湖南省“一起考”大联考2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题（一）及答案

这是一份湖南省“一起考”大联考2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题（一）及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．2D．3
2．已知与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度）

A．B．C．D．
5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
6．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，面积为的扇形中，分别在轴上，点在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．2
8．设，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角的大小为
B．直线平面
C．平面平面
D．四面体外接球的体积与正方体的体积之比为
11．玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知全集，集合，则 ．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为 .
14．已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则 ．
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，且．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的面积．
16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中．
(1)证明：平面BCD；
(2)求平面BCD和平面ABF的夹角的余弦值．
17．已知函数，.
(1)若的极大值为1，求实数a的值；
(2)若，求证：.
18．某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：
(1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；
(2)若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．
附：．
19．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.
观点
高二
高三
热爱
30
20
不热爱
20
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．A
【分析】由复数的运算和纯虚数的概念求解即可.
【详解】因为，且为纯虚数，
所以解得，
故选：A．
2．C
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】，
故选：C．
3．B
【分析】由图可知，函数为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项；结合时函数的取值可排除C；对比和选项，发现当时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解.
【详解】解：由图可知，函数为奇函数，而选项中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项；
当，，排除C；
当时，从图象可知，，而对于选项，，，所以，与图象不符，排除选项.
故选：.
【点睛】本题考查根据函数的图象判定可能的函数表达式，涉及对数函数，函数的单调性，奇偶性，一般从函数的单调性、奇偶性和特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
4．D
【分析】求出圆台部分的高，根据圆台以及圆柱的体积公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，圆台的高，
故该容器的容积，
故选：D.
5．A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
6．D
【分析】先得到的解析式，整体法求解函数的对称中心，得到答案.
【详解】由题意可得：，
则
，
令，
当时，，故是的一个对称中心
由，故A错；
由，故B错
由，故C错；
故选：D．
7．B
【分析】利用扇形面积公式求出，设，利用三角函数的定义和切线的性质用和表示，，，再根据基本不等式求最小值即可.
【详解】解析：因为扇形的面积为，即，所以，
设，则在中，，
连接，根据切线的性质知，
则在中，，
所以，
令，则，且，
所以原式，
当且仅当，即时，等号成立，
又，所以时，取得最小值，为，
故选：B
8．D
【分析】构造，二次求导，得到单调性，得到，再变形得到，故构造，求导得到其单调性，比较出，得到答案.
【详解】设，
设0，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
根据已知得，
可设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即.
综上，.
故选：D.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
9．BD
【分析】利用基本不等式逐一分析各选项即可得解.
【详解】解析：对于A和B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，
，则，当且仅当时，等号成立，故A错误，B正确；
对于C，若，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误；
对于D，若，则，
所以，
由及，可知，则当，
即时，取得最小值，故D正确．
故选：BD．
10．ABD
【分析】根据异面直线所成角可判定A选项，根据线面平行的判定定理可判定B选项，根据面面垂直的性质定理可判定C选项，根据正方体的体积及外接球的体积公式可判定D选项.
【详解】解析：对于A：连接，如图，由正方体的结构特征知，，
即为正三角形．又因为分别为的中点，则，
因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角，
又，所以直线与所成的角的大小为，A正确；
对于B：因为，所以平面平面，
故直线平面，B正确；
对于C：取的中点为，连接，显然的中点为，则，
假设平面平面，而平面平面，
于是平面，又平面，则，与矛盾，C错误；
对于D：不妨设正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为四面体
的三条侧棱两两垂直，则它的外接球即为以为棱的长方体的外接球，
于是球的直径，
体积为，于是，D正确，
故选：ABD．
11．BCD
【分析】结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断.
【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率，
第一次取得白球的概率，
第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，
第一次取得白球、第二次取得白球的概率，
则，所以A错误；
对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，
则，所以B正确；
对C，由，
得，所以C正确；
对D，由，得，所以D正确．
故选：BCD．
12．
【分析】根据集合的运算即可求解.
【详解】由已知，又，
所以．
故答案为：
13．
【分析】根据题意可得，，，再结合三角形相似可得，代入分析求解即可.
【详解】由题意，不妨设点P在第一象限，如图.
因为，则，，.
因为，则，可知，
则，即，整理得.
由得，解得或（舍去），
所以C的离心率为.
故答案为：.
14．573
【分析】求出通项公式和第100项，进而求出数列的通项公式和前项和公式，利用错位相减法即可得出的值.
【详解】解析：由数列是等差数列，设其公差为，因为成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以，则．
当时，，
即，共有个，
因为，所以
，
令，则，
两式相减得，则，
所以，
故答案为：573.
【点睛】关键点点睛：对的理解，当时，，即，共有个，应用错位相减法求解.
15．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）由两角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以由正弦定理得，整理得．
则，因为，所以，
因为，所以，因为，
所以，所以是锐角三角形．
（2）因为，所以，
所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，
所以的面积为．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面CDEF，再由线面垂直的性质定理、判定定理可得答案；
（2）取EF的中点G，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面ABF、平面BCD的法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）因为平面平面CDEF，平面平面，
又，即，且平面ABCE，所以平面CDEF，
又平面CDEF，故，
又，即，且，平面BCD，
所以平面BCD；
（2）取EF的中点G，连接CG，如图．由，得，
故四边形CDEG为平行四边形，则，又，所以．
由（1）知平面CDEF，所以，
则直线CG，CD，CB两两垂直，以为原点所在的直线分别
为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
由勾股定理得，由全等关系知，
故，
从而，
设平面ABF的法向量为，
故，
令，则，故．
由（1）知平面BCD，故平面BCD的法向量为，
设平面BCD和平面ABF的夹角为，
故．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可；
（2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a的值为.
（2）当时，，故要证，即证.
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
18．(1)分布列见解析，；
(2)57．
【分析】（1）由题意可知，由二项分布即可求出分布列和期望；
（2）由独立性检验可得到含的不等式，构造函数，利用导数即可求.
【详解】（1）由题意可知，高二学生热爱数学的概率为，热爱数学的学生人数，
则，
，
，
，
故的分布列为：
的期望为．
（2）因为根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，
所以，
令，则，
所以，
因为的对称轴为，
且当时，，
所以在上恒大于0，
所以在上单调递增，
而，
所以实数的最小值为57．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程；
（2）由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证；
（3）由得到，结合（2）中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，
则当l与x轴垂直时，不妨设，
由，得，
将代入方程，得，解得，
所以双曲线E的方程为．
（2）设，，，
由与，得，
即，，将代入E的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②．
由①②知，，是方程的两个不等实根．
由韦达定理知，所以为定值．
（3）又，即，
整理得：，
又，不妨设，则，
整理得，又，故，
而由（2）知，，故，
代入，
令，得，
由双勾函数在上单调递增，得，
所以m的取值范围为．
.
【点睛】解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
0
1
2
3