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必修 第一册4 自由落体运动课时训练
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这是一份必修 第一册4 自由落体运动课时训练，共10页。
一、自由落体运动的多物体问题
1．自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。
2．自由落体的规律
(1)v＝gt；
(2)h＝eq \f(1,2)gt2；
(3)v2＝2gh。
例1 在离地面7.2 m处手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，不计空气阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)两小球落地的时间差；
(2)B球落地时A球的速度大小。
答案 (1)0.2 s (2)10 m/s
解析 (1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2，因为h1＝eq \f(1,2)gt12，
所以t1＝eq \r(\f(2h1,g))＝eq \r(\f(2×7.2－2.2,10)) s＝1 s，
由h2＝eq \f(1,2)gt22得t2＝eq \r(\f(2h2,g))＝eq \r(\f(2×7.2,10)) s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
二、自由落体运动中的滴水问题
从屋檐上每隔相同时间下落一雨滴，当第2滴雨滴刚要下落时，第一滴雨滴下落时间为t0。当第3滴雨滴刚下落时，
(1)第1滴雨滴下落的时间为多少？
(2)第1滴雨滴与第2滴雨滴的距离为多少？
答案 (1)第1滴雨滴下落的时间为2t0。
(2)h2＝eq \f(1,2)gt02，h1＝eq \f(1,2)g(2t0)2，Δh＝h1－h2＝eq \f(3,2)gt02。
例2 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少？
(2)此屋檐离地面多高？
答案 (1)0.2 s (2)3.2 m
解析 方法一 公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。如图所示。
由公式h＝eq \f(1,2)gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2＝eq \f(1,2)g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3＝eq \f(1,2)g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
(2)则屋檐高h＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m。
方法二 比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。
由h＝eq \f(1,2)gt2得滴水的时间间隔T＝eq \r(\f(2s,g))＝0.2 s。
方法三 平均速度法
(1)设滴水时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(h,T)，其中h＝1 m。
雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，
由于v2.5＝eq \x\t(v)，所以eq \f(h,T)＝2.5gT，解得T＝0.2 s
(2)屋檐高H＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m。
方法四 速度—位移关系法
(1)设滴水时间间隔为T，则第2滴水滴的速度v2＝g·3T，
第3滴水滴的速度v3＝g·2T，h＝1 m，
由v2－v02＝2ax得v22－v32＝2gh
解得T＝0.2 s
(2)由v2＝2gH，v＝gt得v＝g·4T＝8 m/s
H＝eq \f(v2,2g)＝3.2 m。
“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
三、杆过窗问题
例3 木杆长5 m，上端固定在屋檐处竖直悬挂，由静止放开后让其自由下落(不计空气阻力，下落过程中始终保持竖直)，木杆通过屋檐正下方20 m处的窗子，窗子高为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过窗子上端所用时间是多少？
(2)木杆通过窗子所用时间是多少？
答案 (1)(2－eq \r(3)) s (2)(eq \r(5)－eq \r(3)) s
解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆下端到达窗子上端用时由h下上＝eq \f(1,2)gt下上2，得
t下上＝eq \r(\f(2h下上,g))＝eq \r(\f(2×15,10)) s＝eq \r(3) s
木杆上端到达窗子上端用时
t上上＝eq \r(\f(2h上上,g))＝eq \r(\f(2×20,10)) s＝2 s
则木杆通过窗子上端所用时间
t＝t上上－t下上＝(2－eq \r(3)) s
(2)木杆的上端到达窗子的下端用时为
t上下＝eq \r(\f(2h上下,g))＝eq \r(\f(2×25,10)) s＝eq \r(5) s
则木杆通过窗子的时间为
