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2022-2023学年福建省莆田市荔城区擢英中学八年级（下）期中数学试卷(含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省莆田市荔城区擢英中学八年级（下）期中数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y= x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≤2B. x<2C. x>2D. x≥2
2.下列各式中，正确的是( )
A. 2 3− 3=2B. 4+9=5C. 2× 3=6D. 27÷ 3=3
3.已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列各点在该函数图象上的是( )
A. (−1,−2)B. (−1,3)C. (1,3)D. (3,1)
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BCB. AB//CD，AB=CD
C. OA=OC，OB=ODD. AB//CD，AD=BC
5.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 1， 2， 3C. 4，6，8D. 5，12，15
6.对于函数y=−3x+1，下列结论正确的是( )
A. 它的图象必经过点(1,3)B. 它的图象经过第一、三、四象限
C. 当x>0时，y<0D. y的值随x值的增大而减小
7.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH=8，则CH的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.一架4.1m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m，那么梯子的顶端与地面的距离是( )
A. 3.2mB. 4.0mC. 4.1mD. 5.0m
9.顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为10和24的菱形，它的中点四边形的对角线长为( )
A. 13B. 15C. 17D. 19
10.在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y=34x上，且纵坐标为3，AD⊥y轴，垂足为D，点B(0,7)，点C在线段AB上，且AC= 22AD，若直线l：y=mx+n过点C，则下列结论一定成立的是( )
A. m= 2−2mB. n=3−4mC. n=5−2mD. n=7−4m
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.把 12化成最简二次根式为______．
12.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，对角线AC，BD交于点O，则OA=______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为______．
14.在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b>mx+n的解集为______．
15.如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的总面积为49cm2，直角三角形①的斜边为25cm，则直角三角形①的面积为______．
16.如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 24× 13− 2(1− 2)0+ 32．
18.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，E、F分别是OA、OC上的点且AE=CF.求证：BE=DF．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=5，△ABE的面积为25，求四边形ACBE的面积．
20.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的周长．
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,5)，与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求AB的函数表达式；
(2)若点D在y轴负半轴，且满足S△COD=13S△BOC，求点D的坐标．
22.(本小题8分)
已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值．小明同学是这样分析与解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3．
∴a−2=− 3．
∴(a−2)2=3，即a2+4a+4=3．
∴a2+4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2+4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)计算：1 7+ 6=______；
(2)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 100+ 99；
(3)若a=1 5−2，求a4−4a3−4a+3的值．
23.(本小题8分)
2022年，我市一电动自行车专卖店计划购进A、B两种符合国家标准的新款电动自行车.已知购进2辆A型比购进1辆B型多用2000元；购买2辆A型和3辆B型共用14000元．
(1)求出A、B两种型号的电动车各自的进货单价；
(2)该专卖店计划购进这两种型号的电动自行车共30辆，且A型数量不低于20辆.商家决定A型车以每辆2800元出售，B型车每辆3500元出售.该专卖店该如何安排进货方案，才能使销售完后获利最大，最大利润是多少？
24.(本小题8分)
如图，点E为正方形ABCD内一动点，∠AEB=90°.过点B作BG⊥BE，且BG=BE，连接CG，DE．
(1)求证：∠EAB=∠GCB；
(2)延长AE至点F，使得EF=BE，求证：C，F，G三点在同一条直线上；
(3)在(2)的条件下，若点E在运动过程中，存在四边形CFBE为平行四边形．试探究此时DE，CD满足的数量关系．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程x2−7x+12=0的两个根(OA(1)求直线AC的函数解析式；
