2024年苏科版2024年苏科版八年级下册物理阶段性考试知识点复习与专题训练-专题13 压强与浮力压轴类型计算训练（解析版）

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专题13 压强与浮力压轴类型计算训练（解析版）解题思路及技巧题型1 切割与叠加类型（1）压强的计算公式p=，公式变形，F=pS、S=。（2）公式p=ρgh既可以计算液体的压强，还可以计算质地均匀的柱形固体对水平面的压强，它实际是由公式p=演变而来，演变过程p== = = ρgh。题型2 注水模型类（1）液体的压强与液体的深度和密度有关，因此计算时关键找到“液体”的深度和密度。当容器是柱形容器时，液体对容器底部压力等于液体重力时，先判断压力等于重力后利用p=求压强。题型3 排水模型类根据二力平衡然后受力分析，结合浮力与压强解决问题；相关公式：F浮=ρ液gV排、p=ρgh题型4 出入水模型类注意木块排开水的体积等于装满水后溢水杯溢出水的体积！题型5 漂浮模型类（1）物体在不受外力情况下，漂浮或者悬浮时，物体只受重力和浮力，根据二力平衡和阿基米德原理可得F浮＝G排=G物=ρ液gV排。（2）涉及多个物体叠加或者被细线连接时，物体漂浮或者悬浮，分析受力情况时需要对所有物体整体分析和每个物体单独分析。（3）物体在不受外力情况下，漂浮或者悬浮，根据F浮＝G排=G物得V排：V物=ρ物：ρ液，或者是物体浸没液体中的体积占物体总体积的几分之几，物体密度就等于液体密度几分之几。 典例分析＋变式训练题型1 切割与叠加类型【典例1-1】如图甲所示，有A、B两个实心正方体放置在水平地面上，A的边长为0.4m。将B沿水平方向切去厚度为h的部分，并将切去的部分叠放在A的上方中央。叠放后A对地面的压强与B剩余的压强随切去厚度h的图像如图乙所示。求：（1）物体A的密度；（2）物体B的重力；（3）若在B切割前，将重力为48N的物体C分别放置于物体A、B上方中央，为使放上物体C后A、B对水平地面的压强相等，应将物体A还是B沿水平方向切下一定的质量？切下的质量为多少？【答案】（1）物体A的密度为0.3×103kg/m3；（2）物体B的重力为108N；（3）应该切B物体，切去质量为2.1kg。【分析】（1）已知A的边长，根据p＝ρgh的变形公式求出物体A的密度；（2）由图乙可知，当将B沿水平方向切去厚度为0.3m时B剩余部分对地面的压强为0，据此分析出B边长，求出B的底面积，再根据F＝pS求出没被切去之前对水平地面的压力，再根据水平面上的物体对水平面的压力等于其重力即可求出B的重力；（3）根据A、B的底面积判断出从哪个物体上水平切去一部分，再根据放上物体C后A、B对水平地面的压强相等分析解答。【解答】解：（1）由图乙可知，当A上没有放B时，A对地面的压强为1200Pa，因为水平面上的物体对水平面的压力等于其重力，因为p＝＝＝＝＝＝ρgh，所以物体A的密度为：ρA＝＝＝0.3×103kg/m3；（2）由图乙可知，当将B沿水平方向切去厚度为0.3m时B剩余部分对地面的压强为0，则物体B的高度为0.3m，物体B为正方体，可得其边长为0.3m，则物体B的底面积为：SB＝（0.3m）2＝0.09m2，当B没有被切去时，B对地面的压强为1200Pa，根据F＝pS可得，此时B对地面的压力为：FB＝pBSB＝1200Pa×0.09m2＝108N，因为水平面上的物体对水平面的压力等于其重力，所以：GB＝FB＝108N；（3）由图乙可知，当A上没有放B时，A对地面的压强为1200Pa，物体A的底面积为：SA＝（0.4m）2＝0.16m2，根据F＝pS可得，此时A对地面的压力为：FA＝pASA＝1200Pa×0.16m2＝192N，因为水平面上的物体对水平面的压力等于其重力，所以：GA＝FA＝192N，由于A物体的边长大于B物体的边长，则A的底面积大于B物体的底面积，将重力为48N的物体C分别放置于物体A、B上方中央时，B物体对地面的压强大于A物体对地面的压强，故应将物体B沿水平方向切下一定的质量，设物体B沿水平方向切下部分的重力为ΔG，又因为放上物体C后A、B对水平地面的压强相等，则有：＝，即：＝，则：ΔG＝21N，则B物体切下的重质量为：。答：（1）物体A的密度为0.3×103kg/m3；（2）物体B的重力为108N；（3）应该切B物体，切去质量为2.1kg。【典例1-2】如图甲所示，物体A是边长为10cm的正方体，体积可忽略不计的轻质硬杆B一端固定在容器底，一端连着A，现缓慢向容器中加水至A刚好浸没，杆B受到物体A的作用力F随水深变化的图像如图乙所示。求：（1）物体A浸没时受到的浮力；（2）物体A的重力；（3）若加入1.6kg水时，A物体刚好浸没，此时，取掉硬杆B，把A物体沿竖直方向分成两部分，如图丙；切割后，左边部分留在水平桌面上，对桌面最大压强为p1，右边阴影部分放回水中，放入后水对容器底部压强为p2，若p2为p1的1.5倍，则丙图右边阴影部分体积是原本A物体体积的几分之几。（g取10N/kg）【答案】（1）物体A浸没时受到的浮力为10N；（2）物体A的重力为6N；（3）阴影部分体积是原本A物体体积的。【分析】（1）A刚浸没时，它排开水的体积等于A的体积，根据F浮＝ρ液gV排求出物体A浸没时受到的浮力；（2）由图乙知，水深等于3cm时，A刚好浸入水中，水深为9cm时，A对杆B的作用力为0，此时A受到的浮力等于它的重力，根据体积公式求出A排开水的体积，根据F浮＝ρ液gV排求出物体A漂浮时受到的浮力，进而求出物体A的重力；（3）根据G＝mg求出物体A的质量，根据密度公式求出物体A的密度；根据密度公式求出水的体积，根据图乙可知物体A浸没时水的深度，利用体积公式求出容器的底面积为S，根据p＝＝＝＝＝＝ρgh表示出切开后放在水平桌面上的左边部分对水平桌面的压强，根据p＝ρgh和p2为p1的1.5倍求出右边阴影部分放回水中时水的深度，比较物体的密度和水的密度大小，根据浮沉条件判断物体在水中的状态，根据漂浮条件和G＝mg和密度公式求出阴影部分浸在水中的体积与阴影部分的体积关系，再利用体积公式求出阴影部分的体积，进而求出阴影部分体积是原本A物体体积的几分之几。【解答】解：（1）物体A为正方体，其边长为10cm，则A的体积：VA＝a3＝（0.1m）3＝1×10﹣3m3，A刚浸没时，它排开水的体积等于A的体积，其受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝ρ水gVA＝1×103kg/m3×10N/kg×1×10﹣3m3＝10N；（2）由图乙知，水深等于3cm时，A刚好浸入水中，水深为9cm时，A对杆B的作用力为0，此时A受到的浮力等于它的重力，A浸入水中的深度：h＝h2﹣h1＝9cm﹣3cm＝6cm＝0.06m，A排开水的体积：V排′＝a2h＝（0.1m）2×0.06m＝6×10﹣4m3，则A的重力：GA＝F浮′＝ρ水gV排′＝1×103kg/m3×10N/kg×6×10﹣4m3＝6N；（3）由G＝mg可知，A的质量：mA＝＝＝0.6kg，则A的密度：ρA＝＝＝0.6×103kg/m3；由图乙知，A浸没时，水深为13cm，水的质量为1.6kg，那么水的体积：V水＝＝＝1.6×10﹣3m3＝1600cm3，设容器的底面积为S，则有V水+VA＝Sh4，即：1.6×10﹣3m3+1×10﹣3m3＝S×13×10﹣2m，解得容器的底面积：S＝0.02m2，由p＝＝＝＝＝＝ρgh可知，切开后，放在水平桌面上的左边部分是长方体，且立放时对水平桌面的压强最大为：p1＝ρAga，右边阴影部分放入水中后，设此时水的深度为h3，此时水对容器底部的压强：p2＝ρ水gh3，由题意可知：＝＝，则此时水的深度：h3＝＝＝0.09m，因为物体的密度小于水的密度，所以将阴影部分放入水中时处于漂浮状态，由漂浮条件可知：F浮A阴影＝GA阴影，因为F浮A阴影＝ρ水gV排A阴影，GA阴影＝mA阴影g＝ρAgVA阴影，所以有：ρ水gV排A阴影＝ρAgVA阴影，则V排A阴影＝×VA阴影＝×VA阴影＝VA阴影，此时水的体积和阴影部分浸入水中体积之和：Sh3＝V水+VA阴影，所以阴影部分的体积：VA阴影＝（Sh3﹣V水）＝×（0.02m2×0.09m﹣1.6×10﹣3m3）＝×10﹣4m3，则阴影部分体积与原来A物体的体积的比值：＝＝，即阴影部分的体积是原本A物体体积的。答：（1）物体A浸没时受到的浮力为10N；（2）物体A的重力为6N；（3）阴影部分体积是原本A物体体积的。【变式1-1】小杜在基地加工了一个工件如图甲所示，由上下两个不同物质组成的圆柱体连接在一起，上半部分A高为5cm，底面积为50cm2，其质量为400g，下半部分B为高15cm、底面积100cm2的的圆柱体，B物质的密度为0.8g/cm3。另有一底面积150cm2，高18cm的圆柱形容器（重力不计）放在水平地面上，如图乙所示，内装2400cm3的水。小杜想进一步研究激光切割技术，于是对工件进行切割，并将切割部分竖直放入水中冷却（不计水的汽化损失），则：（1）未将工件放入水中时，水对容器底的压强是多少Pa？（2）水平切去多少cm时，切割部分恰好在水中悬浮？（3）在图甲的基础上沿竖直方向将B物体切去一部分（不切A，但A始终在B的上方），并将切制部分竖直放入容器中，此时容器对地面的压强能否和工件剩余部分对地面的压强恰好相等？若能，请求出切去部分体积占B体积的比例；若不能，请通过计算说明理由。【答案】（1）未将工件放入水中时，水对容器底的压强是1.6×103Pa；（2）总共水平切去11cm时，切割部分恰好在水中悬浮；（3）能。切去部分体积占B体积的。【分析】（1）根据h＝求出容器中水的深度，再根据p＝ρgh可求出水对容器底部的压强；（2）先根据浮力与重力的关系判断工件在水中的沉底，再根据物体A和B的密度判断应切割B；设从B底面向上切割的高度为h0，则切割部分的体积为V切＝V总﹣VB0＝V总﹣（hB）2×h0，切割部分的质量为m切＝mA+mB﹣×mB，再根据物体沉浮状态及阿基米德原理建立方程求出切去部分的高度；（3）假设能，分别表示出工件剩会部分对地面压强和放入切制部分的容器对地面的压强，从而求出切去部分的高度。【解答】解：（1）容器中水的深度为：h水＝＝＝16cm＝0.16m，则未将工件放入水中时，水对容器底的压强为：p＝ρ水gh水＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.16m＝1.6×103Pa；（2）物体A的体积VA＝SAhA＝50cm2×5cm＝250cm3，物体A受到的重力GA＝mAg＝0.4kg×10N/kg＝4N，物体A的密度ρA＝＝＝1.6g/cm3，物体B的体积VB＝SBhB＝100cm2×15cm＝1500cm3，物体B的质量mB＝ρBVB＝0.8g/cm3×1500cm3＝1200g＝1.2kg，物体B受到的重力GB＝mBg＝1.2kg×10N/kg＝12N，若工件全部浸没在水中时，排开水的总体积为：V排＝V总＝VA+VB＝250cm3+1500cm3＝1750cm3，受到的浮力为：F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×1750×10﹣6m3＝17.5N，所以，F浮＞GA+GB＝4N+12N＝16N，则工件放入水中会漂浮，又因为ρA＞ρ水，所以若水平切去A，切割部分的密度大于水的密度，不会在水中悬浮，只会沉底，故应水平切去B，设从B底面向上切割的高度为h0，则切割部分的体积为：V切＝V总﹣VB0＝V总﹣SB×h0＝1750cm3﹣100cm2×h0，则切割部分的质量为：m切＝mA+mB﹣×mB＝400g+1200g﹣×1200g＝1600g﹣80g×h0，而切割部分在水中悬浮，则F浮'＝G切，即：ρ水gV切＝m切g，则：ρ水V切＝m切，1g/cm3×（1750cm3﹣100cm2×h0）＝1600g﹣80g×h0，解得：h0＝7.5cm，则切去的高度为：h＝hA+hB﹣h0＝5cm+15cm﹣7.5cm＝12.5cm；（3）图甲中AB对地面原压强为：pAB＝＝＝1.6×103Pa，由于不计容器重力，（1）中计算出容器中水对容器底部的压强等于容器对桌面魇压强，所以容器对地面的压强和AB对地面的压强相等，都等于1.6×103Pa；由p＝＝＝＝＝＝ρgh可知，B切去一部分后，B对地面的压强不变，A对地面的压强增大，因此切去一部后，AB对地面的压强增大，切去部分放入容器中的水里，容器对地面的压强也增大，只要二者相等，就能实现题目的要求。