t′＝t上下－t下上＝(eq \r(5)－eq \r(3)) s。
“落杆”类问题
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
四、自由落体多过程问题
例4 跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2。问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
答案 (1)305 m (2)9.85 s
解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，打开伞前瞬间的速度为v1，以向下为正方向有v12＝2gh1
打开降落伞后做匀减速运动时满足：
v22－v12＝2ah2，又a＝－14.3 m/s2
解得v1＝60 m/s，h1＝180 m
所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝eq \f(1,2)gt12
设第二过程经过的时间是t2，则有t2＝eq \f(v2－v1,a)
所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s。
分析多过程中物体的运动情况
1．找出交接处速度与各段间位移—时间关系。
2．多过程的转折点处速度是联系两个运动的纽带，往往是解题的关键。
专题强化练
1．(2023·武汉部分重点高中高一期中)两个小球从两个不同高度处自由下落，结果同时到达地面，选项四幅图中，能正确表示它们的运动的是( )
答案 D
解析 由题意，两个小球从两个不同高度处自由下落，初速度为0，同时到达地面，说明两球不是同时开始下落，且高度大的小球先开始下落；在下落过程，两者的加速度相同，都做匀加速直线运动，则图线斜率相同，故两直线应平行，故A、B错误；两小球同时落地，则两直线右端横坐标应相同，故C错误，D正确。
2．在同一地方做自由落体运动的甲、乙两物体，所受重力之比为2∶1，下落高度之比为1∶4，则甲、乙两物体( )
A．下落时间之比是1∶2
B．末速度之比是1∶4
C．下落过程中的加速度之比为1∶2
D．下落过程的平均速度之比为1∶1
答案 A
解析 因为在同一地方做自由落体运动，可知甲、乙的重力加速度相同，故加速度之比为1∶1，由自由落体运动的规律知h＝eq \f(1,2)gt2
得到t＝eq \r(\f(2h,g))
即下落时间之比是1∶2，故A正确，C错误；
由v＝gt得，落地速度之比为eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,2)，故B错误；由eq \x\t(v)＝eq \f(h,t)得，下落过程的平均速度之比为eq \f(\x\t(v),\x\t(v)′)＝eq \f(1,2)，故D错误。
3．一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)( )
A．0.3 s B．0.4 s
C．0.7 s D．1.2 s
答案 B
解析 悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝eq \r(\f(2h＋L,g))－eq \r(\f(2h,g))＝0.4 s，B正确。
4．(2023·河南省高一期中)一苹果从4.5 m高处的树上坠落，树下恰好有人用双手将苹果接住，人手接到苹果时离地面1.5 m，接住苹果后向下做匀减速直线运动，苹果离地1 m时速度恰好减为零。假设苹果可视为质点，不考虑手接苹果瞬间苹果速度的变化，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则苹果向下做匀减速运动的加速度大小为( )
A．60 m/s2 B．50 m/s2
C．40 m/s2 D．30 m/s2
答案 A
解析 根据题意可知苹果下落的运动可分为两个阶段，先是自由落体运动，下落高度为3 m，然后减速了0.5 m，根据运动学公式得，下落阶段有2gh1＝v2
设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段有0－v2＝－2ah2
苹果向下做匀减速运动的加速度大小为a＝60 m/s2，故选A。
5．(多选)(2023·安化县第二中学高一期中)从某一高度相隔1 s释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，则在空中下落过程中，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球速度之差不变
C．甲、乙两球距离越来越大
D．甲、乙两球距离保持不变
答案 BC
解析 由v＝gt可知，甲、乙两球的速度之差为Δv＝g(t＋1 s)－gt＝g (m/s)，速度之差恒为定值，故A错误，B正确；由h＝eq \f(1,2)gt2可知，两球的距离Δx＝eq \f(1,2)g(t＋1 s)2－eq \f(1,2)gt2＝gt＋eq \f(g,2) (m)，两球的距离越来越大，故C正确，D错误。
6．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底(g＝10 m/s2)，则( )
A．第1个小球落至井底时的速度大小为30 m/s
B．第1个小球落至井底时的速度大小为25 m/s
C相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D．第9个小球和第7个小球之间的距离为25 m
答案 C