(2)设点B(0,m)，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A、2 3− 3= 3，故错误，不合题意；
B、 4+9= 13，故错误，不合题意；
C、 2× 3= 6，故错误，不合题意；
D、 27÷ 3= 9=3，故正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的四则运算法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，
∴6=2k，解得k=3，
∴正比例函数为y=3x，
在正比例函数y=3x中，
A、若x=−1，则y=3×(−1)=−3，(−1,−2)不在函数图象上，故A不符合题意；
B、若x=−1，则y=3×(−1)=−3，(−1,3)不在函数图象上，故B不符合题意；
C、若x=1，则y=3×1=3，(1,3)在函数图象上，故C符合题意；
D、若x=3，则y=3×3=9，(3,−1)不在函数图象上，故D不符合题意；
故选：C．
先求出正比例函数y=3x，再将点坐标逐个代入，即可得答案．
本题考查待定系数法及函数图象上点坐标的特征，掌握函数图象上的点，其坐标需满足解析式是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB//CD，AD=BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴故选项D符合题意；
故选：D．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+62=52，82=64，
∴42+62≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，152=225，
∴122+52≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：当x=1时，y=−3x+1=−3+1=−2，
∴A选项不符合题意；
∵一次函数y=−3x+1中−3<0，1>0，
∴一次函数经过一、二、四象限，
∴B选项不符合题意；
当x=0时，y=−3x+1=1，
∴当x>0时，y<1，
∴C选项不符合题意；
∵一次函数y=−3x+1中−3<0，
∴y随着x增大而减小，
∴D选项符合题意．
故选：D．
根据一次函数y=−3x+1的图象和增减性即可作出判断．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H是边AB的中点，
∴CH=12AB，
∵点E、F分别是边BC、CA的中点，
∴EF=12AB，
∴EF=CH，
∵EF+CH=8，
∴CH=EF=12×8=4，
故选：B．
根据直角三角形的性质得到CH=12AB，根据三角形中位线定理得到EF=12AB，进而证明EF=CH，根据EF+CH=8计算即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，由题意可知，AB=4.1m，BC=0.9m，梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，
由勾股定理得AC= AB2−BC2= (4.1)2−(0.9)2=4m．
故选B．
根据题意画出图形，即可根据勾股定理求解．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF//GH//AC，EH=FG=12DB，EF=HG=12AC，EH//FG//BD．
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=12BD=5，EF=12AC=12，
∴HF= EH2+EF2=13．
故选：A．
顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图所示．
当y=3时，34x=3，
解得：x=4，
∴点A的坐标为(4,3)，
∵AD⊥y轴，垂足为D，
∴AD=4．
∵点B的坐标为(0,7)，
∴BD=7−3=4=AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
∴△ACE为等腰直角三角形．
∵AC= 22AD，
∴AE=CE= 22AC=12AD=2，
∴DE=AD−AE=2，
∴点C的坐标为(2,3+2)，即(2,5)．
又∵直线l：y=mx+n过点C，
∴5=2m+n，
∴n=5−2m．
故选：C．
过点C作CE⊥AD于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，易证△ABD和△ACE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出AE，CE的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出n=5−2m．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的判定与性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，找出OD，AE，CE的长是解题的关键．
11.【答案】 22
【解析】解： 12= 1×22×2= 22，
故答案为： 22．
根据二次根式的除法法则化简或根据分母有理化进行化简．
本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式和掌握分母有理化的方法．
12.【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=DC，OA=OC，
∵AB=4，
∴DC=4，
在Rt△ADC中，AC= AD2+DC2= 32+42=5，
∴OA=OC=2.5．
根据矩形的性质，可得∠ADC=90°，然后根据勾股定理可AC=5，进而求出OA的值．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
13.【答案】3
【解析】解：设C′D=x，则AD=8−x，
由折叠得：CD=C′D=x，BC=BC′=6，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴AC′=10−6=4，
由勾股定理得：AD2=C′D2+C′A2，
(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
故答案为：3．
先设C′D=x，根据折叠性质表示出△AC′D三边的长：AD=8−x，AC′=6，C′D=x，根据勾股定理列方程求出x即可．
本题是折叠问题，熟练掌握折叠的性质是关键：折叠前后的两个角对应相等，同时查了勾股定理的运用，利用勾股定理列方程求出边的长．