设沿竖直方向将B物体切去底面积为ΔS（不切A，但A始终在B的上方），则AB对地面压强的变化量为：Δp＝﹣＝﹣＝﹣400Pa，假设放入后，水不溢出，容器对桌面压强变化量为：Δp'＝＝＝，若Δp＝Δp'，则有：﹣400Pa＝，解得：ΔS＝0.005m2＝50cm2；又因为ρB＜ρ水，所以将切去部分放入容器中的水里，将漂浮在水在面，此时切去部分在水中受到的浮力为：F切浮＝G切'＝×GB＝×12N＝6N，由F浮＝ρ水gV排可知，此时排开水的体积为：V切排＝＝＝6×10﹣4m3＝600cm3，而未入切去部分前，容器内水面上方的体积为：V空＝V容﹣V水＝S容h容﹣V水＝150cm2×18cm﹣2400cm3＝300cm3＜V切排＝600cm3，故此假设不成立，则将切去部分放入容器中的水里，水会溢出，所以容器对桌面的压强增加量为：Δp'＝ρ水gΔh水＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.18m﹣0.16m）＝200Pa，若Δp＝Δp'，则有：﹣400Pa＝200Pa，解得：ΔS＝m2，所以＝＝＝＝，故能在图甲的基础上沿竖直方向将B物体切去一部分（不切A，但A始终在B的上方），并将切去部分竖直放入容器中，此时容器对地面的压强能否和工件剩余部分对地面的压强恰好相等，切去部分体积占B体积的。答：（1）未将工件放入水中时，水对容器底的压强是1.6×103Pa；（2）总共水平切去11cm时，切割部分恰好在水中悬浮；（3）能。切去部分体积占B体积的。【变式1-2】如图，实心圆柱体甲、乙的密度均为3×103kg/m3，甲的质量为6kg，底面积为200cm2，乙的质量为12kg，底面积为300cm2。水平地面上的轻质薄壁容器丙内盛有9cm深的水，容器上部分高度为下部分高度的五分之一，容器下底面积为1000cm2。若把甲沿水平方向切割Δh的高度，切割下来的部分竖直缓慢浸没在丙容器的水中，液面的上升高度Δh水与切割的高度Δh的部分关系如图丁所示。求：（g取10N/kg）（1）容器中的水质量；（2）乙放在水平地面上对地面的压强；（3）容器丙中上半部分的底面积；（4）若将圆柱体乙放入原装有9cm深水的容器丙中，此时容器丙对水平地面的压强。【答案】（1）容器中的水质量为9kg；（2）乙放在水平地面上对地面的压强为4000Pa；（3）容器丙中上半部分的底面积为500cm2；（4）若将圆柱体乙放入原装有9cm深水的容器丙中，此时容器丙对水平地面的压强为1940Pa。【分析】（1）根据V＝Sh求出容器中的水的体积，利用m＝ρV求出容器中的水质量；（2）乙放在水平地面上对地面的压力和自身的重力相等，根据F＝G＝mg求出其大小，利用p＝求出乙放在水平地面上对地面的压强；（3）根据图丁可知甲沿水平方向切割的高度为5cm前后液面的上升的快慢不同，表明此时刚好是上下部分的分界线，根据此时液面上升的高度得出容器下部分的高度，然后求出上部分的高度；根据图丁可知甲沿水平方向切割的高度为9cm时液面的上升高度，根据物体浸没时排开水的体积和自身的体积相等得出等式即可求出容器丙中上半部分的底面积；（4）根据m＝ρV＝ρSh求出圆柱体乙的高度，然后与容器的高度相比较判断出将圆柱体乙放入原装有9cm深水的容器丙中时其没有浸没，根据体积公式求出丙容器下部分装有水的体积和上部分装有水的体积，从而得出容器内水的体积，然后与水的总体积相比较判断出水有溢出，根据m＝ρV求出容器内剩余水的质量，此时容器丙对水平地面的压力等于容器内剩余水和圆柱体乙的重力之和，根据F＝G＝mg求出其大小，利用p＝求出此时容器丙对水平地面的压强。【解答】解：（1）容器中的水的体积：V水＝S下h水＝1000cm2×9cm＝9000cm3，由ρ＝可得，容器中的水质量：m水＝ρ水V水＝1.0g/cm3×9000cm3＝9000g＝9kg；（2）乙放在水平地面上对地面的压力：F乙＝G乙＝m乙g＝12kg×10N/kg＝120N，乙放在水平地面上对地面的压强：p乙＝＝＝4000Pa；（3）由图丁可知，当甲沿水平方向切割的高度Δh＝5cm时，液面的上升高度Δh水＝lcm，然后Δh水上升更快，表明其底面积减小了，所以，容器下部分的高度为h下＝9cm+lcm＝10cm，则上部分的高度为h上＝h下＝×10cm＝2cm；当甲沿水平方向切割的高度Δh′＝9cm时，液面的上升高度Δh水′＝2.6cm，因物体浸没时排开水的体积和自身的体积相等，所以，（Δh水′﹣Δh水）S上＝（Δh′﹣Δh）S甲，则容器丙中上半部分的底面积：S上＝×S甲＝×200cm2＝500cm2；（4）由m＝ρV＝ρSh可得，圆柱体乙的高度：h乙＝＝＝m≈0.133m＝13.3cm，由h乙＞h上+h下＝2cm+10cm＝12cm可知，将圆柱体乙放入原装有9cm深水的容器丙中时，圆柱体乙没有浸没，则丙容器下部分装有水的体积：V下＝（S下﹣S乙）h下＝（ 1000cm2﹣300cm2）×10cm＝7000cm3，丙容器上部分装有水的体积：V上＝（S上﹣S乙）h上＝（500cm2﹣300cm2）×2cm＝400cm3，由V水′＝V上+V下＝7000cm3+400cm3＝7400cm3＜V水可知，水溢出，则容器内剩余水的质量：m水＝ρ水V水′＝1.0g/cm3×7400cm3＝7400g＝7.4kg，此时容器丙对水平地面的压力：F丙＝G总＝（m乙+m水′）g＝（12kg+7.4kg）×10N/kg＝194N，此时容器丙对水平地面的压强：p丙＝＝＝1940Pa。答：（1）容器中的水质量为9kg；（2）乙放在水平地面上对地面的压强为4000Pa；（3）容器丙中上半部分的底面积为500cm2；（4）若将圆柱体乙放入原装有9cm深水的容器丙中，此时容器丙对水平地面的压强为1940Pa。题型2 注水模型类【典例2-1】如图所示，足够高的圆柱形薄底容器A、B置于水平地面上，分别盛有水和液体乙。容器A的底面积为500cm2，水的重力为40N，两容器底部受到液体的压强相等。求：（1）水的体积V水；（2）水对容器A底部的压强p水；（3）在容器A中注入水，使两容器中液面相平，此时水对容器A底部的压强增加了200Pa，求液体乙的密度ρ乙。【答案】（1）水的体积为4×10﹣3m3；（2）容器甲中水对容器底部的压强为800Pa；（3）液体乙的密度为0.8×103kg/m3。【分析】（1）根据G＝mg计算水的质量，根据公式V＝可以求解水的体积；（2）根据体积公式计算水的深度，根据液体压强公式p＝ρgh计算水对容器A底部的压强；（3）假设容器乙内液体的深度为h1，当水深是h1的时候其压强为p1，则p1＝p水+Δp，由此可以得出p1的大小，进而算出h1；题干表明原来容器甲、乙底部所受液体的压强相等，即：p水＝p乙，又因为p乙＝ρ乙gh1，进一步可以求出ρ乙。【解答】解：（1）容器甲中水的质量为：m水＝＝＝4kg，水的体积为：V水＝＝＝4×10﹣3m3；（2）容器甲中水的深度：h＝＝＝0.08m，水对容器底部的压强：p水＝ρgh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.08m＝800Pa。（3）当容器甲内加水至与容器乙相平时，此时水深为h1，此时水对容器底部的压强：p1＝p水+Δp＝800Pa+200Pa＝1000Pa；由p＝ρgh可得此时水的深度：h1＝＝＝0.1m；由题知，原来容器甲、乙底部所受液体的压强相等，即：p乙＝p水＝800Pa；由p＝ρgh可得，液体乙的密度：ρ乙＝＝＝0.8×103kg/m3。答：（1）水的体积为4×10﹣3m3；（2）容器甲中水对容器底部的压强为800Pa；（3）液体乙的密度为0.8×103kg/m3。【典例2-2】将重为6N、长为0.1m的正方体物块轻轻地放入一柱形容器中，使它静止于容器底部（正方体物块的底部与容器底部不密合）。则：（1）正方体物块的密度是多少？（2）现在向容器里注水，如图所示，当容器中水的深度h＝2cm时，此时正方体物块受到的浮力是多大？（3）继续向容器中注水，物块对容器底部的力恰好为0时，容器内的水对容器底部的压强是多少？【答案】（1）正方体物块的密度是0.6×103kg/m3；（2）当容器中水的深度h＝2cm时，此时正方体物块受到的浮力是2N；（3）物块对容器底部的力恰好为0时，容器内的水对容器底部的压强是600Pa。【分析】（1）根据G＝mg求出物块的质量，再根据V＝a3求出物块的体积，利用ρ＝求出正方体物块的密度；（2）当容器中水的深度h＝2cm时，假设正方体物块没有离开容器底部，根据V＝Sh求出正方体物块排开水的体积，利用F浮＝ρ液gV排求出此时正方体受到的浮力，然后与正方体物块重力相比较判断出假设正确，从而得出正方体受到的浮力；（3）物块对容器底部的力恰好为0时，正方体物块恰好漂浮，受到的浮力和自身的重力相等，根据F浮＝ρ液gV排求出此时正方体物块排开水的体积，再根据V＝Sh求出此时正方体物块浸入水的深度（容器内水的深度），利用p＝ρ液gh求出容器内的水对容器底部的压强。【解答】解：（1）由G＝mg可得，物块的质量为：m＝＝＝0.6kg，物块的体积：V＝a3＝（0.1m）3＝1×10﹣3m3，则正方体物块的密度：ρ＝＝＝0.6×103kg/m3；（2）当容器中水的深度h＝2cm时，假设正方体物块没有离开容器底部，则正方体物块排开水的体积：V排＝Sh＝a2h＝（0.1m）2×2×10﹣2m＝2×10﹣4m3，此时正方体受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×2×10﹣4m3＝2N，由F浮＜G可知，假设正确，正方体受到的浮力为2N；（3）物块对容器底部的力恰好为0时，正方体物块恰好漂浮，受到的浮力：F浮′＝G＝6N，此时正方体物块排开水的体积：V排′＝＝＝6×10﹣4m3，此时正方体物块浸入水的深度（容器内水的深度）：h浸＝＝＝6×10﹣2m，容器内的水对容器底部的压强：p＝ρ水gh浸＝1.0×103kg/m3×10N/kg×6×10﹣2m＝600Pa。答：（1）正方体物块的密度是0.6×103kg/m3；（2）当容器中水的深度h＝2cm时，此时正方体物块受到的浮力是2N；（3）物块对容器底部的力恰好为0时，容器内的水对容器底部的压强是600Pa。