2024年中考数学复习专项训练---12 压轴题（菁讲）

这是一份2024年中考数学复习专项训练---12 压轴题（菁讲），共88页。

热点突破
热点1 综合与实践
【例1】 （2023秋•北流市期末）综合与实践
【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．
（1）通过观察以下一位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
（2）通过观察以下两位数的积：，，，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是 ．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想．
【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从端滑到端的过程中，设，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．
【答案】【问题背景】（1）；（2）；
【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大，证明见解答；
【实践应用】（3）．
【分析】【问题背景】（1）、（2）由题意计算最大值，即可求解；
【初步探讨】设第一个数为，则另一个数为，它们的积为，则有，即可求解；
【实践应用】（3）设，则，，设总电流为，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，进而求解．
【解答】解：【问题背景】（1）为最大，
故答案为：；
（2）为最大，
故答案为：；
【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．
证明：设第一个数为，则另一个数为，它们的积为，
则有，
，则抛物线开口向下，
当时，取最大值，为225，
此时这两数分别为15及，两数相等，
当这两数相等时，它们的乘积最大；
【实践应用】（3）设，则，，设总电流为，则
，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小．
设．
，则抛物线开口向下，且，
当时，取最大值为25，此时取最小值为（A），两支路电阻分别为和，两支路电阻相等，
当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为．
【例2】 （2024•青山湖区模拟）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形中，，动点以每秒1个单位的速度从点出发匀速运动，到达点时停止，作的垂线交于，连接，设点的运动时间为 ，的面积为，探究与的关系．
初步感知
（1）如图1，当点由点向点运动时，
①当时， ， ；
②经探究发现是关于的二次函数，请写出关于的函数解析式为 ；自变量取值范围为 ；
（2）根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图3的坐标系中绘制出函数的图象；
延伸探究
（3）①当 时，；
②当的面积为的一半时，求的值．
【答案】（1）①，；
②，；
（2）见解析；
（3）①；
②．
【分析】（1）①证明，可得，则，利用三角形的面积公式即可求解；
②由题意得，根据相似三角形的性质可得，则，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据关于的函数解析式计算，2，3时的值，可完成列表中的填空，绘制出函数的图象；
（3）①时，求出符合题意的值即可；
②根据的面积为的一半以及三角形的面积公式建立方程，求出的值即可．
【解答】解：（1）①当时，，，
又四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，则，
的面积，
故答案为：，；
②当点由点运动到点时，，
，
，即，
，
，
的面积，
故答案为：，；
（2）时，，时，，时，，完成列表中的填空如下，
在图3的坐标系中绘制出函数的图象；
（3）①，
，解得，
故答案为：；
②当点由点运动到点时，，
，
的面积为的一半
，解得，
，
．
【例3】 （2024•青秀区校级开学）综合与实践
一个数学兴趣小组在上综合与实践课时发现：在大自然里，存在很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成，如图1与图2所示．
【问题发现】如图3，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点的坐标．
【问题探究】如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于，两点，直线分别交抛物线和直线于点，，点、是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度的长．
【拓展应用】兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应【问题发现】中的二次函数．若直线与水平线的夹角为，三天后，点长到与点同一水平位置的点时，叶尖落在射线上（如图5所示）．求此时一片幼苗叶子的长度．
【答案】【问题发现】；；
【问题探究】；
【拓展应用】．
【分析】【问题发现】二次函数过原点，则，即可求解；
【问题探究】点、关于直线对称，求出点，即可求解；
【拓展应用】求出点，得到抛物线的表达式为：，进而求解．
【解答】解：【问题发现】二次函数过原点，
，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
则点；
【问题探究】当时，，即点，
当时，，即点，
则，
过点作轴的平行线交于点，连接、，
则点、关于直线对称，
则点，
则；
【拓展应用】在上取点，过点作轴交抛物线于点，交过点与轴的平行线于点，过点作于点，
由抛物线的表达式知，点，
直线与水平线的夹角为，则直线的表达式为：，
联立和得：，
解得：，即点，
则点，
将点的坐标代入得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：或（舍去），
即点，
由点、的坐标得，，，
即叶子的长度为．
【例4】 （2024•兴化市开学）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
模型建立
（2）分析数据的变化规律，探究出日销售量与售价之间的关系式．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中．