解析 第1个小球自由下落的时间t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×125,10)) s＝5 s，根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个小球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt＝eq \f(t,10)＝0.5 s；根据v1＝eq \r(2gh)，得v1＝50 m/s，故第1个小球落至井底时的速度大小为50 m/s；第9个小球下落的高度为h9＝eq \f(1,2)×10×(0.5×2)2 m＝5 m，第7个小球下落的高度为h7＝eq \f(1,2)×10×(0.5×4)2 m＝20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故选C。
7．(2022·黄冈中学高一期中)一根竖直杆AB，在其下端B以下20 cm处有一长度为1 m的竖直管(杆能穿过管)，杆自由下落，它穿过竖直管所用时间为0.4 s(穿过的过程是指从两个物体刚刚有重叠到完全没有重叠的过程)，重力加速度大小g＝10 m/s2，则竖直杆AB的长度为( )
A．0.2 m B．0.4 m
C．0.6 m D．0.8 m
答案 C
解析 杆做自由落体运动，杆的下端B由静止运动到管口的过程有h＝eq \f(1,2)gt12，设杆AB的长度为L，竖直管长度为l＝1 m，杆的上端A运动到管底的过程有h＋L＋l＝eq \f(1,2)gt22，穿过管所用的时间Δt＝t2－t1，联立解得L＝0.6 m，故选C。
8．(2023·苏州市吴江区高一月考)如图所示，A、B两个小球用长为L＝1 m的细线连接，用手拿着A球，B球竖直悬挂，且A、B两球均静止。现由静止释放A球，测得两球落地的时间差为0.2 s，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则A球释放时离地面的高度为( )
A．1.25 m B．1.80 m
C．3.60 m D．6.25 m
答案 B
解析 由题意可知A、B两小球均做自由落体运动，设A球释放时离地面的高度为h，对A球则有h＝eq \f(1,2)gtA2，对B球则有h－L＝eq \f(1,2)gtB2，
两球落地的时间差为Δt＝tA－tB
解得h＝1.80 m，A、C、D错误，B正确。
9．(多选)(2023·任丘市第一中学高一期中)如图所示，将一小球从竖直砖墙的某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片多次曝光，得到了图中1、2、3、…所示的小球运动过程中每次曝光时的位置，已知连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d，根据图中的信息，下列判断正确的是( )
A．小球下落的加速度为eq \f(d,T2)
B．小球释放的初始位置应为距离1位置正上方d处
C．小球做变加速直线运动
D．小球在位置2的速度为eq \f(5d,2T)
答案 AD
解析 分析题图中数据可知h45－h34＝h34－h23＝h23－h12＝d
即连续相同时间内的位移差相等，说明小球的下落运动为匀加速直线运动，由
Δh＝d＝aT2
解得a＝eq \f(d,T2)，故A正确，C错误。
小球在位置2的速度为v2＝eq \f(h13,2T)＝eq \f(5d,2T)
则由2a(h＋2d)＝v22
可得小球释放的初始位置应为距离1位置正上方h＝eq \f(25d,8)－2d＝eq \f(9d,8)，故B错误，D正确。
10.如图所示，一滴雨滴从离地面20 m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)雨滴落地时的速度大小；
(2)雨滴落地前最后1 s内的位移大小；
(3)屋檐离窗的上边框的距离。
答案 (1)20 m/s (2)15 m (3)4.05 m
解析 (1)设雨滴自由下落时间为t，
根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝2 s
则雨滴落地时的速度大小v＝gt＝20 m/s。
(2)雨滴在第1 s内的位移为h1＝eq \f(1,2)gt12＝5 m
则雨滴落地前最后1 s内的位移大小为
h2＝h－h1＝15 m。
(3)由题意知，窗口的高度为h3＝2 m，
设屋檐距窗的上边框为h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t0，
则h0＝eq \f(1,2)gt02
又h0＋h3＝eq \f(1,2)g(t0＋Δt)2
解得h0＝4.05 m。
11．(2023·潍坊市高一检测)特技跳伞要求队员在2 200 m的高度离开飞机，在不开伞自由落体的情况下完成规定表演动作。跳伞中某队员自由落体速度达到最大速度70 m/s后，调整姿势匀速下落，在距地面1 000 m时打开降落伞匀减速下落，落地速度恰好为零。g取10 m/s2，求：
(1)匀速下落的距离；
(2)匀减速下落过程的加速度大小；
(3)跳伞过程的总时间(结果保留三位有效数字)。
答案 (1)955 m (2)2.45 m/s2 (3)49.2 s
解析 (1)自由落体运动过程有v＝gt1
h1＝eq \f(1,2)gt12
从刚离开飞机到落地过程中
由h＝h1＋h2＋h3，解得h2＝955 m。
(2)在匀减速直线运动过程中，有0－v2＝－2ah3，代入数据得a＝2.45 m/s2。
(3)匀减速下落时间t3＝eq \f(v,a)＝eq \f(70,2.45) s≈28.57 s
匀速下落时间t2＝eq \f(h2,v)＝eq \f(955,70) s≈13.64 s