14.【答案】x>3
【解析】解：由图象可知，关于x的不等式ax+b>mx+n的解集为x>3，
故答案为：x>3．
根据两个一次函数的图象交点横坐标为3，进一步可得不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
15.【答案】84cm2
【解析】解：∵②为直角三角形，阴影部分是两个正方形，
∴d2+e2=a2=49cm2，
∴a= 49=7(cm)，
∵①为直角三角形，c=25cm，
∴b= c2−a2=24cm，
∴直角三角形①的面积=12ab=12×7×24=84(cm2)，
故答案为：84cm2．
根据勾股定理得出空白正方形的面积，进而得出其边长，再根据勾股定理求出①的长直角边的长度，最后根据三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
16.【答案】 7+1
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于BD对称，
连接AE，交BD于点F，当P与F重合时，PE+PC最小，
过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，
∵菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60°，E是BC的中点，
∴BE=EC=1，AB=2，∠EBG=∠DAB=60°，
∴BG=12BE=12，EG= 12−(12)2= 32，
∴AG=AB+BG=2+12=52，
∴AE= ( 32)2+(52)2= 7，
∴△PCE的周长的最小值为AE+EC= 7+1，
故答案为： 7+1．
先求PC+CE的最小值，再计算周长的最小值即可．
本题考查了菱形的性质，将军饮马河原理，勾股定理，熟练掌握菱形性质和将军饮马河原理是解题的关键．
17.【答案】解： 24× 13− 2(1− 2)0+ 32
= 8− 2×1+4 2
=2 2− 2+4 2
=5 2．
【解析】先算乘法，零指数幂，化简二次根式，再算乘法，最后合并．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
19.【答案】解：∵DE=5，△ABE的面积为25，DE是AB边上的高，
∴12AB×5=25，
解得：AB=10，
在三角形ABC中，
∵AC2+BC2=82+62=100=102=AB2，
∴三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴四边形ACBE的面积=S△ABC+S△ABE=12×6×8+25=24+25=49．
【解析】先根据三角形的面积公式求出AB=10，进而根据勾股定理的逆定理判断∠C=90°，再根据四边形ACBE的面积=S△ABC+S△ABE求解即可．
本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确得出三角形ABC是直角三角形是关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CE，
∵DE//AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴平行四边形ADEC是矩形．
(2)∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵点M为AB的中点，
∴AB=2CM=10，
∵AC=8，
∴BC= AB2−AC2=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，
∴四边形ADEC的周长=2×(6+8)=28．
【解析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得到AD//CE，推出四边形ADEC是平行四边形，根据垂直的定义得到∠ACE=90°，于是得到结论；
(2)根据直角三角形的性质得到AB=2CM=10，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=6，根据矩形的周长公式即可得到结论．
21.【答案】解：(1)当x=1时，y=3x=3，
∴C(1,3)，
将A(−1,5)，C(1,3)代入y=kx+b，
得−k+b=5k+b=3，解得k=−1b=4，
∴直线AB的解析式是y=−x+4；
(2)y=−x+4中，令y=0，则x=4，
∴B(4,0)，
设D(0,m)(m<0)，
S△BOC=12×OB×|yC|=12×4×3=6，
S△COD=12×OD⋅丨xC丨=12×丨m丨×1=−12m，
∵S△COD=13S△BOC，
∴−12m=13×6，
解得m=−4，
∴D(0,−4)．
【解析】(1)先求得点C的坐标，再根据待定系数法即可得到AB的函数表达式；
(2)设D(0,m)(m<0)，依据S△COD=13S△BOC，即可得出m=−4，进而得到D(0,−4)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是利用待定系数法求出k、b的值．
22.【答案】 7− 6
【解析】解：(1)1 7+ 6= 7− 6( 7+ 6)( 7− 6)= 7− 6；
故答案为： 7− 6；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 100− 99= 100−1=10−1=9；
(3)∵a=1 5−2= 5+2，
∴a−2= 5，
∴(a−2)2=5，即a2−4a+4=5，
∴a2−4a=1，
∴a4−4a3−4a+3=a2(a2−4a)−4a+3=a2−4a+3=1+3=4．
(1)把1 7+ 6的分子分母都乘以( 7− 6)，然后利用平方差公式计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先分母有理化得到a= 5−2，则a−2= 5，两边平分得到a2−4a+4=5，所以a2−4a=1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了平方差公式和分母有理化．
23.【答案】解：(1)设A种型号的电动车的进货单价为x元，B种型号的电动车的进货单价为y元，
依题意得2x−y=20002x+3y=14000，
解得x=2500y=3000，
答：A种型号的电动车的进货单价为2500元，B种型号的电动车的进货单价为3000元；
(2)设该专卖店购进A种型号的电动车m辆，则购进B种型号的电动车(30−m)辆，
依题意得：m≥20，
设购进的电动自行车销售完后获得的总利润为w元，则w=(2800−2500)m+(3500−3000)(30−m)=−200m+15000，