【变式2-1】如图所示，容器重4.2N，放在水平桌面上，容器上部是边长5cm的正方体，下部是边长10cm的正方体，若向容器内注入1.1kg水（取g＝10N/kg）求：（1）这个装着水的容器对桌面的压力是多大？（2）容器底部所受水的压强多大？【答案】（1）这个装着水的容器对桌面的压力为15.2N；（2）容器底部所受水的压强为1.4×103Pa。【分析】（1）利用G＝mg求水的重力，由于容器放在水平桌面上，容器对桌面的压力等于水和容器总重力；（2）求出容器容积，利用ρ＝求水的体积，比较得出注入1.1kg水未灌满容器，求出水的深度，再利用p＝ρgh求容器底部所受水的压强。【解答】解：（1）水的重力：G水＝m水g＝1.1kg×10N/kg＝11N，容器和水的总重力：G＝G容+G水＝4.2N+11N＝15.2N，因为容器放在水平桌面上，所以容器对桌面的压力：F＝G＝15.2N；（2）容器容积：V＝10cm×10cm×10cm+5cm×5cm×5cm＝1125cm3，由ρ＝可得水的体积：V水＝＝＝1.1×10﹣3m3＝1100cm3，因为V水＜V，所以注入1.1kg水未灌满容器，V水＝V下+S小h＝10cm×10cm×10cm+5cm×5cm×h＝1100cm3，解得：h＝4cm，容器内水深：h＝10cm+4cm＝0.14m，容器底部所受水的压强：p＝ρgh＝1×103kg/m3×10N/kg×0.14m＝1.4×103Pa。答：（1）这个装着水的容器对桌面的压力为15.2N；（2）容器底部所受水的压强为1.4×103Pa。【变式2-2】如图所示，底面积为100cm2的薄壁圆柱形容器、实心均匀圆柱体B均放置在水平桌面上，实心均匀圆柱体A放置在无水的容器内。当向容器内缓慢注入水后，水对容器底部的压强p水＝800Pa，相关数据如表所示。容器足够高，忽略圆柱体吸附水等次要因素，求：（1）容器内水的体积；（2）圆柱体静止时A在水中的浮沉状态；（3）若再将B竖直缓慢放置于A的上表面，释放并稳定后B不倾倒，静止时水对容器底部的压强。【答案】（1）容器内水的体积为500cm3；（2）静止时圆柱体A在水中沉底；（3）若再将B竖直缓慢放置于A的上表面，释放并稳定后，B不倾倒，静止时水对容器底部的压强为1100Pa。【分析】（1）由表格可知容器内水的质量，由ρ＝的变形可得容器内水的体积；（2）当向容器内缓慢注入水后，利用p＝ρgh的变形计算容器内水的高度，利用V＝Sh的变形计算容器中只有水时水的高度，进一步计算物体A浸入水中的体积，根据浮力计算公式F浮＝ρ液gV排计算物体A受到的浮力，根据重力公式计算物体A的重力，比较浮力和重力的大小确定物体A的状态；（3）因为圆柱体A沉底，所以圆柱体A浸入水中的体积就是A的体积，根据V＝Sh计算圆柱体A的高度，进一步计算圆柱体A的上表面距离水面的高度；设圆柱体B沉在A的上表面上，浸入水中的高度为hB，则有hBS1＝h2S1+hBSB，解得hB，据此根据阿基米德原理求出B的浮力与B的重力，根据浮沉条件判断假设正确；计算此时水的总高度：h＝hA+hB，利用p＝ρgh计算静止时水对容器底部的压强。【解答】解：（1）由表格可知容器内水的质量是500g，由ρ＝可得容器内水的体积：V1＝＝＝500cm3；（2）当向容器内缓慢注入水后，水对容器底部的压强p水＝800Pa，容器内水的高度：h0＝＝＝0.08m，容器中只有水时水的高度：h1＝＝＝5cm＝0.05m，圆柱体A浸入水中的体积：V2＝S1（h0﹣h1）＝100×10﹣4m2×（0.08m﹣0.05m）＝0.0003m3，圆柱体A受到的浮力为：F浮＝ρ水gV2＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.0003m3＝3N，圆柱体A的重力：GA＝mAg＝450×10﹣3kg×10N/kg＝4.5N，因4.5N＞3N，即圆柱体A的重力大于圆柱体A受到的浮力，所以圆柱体A沉底；（3）圆柱体A的高度：hA＝＝＝0.05m，圆柱体A的上表面距离水面的高度：h2＝h0﹣hA＝0.08m﹣0.05m＝0.03m，将圆柱体B竖直静止在A的上表面，设圆柱体B浸入水的高度为hB，则：有hBS容＝h2S容+hBSB，即：hB×100×10﹣4m2＝0.03m×100×10﹣4m2+hB×50×10﹣4m2，解得：hB＝0.06m，此时B受到的浮力为：F浮B＝ρ水gVB＝ρ水gSBhB＝1.0×103kg/m3×10N/kg×50×10﹣4m2×0.06m＝3N，圆柱体B受到的重力：GB＝mBg＝320×10﹣3kg×10N/kg＝3.2N，因GB＞F浮B，所以，B竖直缓慢放置于A的上表面，释放并稳定后B沉在A的上表面上，则此时水的总高度：h＝hA+hB＝0.05m+0.06m＝0.11m，则静止时水对容器底部的压强：p＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.11m＝1100Pa。答：（1）容器内水的体积为500cm3；（2）静止时圆柱体A在水中沉底；（3）若再将B竖直缓慢放置于A的上表面，释放并稳定后，B不倾倒，静止时水对容器底部的压强为1100Pa。题型3 排水模型类【典例3-1】如图甲所示，底面积100cm2、高度为50cm的圆柱形容器中装满了水，底部中央固定有一根体积不计沿竖直方向的细杆，细杆的上端连接着密度为0.6g/cm3的圆柱体A，容器的底部安装有阀门。现打开阀门控制水以50cm3/s流出，同时开始计时，水对容器底部的压力随时间变化的规律如图乙所示。求：（1）阀门未打开前水对容器底部的压强。（2）当t＝52s时，细杆对物体的作用力大小。【答案】（1）阀门未打开前水对容器底部的压强是5000Pa；（2）当t＝52s时，细杆对物体的作用力大小是0.8N。【分析】（1）由于容器高50cm，容器装满了水，根据p＝ρgh可求出阀门未打开前水对容器底部的压强。（2）由图乙可知，0～40s，40s～64s，64s～84s三个时间段，水对容器底部的压力随时间变化的规律分别为一段线段，根据水流速度可分别求出三个时间段流出水的体积，根据V＝Sh可分别求出0～40s，64s～84s两个时间段水下降的高度，根据容器高度和0～40s，64s～84s两个时间段水下降的高度可求出圆柱体A的高度，根据V＝（S容器﹣SA）h可求出圆柱体A的底面积，根据V＝Sh可求出圆柱体A的体积，根据m＝ρV求出圆柱体A的质量，根据G＝mg求出圆柱体A的重力；由图乙可知，40s～64s水面匀速下降，根据24s内下降的高度可求40s～52s水面下降的高度，由此可求出圆柱体A的浸在水中的体积，根据F浮＝ρ水gV排可求出圆柱体A受到的浮力，根据圆柱体A处于静止状态可知圆柱体A受到平衡力的作用，根据力的平衡可求出细杆对圆柱体A的作用力。【解答】解：（1）由于容器高50cm，容器装满了水，所以容器中水深h＝50cm＝0.5m，阀门未打开前水对容器底部的压强p＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.5m＝5000Pa；（2）由图乙可知，0～40s，40s～64s，64s～84s三个时间段，水对容器底部的压力随时间变化的规律分别为一段线段，在40s时，水面恰好与圆柱体A的上表面相平，在64s时，水面恰好与圆柱体A的下表面相平，所以0～40s时间段流出水的体积V1＝50cm3/s×40s＝2000cm3，40s～64s时间段流出水的体积V2＝50cm3/s×（64s﹣40s）＝1200cm3，64s～84s时间段流出水的体积V3＝50cm3/s×（84s﹣64s）＝1000cm3，根据V＝Sh可分别求出0～40s时间段水下降的高度h1＝＝＝20cm，64s～84s时间段水下降的高度h3＝＝＝10cm，所以圆柱体A的高度h2＝h﹣h1﹣h3＝50cm﹣20cm﹣10cm＝20cm，圆柱体A的底面积SA＝S容﹣＝100cm2﹣＝40cm2，圆柱体A的体积VA＝SAh2＝40cm2×20cm＝800cm3，圆柱体A的质量mA＝ρAVA＝0.6g/cm3×800cm3＝480g＝0.48kg，圆柱体A的重力GA＝mAg＝0.48kg×10N/kg＝4.8N，由图乙可知，40s～64s水面匀速下降，40s～64s内下降的高度为20cm，所以40s～52s水面下降的高度h4＝×（52s﹣40s）＝10cm，当t＝52s时，圆柱体A浸在水中的体积V排＝SA（h2﹣h4）＝40cm2×（20cm﹣10cm）＝400cm3，圆柱体A受到水的浮力F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×400×10﹣6m3＝4N，由于圆柱体A处于静止状态，所以圆柱体A受到重力、浮力、细杆对A的作用力处于平衡状态，故细杆对A的作用力F＝GA﹣F浮＝4.8N﹣4N＝0.8N答：（1）阀门未打开前水对容器底部的压强是5000Pa；（2）当t＝52s时，细杆对物体的作用力大小是0.8N。【典例3-2】如图甲所示，注满水的薄壁圆柱形容器放在水平台上，容器的底面积S容＝100cm2，质量均匀的圆柱体物块上表面中央用足够长的细绳系住，悬挂于容器中。容器底有一阀门K，打开K以100g/min的恒定速度向容器外缓慢排水，直至排完水为止，细绳的拉力大小与排水时间的关系如图乙所示。物块不吸水，忽略细绳体积、液体扰动等其它次要因素。求：（1）0﹣2min排出水的体积；（2）物体浸没时所受浮力的大小；（3）圆柱体物块的高度；（4）当细绳的拉力为6N时，物块下表面受到水的压强。【答案】（1）0﹣2min排出水的体积为200cm3；（2）物体浸没时所受浮力为7N；（3）圆柱体物块的高度10cm；（4）当细绳的拉力为6N时，物块下表面受到水的压强为400Pa。【分析】（1）由图乙可求出0﹣2min排出水的质量，根据ρ＝可求出0﹣2min排出水的体积；（2）由图乙可知，0﹣2min物块全部浸没在水中，此时细绳的拉力F1＝1.8N，5﹣9min物块全部露在空气中，则物块的重力G＝F2＝8.8N，根据F浮＝G﹣F1可求出物体浸没时所受浮力；（3）由图乙可求出2﹣5min排出水的质量，根据ρ＝可求出2﹣5min排出水的体积，由F浮＝ρ液gV排可求出物块排开水的体积和物块的体积，根据体积有关系可求出物块的高度；（4）根据F浮'＝G﹣F'可求出当细绳的拉力为6N时物块受到的浮力，由F浮＝ρ液gV排可求出此时物块排开水的体积，从而求出物块浸入水中的深度，根据p＝ρ水gh求出此时物块下表面受到水的压强。【解答】解：（1）由图乙可知，0﹣2min排出水的质量为：m1＝100g/min×2min＝200g，所以0﹣2min排出水的体积为：V1＝＝＝200cm3；（2）由图乙可知，0﹣2min物块全部浸没在水中，此时细绳的拉力F1＝1.8N，5﹣9min物块全部露在空气中，则物块的重力G＝F2＝8.8N，所以物体浸没时所受浮力为：F浮＝G﹣F1＝8.8N﹣1.8N＝7N；（3）由图乙可知，2﹣5min排出水的质量为：m2＝100g/min×3min＝300g，所以2﹣5min排出水的体积为：V2＝＝＝300cm3；由F浮＝ρ液gV排可知，物块的体积为：V＝V排＝＝＝7×10﹣4m3＝700cm3，所以物块的高度为：h＝＝＝10cm；（4）当细绳的拉力为6N时，物块所受浮力为：F浮'＝G﹣F'＝8.8N﹣6N＝2.8N，此时物块排开液体的体积：V排'＝＝＝2.8×10﹣4m3＝280cm3，又因为物块的底面积为：S＝＝＝70cm2，所以此时物块浸入水中的深度为：h'＝＝＝4cm＝0.04m，所以当细绳的拉力为6N时，物块下表面受到水的压强为：p＝ρ水gh'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.04m＝400Pa。