总时间t＝t1＋t2＋t3，解得t≈49.2 s。
一、自由落体运动的多物体问题
1．自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动。
2．自由落体的规律
(1)v＝gt；
(2)h＝eq \f(1,2)gt2；
(3)v2＝2gh。
例1 在离地面7.2 m处手提2.2 m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，不计空气阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)两小球落地的时间差；
(2)B球落地时A球的速度大小。
答案 (1)0.2 s (2)10 m/s
解析 (1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2，因为h1＝eq \f(1,2)gt12，
所以t1＝eq \r(\f(2h1,g))＝eq \r(\f(2×7.2－2.2,10)) s＝1 s，
由h2＝eq \f(1,2)gt22得t2＝eq \r(\f(2h2,g))＝eq \r(\f(2×7.2,10)) s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
二、自由落体运动中的滴水问题
从屋檐上每隔相同时间下落一雨滴，当第2滴雨滴刚要下落时，第一滴雨滴下落时间为t0。当第3滴雨滴刚下落时，
(1)第1滴雨滴下落的时间为多少？
(2)第1滴雨滴与第2滴雨滴的距离为多少？
答案 (1)第1滴雨滴下落的时间为2t0。
(2)h2＝eq \f(1,2)gt02，h1＝eq \f(1,2)g(2t0)2，Δh＝h1－h2＝eq \f(3,2)gt02。
例2 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中2点和3点之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少？
(2)此屋檐离地面多高？
答案 (1)0.2 s (2)3.2 m
解析 方法一 公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。如图所示。
由公式h＝eq \f(1,2)gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2＝eq \f(1,2)g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3＝eq \f(1,2)g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s
(2)则屋檐高h＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m。
方法二 比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。
由h＝eq \f(1,2)gt2得滴水的时间间隔T＝eq \r(\f(2s,g))＝0.2 s。
方法三 平均速度法
(1)设滴水时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(h,T)，其中h＝1 m。
雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT，
由于v2.5＝eq \x\t(v)，所以eq \f(h,T)＝2.5gT，解得T＝0.2 s
(2)屋檐高H＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m。
方法四 速度—位移关系法
(1)设滴水时间间隔为T，则第2滴水滴的速度v2＝g·3T，
第3滴水滴的速度v3＝g·2T，h＝1 m，
由v2－v02＝2ax得v22－v32＝2gh
解得T＝0.2 s
(2)由v2＝2gH，v＝gt得v＝g·4T＝8 m/s
H＝eq \f(v2,2g)＝3.2 m。
“水滴下落”类问题
像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。
三、杆过窗问题
例3 木杆长5 m，上端固定在屋檐处竖直悬挂，由静止放开后让其自由下落(不计空气阻力，下落过程中始终保持竖直)，木杆通过屋檐正下方20 m处的窗子，窗子高为5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木杆通过窗子上端所用时间是多少？
(2)木杆通过窗子所用时间是多少？
答案 (1)(2－eq \r(3)) s (2)(eq \r(5)－eq \r(3)) s
解析 (1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆下端到达窗子上端用时由h下上＝eq \f(1,2)gt下上2，得
t下上＝eq \r(\f(2h下上,g))＝eq \r(\f(2×15,10)) s＝eq \r(3) s
木杆上端到达窗子上端用时
t上上＝eq \r(\f(2h上上,g))＝eq \r(\f(2×20,10)) s＝2 s
则木杆通过窗子上端所用时间
t＝t上上－t下上＝(2－eq \r(3)) s
(2)木杆的上端到达窗子的下端用时为
t上下＝eq \r(\f(2h上下,g))＝eq \r(\f(2×25,10)) s＝eq \r(5) s
则木杆通过窗子的时间为
t′＝t上下－t下上＝(eq \r(5)－eq \r(3)) s。
“落杆”类问题
