因式：
(1)x(x−y)−y(y−x)；
(2)m2−25+9n2+6mn．
20.(本小题8分)
(1)解不等式2(x−1)<5x+4；
(2)解不等式组x+5≤03x−12≥2x+1，并写出它的最大负整数解．
21.(本小题8分)
如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C=90°，点E、F分别在AB，AC上，连接DE、DF，且DE=DF.求证：AE=AF．
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中.△ABC的坐标分别为A(3,4)，B(2,0)，C(0,2)．
(1)请你在图中作出将△ABC先向下平移2个单位，再向左平移4个单位后的△A′B′C′(点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应)；
(2)四边形BB′C′C的面积为______．
23.(本小题10分)
“戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯，某校为做好校园防护工作．计划采购一批洗手液，已知某超市推出以下两种优惠方案：
方案一：一律打八折．
方案二：购买量不超过200瓶时，按原价销售；超过200瓶时，超过的部分打六折．
设学校计划从该超市购买x瓶洗手液，方案一的费用为y1元．方案二的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．
(1)该洗手液的标价为______元/瓶；
(2)分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
(3)若该校计划购买420瓶洗手液．则选择哪种方案更省钱？请说明理由．
24.(本小题14分)
问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图(1)证明上述结论．
【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40( 3−1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据： 2=1.41， 3=1.73)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
此题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、若m>n，则m+4>n+4，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、若m>n，则m−4>n−4，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、若m>n，则m4>n4，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、若m>n，则−4m<−4n，原变形错误，故本选项符合题意．
故选：D．
根据不等式的基本性质解答即可．
本题考查了不等式的性质．能够灵活运用不等式的性质是解题的关键．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：A.是整式乘法，不是因式分解，选项不合题意；
B.左边不是多项式，不是因式分解，选项不合题意；
C.把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，选项符合题意；
D.结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项不合题意．
故选：C．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对腰长和底边长进行分类讨论是解题的关键．
分：当3cm是腰长时，当5cm是腰长时，两种情况进行讨论，再用三角形的三边关系验证即可．
【解答】
解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是11cm；
当5cm是腰长时，5，5，3能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是13cm．
则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得到a+b=0，
则原式=a(a+b)−2=0−2=−2，
故选C
由互为相反数两数之和为0得到a+b=0，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
B、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A−∠B=∠C
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、a2=b2−c2此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，点P(2,−2)绕原点O逆时针旋转90°，得到的Q点的坐标为(2,2)．
故选：C．
如图，根据旋转的性质把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OQ位置，然后根据第一象限点的坐标特征确定Q点的坐标．
本题主要考查了坐标与图形变化−旋转，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特征确定点的坐标．
8.【答案】C
【解析】解：由图象可得：当x>2时，kx+b<0，
所以关于x的不等式kx+b<0的解集是x>2，
故选：C．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】C
【解析】解：解不等式组x−a≥0x−3<0得x≥ax<3，
所以解集为a≤x<3；
又因为不等式组x−a≥0x−3<0有3个整数解，只能是2，1，0，
故a的值最大可以是0．
故选C．
先求出不等式组的解集(含字母a)，因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值．
解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10.【答案】A
【解析】解：(1)在△ADF和△ABF中，
AD=AB∠1=∠2AF=AF，
∴△ADF≌△ABF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF，
∵∠ABF+∠BAE=∠ADF+∠DFE=90°，
∴∠BAE=∠DFE，
∵∠1=∠2，
∴2∠1=∠DFE，
故(1)错误；
(2)当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，
则∠C≠∠CBE，
此时BE≠CE，
故(2)错误；
(4)∵△ADF≌△ABF，
∴∠ABF=∠ADF，
∵AB⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠C=90°，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ADF=∠C(等量代换)，
∴DF//BC(同位角相等，两直线平行)，
故(4)正确；
(3)延长AF与BC交于点H，连接DH，
∵AB=AD，∠1=∠2，AH=AH，
∴△ABH≌△ADH(SAS)，
∴BH=DH，∠ABH=∠ADH=90°，∠AHB=∠AHD，
∵BE⊥AC，
∴DH//BF，
∴∠EBH=∠DHC≠∠C，
∴DH≠DC，
∴BF=DH≠DC，
故(3)不正确；
综上所述，正确的说法有(4)一种；
故选：A．
先证明△ADF≌△ABF，得∠ADF=∠ABF，再根据等角的余角相等，得2∠1=∠DFE，便可判断(1)的正误；当△ABC不是等腰直角三角形时，∠C≠45°，则∠C≠∠CBE，此时BE≠CE，便可判断(2)的正误；证明∠ABE=∠C=∠ADF，得DF/​/BC，便可判断(4)的正确；延长AF与BC交于点H，连接DH，利用SAS可证得△ABH≌△ADH，可得BH=DH，∠ABH=∠ADH=90°，∠AHB=∠AHD，进而推出∠EBH=∠DHC≠∠C，则BF=DH≠DC，便可判断(3)的正误．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定．解题的关键是证明三角形的全等．
11.【答案】3x(x+2)
【解析】解：原式=3x2+6x
=3x(x+2)．
故答案为：3x(x+2)．
提取公因式即可．
此题考查了提公因式法进行因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】x>2
【解析】【分析】
本题主要考查解一元一次不等式．
移项后合并同类项得出2x>4，不等式的两边都除以2即可求出答案．
【解答】
解：2x−1>3，
移项得：2x>3+1，
合并同类项得：2x>4，
不等式的两边都除以2得：x>2，
故答案为：x>2．
13.【答案】3
【解析】解：由平移可得：AD=BE，
∵AE=11，DB=5，
∴AD=12×(11−5)=3，
故答案为：3
根据对应点A、D之间的距离即为平移距离解答．
本题考查了平移的性质，熟记性质并理解平移距离的表示是解题的关键．
14.【答案】12cm
【解析】【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC，则可求得答案．