答：（1）0﹣2min排出水的体积为200cm3；（2）物体浸没时所受浮力为7N；（3）圆柱体物块的高度10cm；（4）当细绳的拉力为6N时，物块下表面受到水的压强为400Pa。【变式3-1】如图所示，水平桌面上放置下端用毛细管连通的A、B两容器，底面积分别为100cm2和150cm2。阀门K打开前，A容器内竖直放置一底面积为50cm2、高为0.2m的长方体物块，物块对A容器底部的压强为pA，B容器内盛有0.2m深的水。求：（1）阀门K打开前，水对B容器底部的压强pB；（2）阀门K打开前，当pB＝2pA时，物块的密度；（3）阀门K打开后，水从B容器进入A容器，刚好使物块漂浮时，水进入A容器中的深度。【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用p＝ρgh可求液体的压强；（2）利用p＝可求固体的密度；（3）利用ρ＝可求物体的质量，再由G＝mg可求物体的重力，结合阿基米德原理可求排开水的体积，利用V排＝S物h可求水的深度。【解答】解：（1）水对B容器底部的压强pB＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.2m＝2000Pa；（2）阀门K打开前，PA就是物块对容器底的压强，当pB＝2pA时，pA＝＝＝1000Pa；由pA＝ρ物gh物得：物块密度为ρ物＝＝0.5×103kg/m3；（3）物块体积：V物＝S物h物＝50×10﹣4m2×0.2m＝1×10﹣3m3；由ρ＝得：物块质量m物＝ρ物V物＝0.5×103kg/m3×1×10﹣3m3＝0.5kg；则物块的重力G物＝m物g＝0.5kg×10N/kg＝5N；阀门K打开后，水从B容器进入A容器，当物块刚好漂浮时，有F浮＝G物＝5N；由F浮＝G排＝ρ水gV排得：排开水的体积V排＝＝5×10﹣4m3；进入A容器中水的深度：h′＝＝0.1m。答：（1）阀门K打开前，水对B容器底部的压强pB为2000Pa；（2）物块的密度为0.5×103kg/m3；（3）水进入A容器中的深度为0.1m。【变式3-2】如图所示，一个底面积为1×10﹣2m2的足够深的柱形容器内的水面上漂浮着一个圆柱形木块，木块重6N，密度为0.6×103kg/m3，底面积为5×10﹣3m2．求：（1）木块受到的浮力；（2）如果用一细线在容器底部将木块拴住，使木块刚浸没水中，则细线对木块的拉力是多大？（3）在（2）前提下，将底部阀门打开放水，问当放水深度是多少时，细线的拉力变为2N？【答案】见试题解答内容【分析】（1）已知木块漂浮，根据F浮＝G可求得其浮力；（2）根据木块的重力可求得其质量，再利用密度公式变形可求得其体积；然后利用F浮＝ρgV排求得此时受到的浮力，再根据木块平衡F拉+G木＝F浮，求得其拉力；（3）当细线的拉力变为2N，根据木块平衡F拉+G木＝F浮，求得其浮力；再利用F浮＝ρgV排变形求得木块排开水的体积，然后可求露出水面的体积，再利用h＝可求水深度。【解答】解：（1）因为木块漂浮，所以木块受到的浮力：F浮＝G＝6N，（2）木块的质量：m＝＝＝0.6kg，由ρ＝可得，木块的体积：V＝＝＝1×10﹣3m3，浸没时受到的浮力：F浮′＝ρ水gV＝1×103 kg/m3×10N/kg×1×10﹣3m3＝10N，用一细线在容器底部将木块拴住时，木块受力平衡，所以F拉+G木＝F浮′，则细线对木块的拉力：F拉＝F浮′﹣G木＝10N﹣6N＝4N，（3）将底部阀门打开放水，当细线拉力变为2N时，则木块受到的浮力：F浮″＝G木+F拉″＝6N+2N＝8N，由F浮＝ρgV排可得，此时木块排开水的体积：V排″＝＝＝8×10﹣4m3；木块露出水的体积：V露＝V﹣V排＝1×10﹣3m3﹣8×10﹣4m3＝2×10﹣4m3，则水面下降高度：h＝＝＝0.04m＝4cm，即放水深度4cm。答：（1）木块受到的浮力为6N；（2）细线对木块的拉力是4N；（3）当放水深度是4cm时，细线的拉力变为2N。题型4 出入水模型类【典例4-1】如图为某自动冲水装置的示意图，水箱内有一个底面积为0.02m2、高度为0.16m的圆柱浮筒A，其重为4N。一个厚度不计、面积为0.01m2的圆形盖片B盖住出水口并紧密贴合。A和B用长0.08m的轻质细杆相连，初始时，A的一部分浸入水中，轻杆对A、B没有力的作用。B和细杆的质量不计，求：（1）初始时A所受浮力的大小；（2）注水后轻杆受力，且杆对A和B的拉力大小相等。当水面升高到某位置时，B刚好被拉起使水箱排水，此时杆对B的拉力大小的大小。【答案】（1）A所受浮力的大小为4N。（2）当水面升高到某位置时，B刚好被拉起使水箱排水，此时杆对B的拉力为20N。【分析】（1）由题意可知，A初始时处于漂浮状态，根据物体的浮沉条件求出A漂浮时受到的浮力；（2）根据液体压强公式表示出B刚好被拉起时B受到水的压强，根据压强定义式表示出B受到的压力，根据阿基米德原理表示出A受到的浮力，根据力的平衡条件列出方程求出此时A浸入水中的深度，进而求出杆对B的拉力。【解答】解：（1）初始时，A的一部分浸入水中，轻杆对A、B没有力的作用，说明此时A刚好漂浮，由物体的漂浮条件可知，此时A所受浮力：F浮＝GA＝4N；（2）设B刚好被拉起时，A浸入水中的深度为h浸，由题意可知，B刚好被拉起时，B受到水的压强：p＝ρ水gh＝ρ水g（h浸+L），B受到水的压力：F压＝pS2＝ρ水g（h浸+L）S2，杆对A的拉力：F拉＝F压＝ρ水g（h浸+L）S2，A受到的浮力：F浮'＝ρ水gV排'＝ρ水gS1h浸，A受到竖直向下的重力、杆对A的拉力和竖直向上的浮力，由力的平衡条件可知：F浮'＝GA+F拉，即：ρ水gS1h浸＝GA+ρ水g（h浸+L）S2，则A浸入水中的深度：h浸＝＝＝0.12m，由题意可知，此时杆对B的拉力：F＝F拉＝ρ水g（h浸+L）S2＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.12m+0.08m）×0.01m2＝20N。答【典例4-2】如图甲所示，为某饮水机自动注水装置的模型，底面积为200cm2的柱形水箱内装有质量为6kg的水，一竖直、轻质、硬细杆上端通过力传感器固定，下端与不吸水的实心长方体A连接。打开水龙头，水箱中的水缓慢排出，细杆对力传感器作用力的大小F随排出水的质量m变化的关系如图乙所示，当排水质量为4kg时，A刚好全部露出水面，由传感器控制开关开始注水。求：（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力；（2）长方体A的密度；（3）上述排水过程中，当力传感器示数为3N时，水箱底部受到水的压强。【答案】（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力是20N；（2）长方体A的密度是0.2×103kg/m3；（3）上述排水过程中，当力传感器示数为3N时，水箱底部受到水的压强是2×103Pa。【分析】（1）由公式G＝mg求得水箱内剩余水的重力；（2）由图乙可知，在排水量为0～1kg范围内，F不变，A受到细杆对它竖直向下的压力和重力以及竖直向上的浮力作用且F浮＝F+G，A处于浸没状态，排水前A的上表面水的质量为1kg；在排水量1kg到F减小为零的范围内，A受到细杆对它竖直向下的压力和重力和竖直向上的浮力作用，F随浮力的减小而减小；在F从零增大到2N范围内，A受到的竖直向下的重力和竖直向上的浮力、细杆对A竖直向上的拉力的作用且G＝F+F浮，在排水量为4kg时，A受到的浮力为零，G＝F，由公式G＝mg＝ρVg、F浮＝ρ液gV排，可求得A的密度；（3）从排水量1kg～4kg的过程中，结合水位下降的高度及V＝Sh求得A的底面积，上述排水过程中，当力传感器示数为3N时，利用F浮′＝GA+F示′求得浮力大小，利用阿基米德原理求得此时A浸入水中的体积，进一步求得A的下表面与容器底的距离，利用p＝ρgh求得水箱底部受到水的压强。【解答】解：（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力为：G剩＝m剩g＝（6kg﹣4kg）×10N/kg＝20N；（2）当排水质量为4kg时，A刚好全部露出水面，此时A受到的浮力为零，则GA＝F拉＝2N，当A浸没时，所受浮力为：F浮＝GA+F压＝2N+8N＝10N，A的体积为：VA＝V排＝＝＝1×10﹣3m3，长方体A的质量为：mA＝＝＝0.2kg，长方体A的密度为：ρA＝＝＝0.2×103kg/m3；（3）从排水量1kg～4kg的过程中，水位下降的高度为＝①A的底面积为②解①②可得，，上述排水过程中，当力传感器示数为3N时，F浮′＝GA+F示′＝2N+3N＝5N，此时A浸入水中的体积为＝＝5×10﹣4m3，此时A的下表面距离水面的深度为＝＝0.1m，A的下表面与容器底的距离为＝＝0.1m，上述排水过程中，当力传感器示数为3N时，水箱底部受到水的压强p＝ρ水gh水＝ρ水g（hA+h）＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.1m+0.1m）＝2×103Pa。答：（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力是20N；（2）长方体A的密度是0.2×103kg/m3；（3）上述排水过程中，当力传感器示数为3N时，水箱底部受到水的压强是2×103Pa。【变式4-1】水箱是生活中常用的供水工具。小明根据水箱的结构自制了圆柱形薄壁水箱模型。如图甲所示为该模型的示意图，A为注水口，B为出水口，C为溢水口（当水箱中的水面达到溢水口则水会从溢水口溢出）。小明对该模型进行了探究，他先关闭出水口，从注水口匀速向空模型中注入水，通过停表记录时间为t，每隔2min暂停注入并用天平测量模型与水的总质量为m。小明根据实验数据绘制出如图乙所示的m﹣t图像。已知溢水口距模型底部的距离为hc＝20cm，模型的底面积为S＝200cm2，注水速度为v＝50mL/min，ρ水＝1g/cm3。忽略各水口体积等次要因素。（1）求模型的质量m0；（2）当模型中的水面达到溢水口后，停止注水，小明将图丙所示底面积为SM＝100cm2，高为hM的圆柱形金属块M放入模型中（金属块M沉底），溢出水后，测得总质量为m1＝6200g，取出金属块M后，再次测得总质量为m2＝3500g（不计取出金属块M的过程中所粘水的质量）。求金属块M的密度ρM。（3）在（2）题中当金属M沉底且水面与溢水口齐平时，停止注水，通过放水开关B放出水。求当放出2.4kg水时，模型中剩余水的深度。【答案】（1）模型的质量m0＝500g；（2）金属块M的密度ρM为2.7g/cm3；（3）模型中剩余水的深度为6cm。【分析】（1）由注水速度和注水时间及乙图可求该模型的质量；（2）注满水后，将金属块M放入到模型中，溢出水后的总质量m1为剩余水的质量+模型的质量+金属块的质量；取走M后测得质量m2为剩余水的质量+模型的质量，进而可求金属块的质量；再根据注满水的总体积和剩余水的质量，利用密度公式可求排出水的体积，即为金属块M的体积；再由密度公式可求金属块的密度；（3）由金属块的体积和底面积可求其高度；根据剩余水的体积和剩余空间的底面积，即可求得深度。