由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
四、自由落体多过程问题
例4 跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2。问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
答案 (1)305 m (2)9.85 s
解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，打开伞前瞬间的速度为v1，以向下为正方向有v12＝2gh1
打开降落伞后做匀减速运动时满足：
v22－v12＝2ah2，又a＝－14.3 m/s2
解得v1＝60 m/s，h1＝180 m
所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝eq \f(1,2)gt12
设第二过程经过的时间是t2，则有t2＝eq \f(v2－v1,a)
所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s。
分析多过程中物体的运动情况
1．找出交接处速度与各段间位移—时间关系。
2．多过程的转折点处速度是联系两个运动的纽带，往往是解题的关键。
专题强化练
1．(2023·武汉部分重点高中高一期中)两个小球从两个不同高度处自由下落，结果同时到达地面，选项四幅图中，能正确表示它们的运动的是( )
答案 D
解析 由题意，两个小球从两个不同高度处自由下落，初速度为0，同时到达地面，说明两球不是同时开始下落，且高度大的小球先开始下落；在下落过程，两者的加速度相同，都做匀加速直线运动，则图线斜率相同，故两直线应平行，故A、B错误；两小球同时落地，则两直线右端横坐标应相同，故C错误，D正确。
2．在同一地方做自由落体运动的甲、乙两物体，所受重力之比为2∶1，下落高度之比为1∶4，则甲、乙两物体( )
A．下落时间之比是1∶2
B．末速度之比是1∶4
C．下落过程中的加速度之比为1∶2
D．下落过程的平均速度之比为1∶1
答案 A
解析 因为在同一地方做自由落体运动，可知甲、乙的重力加速度相同，故加速度之比为1∶1，由自由落体运动的规律知h＝eq \f(1,2)gt2
得到t＝eq \r(\f(2h,g))
即下落时间之比是1∶2，故A正确，C错误；
由v＝gt得，落地速度之比为eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,2)，故B错误；由eq \x\t(v)＝eq \f(h,t)得，下落过程的平均速度之比为eq \f(\x\t(v),\x\t(v)′)＝eq \f(1,2)，故D错误。
3．一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)( )
A．0.3 s B．0.4 s
C．0.7 s D．1.2 s
答案 B
解析 悬链下端下落20 m时开始经过该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝eq \r(\f(2h＋L,g))－eq \r(\f(2h,g))＝0.4 s，B正确。
4．(2023·河南省高一期中)一苹果从4.5 m高处的树上坠落，树下恰好有人用双手将苹果接住，人手接到苹果时离地面1.5 m，接住苹果后向下做匀减速直线运动，苹果离地1 m时速度恰好减为零。假设苹果可视为质点，不考虑手接苹果瞬间苹果速度的变化，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则苹果向下做匀减速运动的加速度大小为( )
A．60 m/s2 B．50 m/s2
C．40 m/s2 D．30 m/s2
答案 A
解析 根据题意可知苹果下落的运动可分为两个阶段，先是自由落体运动，下落高度为3 m，然后减速了0.5 m，根据运动学公式得，下落阶段有2gh1＝v2
设减速阶段的加速度大小为a，减速阶段有0－v2＝－2ah2
苹果向下做匀减速运动的加速度大小为a＝60 m/s2，故选A。
5．(多选)(2023·安化县第二中学高一期中)从某一高度相隔1 s释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，则在空中下落过程中，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球速度之差越来越大
B．甲、乙两球速度之差不变
C．甲、乙两球距离越来越大
D．甲、乙两球距离保持不变
答案 BC
解析 由v＝gt可知，甲、乙两球的速度之差为Δv＝g(t＋1 s)－gt＝g (m/s)，速度之差恒为定值，故A错误，B正确；由h＝eq \f(1,2)gt2可知，两球的距离Δx＝eq \f(1,2)g(t＋1 s)2－eq \f(1,2)gt2＝gt＋eq \f(g,2) (m)，两球的距离越来越大，故C正确，D错误。
6．一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底(g＝10 m/s2)，则( )
A．第1个小球落至井底时的速度大小为30 m/s
B．第1个小球落至井底时的速度大小为25 m/s
C相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D．第9个小球和第7个小球之间的距离为25 m
答案 C
