2024年高中物理新教材同步学案 必修第一册第2章　专题强化　追及相遇问题（含解析）

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专题强化　追及相遇问题[学习目标]　1.进一步熟练掌握匀变速直线运动公式的应用(重点)。2.会分析追及相遇问题中物体速度、位移变化，会根据位移关系及速度关系列方程(难点)。两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题。一、初速度小者追初速度大者——最大距离问题例1　一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现在警车前面x0＝13 m远处以v0＝8 m/s的速度匀速向前行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经t0＝2.5 s，警车发动起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动，求：(1)警车发动后追上违章的货车所用的时间t；(2)在警车追上货车之前，两车间的最大距离Δxm。答案　(1)11 s　(2)49 m解析　(1)警车开始运动时，货车在它前面Δx＝x0＋v0t0＝13 m＋8×2.5 m＝33 m警车运动位移：x1＝eq \f(1,2)at2货车运动位移：x2＝v0t警车要追上货车需满足：x1＝x2＋Δx联立并代入数据解得：t＝11 s(t＝－3 s舍去)(2)警车与货车速度相同时，相距最远，对警车有：v0＝at′，x1′＝eq \f(1,2)at′2对货车有：x2′＝v0t′最大距离：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49 m。针对训练　(多选)(2023·平罗中学高一期中)甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点开始做直线运动，它们运动的速度随时间变化的v－t图像如图所示。关于甲、乙两车在0～20 s内的运动情况，下列说法正确的是(　　)A．甲、乙两辆汽车的运动方向相反B．在t＝20 s时，两车相遇C．在t＝10 s时，两车相距最远，距离为25 mD．在t＝15 s时，乙车的加速度大小为0.5 m/s2答案　BCD解析　由图像可知，甲、乙两辆汽车的速度时间图线都在时间轴的上方，速度均为正，故甲、乙两辆汽车的运动方向相同，A错误；在0～20 s内，甲的位移为x甲＝5×20 m＝100 m，乙的位移为x乙＝eq \f(1,2)×10×20 m＝100 m，所以在t＝20 s时，两车相遇，B正确；在t＝10 s时，甲、乙两车速度相同，两车距离最远，此时甲离出发点的距离为x甲′＝5×10 m＝50 m，此时乙离出发点的距离为x乙′＝eq \f(1,2)×(10＋5)×10 m＝75 m，此时甲、乙两车之间的距离为Δx＝x乙′－x甲′＝25 m，C正确；乙车做匀减速运动，则加速度为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(0－10,20－0) m/s2＝－0.5 m/s2，D正确。1．讨论追及、相遇问题，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否到达相同的空间位置。2．解题技巧(1)一个条件：即速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。(3)常用解题方法有：临界分析法、数学解析法、v－t图像法。3．初速度小者追初速度大者常见情形分析二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距离问题例2　一辆客车从静止开始以a＝1 m/s2做匀加速直线运动的同时，在车的后面s＝20 m处有一乘客骑自行车以6 m/s的速度匀速追赶这辆车，判断乘客能否追上这辆客车？若不能，二者间的最小距离为多少？答案　见解析解析　由临界条件知当v车＝v人时乘客如果能追上就可以追上即at＝v人解得t＝6 sx车＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)×1×62 m＝18 mx人＝v人t＝6×6 m＝36 m如图所示x人＜x车＋20 m故追不上最小距离Δx＝(18＋20－36) m＝2 m。初速度大者追初速度小者的常见情形分析三、有条件限制的追及问题例3　(2022·西安市高一期末)在一条平直公路上，某时刻有两辆车相距L＝10 m同向行驶，甲车在前，正以初速度v0＝20 m/s、加速度a1大小为5 m/s2紧急刹车，可视为匀减速直线运动，乙车在后，正以v2＝10 m/s做匀速直线运动。求：(1)甲车经多长时间停下；(2)甲、乙两车相遇前最大距离；(3)甲、乙两车经多长时间相遇。答案　(1)4 s　(2)20 m　(3)5 s解析　(1)以初速度方向为正方向，甲车从开始刹车到停下所经历的时间：t1＝eq \f(0－v0,－a1)＝4 s。