【解答】解：（1）由注水速度v＝50mL/min，则2min注水的体积为V水1＝vt＝50mL/min×2min＝100mL＝100cm3，结合密度公式ρ＝可得：2min注水的质量m水1＝ρ水V水1＝1g/cm3×100cm3＝100g；又由图乙可知，2min末的总质量为600g，所以模型的质量m0＝600g﹣100g＝500g；（2）已知模型的底面积和高度可得，模型的总体积V＝Shc＝200cm2×20cm＝4000cm3；模型注满水后，将金属块放入模型中，溢出水后的总质量m1为剩余水的质量+模型的质量+金属块的质量；取走M后测得质量m2为剩余水的质量+模型的质量，则金属块的质量mM＝m1﹣m2＝6200g﹣3500g＝2700g；又由m2＝3500g＝m剩余水+m0，则m剩余水＝m2﹣m0＝3500g﹣500g＝3000g；结合密度公式可知，剩余水的体积V剩余水＝＝3000cm3；金属块放入到注满水的模型中排开水的体积V排＝V﹣V剩余水＝4000cm3﹣3000cm3＝1000cm3；根据阿基米德原理可得金属块的体积VM＝1000cm3；所以金属块的密度ρM＝＝2.7g/cm3；（3）由（2）可知，金属块的体积和底面积可得金属块的高度hM＝＝10cm；m剩余水＝3000g，排出2.4kg水后剩下水的质量m剩＝3kg﹣2.4kg＝0.6kg＝600g，结合密度公式可知，最后剩下水的体积V剩＝600cm3；又模型的底面积S＝200cm2，金属块的底面积SM＝100cm2，则模型剩余空间的底面积S剩＝S﹣SM＝200cm2﹣100cm2＝100cm2；所以剩余水的深度h＝＝6cm＜10cm，说明求解合理。答：（1）模型的质量m0＝500g；（2）金属块M的密度ρM为2.7g/cm3；（3）模型中剩余水的深度为6cm。【变式4-2】如图是自动供水功能装置的简化示意图。重6N的圆柱体A能沿固定杆在竖直方向自由移动，当注水至水深20cm时，A开始上浮，直至压力传感器B受到1.5N压力时，进水口自动关闭，注水结束。（不计A与杆的摩擦）求；（1）注水至A恰能开始上浮时，容器底受到的水的压强；（2）注水结束时，A受到的浮力；（3）注水结束时，A浸入水中的深度。【答案】（1）注水至A恰能开始上浮时，容器底受到的水的压强2000Pa；（2）注水结束时，A受到的浮力7.5N；（3）注水结束时，A浸入水中的深度为25cm。【分析】（1）注水至A恰能开始上浮时，根据p＝ρ水gh得出容器底受到的水的压强；（2）由于圆柱体A受到浮力上升，使压力传感器B受到1.5N的压力，压力传感器B受到压力F压与A受到的压F压′是一对相互作用力，大小相等，根据F浮＝GA+F压′得出注水结束时，A受到的浮力；（2）当注水至水深20cm时，A开始上浮，此时浮力等于圆柱体A的重力，根据V排′＝＝得出圆柱体的排开水的体积；根据S＝得出圆柱体的底面积；A受到的浮力为7.5N时，A浸入水中的深度为h′，有F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh′，代入数据得出A浸入水中的深度。【解答】解：（1）注水至A恰能开始上浮时，容器底受到的水的压强p＝ρ水gh＝103kg/m3×10N/kg×20×10﹣2m＝2000Pa；（2）由于圆柱体A受到浮力上升，使压力传感器B受到1.5N的压力，压力传感器B受到压力F压与A受到的压F压′是一对相互作用力，大小相等，F压＝F压′，注水结束时，A受到的浮力F浮＝GA+F压′＝6N+1.5N＝7.5N；（2）当注水至水深20cm时，A开始上浮，此时浮力等于圆柱体A的重力，圆柱体的排开水的体积V排′＝＝＝＝6×10﹣4m3，圆柱体的底面积S＝＝＝3×10﹣3m2，A受到的浮力为7.5N时，A浸入水中的深度为h′，则有F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh′＝103kg/m3×10N/kg×3×10﹣3m2×h′＝7.5N；解得h′＝0.25m＝25cm。答：（1）注水至A恰能开始上浮时，容器底受到的水的压强2000Pa；（2）注水结束时，A受到的浮力7.5N；（3）注水结束时，A浸入水中的深度为25cm。题型5 漂浮模型类【典例5-1】如图甲所示，水平桌面上有一底面积为5.0×10﹣3m2的圆柱形容器，容器中装有一定量的水，现将—个体积为5.0×10﹣5m2的物块（不吸水）放入容器中，物块漂浮在水面上，浸入水中的体积为4.0×10﹣5m2。求：（ρ水＝1.0×103kg/m3，g取10N/kg）（1）物块受到的浮力；（2）物块的质量；（3）如图乙所示，用力F缓慢向下压物块，使其恰好完全浸没在水中（水未溢出），此时水上升的高度为多少？水对容器底的压强比物块被下压前增加了多少？【答案】（1）物块受到的浮力大小为0.4N；（2）物块的质量为0.04kg；（3）水上升的高度为0.02m；水对容器底的压强比物块被下压前增加了20Pa【分析】（1）已知浸入水中的木块体积（排开水的体积），利用阿基米德原理求所受浮力。（2）由于物块漂浮在水面上，根据漂浮条件可知物块的重力，求出质量；（3）求出物块完全浸没在水中和物块的漂浮时的体积差，已知容器底面积求出水的深度h，根据p＝ρgh即可求出水对容器底的压强。【解答】解：（1）已知V排＝4.0×10﹣5m3，则F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×4×10﹣5m3＝0.4N。（2）由于物块漂浮在水面上，则物块的重力G＝F浮＝0.4N，则质量m＝＝＝0.04kg；（3）物块使其恰好完全浸没在水中，排开水的体积变化：ΔV＝V物﹣V排＝5×10﹣5m3﹣4×10﹣5m3＝1×10﹣5m3则水的深度变化为：Δh＝＝＝0.002m，所以水对容器底的压强中增加：Δp＝ρgh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.002m＝20Pa。答：（1）物块受到的浮力大小为0.4N；（2）物块的质量为0.04kg；（3）水上升的高度为0.02m；水对容器底的压强比物块被下压前增加了20Pa。【典例5-2】小宇用合金板，为班级制作了一个不漏水的长方体粉笔盒。清洗粉笔盒时，它能漂浮在水面上静止，如图所示，水平盒底在水中的深度h＝4.8cm。已知粉笔盒外横截面积S＝10﹣2m2，求：（1）粉笔盒底部处的水所产生的压强大小；（2）粉笔盒所受水的浮力大小；（3）若在粉盒内装入800g粉笔，盒口朝上放在水平桌面上，粉笔盒对桌面的压强大小。【答案】（1）粉笔盒底部处的水所产生的压强大小为4.8×102Pa；（2）粉笔盒所受水的浮力大小为4.8N；（3）若在粉盒内装入800g粉笔，盒口朝上放在水平桌面上，粉笔盒对桌面的压强大小为1280Pa。【分析】（1）根据p＝ρ水gh求出粉笔盒底部处的水所产生的压强大小；（2）根据F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh求出粉笔盒所受水的浮力大小；（3）粉笔盒漂浮在水面上，受到的浮力等于其自身的重力，即G＝F浮；根据p′＝＝求出若在粉盒内装入800g粉笔，盒口朝上放在水平桌面上，粉笔盒对桌面的压强大小。【解答】解：（1）粉笔盒底部处的水所产生的压强大小为：p＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×4.8×10﹣2m＝4.8×102Pa；（2）粉笔盒所受水的浮力大小为：F浮＝ρ水gV排＝ρ水gSh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×10﹣2m2×4.8×10﹣2m＝4.8N；（3）粉笔盒漂浮在水面上，受到的浮力等于其自身的重力，即G＝F浮＝4.8N；若在粉盒内装入800g粉笔，盒口朝上放在水平桌面上，则粉笔盒对桌面的压强为：p′＝＝＝＝1280Pa。答：（1）粉笔盒底部处的水所产生的压强大小为4.8×102Pa；（2）粉笔盒所受水的浮力大小为4.8N；（3）若在粉盒内装入800g粉笔，盒口朝上放在水平桌面上，粉笔盒对桌面的压强大小为1280Pa。【变式5-1】有一柱形盛水容器，底面积为S容＝100cm2。一个重4N木块A（不吸水，如图乙）放入容器内漂浮且水没有溢出，将一个重4N的物体B放在木块A上，木块A恰好没入水中，容器中水正好达到最高处，如图丙所示。求；（1）将物体B放在木块A上后，水对容器底部的压强增加了多少？（2）木块A的密度是多少？【答案】（1）将物体B放在木块A上后，水对容器底部的压强增加了400Pa；（2）木块A的密度是0.5×103kg/m3。【分析】（1）将物体B放在木块A上后，整体处于漂浮状态，整体漂浮时受到的浮力等于A、B的重力之和，水没有溢出，容器为规则容器，水对容器底部的压力等于水的重力、物体A、B的重力之和，所以将物体B放在木块A上后，水对容器底部压力的变化量等于B的重力，根据压强公式计算水对容器底部的压强增加量；（2）根据重力公式计算木块的质量，根据阿基米德原理计算木块的体积，根据密度公式计算木块的密度。【解答】解：（1）将物体B放在木块A上后，整体处于漂浮状态，整体漂浮时受到的浮力等于A、B的重力之和，水没有溢出，容器为规则容器，水对容器底部的压力等于水的重力、物体A、B的重力之和，所以将物体B放在木块A上后，水对容器底部压力的变化量等于B的重力，则水对容器底部的压强增加量：p＝＝＝＝400Pa；（2）木块A的质量：mA＝＝＝0.4kg，整体漂浮时受到的浮力等于A、B的重力之和，木块的体积VA＝V排＝＝＝8×10﹣4m3，木块的密度：ρA＝＝＝0.5×103kg/m3。答：（1）将物体B放在木块A上后，水对容器底部的压强增加了400Pa；（2）木块A的密度是0.5×103kg/m3。【变式5-2】如图甲所示，水平放置的轻质方形容器B，容器高为25cm，内有一个密度为0.6g/cm3、边长为10cm的实心正方体A，A与容器底部不密合，将A下表面中央与容器B的底部用一根长10cm的细绳连在一起（细绳质量、体积忽略不计）后，A置于B中央并静止。先向容器内缓慢加入1000mL某液体后，A漂浮于液面，此时液面深度为10cm，再用6N竖直向下的力作用在A上，使其恰好完全浸没，如图乙所示。（g取10N/kg）求：（1）加入液体的密度；（2）A恰好浸没时容器对桌面的压强大小；（3）撤去6N压力后，继续向容器内加入该液体，假设继续加入液体的体积为xcm3，求该容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式。【答案】（1）加入液体的密度为1.2×103kg/m3；（2）A恰好浸没时容器对桌面的压强为1600Pa；（3）当注入液体的体积x＜750cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝1200+0.8x（Pa）；当注入液体的体积750cm3≤x＜1000cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝2.4x（Pa）；当注入液体的体积1000cm3≤x＜1750cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝1600+0.8x（Pa）；当注入容器内的液体体积x≥1750cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝3000Pa。