解析 第1个小球自由下落的时间t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×125,10)) s＝5 s，根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个小球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt＝eq \f(t,10)＝0.5 s；根据v1＝eq \r(2gh)，得v1＝50 m/s，故第1个小球落至井底时的速度大小为50 m/s；第9个小球下落的高度为h9＝eq \f(1,2)×10×(0.5×2)2 m＝5 m，第7个小球下落的高度为h7＝eq \f(1,2)×10×(0.5×4)2 m＝20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故选C。
7．(2022·黄冈中学高一期中)一根竖直杆AB，在其下端B以下20 cm处有一长度为1 m的竖直管(杆能穿过管)，杆自由下落，它穿过竖直管所用时间为0.4 s(穿过的过程是指从两个物体刚刚有重叠到完全没有重叠的过程)，重力加速度大小g＝10 m/s2，则竖直杆AB的长度为( )
A．0.2 m B．0.4 m
C．0.6 m D．0.8 m
答案 C
解析 杆做自由落体运动，杆的下端B由静止运动到管口的过程有h＝eq \f(1,2)gt12，设杆AB的长度为L，竖直管长度为l＝1 m，杆的上端A运动到管底的过程有h＋L＋l＝eq \f(1,2)gt22，穿过管所用的时间Δt＝t2－t1，联立解得L＝0.6 m，故选C。
8．(2023·苏州市吴江区高一月考)如图所示，A、B两个小球用长为L＝1 m的细线连接，用手拿着A球，B球竖直悬挂，且A、B两球均静止。现由静止释放A球，测得两球落地的时间差为0.2 s，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则A球释放时离地面的高度为( )
A．1.25 m B．1.80 m
C．3.60 m D．6.25 m
答案 B
解析 由题意可知A、B两小球均做自由落体运动，设A球释放时离地面的高度为h，对A球则有h＝eq \f(1,2)gtA2，对B球则有h－L＝eq \f(1,2)gtB2，
两球落地的时间差为Δt＝tA－tB
解得h＝1.80 m，A、C、D错误，B正确。
9．(多选)(2023·任丘市第一中学高一期中)如图所示，将一小球从竖直砖墙的某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片多次曝光，得到了图中1、2、3、…所示的小球运动过程中每次曝光时的位置，已知连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d，根据图中的信息，下列判断正确的是( )
A．小球下落的加速度为eq \f(d,T2)
B．小球释放的初始位置应为距离1位置正上方d处
C．小球做变加速直线运动
D．小球在位置2的速度为eq \f(5d,2T)
答案 AD
解析 分析题图中数据可知h45－h34＝h34－h23＝h23－h12＝d
即连续相同时间内的位移差相等，说明小球的下落运动为匀加速直线运动，由
Δh＝d＝aT2
解得a＝eq \f(d,T2)，故A正确，C错误。
小球在位置2的速度为v2＝eq \f(h13,2T)＝eq \f(5d,2T)
则由2a(h＋2d)＝v22
可得小球释放的初始位置应为距离1位置正上方h＝eq \f(25d,8)－2d＝eq \f(9d,8)，故B错误，D正确。
10.如图所示，一滴雨滴从离地面20 m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)雨滴落地时的速度大小；
(2)雨滴落地前最后1 s内的位移大小；
(3)屋檐离窗的上边框的距离。
答案 (1)20 m/s (2)15 m (3)4.05 m
解析 (1)设雨滴自由下落时间为t，
根据h＝eq \f(1,2)gt2得t＝2 s
则雨滴落地时的速度大小v＝gt＝20 m/s。
(2)雨滴在第1 s内的位移为h1＝eq \f(1,2)gt12＝5 m
则雨滴落地前最后1 s内的位移大小为
h2＝h－h1＝15 m。
(3)由题意知，窗口的高度为h3＝2 m，
设屋檐距窗的上边框为h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t0，
则h0＝eq \f(1,2)gt02
又h0＋h3＝eq \f(1,2)g(t0＋Δt)2
解得h0＝4.05 m。
11．(2023·潍坊市高一检测)特技跳伞要求队员在2 200 m的高度离开飞机，在不开伞自由落体的情况下完成规定表演动作。跳伞中某队员自由落体速度达到最大速度70 m/s后，调整姿势匀速下落，在距地面1 000 m时打开降落伞匀减速下落，落地速度恰好为零。g取10 m/s2，求：
(1)匀速下落的距离；
(2)匀减速下落过程的加速度大小；
(3)跳伞过程的总时间(结果保留三位有效数字)。
答案 (1)955 m (2)2.45 m/s2 (3)49.2 s
解析 (1)自由落体运动过程有v＝gt1
h1＝eq \f(1,2)gt12
从刚离开飞机到落地过程中
由h＝h1＋h2＋h3，解得h2＝955 m。
(2)在匀减速直线运动过程中，有0－v2＝－2ah3，代入数据得a＝2.45 m/s2。
(3)匀减速下落时间t3＝eq \f(v,a)＝eq \f(70,2.45) s≈28.57 s
匀速下落时间t2＝eq \f(h2,v)＝eq \f(955,70) s≈13.64 s
总时间t＝t1＋t2＋t3，解得t≈49.2 s。
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