【解答】
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=4+8=12(cm)，
即△ACE的周长是12cm，
故答案为：12cm．
15.【答案】4
【解析】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=12⋅BC×DF=12×4×2=4
故答案为：4．
根据角平分线的性质定理可得DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16.【答案】−2；−3
【解析】解：x−a>1①bx+3≥0②,
解不等式①得：x>1+a，
解不等式②得：bx≥−3，
∵不等式组x−a>1bx+3≥0的解集是−1∴不等式组的解集应为：1+a∴b<0，1+a=−1，−3b=1，
解得：a=−2，b=−3
故答案为：−2，−3．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出关于a、b的方程，求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，能得出关于a、b的方程是解此题的关键．
17.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=NC，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC−MC求出OM的长即可．
【解答】
解：如图，过P作PC⊥MN，
∵PM=PN，MN=2，
∴MC=NC=12MN=1，
在Rt△OPC中，∠POC=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=12OP=4，
则OM=OC−MC=4−1=3，
故答案为：3．
18.【答案】 61
【解析】解：如图，以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC′，连接AC′，
∵△BPD是等边三角形，
∴BP=BD=DP，∠PBD=60°，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°，
∴PC=C′D，∠PBC=∠DBC′，BC=BC′=6，
∴∠ABC′=∠ABP+∠PBD+∠DBC′=∠PBD+∠ABC+∠PBC=60°+30°=90°，
∵PA+PB+PC=PA+PD+DC′，
∴当点A，点P，点D，点C′共线时，PA+PB+PC有最小值为PC′，
∴PC′= AB2+C′B2= 25+36= 61，
故答案为： 61．
以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC′，连接AC′，可得BP=BD=DP，∠PBD=60°，PC=C′D，∠PBC=∠DBC′，BC=BC′=6，则当点A，点P，点D，点C′共线时，PA+PB+PC有最小值为PC′，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键．
19.【答案】解：(1)x(x−y)−y(y−x)
=x(x−y)+y(x−y)
=(x−y)(x+y)；
(2)m2−25+9n2+6mn
=(m+3n)2−25
=(m+3n+5)(m+3n−5)．
【解析】(1)利用提公因式法分解因式即可；
(2)利用公式法分解因式即可．
此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
20.【答案】解：(1)2(x−1)<5x+4，
去括号得，2x−2<5x+4，
移项，合并同类项得，−3x<6，
系数化为1得，x>−2；
(2)x+5≤0①3x−12≥2x+1②，
解不等式①，移项，合并同类项得，x≤−5；
解不等式②，去分母得，3x−1≥4x+2，
移项，合并同类项得，−x≥3，
系数化为1得，x≤−3，
故不等式组的解集为：x≤−5．
∴最大负整数解为−5．
【解析】(1)不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=CAD，
又∵∠B=∠C=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴BD=CD，AB=AC，
在Rt△BDE与Rt△CDF，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
∴AE=AF．
【解析】由AAS证明△ABD≌△ACD得出BD=CD，AB=AC，再由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可推出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】12
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)四边形BB′C′C的面积为S△BC′C+S△B′C′B=12×6×2+12×6×2=12．
故答案为：12．
(1)根据平移的性质作图即可．
(2)将四边形BB′C′C的面积转化为S△BC′C+S△B′C′B，再利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】15
【解析】解：(1)由图象可得，200瓶洗手液的打八折后的价格是2400元，
∴洗手液的单价为2400÷200÷80%=15(元/瓶)，
故答案为：15；
(2)方案一：y1与x的函数关系式为y1=0.8×15x=12x；
方案二：当0当x>200时，y2=15×200+(x−200)×15×0.6=9x+1200．
∴y1=12x，y2=15x(0200)；
(3)当x=420时，
12x=12×420=5040(元)，
9x−1200=9×420+1200=4980(元)，
4980<5040，
答：方案二更省钱．
(1)根据图象可得洗手液的单价；
(2)根据题意，可以分别写出两种优惠活动y与x的函数关系式；
(3)把x=420代入由(2)得到的解析式解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24.【答案】【发现证明】证明：如图(1)，
∵△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
∴△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，∠ADG=∠B=90°，
∴∠ADG+∠ADF=180°，即D、G、F共线，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AFG和△AFE中，
AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF,
∴△AFG≌△AFE(SAS)，
∴GF=EF，
又∵DG=BE，
∴GF=BE+FD，
∴EF=BE+FD；
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图(2)，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
AB=AD∠ABM=∠DBM=DF，
∴△ABM≌△ADF(SAS)，
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE=AE∠FAE=∠MAEAF=AM，
∴△FAE≌△MAE(SAS)，
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+FD．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图(3)，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
由旋转得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80× 32=40 3(米)，HF=HD+DF=40+40( 3−1)=40 3(米)，
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF−∠HAD=45°−30°=15°
从而∠EAF=∠EAD−∠DAF=90°−15°=75°
∴∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据【类比引申】有：EF=BE+DF=80+40( 3−1)≈109(米)，
答：这条道路EF的长约为109米．
【解析】【分析】
【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+FD，只要再证明△AFG≌△AFE(SAS)即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ABM≌△ADF(SAS)，证△FAE≌△MAE(SAS)，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．
此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD=2∠EAF，再利用【类比引申】的结论即可得到答案．
此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路为解决此题做了较好的铺垫．