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）；
（3）①要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【分析】（1）根据销售单价从小到大排列即可；
（2）用待定系数法求出日销售量与售价之间的关系即可；
（3）①根据每天获得400元的利润，列出一元二次方程，解方程即可；
②设每天获得的利润为元，依据题意得，依据一元二次方程的性质分析即可．
【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：
故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为盆，售价为元，，
把，代入得：
，
解得：，
；
（3）①每天获得400元的利润，
，
解得 或，
要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为元．
根据题意得：，
，
当时，取最大值450，
售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【例5】 （2023秋•庆云县期末）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为 ，为 ．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和 ，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或 ， ．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．
【问题解决】
（3）求当木栏总长为多少时？面积为的矩形地块满足．
【答案】（1）；4；2；
（2）不能围出，理由见解析；
（3）当木栏总长为时，面积为的矩形地块满足．
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为；
（2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出；
（3）根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）将反比例函数与直线联立得
，
，
，
，，
另一个交点坐标为，
为 ，为 ，
，．
故答案为：；4；2；
（2）不能围出；
理由：的图象，如答案图中所示：
与函数图象没有交点，
不能围出面积为的矩形；
（3），
，
，
，
，
（负值舍去），
当木栏总长为时，面积为的矩形地块满足．
热点2 阅读与理解
【例1】 （2024•高平市一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．
（2）若，两数的和为定值，则，满足 时，的值最大．
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是 ．（填序号即可）
．统计思想
．分类思想
．模型思想
（4）物理问题中并联后总电阻的最大值是 ．
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用题干中的方法和非负数的意义解答即可；
（2）利用（1）的结论解答即可；
（3）利用数学模型的思想解答即可；
（4）利用（2）的结论列式解答即可．
【解答】解：（1）设，，
则，
，
当时，即时，取得最大值为1．
（2）由（1）知：若，则时，取得最大值．
若，两数的和为定值，则，满足时，的值最大．
故答案为：；
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是利用题干中提供的数学模型解答，
解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想，
故选：．
（4），
与的和为定值，
由（2）知：当时，的值最大．
，
，
，
的最大值．
故答案为：．
【例2】 （2024•曲阜市校级一模）阅读新知
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．
即：在数列，，，，为正整数）中，若，，，则数列，，，，为正整数）叫做等比数列．其中叫数列的首项，叫第二项，，叫第项，叫做数列的公比．
例如：数列1，2，4，8，16，是等比数列，公比．
计算：求等比数列1，3，，，，的和．
解：令，则．
因此．所以．
即．
学以致用
（1）选择题：下列数列属于等比数列的是
，2，3，4，5
，6，18，21，63
，28，14，7，3.5
．，22，，44，
（2）填空题：已知数列，，，，是公比为4的等比数列，若它的首项，则它的第项等于 ．
（3）解答题：求等比数列1，5，，，前2024项的和．
【答案】（1）；
（2）；
（3）即前2024项的和是．
【分析】（1）根据题意和等比数列的定义，可以判断哪个选项中的数列是等比数列；
（2）根据题意，可以写出所给数列第项的值；
（3）仿照题目的例子，可以求得前2024项的和．
【解答】解：（1）由题意可得，
，故选项中的数列不是等比数列；
，故选项中的数列不是等比数列；
，故选项中的数列是等比数列；
，故选项中的数列不是等比数列；
故答案为：；
（2）数列，，，，是公比为4的等比数列，它的首项，
它的第项，
故答案为：；
（3）设，
则，
，
，
，
即前2024项的和是．
【例3】 （2023•大同模拟）（1）计算：丨丨；
（2）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是 因式分解 ；
②第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
③第 步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果： ．
【答案】（1）；（2）【任务一】①因式分解；②三；分式的基本性质；③四；【任务二】．
【分析】（1）利用有理数的乘方法则，绝对值的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可；
（2）利用分式的加减混合运算的法则解答即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是因式分解；
②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
③第四步开始出现错误．
故答案为：①因式分解；②三；分式的基本性质；③四；
【任务二】：原式
．
故答案为：．
【例4】 （2023•微山县一模）阅读材料：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，；理由如下：设，，则，，，由对数的定义得．又，．