【分析】（1）根据G＝mg＝ρVg求出A的重力，根据F浮＝GA+F可求出A恰好完全浸没时受到的浮力，根据阿基米德原理可求出加入液体的密度；（2）根据G＝mg＝ρVg求出加入液体的重力，柱形容器对支持面的压力等于容器、容器内液体以及排开液体的重力之和；A漂浮时受到浮力为F浮'＝GA，根据阿基米德原理求出此时A排开水的体积，根据体积关系可求出容器B的底面积，根据p＝求出A恰好浸没时容器对桌面的压强大小；（3）根据体积关系可求出A漂浮时浸入液体的深度，从而可求出当细线恰好拉直时注入容器B内液体的体积，则根据体积关系可分别求出注入不同液体的体积时容器内液体的深度，根据p＝ρgh可表示出容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式。【解答】解：（1）A的重力为：GA＝mAg＝ρAVAg＝0.6×103kg/m3×（0.1m）3×10N/kg＝6N，A恰好完全浸没时受到的浮力为：F浮＝GA+F＝6N+6N＝12N，由阿基米德原理可知，加入液体的密度为：ρ液＝＝＝＝1.2×103kg/m3；（2）加入液体的重力为：G液＝m液g＝ρ液V液g＝1.2×103kg/m3×1000×10﹣6m3×10N/kg＝12N，因柱形容器对支持面的压力等于容器、容器内液体以及排开液体的重力之和，又因容器为轻质容器，所以容器对支持面的压力为：F压＝G液+G排＝G液+F浮＝12N+12N＝24N，A漂浮时受到浮力为：F浮'＝GA＝6N，此时A排开液体的体积为：V排'＝＝＝5×10﹣4m3＝500cm3，所以容器B的底面积为：SB＝＝＝150cm2，所以A恰好浸没时容器对桌面的压强为：p＝＝＝1600Pa；（3）A漂浮时浸入液体的深度为：h1＝＝＝5cm，当细线恰好拉直时，此时注入容器B内液体的体积为：V1＝SB（L+h1）﹣V排'﹣V液＝150cm2×（10cm+5cm）﹣500cm3﹣1000cm3＝750cm3，所以当注入液体的体积x＜750cm3时，容器内液体的深度为：h2＝＝＝+10（cm），容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝ρ液gh2＝1.2×103kg/m3×10N/kg×（+10）×10﹣2m＝1200+0.8x（Pa）；当A恰好浸没时，此时注入容器B内液体的体积为：V2＝SB（L+hA）﹣VA﹣V液＝150cm2×（10cm+10cm）﹣1000cm3﹣1000cm3＝1000cm3，所以当注入液体的体积750cm3≤x＜1000cm3时，容器内液体的深度为：h3＝L+h1+＝10cm+5cm+＝（cm），容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝ρ液gh3＝1.2×103kg/m3×10N/kg××10﹣2m＝2.4x（Pa）；当注入液体恰好装满容器时，此时注入的液体体积为：V3＝SBhB﹣VA﹣V液＝150cm2×25cm﹣1000cm3﹣1000cm3＝1750cm3，所以当注入液体的体积1000cm3≤x＜1750cm3时，容器内液体的深度为：h3＝L+hA+＝10cm+10cm+＝20+（cm），容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝ρ液gh3＝1.2×103kg/m3×10N/kg×（20+）×10﹣2m＝1600+0.8x（Pa）；当注入液体装满容器后，继续注入液体容器内液体的深度不变，压强保持不变，所以当注入容器内的液体体积x≥1750cm3时，容器底部受到的液体压强为：p＝ρ液ghB＝1.2×103kg/m3×10N/kg×0.25m＝3000Pa。答：（1）加入液体的密度为1.2×103kg/m3；（2）A恰好浸没时容器对桌面的压强为1600Pa；（3）当注入液体的体积x＜750cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝1200+0.8x（Pa）；当注入液体的体积750cm3≤x＜1000cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝2.4x（Pa）；当注入液体的体积1000cm3≤x＜1750cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝1600+0.8x（Pa）；当注入容器内的液体体积x≥1750cm3时，容器底部受到的液体压强p随x变化的函数关系表达式为：p＝3000Pa。题型6 实际应用类【典例6-1】随着城市建设的高速发展，城市内涝时有发生，排涝抢险作业越来越被重视，但在排涝作业中，需要抢险人员涉水作业，抢险人员存在着工作强度和安全隐患较大的问题。如图是某款水陆两栖排涝机器人，该机器人可无线遥控控制，能达到涵洞，地下室等抢险人员不便到达的地方，当水深达到一定程度，该机器人还可以漂浮在水面上进行排水作业。（g＝10N/kg）（1）该机器人的总质量为770kg，轮子与地面接触的总面积为0.2m2。求：该机器人行走时对地面的压强是多少Pa？（2）该机器人两侧各装有一个浮箱，可使该机器人在深水中时能漂浮在水面上进行排水作业，漂浮时浮箱浸没在水中，机器人除浮箱外有0.27m3浸没入水中，每个浮箱的质量为50kg，制成浮箱的材料的密度为5×103kg/m3。问：每个浮箱空心部分体积为多少m3？【答案】（1）该机器人行行走时对地面的压强为3.85×104Pa；（2）每个浮箱空心部分体积为0.24m3【分析】（1）该机器人行走时对地面的压力等于自身的重力，根据p＝可求出该机器人行走时对地面的压强；（2）根据物体沉浮条件可求出机器人漂浮时所受浮力，根据阿基米德原理可求出机器人排开水的体积，根据体积关系可求出每个浮箱空心部分体积。【解答】解：（1）该机器人行走时对地面的压力为：F＝G＝mg＝770kg×10N/kg＝7.7×103N，该机器人行走时对地面的压强为：p＝＝＝3.85×104Pa；（2）机器人漂浮时所受浮力为：F浮＝G＝7.7×103N，根据阿基米德原理可知，机器人排开水的体积为：V排＝＝＝0.77m3，每个浮箱的体积为：V箱＝（V排﹣V1）＝×（0.77m3﹣0.27m3）＝0.25m3；而材料的体积为：V材＝＝＝0.01m3；所以每个浮箱空心部分体积为：V空＝V箱﹣V材＝0.25m3﹣0.01m3＝0.24m3。答：（1）该机器人行行走时对地面的压强为3.85×104Pa；（2）每个浮箱空心部分体积为0.24m3；【典例6-2】小淋在厨房观察到一个有趣的现象，他把西红柿放入盛满水的盆子清洗时，从盆中溢出的水流入底部密封的水槽内，取出西红柿后，盆子浮了起来。经过思考，他建立了以下模型研究盆子浮起的条件，如图所示足够高的圆柱形容器A放在水平桌面上，内放一个装满水的圆柱形容器B（B的厚度不计，且与A底部未紧密贴合）。容器A底面积为200cm2，容器B的质量为300g，底面积为150cm2，高度为20cm。正方体木块的边长为10cm，密度为0.6g/cm3。求：（1）木块的质量为多少g？（2）木块缓慢放入容器B中，当木块最终静止时，A容器底部受到的液体压强为多少Pa？（3）把木块取出再从容器B中抽出重力为G的水倒入容器A中，当容器B刚好漂浮时，G为多少N？【答案】（1）木块的质量为600g；（2）木块缓慢放入容器B中，当木块最终静止时，A容器底部受到的液体压强为1.2×103Pa；（3）当容器B刚好漂浮时，G为2.25N。【分析】（1）根据体积公式求出木块的体积，根据密度公式求出木块的质量；（2）根据物体的浮沉条件求出木块受到的浮力；根据阿基米德原理求出木块排开的水的体积，根据体积公式求出液面上升的高度，根据p＝ρgh求A容器底部受到的液体压强；（3）根据体积公式求出容器B中水的体积，根据密度公式求出水的质量，根据密度公式放入木块排开水的质量，进而求出把木块取出后B容器中水和容器的总质量，根据G＝mg求出B容器中水和容器的总重力，根据从容器B中抽出重力为G的水倒入容器A中表示出剩余水和容器B的总重力，根据物体的漂浮条件求出容器B受到的浮力，根据阿基米德原理表示出容器B排开水的体积，根据G＝mg表示出抽出水的质量，根据密度公式表示出抽出水的体积，根据体积公式表示出抽出水倒入容器A中时水增加的深度，结合（2）中水的深度利用体积公式表示出容器B排开水的体积，联立方程求出抽出水的重力。【解答】解：（1）木块的体积：V木＝L木3＝（10cm）3＝1000cm3，由ρ＝可知，木块的质量：m木＝ρ木V木＝0.6g/cm3×1000cm3＝600g＝0.6kg；（2）因为木块的密度小于水的密度，所以，由物体的浮沉条件可知，木块放在液体中最终将处于漂浮状态，由物体的漂浮条件可知，木块受到的浮力为：F浮＝G木＝m木g＝0.6kg×10N/kg＝6N；由F浮＝ρ液gV排可知，木块排开液体的体积为：V排＝＝＝6×10﹣4m3＝600cm3，因为圆柱形容器B中装满水，所以有600cm3的水溢出到容器A中，从B中溢出的水会充满A、B容器的空隙，容器A底面积为200cm2，B底面积为150cm2，由题意可知，溢出的水在A、B空隙中的底面积为：S环＝SA﹣SB＝200cm2﹣150cm2＝50cm2，所以A中水的高度为：h1＝＝＝12cm＝0.12m，此时，A容器底部受到的液体压强为：p＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.12m＝1.2×103Pa；（3）容器B的容积：VB＝SBhB＝150cm2×20cm＝3000cm3，在木块未放入水中时，B容器中的水是满的，此时容器B中水的质量为：mB水＝ρ水VB＝1g/cm3×3000cm3＝3000g，放入木块排开水的质量为：m排水＝ρ水V排＝1g/cm3×600cm3＝600g，把木块取出，则B容器中水和容器的总质量为：m总＝mB水+mB﹣m木＝3000g+300g﹣600g＝2700g＝2.7kg，此时B容器中水和容器的总重力：G总＝m总g＝2.7kg×10N/kg＝27N，从容器B中抽出重力为G的水倒入容器A中后，剩余水和容器B的总重力：G总剩＝G总﹣G＝27N﹣G，由物体的漂浮条件可知，当容器B刚好漂浮时，容器B受到的浮力：F浮B＝G总剩＝27N﹣G，由F浮＝ρ液gV排可知，容器B排开水的体积为：V排B＝＝……①由G＝mg可知，抽出水的质量为：m抽＝，由ρ＝可知，抽出水的体积为：V抽＝＝＝则抽出水倒入容器A中时水增加的深度为：Δh＝＝＝，则容器中A水的深度为：hA＝h1+Δh＝0.12m+，则容器B排开水的体积为：V排B＝SBhA＝150×10﹣4m2×（0.12m+）＝1.8×10﹣3m3+……②由①②解得：G＝6.75N﹣4.5×10﹣4m3×ρ水g＝6.75N﹣4.5×10﹣4m3×1.0×103kg/m3×10N/kg＝2.25N。答：（1）木块的质量为600g；（2）木块缓慢放入容器B中，当木块最终静止时，A容器底部受到的液体压强为1.2×103Pa；（3）当容器B刚好漂浮时，G为2.25N。