吉林省长春市十一高中2024届高三下学期数学模拟试题及答案

这是一份吉林省长春市十一高中2024届高三下学期数学模拟试题及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （ ）
A．5，6B．6，4C．6，5D．6，6
2．已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数（为虚数单位），是复数的共轭复数，则（ ）
A．B．C．3D．5
4．在等差数列中，是数列的前项和，，则（ ）
A．100B．50C．90D．45
5．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4
6．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则 （ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
8．某中学运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为 （ ）
A．504B．510C．480D．500
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小值为
D．函数在区间单调递减
10．已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则直线
11．定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（ ）
A．B．在上是增函数
C．是周期函数D．
三、填空题
12．已知集合. 则 .
13．已知，则 .
14．已知三棱锥中，，则点到平面的距离为 ，该三棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题
15．已知函数f(x)=.
（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;
（2）若x=3是f(x)的极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．
16．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
17．如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥，使平面平面为线段上的点．
(1)求证：；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
18．已知是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上的两点，的周长为，短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，问：直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由.
19．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”.
(1)求证：对任意“好数”一定为20的倍数；
(2)若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】由小到大排列给定数据组，再利用众数与中位数的意义求解即得.
【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3，4，5，6，6， 6，8，
所以这组数据的众数与中位数分别是6，6.
故选：D
2．D
【分析】根据渐近线方程得到，再代入离心率公式即可.
【详解】由题意可知，所以.
故选：D.
3．B
【分析】根据复数运算法则化简，求得，再求即可.
【详解】，故，
则.
故选：B.
4．D
【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的项的“等和性”计算即得.
【详解】由题意得．
故选：D.
5．B
【分析】用相关点法即可求解，设P为(x,y)，通过将R点坐标表示出来，R坐标满足l方程，代入即可得到答案﹒
【详解】设P(x,y)，，由知，点A是线段RP的中点，
∴，即，
∵点在直线y＝2x－4上，∴，
∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．
故选：B﹒
6．D
【分析】计算出后，结合焦点弦公式计算即可得.
【详解】由题意可得，即，
由焦点弦公式可得：.
故选：D.
7．A
【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】，定义域为，又，故为偶函数；
又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；
又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；
，即，则，即，，
也即，解得.
故选：A.
8．A
【分析】根据第一场比赛安排的是否为跳绳，分为两种情况进行讨论，结合排列数的计算公式，即可求得结果.
【详解】根据第一场安排的比赛是否为跳绳，分为如下两种情况：
第一种：若第一场安排跳绳，则最后一场安排不受限制，共有：种；
第二种：若第一场不安排跳绳，则也不能是长跑，则第一场有种安排；
再安排最后一场，其不能为跳绳，故有种安排，故共有：种；
故不同的安排方案共有：种.
故选：A.
9．CD
【分析】化简得，逐项验证即可解决.
【详解】由题知，
，
对于A，的图像向左平移个单位长度，得，
再向下平移个单位长度得到，故A错误；
对于B，，
所以函数的一个对称中心为，故B错误；
对于C，，
当时，函数取最小值为，故C正确；
对于D，，
所以单调减区间应满足，解得，
所以单调减区间为，
因为，
所以函数在区间单调递减，故D正确.
故选：CD
10．AC
【分析】利用已知条件判断线线位置关系，可知A正确，BD错误；根据点线面的位置关系，结合立体几何的基本事实1，2，可以得到结论：C正确.
【详解】若，则垂直于任一条平行于的直线，又，则，故A正确；
若，不能推出,还可能平行或异面，故B错误；
若，则，，又，故，故C正确；
若，，则为内的一条直线，不一定对，故D错误.
故选：AC
11．ABD
【分析】利用赋值法令，判断选项；利用函数单调性的定义可判断选项；结合选项可判断选项；根据题意结合选项可判断选项.
【详解】因为，令，可得，所以，正确；
设，，且，令，，
因为，
所以，
所以，
因为，则，又，则，
所以，，
所以，即，
所以在上是增函数，正确；
由选项在上是增函数,可知函数不是周期函数，错误；
因为，令，得，
因为，所以，
当时，，
因为，所以，
当时，，
因为，所以，所以，，
即，
当时，，所以，正确.
故选：.
【点睛】关键点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，解题的关键是给，赋值.结合选项给，赋不同的值，通过所给式子和条件求解.
12．
【分析】根据集合交集的概念求解即可答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
13．/
【分析】根据同角三角函数关系，结合已知条件求得，以及，，，再求结果即可.
【详解】由可得：，
又，即，则，
故，，
则，
故.
故答案为：.
14．
【分析】取的中点，连接和，得到，，设到平面的距离为，根据，即可求得点到平面的距离，再结合球的截面圆的性质，求得外接球的半径，利用体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为，可得，
又因为，所以平面，
由，可得，
取的中点，连接和，
在直角中，可得，且，
设到平面的距离为，
又由，即，
解得，即点到平面的距离为.
在中，，
设△ABC外接圆的圆心为，半径为，可得外接圆的直径为，
可得，即,
设外接球的球心为，半径为，因为平面，且，可得
在直角中，可得，可得，
所以外接球的体积为.
故答案为：；.
15．(1) a≤0(2) f(x)max＝－6，f(x)min＝－18.
【详解】解：（1）对f(x)求导，得．由，得．记，当时，是增函数，
∴
∴a