(2)当两车的速度相同时两车间的距离最大，经历的时间：t2＝eq \f(v2－v0,－a1)＝2 s甲车的位移：x1＝eq \f(v0＋v2,2)t2＝30 m乙车的位移：x2＝v2t2＝10×2 m＝20 m两车的最大距离：xm＝L＋x1－x2＝20 m(3)2 s末两车之间的距离是20 m，再经过2 s甲车停止，所以可知甲车停止时，乙车还未追上甲车，则有：v2t3＝L＋eq \f(0－v02,－2a1)代入数据解得：t3＝5 s。如遇刹车问题，要判定是运动停止前相遇，还是运动停止后相遇。例4　一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s，要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车。(1)判断在追赶过程中摩托车能一直加速吗？(2)如果在3 min内摩托车能追上汽车，摩托车至少以多大加速度启动？(计算结果保留两位有效数字)答案　见解析解析　(1)t0＝3 min＝180 s，假设摩托车在180 s内一直做匀加速直线运动，设追上汽车时，摩托车的速度为v。由v汽t0＋1 000 m＝eq \f(v,2)t0代入数据得v≈51.1 m/s>30 m/s，超过了摩托车所能达到的最大速度，所以摩托车先做加速运动，速度达到最大值后做匀速运动。(2)设摩托车加速时间为t1，加速度为a,3 min内摩托车恰好能追上汽车时，加速度最小，则有at1＝v1＝30 m/seq \f(1,2)at12＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1 000 m代入数据得a≈0.56 m/s2。如果车辆有最大速度的限制，要注意车辆达到最大速度前后运动状态的不同。专题强化练1．(多选)(2023·深圳市新安中学高一期中)甲、乙两车在同一直道上从同一地点同时出发，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示，已知甲车由静止开始做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动，图线在5 s末时相交，则下列说法正确的是(　　)A．前5 s内平均速度相同B．甲车速度一直大于乙车速度C．5 s末甲车和乙车相遇D．t＝2.5 s时两车相距最远答案　ACD解析　根据eq \x\to(v)＝eq \f(x,t)可知，前5 s内位移相同，则平均速度相同，故A正确；x－t图像斜率表示速度，故甲车速度先小于乙车速度，后大于乙车速度，故B错误；5 s末甲车和乙车处于同一位置，因此两车相遇，故C正确；对于甲车有x＝eq \f(1,2)at2代入数据解得a＝eq \f(2×20,52) m/s2＝1.6 m/s2当两车共速时相距最远，故v＝eq \f(20,5) m/s＝at解得t＝2.5 s，故D正确。2．(多选)A、B两物体在同一直线上运动的v－t图像如图所示，已知在第4 s末两物体相遇，则下列说法正确的是(　　)A．两物体从同一地点出发B．出发时A在B前方4 m处C．两物体运动过程中，A的加速度小于B的加速度D．第4 s末两物体相遇之后，两物体可能再相遇答案　BC解析　由速度—时间图像与t轴所围的“面积”表示位移大小可知，两物体在0～4 s内的位移不相等，而在第4 s末相遇，可知出发点不同，A错误；xA＝eq \f(1,2)×4×4 m＝8 m，xB＝eq \f(1,2)×6×4 m＝12 m，已知在第4 s末相遇，则出发时A在B前方4 m处，B正确；由于A图线的斜率小于B图线的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正确；相遇后A的速度始终小于B的速度，所以两物体不会再次相遇，D错误。3．(多选)(2023·赤峰市元宝山区第一中学高一期中)甲、乙两个物体在同一条公路上做匀变速直线运动，在t＝0时刻，二者相距15 m，甲在后，乙在前，它们运动的速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．t＝2 s时刻，甲物体刚好赶上乙物体B．t＝4 s时刻，甲和乙相距15 mC．0～4 s内，甲、乙两物体之间距离先减小后增大D．乙物体的加速度大小大于甲物体的加速度大小答案　ABC解析　t＝2 s时刻，甲、乙位移差为Δx＝eq \f(20－5×2,2) m＝15 m，在t＝0时刻，二者相距15 m，说明甲物体刚好赶上乙物体，A正确；在t＝4 s时刻，甲、乙位移差为Δx′＝eq \f(20×4,2) m－eq \f(5＋15×4,2) m＝0则甲和乙相距15 m，B正确；由A选项可知，t＝2 s时刻，甲物体刚好赶上乙物体，接下来甲速度小于乙的速度，说明0～4 s内，甲、乙两物体之间的距离先减小后增大，C正确；甲、乙的加速度大小分别为a1＝eq \f(20,4) m/s2＝5 m/s2a2＝eq \f(15－5,4) m/s2＝2.5 m/s2，D错误。4．