∵−200<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，最大值=−200×20+15000=11000，此时30−m=30−20=10．
答：当该专卖店购进A种型号的电动车20辆，B种型号的电动车10辆时，才能使销售完后获利最大，最大利润是11000元．
【解析】(1)设A种型号的电动车的进货单价为x元，B种型号的电动车的进货单价为y元，根据“购进2台A型比购进1台B型多用2000元；购买2台A型和3台B型共用1.4万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该专卖店购进A种型号的电动车m辆，则购进B种型号的电动车(30−m)辆，根据题意得出m的取值范围，设购进的电动自行车销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每辆电动车的销售利润×销售数量(购进数量)，即可得出w关于m的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°，
∵BG⊥BE，
∴∠EBG=∠EBC+∠CBG=90°，
∴∠ABE=∠CBG，
在△EAB和△GCB中，
AB=CB∠ABE=∠CBGBE=BG，
∴△EAB≌△GCB(SAS)，
∴∠EAB=∠GCB；
(2)证明：如图，延长AE交CG于点H，
∵∠AEB=90°，
∴∠BEH=90°，
由(1)知：△EAB≌△GCB，
∴∠AEB=∠CGB=90°，∠EBG=90°，
∴四边形EBGH是矩形，
又∵BE=BG，
∴矩形EBGH是正方形，
∴EH=EB，
又∵延长AE至点F，使得EF=BE，
∴点H与F点重合，
又∵延长AE交CG于点H(即点H在线段CG上)，
∴点F在线段CG上，
即C，F，G三点在同一条直线上；
(3)DE=CD，理由如下：
过点D作DK⊥AF交AF于K，
∴∠DKA=∠DKE=90°，
∴∠DKA=∠DKE=∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠ABE，
在△KDA和△EAB中，
∠DKA=∠AEB∠DAE=∠ABEAD=AB，
∴△KDA≌△EAB(AAS)，
由(1)知△EAB≌△GCB，
∴△KDA≌△EAB≌△GCB，
∴DK=AE=CG，AK=BE=BG，
由(2)知：四边形EBGF是正方形，
又∵四边形CFBE为平行四边形，
∴AK=BE=BG=FG=EF=CF，
又∵AE=CG即AK+EK=CF+FG=CF+BG，
∴EK=BG=BE，
在△KDE和△EAB中，
DK=AE∠DKE=∠AEBEK=BE，
∴△KDE≌△EAB(SAS)，
∴DE=AB，
∴DE=CD．
【解析】(1)根据正方形性质和垂直条件证得∠ABE=∠CBG，进而证得△EAB≌△GCB(SAS)，再得出结果；
(2)如图，延长AE交CG于点H(即点H在CG上)，根据条件证得EBGH是正方形，得出EH=EB，又根据条件“延长AE至点F，使得EF=BE”，进而证得C，F，G三点在同一条直线上；
(3)DE=CD，理由如下：过点D作DK⊥AF交AF于K，根据条件和(1)可证得△KDA≌△EAB≌△GCB，进而得DK=AE=CG，AK=BE=BG，再根据(2)知四边形EBGF是正方形，以及(3)中条件“四边形CFBE为平行四边形”从而得AK=BE=BG=FG=EF=CF，再由线段和差证得EK=BG=BE，进而证△KDE≌△EAB(SAS)便可得出结果．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵OA，OC的长是方程x2−7x+12=0的两个根(OA解方程x2−7x+12=0得x1=3，x2=4，
∴OA=3，OC=4，
∴A(−3,0)、C(0,4)．
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A(−3,0)、C(0,4)代入y=kx+b中，
得：0=−3k+b4=b，解得：k=43b=4，
∴直线AC的函数解析式为y=43x+4；
(2)∵点B(0,m)，四边形ABCD为以AC为对角线的平行四边形，
∴BC=|4−m|，
∴S=BC⋅OA=|−3m+12|(m≠4)．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴当BD⊥y轴时，BD最小(如图1)．
∵AD//OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四边形AOBD为矩形，
∴AD=OB=BC，
∴点B为OC的中点，即m=42=2，
此时S=|−3×2+12|=6．
∴S与m的函数关系式为S=|−3m+12|(m≠4)，当BD取得最小值时的S的值为6．
(3)∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵AB= OA2+OB2= 9+m2，BC=4−m，
∴ 9+m2=4−m，
解得：m=78，
∴B(0,78).
设点P的坐标为(n,0)，
∵A(−3,0)，B(0,78)，
∴PA=|n+3|，PB= n2+4964，AB=BC=4−78=258．
△PAB是等腰三角形分三种情况：
①当PA=PB时，有|n+3|= n2+4964，
解得：n=−527384，
此时点P的坐标为(−527384,0)；
②当PA=AB时，有|n+3|=258，
解得：n1=18，n2=−498，
此时点P的坐标为(−498,0)或(18,0)；
③当PB=AB时，有 n2+4964=258，
解得：n3=−3(舍去)，n4=3，
此时点P的坐标为(3,0)．
综上可知：点P的坐标为(−527384,0)、(−498,0)或(18,0)或(3,0)．
【解析】(1)解方程可得OA，OC的长，根据OA、OC的长度结合图形可得出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
(2)根据点B的坐标可得出BC的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S关于m的函数关系式，再根据AD//y轴即可找出当BD最短时m的值，将其代入S关于m的函数关系式中即可得出结论；
(3)根据菱形的性质找出m的值，从而找出点B的坐标，设点P的坐标为(n,0)，根据两点间的距离公式找出AP、BP、AB的长度，分AP=BP、AP=AB、BP=AB三种情况求出n值，再将其代入点P的坐标中即可得出结论．
本题是一次函数综合题，考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出函数解析式；(2)根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；(3)分三种情况讨论．
1.函数y= x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≤2B. x<2C. x>2D. x≥2