【变式6-1】市面上有一种防溺水手环，如图，将手环系在手臂上，紧急情况下打开手环，手环内气瓶的CO2会迅速充满气囊，最终使人漂浮于水面。为确保安全，人体浸入水中的体积不能超过人体总体积的五分之四。已知某运动员质量m人＝51kg，平均密度ρ人＝1.02×103kg/m3，水的密度ρ水＝1.0×103kg/m3，g取10N/kg，忽略手环体积和自重，求：（1）该运动员的重力；（2）当人体浸入水中体积为人体总体积的五分之四时，该运动员在水中受到的浮力；（3）人漂浮时，气囊体积至少多大，才能确保运动员的安全。【答案】（1）该运动员的重力为510N；（2）当人体浸入水中体积为人体总体积的五分之四时，该运动员在水中受到的浮力为400N；（3）人漂浮时，气囊体积至少为0.011m3，才能确保运动员的安全。【分析】（1）根据G＝mg算出该运动员的重力；（2）由密度公式算出人的体积，由阿基米德原理算出当人体浸入水中体积为人体总体积的五分之四时该运动员在水中受到的浮力；（3）根据漂浮的条件算出人漂浮时受到的浮力，由阿基米德原理算出人排开水的体积，人排开水的体积减去人体的体积就是气囊的体积。【解答】解：（1）该运动员的重力为：G人＝m人g＝51kg×10N/kg＝510N；（2）由ρ＝得人的体积为：V人＝＝＝0.05m3，当人体浸入水中体积为人体总体积的五分之四时，该运动员在水中受到的浮力为：F浮＝ρ水gV排＝ρ水gV人＝1.0×103kg/m3×10N/kg××0.05m3＝400N；（3）人漂浮时，受到的浮力为F浮′＝G人＝510N，由F浮＝ρ水gV排得此时排开水的体积为：V排′＝＝＝0.051m3；气囊体积为：V气囊＝V排′﹣V人＝0.051m3﹣×0.05m3＝0.011m3。答：（1）该运动员的重力为510N；（2）当人体浸入水中体积为人体总体积的五分之四时，该运动员在水中受到的浮力为400N；（3）人漂浮时，气囊体积至少为0.011m3，才能确保运动员的安全。【变式6-2】如图所示，建造港珠澳海底隧道时，先将钢筋混凝土的沉管两端密封，如同一个巨大的长方体空心箱子，然后让其漂浮在海面上，再用船将密封沉管拖到预定海面上，向其内部灌水使之沉入海底。当密封沉管灌水下沉到海底后，将其下半部分埋入海底的泥沙中，再将灌入其中的海水全部抽出、此时空心密封沉管不会再上浮、海底隧道就建成了，设某节密封长方形沉管的长、宽、高分别是180m、35m、10m，总质量为6×107kg；钢筋混凝土的密度为2.5×103kg/m3，海水密度取1.0×103kg/m3，g＝10N/kg，求：（1）漂浮在海面上的密封沉管，在灌水前受到的浮力F浮是多少？（2）该节密封沉管空心部分的体积是多少？（3）当该密封沉管上表面刚好与水面齐平时，注入的海水体积至少为多少？【答案】见试题解答内容【分析】（1）漂浮在海面上的密封沉管，根据F浮1＝G＝mg得出在灌水前受到的浮力；（2）得出密封沉管的总体积，根据V′＝得出钢筋混凝土的体积，根据V空＝V管﹣V'得出节密封沉管空心部分的体积；（3）沉管刚好浸没海水中时，根据V排＝V管得出排开海水的体积，根据阿基米德原理得出受到的浮力；沉管恰好悬浮时，沉管内注入海水最少，根据G水＝F浮﹣G得出注入海水的重力，根据得出V水＝＝注入的海水体积。【解答】解：（1）漂浮在海面上的密封沉管，在灌水前受到的浮力F浮1＝G＝mg＝6×107kg×10N/kg＝6×108N；（2）密封沉管的总体积为V管＝180m×35m×10m＝63000m3，钢筋混凝土的体积为V′＝＝＝24000m3，节密封沉管空心部分的体积是V空＝V管﹣V'＝63000m3﹣24000m3＝39000m3；（3）沉管刚好浸没海水中时，排开海水的体积V排＝V管＝63000m3，受到的浮力F浮＝ρ水V排g＝1.0×103kg/m3×63000m3×10N/kg＝6.3×108N，沉管恰好悬浮时，沉管内注入海水最少，注入海水的重力G水＝F浮﹣G＝6.3×108N﹣6×108N＝3×107N，注入的海水体积V水＝＝＝＝3000m3。答：（1）漂浮在海面上的密封沉管，在灌水前受到的浮力F浮是6×108N；（2）该节密封沉管空心部分的体积是39000m3；（3）当该密封沉管上表面刚好与水面齐平时，注入的海水体积至少为3000m3。 能力提升训练一、计算题。1．如图所示，有一底面积为100cm2，高为11cm的薄壁柱形容器置于水平地面上，容器中装有深度为10cm的水。现将一个底面积为50cm2，高为20cm的实心圆柱体沿水平方向切去一半，并将切下的部分放入容器的水中，沉底且浸没。下表分别为切下的圆柱体浸入前后水对容器底部的压强和容器对水平地面的压强。求：（1）切下的圆柱体浸入前，水对容器底部的压强p0；（2）切下的圆柱体浸入前，容器中水和容器的总重力；（3）实心圆柱体的密度；（4）继续水平切割剩余圆柱体并将切下部分浸没在容器的水中，是否可以使圆柱体剩余部分对水平地面压强和容器对水平地面的压强相等？若可以，求圆柱体被切下的总体积。【答案】（1）切下的圆柱体浸入前，水对容器底部的压强为1×103Pa；（2）切下的圆柱体浸入前，容器中水和容器的总重力为12N；（3）实心圆柱体的密度为2×103kg/m3；（4）继续水平切割剩余圆柱体并将切下部分浸没在容器的水中，可以使圆柱体剩余部分对水平地面压强和容器对水平地面的压强相等，且圆柱体被切下的总体积540cm3。【分析】（1）根据p＝ρ水gh可求出切下的圆柱体浸入前，水对容器底部的压强p0；（2）根据F＝pS可求出切下的圆柱体浸入前容器对地面的压力，即容器中水和容器的总重力；（3）根据密度公式和重力公式可求出容器内原有水的重力，根据体积关系可求出将切下圆柱体放入容器内溢出水的体积，从而求出溢出水的重力，因圆柱体切下部分放入容器后，容器对地面的压力等于容器、剩余水及切下圆柱体的重力之和，则可求出圆柱体切下部分的重力，根据密度公式和重力公式可求出圆柱体的密度；（4）设继续水平切割剩余圆柱体的高度为Δh，根据p＝＝＝＝＝＝ρhg可求出圆柱体剩余部分对水平地面的压强；因圆柱体切下部分放入容器后，容器对地面的压力等于容器、剩余水及切下圆柱体的重力之和，根据p＝可表示出此时容器对地面的压强，从而建立方程求出Δh，即可求出圆柱体被切下的总体积。【解答】解：（1）因为容器中装有深度为10cm的水，则切下的圆柱体浸入前，水对容器底部的压强为：p0＝ρ水gh水＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.1m＝1×103Pa；（2）因为浸入前，容器对水平地面压强p地1＝1200Pa，则容器对地面的压力为：F地1＝p地1S容＝1200Pa×100×10﹣4m2＝12N，所以切下的圆柱体浸入前，容器中水和容器的总重力为：G总＝F地1＝12N；（3）容器内原有水的体积为：V水＝S容h水＝100cm2×10cm＝1000cm3＝1.0×10﹣3m3，水受到的重力为：G水＝m水g＝ρ水V水g＝1.0×103kg/m3×1.0×10﹣3m3×10N/kg＝10N，所以柱形容器的重力为：G容＝G总﹣G水＝12N﹣10N＝2N，将一个底面积为50cm3，高为20cm的实心圆柱体沿水平方向切去一半，则切去部分的体积为：V切＝S柱h切＝50cm2×10cm＝500cm3，则V切+V水＝500cm3+1000cm3＝1500cm3＞V容＝S容h容＝100cm2×11cm＝1100cm3，所以将圆柱体切下部分放入容器内，水将会溢出，溢出水的体积为：V溢＝V切+V水﹣V容＝1500cm3﹣1100cm3＝400cm3，则溢出水的重力为：G溢＝m溢g＝ρ水V溢g＝1.0×103kg/m3×400×10﹣6m3×10N/kg＝4N；将圆柱体切下部分放入容器后，容器对地面的压力为：F地2＝p地2S容＝1800Pa×100×10﹣4m2＝18N，因圆柱体切下部分放入容器后，容器对地面的压力等于容器、剩余水及切下圆柱体的重力之和，所以圆柱体切下部分的重力为：G切＝F地2﹣（G水﹣G溢+G容）＝18N﹣（10N﹣4N+2N）＝10N，所以圆柱体的密度为：ρ柱＝＝＝＝2×103kg/m3；（4）设继续水平切割剩余圆柱体的高度为Δh，由p＝＝＝＝＝＝ρhg可知，则圆柱体剩余部分对水平地面的压强为：p甲'＝ρ柱h剩g＝ρ柱（h柱﹣Δh）g，此时切部分的重力为：G切'＝m切'g＝ρ柱V切'g＝ρ柱S柱Δhg，将切下部分浸没在容器的水中，溢出水的体积为：V溢'＝V切'＝S柱Δh，溢出水的重力为：G溢'＝m溢'g＝ρ水V溢'g＝ρ水S柱Δhg，容器对地面的压力为：F地3＝F地2+G切'﹣G溢'＝F地2+ρ柱S柱Δhg﹣ρ水S柱Δhg，此时容器对地面的压强为：p乙'＝＝，若p甲'＝p乙'，则ρ柱（h柱﹣Δh）g＝，即：2×103kg/m3×（×0.2m﹣Δh）×10N/kg＝，解得：Δh＝0.008m＝0.8cm，所以圆柱体被切下的总体积为：V切总＝V切+V切'＝V切+S柱Δh＝500cm3+50cm2×0.8cm＝540cm3。答：（1）切下的圆柱体浸入前，水对容器底部的压强为1×103Pa；（2）切下的圆柱体浸入前，容器中水和容器的总重力为12N；（3）实心圆柱体的密度为2×103kg/m3；（4）继续水平切割剩余圆柱体并将切下部分浸没在容器的水中，可以使圆柱体剩余部分对水平地面压强和容器对水平地面的压强相等，且圆柱体被切下的总体积540cm3。2．如图所示，在水平地面上有两个由同种材料制成的实心正方体金属块甲和乙，其密度为ρ金属，甲的边长为a，乙的边长为b，重力与质量的比值为g，将乙沿竖直方向切割一部分叠放在甲的正上方后，甲、乙对地面的压强相等。求：（1）将乙正方体切去的部分叠放在甲的正上方后，甲正方体对地面的压强；（2）乙正方体被切去部分的底面积。【答案】（1）甲正方体对地面的压强为ρ金属gb；（2）乙正方体被切去部分的底面积为a2﹣。【分析】（1）正方体放在水平地面上时，正方体对地面的压力F等于正方体的重力G，根据p＝＝＝＝＝ρgh可知正方体对水平地面的压强与正方体的底面积无关，将乙沿竖直方向切割一部分后，剩余部分的密度和高度不变，故剩余部分对地面的压强不变，又因为将乙沿竖直方向切割一部分叠放在甲的正上方后，甲、乙对地面的压强相等，则可求出此时甲对地面的压强；（2）设截去部分的底面积为S，则截去部分的质量为m截＝ρ金属V截＝ρ金属Sb，将乙沿竖直方向切割一部分叠放在甲的正上方后，此时甲对地面的压力F甲等于总重力G总，根据p＝求出此时甲对地面的压强，根据甲和乙的剩余部分对地面的压强相等建立方程可求出乙正方体被切去部分的底面积。【解答】解：（1）正方体放在水平地面上时，由受力分析可知，正方体对地面的压力F等于正方体的重力G，则正方体对水平地面的压强为：p＝＝＝＝＝ρgh，可知正方体对地面的压强与正方体的底面积无关，则乙正方体对水平地面的压强为：p乙＝ρ金属gh乙＝ρ金属gb，将乙沿竖直方向切割一部分后，剩余部分的密度和高度不变，故剩余部分对地面的压强不变，仍为p乙＝ρ金属gb，由题意可知，将乙沿竖直方向切割一部分叠放在甲的正上方后，甲、乙对地面的压强相等，故可知此时甲对地面的压强为：p′甲＝p乙＝ρ金属gb；（2）设截去部分的底面积为S，则可知截去部分的体积为：V截＝Sh乙＝Sb，则截去部分的质量为：m截＝ρ金属V截＝ρ金属Sb，将乙沿竖直方向切割一部分叠放在甲的正上方后，此时截去的部分和甲正方体的总质量为：m总＝m截+m甲＝m截+ρ金属V甲＝ρ金属Sb+ρ金属a3，由受力分析可知，此时甲对地面的压力F甲等于总重力G总，即：F甲＝G总＝m总g＝ρ金属（Sb+a3）g，此时甲对地面的压强为：p甲'＝＝，由题意可知，此时甲和乙的剩余部分对地面的压强相等，即p甲'＝p乙，＝ρ金属gb，解得乙正方体被截去部分的底面积为：S＝a2﹣。