(2022·重庆市高一期末)大雾天气会影响驾驶员安全驾驶，因此开车在路上时如遇大雾应该保持车距、控制车速。某大雾天，一辆小汽车在水平直线公路上以72 km/h速度匀速行驶，突然发现前方一货车正以36 km/h速度匀速行驶。小汽车驾驶员经过1 s反应时间后开始刹车(假设在反应时间内汽车的车速不变)，刹车的加速度大小为2 m/s2，小汽车恰好没撞上货车，那么小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为(　　)A．30 m B．35 mC．40 m D．45 m答案　B解析　两车共速时：v0－at＝v货，解得：t＝5 s小汽车驾驶员刚发现货车时距货车的距离为Δx＝v0Δt＋v0t－eq \f(1,2)at2－v货(t＋Δt)，解得Δx＝35 m，故选B。5．平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始匀加速行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，求：(1)甲何时追上乙？甲追上乙时的速度为多大？此时甲离出发点多远？(2)在追赶过程中，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多少？答案　(1)40 s　20 m/s　400 m　(2)10 s　225 m解析　(1)设甲经过时间t追上乙，则有x甲＝eq \f(1,2)a甲t2，x乙＝v乙t，根据追及条件，有eq \f(1,2)a甲t2＝x0＋v乙t，代入数据解得t＝40 s(t＝－20 s舍去)这时甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40 m/s＝20 m/s甲离出发点的位移x甲＝eq \f(1,2)a甲t2＝eq \f(1,2)×0.5×402 m＝400 m。(2)当v甲＝v乙时，甲、乙之间的距离有最大值。由a甲t′＝v乙，得t′＝eq \f(v乙,a甲)＝eq \f(5,0.5) s＝10 s，即甲在10 s末离乙的距离最大，xmax＝x0＋v乙t′－eq \f(1,2)a甲t′2＝225 m。6．(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，它们的v－t图像如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)A．在t＝1 s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m答案　BD解析　因v－t图像与t轴围成的面积表示位移大小，根据v－t图像可知在1～3 s内两车位移相等，可以判断在t＝1 s时，甲、乙车并排行驶，故A、C错误；在t＝0时，甲车在乙车前的Δx＝eq \f(10＋5×1,2) m＝7.5 m处，故B正确；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1 s末到第3 s末两车运动的位移，即Δx′＝eq \f(10＋30×2,2) m＝40 m，故D正确。7．(2023·重庆市綦江实验中学校高一期中)行车安全无小事，特别是特殊天气情况下。在遭遇持续强降雨天气的情况下，某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车速度大小分别为v1＝35 m/s、v2＝20 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，若此时轿车只是立即刹车，则轿车要经过x＝122.5 m停下来。两车可视为质点。(1)求轿车刹车后减速运动的加速度大小？(2)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶，通过计算分析两车是否会相撞？(3)若轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t0＝2 s收到信号，立即以大小a2＝2.5 m/s2的加速度加速前进，通过计算分析两车会不会相撞？答案　(1)5 m/s2　(2)会相撞　(3)不会相撞解析　(1)轿车经过x＝122.5 m才停下来，由v12＝2a1x得轿车刹车过程的加速度大小a1＝5 m/s2(2)恰好不相撞时两车的速度相同，即v1－a1t1＝v2得t1＝eq \f(v1－v2,a1)＝3 s轿车前进的距离s1＝eq \f(v1＋v2,2)t1＝82.5 m，货车前进的距离s2＝v2t1＝60 m因为s1－s2＝22.5 m>x0即两车会相撞。(3)假设两车的速度相同，即v1－a1t＝v2＋a2(t－t0)解得t＝eq \f(8,3) s轿车前进的距离s1′＝v1t－eq \f(1,2)a1t2货车前进的距离s2′＝v2t0＋v2(t－t0)＋eq \f(1,2)a2(t－t0)2解得s1′＝eq \f(680,9) ms2′＝eq \f(485,9) m因为s1′－s2′≈21.7 m