2.下列各式中，正确的是( )
A. 2 3− 3=2B. 4+9=5C. 2× 3=6D. 27÷ 3=3
3.已知正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，则下列各点在该函数图象上的是( )
A. (−1,−2)B. (−1,3)C. (1,3)D. (3,1)
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//CD，AD//BCB. AB//CD，AB=CD
C. OA=OC，OB=ODD. AB//CD，AD=BC
5.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 1， 2， 3C. 4，6，8D. 5，12，15
6.对于函数y=−3x+1，下列结论正确的是( )
A. 它的图象必经过点(1,3)B. 它的图象经过第一、三、四象限
C. 当x>0时，y<0D. y的值随x值的增大而减小
7.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若EF+CH=8，则CH的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.一架4.1m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m，那么梯子的顶端与地面的距离是( )
A. 3.2mB. 4.0mC. 4.1mD. 5.0m
9.顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为10和24的菱形，它的中点四边形的对角线长为( )
A. 13B. 15C. 17D. 19
10.在平面直角坐标系xOy中，点A在直线y=34x上，且纵坐标为3，AD⊥y轴，垂足为D，点B(0,7)，点C在线段AB上，且AC= 22AD，若直线l：y=mx+n过点C，则下列结论一定成立的是( )
A. m= 2−2mB. n=3−4mC. n=5−2mD. n=7−4m
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.把 12化成最简二次根式为______．
12.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，对角线AC，BD交于点O，则OA=______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为______．
14.在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b>mx+n的解集为______．
15.如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的总面积为49cm2，直角三角形①的斜边为25cm，则直角三角形①的面积为______．
16.如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： 24× 13− 2(1− 2)0+ 32．
18.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，E、F分别是OA、OC上的点且AE=CF.求证：BE=DF．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=5，△ABE的面积为25，求四边形ACBE的面积．
20.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的周长．
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,5)，与x轴交于点B，与正比例函数y=3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求AB的函数表达式；
(2)若点D在y轴负半轴，且满足S△COD=13S△BOC，求点D的坐标．
22.(本小题8分)
已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值．小明同学是这样分析与解答的：
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3．
∴a−2=− 3．
∴(a−2)2=3，即a2+4a+4=3．
∴a2+4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2+4a)+1=2×(−1)+1=−1．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
(1)计算：1 7+ 6=______；
(2)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 100+ 99；
(3)若a=1 5−2，求a4−4a3−4a+3的值．
23.(本小题8分)
2022年，我市一电动自行车专卖店计划购进A、B两种符合国家标准的新款电动自行车.已知购进2辆A型比购进1辆B型多用2000元；购买2辆A型和3辆B型共用14000元．
(1)求出A、B两种型号的电动车各自的进货单价；
(2)该专卖店计划购进这两种型号的电动自行车共30辆，且A型数量不低于20辆.商家决定A型车以每辆2800元出售，B型车每辆3500元出售.该专卖店该如何安排进货方案，才能使销售完后获利最大，最大利润是多少？
24.(本小题8分)
如图，点E为正方形ABCD内一动点，∠AEB=90°.过点B作BG⊥BE，且BG=BE，连接CG，DE．
(1)求证：∠EAB=∠GCB；
(2)延长AE至点F，使得EF=BE，求证：C，F，G三点在同一条直线上；
(3)在(2)的条件下，若点E在运动过程中，存在四边形CFBE为平行四边形．试探究此时DE，CD满足的数量关系．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA，OC的长是方程x2−7x+12=0的两个根(OA
(2)设点B(0,m)，记平行四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并直接写出当BD取最小值时S的值；
(3)当点B在y轴上运动，在使得平行四边形ABCD是菱形的同时，在x轴取一点P，使得△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A、2 3− 3= 3，故错误，不合题意；
B、 4+9= 13，故错误，不合题意；
C、 2× 3= 6，故错误，不合题意；