解决问题：（1）将指数转化为对数式 ；
（2）证明；
拓展运用：（3）计算：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）1．
【分析】（1）根据新定义公式计算即可．
（2）仿照乘法的证明去解答即可．
（3）根据公式依次计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，得，
故答案为：．
（2）设，，则，，
，由对数的定义得．
又，
．
（3）
．
【例5】 （2023•平顶山模拟）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
（1）应用规律：
①直接写出的展开式， ；
②的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
（2）代数推理：
已知为整数，求证：能被18整除．
【答案】（1）①，②7，64；
（2）见解析．
【分析】（1）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
（2）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
【解答】（1）解：根据规律得：
①；
②，
的展开式中共有7项，所有项的系数和为；
故答案为：①，②7，64；
（2）证明：，
，
能被18整除．
热点3 函数与图象
【例1】 （2024•潼南区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【答案】（1）．
（2）的最大值为6，此时点的坐标为．
（3）所有符合条件的点的横坐标为或．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交于，设，则，可证得，求得，再证得，可得，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，过点作轴交轴于，过点作轴于，根据三角函数定义可得，过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再证得，可得，，即，再利用待定系数法求得直线、的解析式，联立方程组求解即可求得答案．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点和点，
，
解得：，
抛物线的表达式为．
（2）在中，令，得，
，
设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
在中，，，
，
如图1，过点作轴交于，过点作轴交于，
则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，即，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为6，此时点的坐标为．
（3）由，可得原抛物线的顶点为，，
将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，
新抛物线的解析式为，
如图2，过点作轴交轴于，过点作轴于，
则，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组得，
整理得，
；
同理可得，直线的解析式为，
联立方程组得，
整理得，
；
综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或．
【例2】 （2024•渠县校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧），其中，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移，点平移至处，且，动点在平移后抛物线的对称轴上，当△为以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得的坐标，将点、的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）过作轴于点，交于，过作轴交延长线于，根据相似三角形的性质得一组比例线段，设出解析式，利用待定系数法求得解析式，然后利用配方可求得的最大值；
（3）根据可得坐标，由平移的性质可得平移后顶点、对称轴，设坐标根据两点距离公式分别列出方程，即可得到问题的答案．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
将、的坐标代入得，
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）如答图1，过作轴于点，交于，过作轴交延长线于，
设直线解析式为：，
由（1）得，，
将，、分别代入得：
，解得，
直线解析式为：，
，，故的横坐标，代入得，
，，
，
设，则，
，
轴于点，轴，
，
，
，
将、分别看作、为底边，则它们的高相同，
，
，
时，有最大值，最大值为；
（3）如答图2，连接，过作轴于，
由抛物线的解析式知其顶点为，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
中可得，，
原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且，
平移后抛物线顶点为，，对称轴是直线，，，
在平移后抛物线的对称轴上，
设，，
又△为以为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①，，则，
解得或，
，或，，
②，则，
解得或，
，或，，
综上所述，△为以为腰的等腰三角形，则，或，或，或，，
故答案为：，或，或，或，．
【例3】 （2024•铜山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．
（1）求和的值；
（2）当时，连接，求的面积；
（3）是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【分析】（1）运用待定系数法即可求出和的值；
（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，，根据，建立方程求出，再运用，即可求得答案；
（3）先证明，得出，再根据四边形是矩形，可得：，，，，进而可证得：，，得出：，，推出是的中点，即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线与坐标轴交于，两点，
，
解得：，
，；