答：（1）甲正方体对地面的压强为ρ金属gb；（2）乙正方体被切去部分的底面积为a2﹣。3．小明同学借助力传感开关为自家太阳能热水器设计向水箱注水的自动控制简易装置。装置示意图如图所示，太阳能热水器水箱储水空间是长方体。考虑既充分利用太阳能又节约用水，小明设计水箱储水最低深度是0.1m，最高深度是0.5m（图中未标注最高和最低水位线），力传感开关通过细绳在水箱内悬挂一根细长的圆柱形控制棒，当拉力F≥16N时，打开水泵开关向水箱注水，当拉力F≤8N，关闭水泵开关停止注水。已知控制棒重G＝18N，高为0.6m，不计细绳质量与体积。小明完成设计和安装，自动控制简易装置按照设计正常工作。求：（1）水箱底受到水的最大压强；（2）控制棒排开水的最小体积；（3）控制棒的密度。【答案】（1）水箱底受到水的最大压强为5×103Pa；（2）控制棒排开水的最小体积为2×10﹣4m3；（3）控制棒的密度为1.5×103kg/m3。【分析】（1）根据p＝ρgh计算水箱底受到水的最大压强；（2）控制棒悬挂在水箱中时，受到细绳拉力、浮力与其重力平衡，即F+F浮＝G，当拉力最大为16N时，受到的浮力最小，满足能打开开关，根据阿基米德原理计算此时控制棒排开水的最小体积；（3）当细绳拉力F达到8N时，停止注水，此时控制棒受到的浮力最大，由力的平衡条件求出控制棒受到的最大浮力，并由阿基米德原理求出控制棒排开水的最大体积；根据储水深度的最大和最小值计算此时水深的高度差，控制棒浸入水中的高度差，由阿基米德原理计算出控制棒的横截面积；进一步求得控制棒的体积，由密度计算公式计算控制棒的密度。【解答】解：（1）由题意知，储水最高深度是0.5m，故水箱底受到水的最大压强为：p最大＝ρ水gh最大＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.5m＝5×103Pa；（2）当细绳拉力F达到16N时，开始注水，此时控制棒受到的浮力最小，故控制棒受到的最小浮力为：F浮最小＝G﹣F最大＝18N﹣16N＝2N，根据阿基米德原理可知，此时控制棒排开水的体积最小，故控制棒排开水的最小体积为：V排最小＝＝＝2×10﹣4m3；（3）当细绳拉力F达到8N时，停止注水，此时控制棒受到的浮力最大，故控制棒受到的最大浮力为：F浮最大＝G﹣F最小＝18N﹣8N＝10N，根据阿基米德原理可知，此时控制棒排开水的体积最大。故控制棒排开水的最大体积为：V排最大＝＝＝1×10﹣3m3，控制棒排开水的体积的最大变化量为：ΔV排＝V排最大﹣V排最小＝1×10﹣3m3﹣2×10﹣4m3＝8×10﹣4m3，由题意可知，当控制棒排开水的体积最小时，水面高度最低，为0.1m，当控制棒排开水的体积最大时，水面高度最高，为0.5m，故水面高度的最大变化量为：Δh＝h最大﹣h最小＝0.5m﹣0.1m＝0.4m，故控制棒的横截面积为：S＝＝2×10﹣3m2，控制棒的体积为：V＝Sh＝2×10﹣3m2×0.6m＝1.2×10﹣3m3，控制棒的质量为：m＝＝1.8kg，控制棒的密度为：＝1.5×103kg/m3。答：（1）水箱底受到水的最大压强为5×103Pa；（2）控制棒排开水的最小体积为2×10﹣4m3；（3）控制棒的密度为1.5×103kg/m3。4．图甲为某自动注水装置的部分结构模型简图，底面积为200cm2的柱形水箱内装有质量为5kg的水，竖直硬细杆上端通过力传感器固定，下端与不吸水的实心长方体A连接。打开水龙头，水箱中的水缓慢排出，细杆对力传感器作用力F的大小随排出水的质量m变化的关系如图乙所示，当排出水的质量达到3.4kg时，传感器示数为零；当排出水的质量达到4kg时，A刚好全部露出水面，由传感器控制开关开始注水，不计细杆重力，水的密度为1×103kg/m3。求：（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力；（2）A的密度；（3）水从A上表面下降至传感器示数为零的过程，水箱底部受到水的压强变化量。【答案】（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力为10N；（2）A的密度为0.2×103kg/m3；（3）水从A上表面下降至传感器示数为零的过程，水箱底部受到水的压强变化1600Pa。【分析】（1）由公式G＝mg求得水箱内剩余水的重力；（2）由图乙可知，在排水量为0～1kg范围内，F不变，A受到细杆对它竖直向下的压力和重力以及竖直向上的浮力作用且F浮＝F+G，A处于浸没状态，排水前A的上表面水的质量为1kg；在排水量1kg到F减小为零的范围内，A受到细杆对它竖直向下的压力和重力和竖直向上的浮力作用，F随浮力的减小而减小；在F从零增大到2N范围内，A受到的竖直向下的重力和竖直向上的浮力、细杆对A竖直向上的拉力的作用且G＝F+F浮，在排水量为4kg时，A受到的浮力为零，G＝F，由公式G＝mg＝ρVg、F浮＝ρ液gV排，可求得A的密度；（3）水从A上表面下降至传感器示数为零的过程中，水量减少了3.4kg﹣1kg＝2.4kg，浮力减小了8N，则液体对柱形水箱的压力的减少量ΔF＝ΔG水+ΔF浮＝ΔG水+ΔF示，由公式求得水对箱底的压强变化量。【解答】解：（1）由题意得，开始注水时，水箱内的水受到的重力G剩＝m剩g＝（5kg﹣4kg）×10N/kg＝10N；（2）排水量为4kg时，A受到的浮力为零，即GA＝F拉＝2N；A浸没时，所受浮力为：F浮＝GA+F压＝2N+8N＝10N，物体A的体积VA＝V排＝＝＝10﹣3m3，A的密度ρA＝＝＝＝0.2×103kg/m3；（3）水从A上表面下降至传感器示数为零的过程中，水重力变化量ΔG＝Δmg＝（3.4kg﹣1kg）×10N/kg＝24N浮力变化量ΔF浮＝ΔF示＝8N，水箱底部受到水的压力变化量ΔF＝ΔG水+ΔF浮＝24N+8N＝32N，水箱底部受到水的压强变化量Δp＝＝＝1600Pa。答：（1）开始注水时，水箱内的水受到的重力为10N；（2）A的密度为0.2×103kg/m3；（3）水从A上表面下降至传感器示数为零的过程，水箱底部受到水的压强变化1600Pa。5．如图所示，小明同学利用一把标准的刻度尺、底面积为300cm2的大圆柱形容器、底面积为100cm2的平底烧杯、细线和水等器材测量出某金属块的质量及其密度。他的实验操作如下：①在圆柱形容器中装有适量的水，将另一平底烧杯放入圆柱形容器的水中，烧杯静止时容器中水的深度H1为12cm，如图甲所示。此时，烧杯处于漂浮状态。②将待测金属块用细线吊在烧杯底部（金属块与烧杯底部不接触且不计细线的质量与体积），当烧杯和金属块保持静止时，测此时烧杯露出水面的高度h1为5cm，容器中水的深度H2为18cm，如图乙所示。（g取10N/kg；ρ水＝1.0×103kg/m3）③将金属块轻放在烧杯中，烧杯再次保持静止时，其露出水面的高度h2为2cm，如图丙所示。求：（1）金属块的质量；（2）金属块的密度大小。【答案】（1）金属块的质量为1.8kg；（2）金属块的密度为6×103kg/m3。【分析】（1）比较甲、乙两图可知，都是漂浮，受到的浮力都等于自重，则两图中浮力的变化量等于金属块重力；进一步求出金属块的质量；（2）比较乙、丙可知，根据烧杯两次受到的浮力之差可以求出金属块的体积；最后利用密度公式求出金属块密度的大小。【解答】解：（1）比较分析甲、乙两图可知，两种情况下，烧杯都处于漂浮状态，受到的浮力都等于各自受到的重力，则甲、乙两图中烧杯受到的浮力的变化量等于金属块受到的重力，甲、乙两图中浮力的变化量：ΔF浮＝ρ水gΔV排＝ρ水g（H2﹣H1）S容，则该金属块受到的重力为：G金＝ΔF浮＝ρ水g（H2﹣H1）S容＝1.0×103kg/m3×10N/kg×（0.18m﹣0.12m）×300×10⁻⁴m2＝18N，该金属块的质量为：m金＝＝＝1.8kg；（2）比较分析乙、丙可知，两种情况下，烧杯都处于漂浮状态，烧杯和金属块的总质量不变，则两种情况下所受的总浮力不变，则乙图中金属块受到的浮力等于乙和丙图中两次烧杯受到的浮力之差；图乙中金属块受到的浮力为：F浮＝ρ水g（h1﹣h2）S烧杯，所以金属块的体积为：V金＝（h1﹣h2）S烧杯，则金属块的体积为：V金＝（h1﹣h2）S烧杯＝（0.05m﹣0.02m）×0.01m2＝3×10﹣4m3，则金属块的密度为：ρ金＝＝＝6×103kg/m3。答：（1）金属块的质量为1.8kg；（2）金属块的密度为6×103kg/m3。6．如图是我国最新自主研制的“海斗号”无人潜水器。最大下潜深度达10767米，总质量为35t（未充水），体积为60m3，它是通过往水舱中充水和排水来控制其下潜和上浮。（ρ水＝1.0×103kg/m3）求：（1）“海斗号”下潜到8000m后打开探照灯，通过观测孔了解8000m处深海的秘密，假设观测孔的面积为50cm2，则观测孔受到海水的压力；（2）“海斗号”漂浮在海面上所受海水的浮力（水舱中未充水）；（3）“海斗号”从海面匀速下潜到8000m深海的过程中，最少需要往水舱中充入海水的重力。【答案】（1）“海斗号”下潜到8000m后打开探照灯，通过观测孔了解8000m处深海的秘密，假设观测孔的面积为50cm2，则观测孔受到海水的压力为4×105N；（2）“海斗号”漂浮在海面上所受海水的浮力为3.5×105N；（3）“海斗号”从海面匀速下潜到8000m深海的过程中，最少需要往水舱中充入海水的重力为2.5×105N。【分析】（1）根据p＝ρ水gh得出“海斗号”潜水器受到海水的压强，根据F＝pS得出观测孔受到海水的压力；（2）根据F浮＝G＝mg得出“海斗号”漂浮在海面上所受海水的浮力；（3）根据F浮′＝ρ水gV排“海斗号”全部浸没在海水中所受的浮力，“海斗号”从海面匀速下潜，处于平衡状态，根据G′＝F浮′得出所受的重力，根据G″＝G′﹣G得出最少需要往水舱中充入海水的重力。【解答】解：（1）“海斗号”潜水器受到海水的压强p＝ρ水gh＝1×103kg/m3×10N/kg×8000m＝8×107Pa；观测孔受到海水的压力F＝pS＝8×107Pa×50×10﹣4m2＝4×105N；（2）“海斗号”漂浮在海面上所受海水的浮力F浮＝G＝mg＝35×103kg×10N/kg＝3.5×105N；（3）“海斗号”全部浸没在海水中所受的浮力F浮′＝ρ水gV排＝1×103kg/m3×10N/kg×60m3＝6×105N，“海斗号”从海面匀速下潜，处于平衡状态，所受的重力G′＝F浮′＝6×105N，最少需要往水舱中充入海水的重力G″＝G′﹣G＝6×105N﹣3.5×105N＝2.5×105N。答：（1）“海斗号”下潜到8000m后打开探照灯，通过观测孔了解8000m处深海的秘密，假设观测孔的面积为50cm2，则观测孔受到海水的压力为4×105N；（2）“海斗号”漂浮在海面上所受海水的浮力为3.5×105N；（3）“海斗号”从海面匀速下潜到8000m深海的过程中，最少需要往水舱中充入海水的重力为2.5×105N。水AB质量/g500450320密度/（g/cm3）10.8底面积/cm26050水对容器底部压强p水（Pa）容器对水平地面压强p地（Pa）浸入前p01200浸没后11001800