D、 27÷ 3= 9=3，故正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的四则运算法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx，当x=2时，y=6，
∴6=2k，解得k=3，
∴正比例函数为y=3x，
在正比例函数y=3x中，
A、若x=−1，则y=3×(−1)=−3，(−1,−2)不在函数图象上，故A不符合题意；
B、若x=−1，则y=3×(−1)=−3，(−1,3)不在函数图象上，故B不符合题意；
C、若x=1，则y=3×1=3，(1,3)在函数图象上，故C符合题意；
D、若x=3，则y=3×3=9，(3,−1)不在函数图象上，故D不符合题意；
故选：C．
先求出正比例函数y=3x，再将点坐标逐个代入，即可得答案．
本题考查待定系数法及函数图象上点坐标的特征，掌握函数图象上的点，其坐标需满足解析式是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意；
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意；
∵AB//CD，AD=BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴故选项D符合题意；
故选：D．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵42+62=52，82=64，
∴42+62≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵122+52=169，152=225，
∴122+52≠152，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：当x=1时，y=−3x+1=−3+1=−2，
∴A选项不符合题意；
∵一次函数y=−3x+1中−3<0，1>0，
∴一次函数经过一、二、四象限，
∴B选项不符合题意；
当x=0时，y=−3x+1=1，
∴当x>0时，y<1，
∴C选项不符合题意；
∵一次函数y=−3x+1中−3<0，
∴y随着x增大而减小，
∴D选项符合题意．
故选：D．
根据一次函数y=−3x+1的图象和增减性即可作出判断．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H是边AB的中点，
∴CH=12AB，
∵点E、F分别是边BC、CA的中点，
∴EF=12AB，
∴EF=CH，
∵EF+CH=8，
∴CH=EF=12×8=4，
故选：B．
根据直角三角形的性质得到CH=12AB，根据三角形中位线定理得到EF=12AB，进而证明EF=CH，根据EF+CH=8计算即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，由题意可知，AB=4.1m，BC=0.9m，梯子、墙、地面恰好构成直角三角形，
由勾股定理得AC= AB2−BC2= (4.1)2−(0.9)2=4m．
故选B．
根据题意画出图形，即可根据勾股定理求解．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF//GH//AC，EH=FG=12DB，EF=HG=12AC，EH//FG//BD．
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=12BD=5，EF=12AC=12，
∴HF= EH2+EF2=13．
故选：A．
顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
10.【答案】C
【解析】解：过点C作CE⊥AD于点E，如图所示．
当y=3时，34x=3，
解得：x=4，
∴点A的坐标为(4,3)，
∵AD⊥y轴，垂足为D，
∴AD=4．
∵点B的坐标为(0,7)，
∴BD=7−3=4=AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
∴△ACE为等腰直角三角形．
∵AC= 22AD，
∴AE=CE= 22AC=12AD=2，
∴DE=AD−AE=2，
∴点C的坐标为(2,3+2)，即(2,5)．
又∵直线l：y=mx+n过点C，
∴5=2m+n，
∴n=5−2m．
故选：C．
过点C作CE⊥AD于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，易证△ABD和△ACE为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出AE，CE的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出n=5−2m．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的判定与性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，找出OD，AE，CE的长是解题的关键．
11.【答案】 22
【解析】解： 12= 1×22×2= 22，
故答案为： 22．
根据二次根式的除法法则化简或根据分母有理化进行化简．
本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式和掌握分母有理化的方法．
12.【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=DC，OA=OC，
∵AB=4，
∴DC=4，
在Rt△ADC中，AC= AD2+DC2= 32+42=5，
∴OA=OC=2.5．
根据矩形的性质，可得∠ADC=90°，然后根据勾股定理可AC=5，进而求出OA的值．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
13.【答案】3
【解析】解：设C′D=x，则AD=8−x，
由折叠得：CD=C′D=x，BC=BC′=6，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∴AC′=10−6=4，
由勾股定理得：AD2=C′D2+C′A2，
(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
故答案为：3．
先设C′D=x，根据折叠性质表示出△AC′D三边的长：AD=8−x，AC′=6，C′D=x，根据勾股定理列方程求出x即可．
本题是折叠问题，熟练掌握折叠的性质是关键：折叠前后的两个角对应相等，同时查了勾股定理的运用，利用勾股定理列方程求出边的长．
14.【答案】x>3
【解析】解：由图象可知，关于x的不等式ax+b>mx+n的解集为x>3，