（2），，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，，
，
当时，，
解得：，
，，，
，，
；
（3）如图2，直线交轴于点，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
四边形是矩形，
，，，，
，，
轴，
轴，
，，
，，
，，
，
是的中点，
．
【例4】 （2022•镇海区校级模拟）如图，直线与双曲线交于、两点，是第一象限内的双曲线上任意一点．
（1）若点坐标为，，求点坐标．
（2）若，连接，若的面积是34，求值．
（3）设直线、分别与轴相交于、两点，且，，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）的值为2．
【分析】（1）把点代入可求得反比例函数解析式，进而可得点的坐标，设，运用勾股定理即可求得答案；
（2）设，，则，代入代入可求得，，，，如图2，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，进而求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组可求得点的坐标，再由的面积是34，建立方程求解即可得出答案；
（3）设，代入得：，联立方程组求出、两点的坐标，过点、、分别作轴的垂线、、，垂足分别为、、，过点作轴的平行线交于，交于，利用相似三角形性质即可得出：，，再由，，得出：，，从而得出的值．
【解答】解：（1）把点代入得：，
反比例函数解析式为，
点坐标为，
由反比例函数与正比例函数图象的对称性可得点坐标为，
设，又，，
，，，
，
，
整理化简得，
，
解得（与重合，舍去）或（舍去）或或（舍去），
；
（2）设，，则，
将代入，得：，
，
，则，
，
如图2，过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，，
是第一象限内的双曲线上任意一点，
，，
，
过点作于点，
则，
，
的面积是34，
，即，
，
；
（3）设，代入得：，
，
解得：，，
，，，，
过点、、分别作轴的垂线、、，垂足分别为、、，过点作轴的平行线交于，交于，
则，，，，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
的值为2．
【例5】 （2022•青白江区模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，．
（1）求反比例函数及正比例函数的解析式；
（2）点是反比例函数第三象限图象上一点．且，过点的直线与线段相交，点，点到直线的距离分别为，，试求的最大值；
（3）点，在轴上取一点，，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后得到，当与双曲线有交点时，求的取值范围．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为；
（2）的最大值为；
（3）的取值范围是．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）设，过点作轴于点，过点作于点，如图1，则，，，，，可证得，得出，如图1，过点作于点，过点作于点，于点，得出：当和重合时，的值最大，求出的长即可；
（3）求出，得到，，过作轴于，，求出的坐标，根据对称性点在直线上，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，把反比例函数的解析式，代入上式整理得出方程关于的一元二次方程，求出方程的判别式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）把，代入，得，
解得：，
反比例函数的解析式为；
把，代入，得，
解得：，
正比例函数的解析式为；
（2）由反比例函数和正比例函数图象的对称性可知：，两点关于原点对称，
，
设，过点作轴于点，过点作于点，如图1，
则，，，，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：（舍去），，
，
，
如图1，过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形是矩形，
，，
，
当和重合时，的值最大，
，，
最大值是；
的最大值为；
（3）如图2，连接，过作轴于，设直线与交于点，
，，，
轴，即，，，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
根据对称性可知点在直线上，
设直线的解析式是，把，，代入，
得，
解得：，
①，
反比例函数的解析式为②，
①②联立得，，
即③，
与双曲线有交点，
△，
解得：，．
又，根据对称性得点横坐标是，
当点为直线与双曲线的交点时，
由③得，，
代入，得，
解得，
而当线段与双曲线有交点时，
或，
，
综上所述，的取值范围是．
热点4 几何图形综合
【例1】 （2024•泰山区校级模拟）如图，等腰内接于，，连结，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，连结．
（1）若，请用含的代数式表示；
（2）求证：；
（3）连接，若，，求的值及四边形的面积与面积的比值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），．
【分析】（1）连接，，利用证明，得，再利用同弧所对的圆周角相等得，从而得出答案；
（2）首先表示出，得，再证明，即可证明结论；
（3）连接并延长交于点，连接，，首先利用平行线的判定可证，得，可证明，再利用证明得，求出、的长，从而解决问题．
【解答】（1）解：如图，连接，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接并延长交于点，连接，，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
由得：
，
，
，
，
，
由（2）知，，
（负值已舍），
，，
，
，
，
在中，
，
由（2）知，，
，
，
，
，
，
四边形的面积与面积的比值为．
【例2】 （2023•越秀区模拟）平行四边形中，点在边上，连，点在线段上，连，连．
（1）如图1，已知，点为中点，．若，，求的长度；
（2）如图2，已知，，将射线沿翻折交于，过点作交于点．若，求证：；
（3）如图3，已知，若，，直接写出的最小值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）的最小值为．
【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；