故答案为：x>3．
根据两个一次函数的图象交点横坐标为3，进一步可得不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
15.【答案】84cm2
【解析】解：∵②为直角三角形，阴影部分是两个正方形，
∴d2+e2=a2=49cm2，
∴a= 49=7(cm)，
∵①为直角三角形，c=25cm，
∴b= c2−a2=24cm，
∴直角三角形①的面积=12ab=12×7×24=84(cm2)，
故答案为：84cm2．
根据勾股定理得出空白正方形的面积，进而得出其边长，再根据勾股定理求出①的长直角边的长度，最后根据三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
16.【答案】 7+1
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于BD对称，
连接AE，交BD于点F，当P与F重合时，PE+PC最小，
过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，
∵菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60°，E是BC的中点，
∴BE=EC=1，AB=2，∠EBG=∠DAB=60°，
∴BG=12BE=12，EG= 12−(12)2= 32，
∴AG=AB+BG=2+12=52，
∴AE= ( 32)2+(52)2= 7，
∴△PCE的周长的最小值为AE+EC= 7+1，
故答案为： 7+1．
先求PC+CE的最小值，再计算周长的最小值即可．
本题考查了菱形的性质，将军饮马河原理，勾股定理，熟练掌握菱形性质和将军饮马河原理是解题的关键．
17.【答案】解： 24× 13− 2(1− 2)0+ 32
= 8− 2×1+4 2
=2 2− 2+4 2
=5 2．
【解析】先算乘法，零指数幂，化简二次根式，再算乘法，最后合并．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
【解析】根据平行四边形的性质可得OB=OD，OA=OC，再判断四边形BEDF是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
19.【答案】解：∵DE=5，△ABE的面积为25，DE是AB边上的高，
∴12AB×5=25，
解得：AB=10，
在三角形ABC中，
∵AC2+BC2=82+62=100=102=AB2，
∴三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴四边形ACBE的面积=S△ABC+S△ABE=12×6×8+25=24+25=49．
【解析】先根据三角形的面积公式求出AB=10，进而根据勾股定理的逆定理判断∠C=90°，再根据四边形ACBE的面积=S△ABC+S△ABE求解即可．
本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确得出三角形ABC是直角三角形是关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CE，
∵DE//AC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴平行四边形ADEC是矩形．
(2)∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵点M为AB的中点，
∴AB=2CM=10，
∵AC=8，
∴BC= AB2−AC2=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，
∴四边形ADEC的周长=2×(6+8)=28．
【解析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得到AD//CE，推出四边形ADEC是平行四边形，根据垂直的定义得到∠ACE=90°，于是得到结论；
(2)根据直角三角形的性质得到AB=2CM=10，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=6，根据矩形的周长公式即可得到结论．
21.【答案】解：(1)当x=1时，y=3x=3，
∴C(1,3)，
将A(−1,5)，C(1,3)代入y=kx+b，
得−k+b=5k+b=3，解得k=−1b=4，
∴直线AB的解析式是y=−x+4；
(2)y=−x+4中，令y=0，则x=4，
∴B(4,0)，
设D(0,m)(m<0)，
S△BOC=12×OB×|yC|=12×4×3=6，
S△COD=12×OD⋅丨xC丨=12×丨m丨×1=−12m，
∵S△COD=13S△BOC，
∴−12m=13×6，
解得m=−4，
∴D(0,−4)．
【解析】(1)先求得点C的坐标，再根据待定系数法即可得到AB的函数表达式；
(2)设D(0,m)(m<0)，依据S△COD=13S△BOC，即可得出m=−4，进而得到D(0,−4)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是利用待定系数法求出k、b的值．
22.【答案】 7− 6
【解析】解：(1)1 7+ 6= 7− 6( 7+ 6)( 7− 6)= 7− 6；
故答案为： 7− 6；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 100− 99= 100−1=10−1=9；
(3)∵a=1 5−2= 5+2，
∴a−2= 5，
∴(a−2)2=5，即a2−4a+4=5，
∴a2−4a=1，
∴a4−4a3−4a+3=a2(a2−4a)−4a+3=a2−4a+3=1+3=4．
(1)把1 7+ 6的分子分母都乘以( 7− 6)，然后利用平方差公式计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先分母有理化得到a= 5−2，则a−2= 5，两边平分得到a2−4a+4=5，所以a2−4a=1，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了平方差公式和分母有理化．
23.【答案】解：(1)设A种型号的电动车的进货单价为x元，B种型号的电动车的进货单价为y元，
依题意得2x−y=20002x+3y=14000，
解得x=2500y=3000，
答：A种型号的电动车的进货单价为2500元，B种型号的电动车的进货单价为3000元；
(2)设该专卖店购进A种型号的电动车m辆，则购进B种型号的电动车(30−m)辆，
依题意得：m≥20，
设购进的电动自行车销售完后获得的总利润为w元，则w=(2800−2500)m+(3500−3000)(30−m)=−200m+15000，