（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长，交于点，可证，要证，而，即证明即可，延长交于，过作于，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；
（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，，则，当，，，四点共线时，所求线段和的值最小，利用，，，解即可解决．
【解答】（1）解：，如图1，
，
为的中点，，
，
，
，
在中，，
；
（2）证明：如图2，设射线与射线交于点，
由题可设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
延长交于，
，，
过作于，
则，
在与中，
，
，
，
过作于，
，
四边形为矩形，
，
，
，
矩形为正方形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，以为边构等边，以为边构造等边，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
当，，，四点共线时，最小，
即为线段的长度，如图4，
过作交其延长线于，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的最小值为．
【例3】 （2023•乳山市二模）过四边形的顶点作射线，为射线上一点，连接．将绕点顺时针方向旋转至，记旋转角，连接．
（1）【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形是正方形，且．无论点在何处，总有，请证明这个结论．
（2）【类比迁移】如图2，如果四边形是菱形，，，连接．当，时，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，如果四边形是矩形，，，平分，．在射线上截取，使得．当是直角三角形时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）；
（3）的长为或．
【分析】（1）利用正方形性质和旋转变换证明，即可证得结论；
（2）如图2，过点作于点，连接，先证明，可得，，再证明：是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；
（3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出的长．
【解答】（1）证明：如图1，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
将绕点顺时针方向旋转至，
，
，
．
（2）解：如图2，过点作于点，连接，
四边形是菱形，
，
由旋转得：，
，
即，
，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当时，如图3，连接，，过点作于点，
设交于点，过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
平分，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图4，过点作于点，于点，
则，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：；
③当时，
由②知：，，，
，
，
解得：或，均不符合题意；
综上所述，的长为或．
【例4】 （2023•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点．
（1）【初步探究】当点落在边上时，求的长；
（2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值．
【答案】（1）；
（2）在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；
（3）点在射线上运动过程中，长的最大值为．
【分析】（1）由翻折得：，根据勾股定理可得
，再由，即可求得答案；
（2）以为圆心，长为半径作，可得点在上运动，当点在线段上时，最小，此时，，由勾股定理可得，即可求得的最小值为；
（3）以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，根据三角形中位线定理可得，则最大时，最大，由于点在上运动，当经过点时，最大，即可求得答案．
【解答】解：（1）当点落在边上时，如图1，
四边形是矩形，
，，，
由翻折得：，
在中，，
；
（2）如图2，以为圆心，长为半径作，
由翻折得：，
点在上运动，
当点在线段上时，最小，此时，，
在中，，
，
故在点的运动过程中，存在最小值，的最小值为；
（3）如图3，以为圆心，长为半径作，延长至，使，连接，
，
点是的中点，
点为的中点，
是的中位线，
，
则最大时，最大，
由翻折得：，
点在上运动，
当经过点时，最大，如图4，
在中，，
，
，
故点在射线上运动过程中，长的最大值为．
【例5】 （2023•邹城市模拟）已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若，，，求的度数；
（3）若，点是边的中点，连接，与交于点，当三角板的一边与边重合时（如图，若，求的长．
【答案】
【分析】（1）由正方形与等腰直角三角形的性质判断出即可；
（2）设，表示出，，，判断出为直角三角形，即可求出；
（3）由，得出，求出，，再判断出，得到，求出即可
【解答】解：（1）；
证明：在正方形，等腰直角三角形中，，，
，
，
，
（2），，，
，
为直角三角形，
；
（3）是中点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
热点考题
1．（2024•裕华区一模）有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．
例，经过处理器得到．
若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题：
（1）若，求关于的表达式；
（2）若，求关于的方程的解．
【答案】（1）；（2）的解为1．
【分析】（1）根据整式处理器的处理方法即可求解；
（2）根据整式处理器的处理方法，可得，即可求出关于的方程的解．
【解答】解：（1），
根据整式处理器可得．
（2）依据题意可知，
根据整式处理器可得，
，
，
，
方程的解为1．
2．（2024•禹州市一模）王老师在进行“图形的变化”主题教学时，设计了如下版块．
【观察发现】
（1）如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是，点，，，均在格点上（网格线的交点），且点在线段上，连接，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在线段上，分别作，关于直线的对称线段和．
则① 45 ；
②线段可以看作是由线段绕点顺时针旋转 得到．
【深入探究】
（2）如图2、图3，，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在射线上，分别作，关于直线的对称线段和．请从图2、图3中任选一种情况，回答下列问题：
①求的度数；
②连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，当，时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①45；
②90．
（2）①；
②或；
（3）线段的长为或．
【分析】（1）观察图形即可得出答案；
（2）①如图2，连接，可证得，再证得四边形是圆内接四边形，运用圆内接四边形性质即可求得；如图③，可证得，，再证得四边形是圆内接四边形，即可得出答案；②根据线段的和差关系和等量代换即可得出答案；
（3）如图4，连接，过点作于，可证得是等边三角形，得出，，设，可得，再运用解直角三角形即可求得答案；如图5，连接交于，同理可得是等边三角形，设，再运用解直角三角形即可求得答案．
【解答】解：（1）①由图1可知：，，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
②如图1，，，，
，
，，
，
，
即，
线段可以看作是由线段绕点顺时针旋转得到．
故答案为：90．
（2）①选择图2，连接，
由旋转得：，
由对称得：，，，，，
，，
即，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
；
选择图③，
由旋转得：，
由对称得：，，，，，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
；
②图2中：，图3中：；理由如下：
如图2，，，
；
如图3，，，
；
综上所述，或；
（3）当点在线段上时，如图4，连接，过点作于，
由（2）知：，，，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
；
当点在线段的延长线上时，如图5，连接交于，
同理可得，，，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，线段的长为或．
3．（2023•新华区校级二模）【发现】如果一个整数的个位数字能被5整除，那么这个整数就能被5整除．
【验证】如：，
又和10都能被5整除，5能被5整除，
能被5整除，
即：345能被5整除．
（1）请你照着上面的例子验证343不能被5整除；
（2）把一个千位是、百位是、十位是、个位是的四位数记为．请照例说明：只有等于5或0时，四位数才能被5整除．
【迁移】（3）设是一个三位数，请证明；当的和能被3整除时，能被3整除．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程
（3）证明见解答过程．
【分析】（1）仿照所给的例子进行求解即可；
（2）仿照所给的例子进行求解即可；
【迁移】仿照所给的例子进行求解即可．
【解答】证明：（1），
100和10都能被5整除，3不能被5整除，
不能被5整除，
即343不能被5整除；
（2），
1000和100和10都能被5整除，
当能被5整除时，能被5整除；
只有等于5或0时，四位数才能被5整除．
【迁移】证明：，
，
能被3整除，
若“”能被3整除，则能被3整除
专题热度
★★★★★
命题热点
1．综合与实践
2．阅读与理解
3．函数与图象
4．几何图形综合
热门方法
建立数学模型、方程思想、函数思想、数形结合思想
热点题型
解答题
名师点拨
善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，注意挖掘题目中的隐含条件．
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3
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8



8
0
1
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6.5
6
6.5
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日销售量（盆
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售价（元盆）
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售价（元盆）
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日销售量（盆
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50
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30
名师点拨
结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．
数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．”
以下是数学中常见的一个问题：
若，则的最大值是多少？
设，，则．
以下是物理中的一个问题：
物理学中的电路分为串联电路和并联电路；已知电路中有大小分别为和的两个电阻，串联电路的电阻公式为，并联电路的电阻公式为．在某一段电路上测得两个电阻的和为，若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
杨辉三角
如果将为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡．，1623——是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
名师点拨
（1）将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（2）从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
名师点拨
涉及到的知识点比较多，考查平行四边形、菱形、矩形、正方形等，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．