∵−200<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=20时，w取得最大值，最大值=−200×20+15000=11000，此时30−m=30−20=10．
答：当该专卖店购进A种型号的电动车20辆，B种型号的电动车10辆时，才能使销售完后获利最大，最大利润是11000元．
【解析】(1)设A种型号的电动车的进货单价为x元，B种型号的电动车的进货单价为y元，根据“购进2台A型比购进1台B型多用2000元；购买2台A型和3台B型共用1.4万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该专卖店购进A种型号的电动车m辆，则购进B种型号的电动车(30−m)辆，根据题意得出m的取值范围，设购进的电动自行车销售完后获得的总利润为w元，利用总利润=每辆电动车的销售利润×销售数量(购进数量)，即可得出w关于m的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°，
∵BG⊥BE，
∴∠EBG=∠EBC+∠CBG=90°，
∴∠ABE=∠CBG，
在△EAB和△GCB中，
AB=CB∠ABE=∠CBGBE=BG，
∴△EAB≌△GCB(SAS)，
∴∠EAB=∠GCB；
(2)证明：如图，延长AE交CG于点H，
∵∠AEB=90°，
∴∠BEH=90°，
由(1)知：△EAB≌△GCB，
∴∠AEB=∠CGB=90°，∠EBG=90°，
∴四边形EBGH是矩形，
又∵BE=BG，
∴矩形EBGH是正方形，
∴EH=EB，
又∵延长AE至点F，使得EF=BE，
∴点H与F点重合，
又∵延长AE交CG于点H(即点H在线段CG上)，
∴点F在线段CG上，
即C，F，G三点在同一条直线上；
(3)DE=CD，理由如下：
过点D作DK⊥AF交AF于K，
∴∠DKA=∠DKE=90°，
∴∠DKA=∠DKE=∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠ABE，
在△KDA和△EAB中，
∠DKA=∠AEB∠DAE=∠ABEAD=AB，
∴△KDA≌△EAB(AAS)，
由(1)知△EAB≌△GCB，
∴△KDA≌△EAB≌△GCB，
∴DK=AE=CG，AK=BE=BG，
由(2)知：四边形EBGF是正方形，
又∵四边形CFBE为平行四边形，
∴AK=BE=BG=FG=EF=CF，
又∵AE=CG即AK+EK=CF+FG=CF+BG，
∴EK=BG=BE，
在△KDE和△EAB中，
DK=AE∠DKE=∠AEBEK=BE，
∴△KDE≌△EAB(SAS)，
∴DE=AB，
∴DE=CD．
【解析】(1)根据正方形性质和垂直条件证得∠ABE=∠CBG，进而证得△EAB≌△GCB(SAS)，再得出结果；
(2)如图，延长AE交CG于点H(即点H在CG上)，根据条件证得EBGH是正方形，得出EH=EB，又根据条件“延长AE至点F，使得EF=BE”，进而证得C，F，G三点在同一条直线上；
(3)DE=CD，理由如下：过点D作DK⊥AF交AF于K，根据条件和(1)可证得△KDA≌△EAB≌△GCB，进而得DK=AE=CG，AK=BE=BG，再根据(2)知四边形EBGF是正方形，以及(3)中条件“四边形CFBE为平行四边形”从而得AK=BE=BG=FG=EF=CF，再由线段和差证得EK=BG=BE，进而证△KDE≌△EAB(SAS)便可得出结果．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵OA，OC的长是方程x2−7x+12=0的两个根(OA
∴OA=3，OC=4，
∴A(−3,0)、C(0,4)．
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A(−3,0)、C(0,4)代入y=kx+b中，
得：0=−3k+b4=b，解得：k=43b=4，
∴直线AC的函数解析式为y=43x+4；
(2)∵点B(0,m)，四边形ABCD为以AC为对角线的平行四边形，
∴BC=|4−m|，
∴S=BC⋅OA=|−3m+12|(m≠4)．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴当BD⊥y轴时，BD最小(如图1)．
∵AD//OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四边形AOBD为矩形，
∴AD=OB=BC，
∴点B为OC的中点，即m=42=2，
此时S=|−3×2+12|=6．
∴S与m的函数关系式为S=|−3m+12|(m≠4)，当BD取得最小值时的S的值为6．
(3)∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵AB= OA2+OB2= 9+m2，BC=4−m，
∴ 9+m2=4−m，
解得：m=78，
∴B(0,78).
设点P的坐标为(n,0)，
∵A(−3,0)，B(0,78)，
∴PA=|n+3|，PB= n2+4964，AB=BC=4−78=258．
△PAB是等腰三角形分三种情况：
①当PA=PB时，有|n+3|= n2+4964，
解得：n=−527384，
此时点P的坐标为(−527384,0)；
②当PA=AB时，有|n+3|=258，
解得：n1=18，n2=−498，
此时点P的坐标为(−498,0)或(18,0)；
③当PB=AB时，有 n2+4964=258，
解得：n3=−3(舍去)，n4=3，
此时点P的坐标为(3,0)．
综上可知：点P的坐标为(−527384,0)、(−498,0)或(18,0)或(3,0)．
【解析】(1)解方程可得OA，OC的长，根据OA、OC的长度结合图形可得出点A、C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
(2)根据点B的坐标可得出BC的长度，结合平行四边形的面积公式即可得出S关于m的函数关系式，再根据AD//y轴即可找出当BD最短时m的值，将其代入S关于m的函数关系式中即可得出结论；
(3)根据菱形的性质找出m的值，从而找出点B的坐标，设点P的坐标为(n,0)，根据两点间的距离公式找出AP、BP、AB的长度，分AP=BP、AP=AB、BP=AB三种情况求出n值，再将其代入点P的坐标中即可得出结论．
本题是一次函数综合题，考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、菱形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出函数解析式；(2)根据平行四边形的面积公式找出S关于m的函数关系式；(3)分三种情况讨论．
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