黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第一次月考（4月）数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：150分钟 总分：150分
一、单选题
1．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A．B．C．2D．
2．若，则（ ）
A．1B．C．D．
3．从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（ ）
A．236B．328
C．462D．2640
4．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
5．1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A．240B．480C．384D．1440
6．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
8．已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．在处取得极小值B．有3个零点
C．在区间上的值域为D．曲线的对称中心为
10．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.设函数，若在区间上存在次不动点，则的取值可以是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
13．某校思想品德课教师一天有3个不同班的课，每班一节，如果该校一天共7节课，上午4节，下午3节，该教师的3节课任意两节都不能连着上（第四节和第五节不算连着上），则该教师一天的课所有不同的排法有 种．
14．已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为 .
四、解答题
15．（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
16．某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
17．已知函数，.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性.
18．已知函数.
（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的最大值；
（2）当，确定函数零点的个数；
（3）若存在正实数对，使得当时，能成立，求实数的取值范围.
19．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】
求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】
∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
2．B
【分析】先对函数求导，后利用导数的定义转化求值即可.
【详解】由题意得，所以，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】首先对奇数球的个数分类，再结合组合数公式，即可求解.
【详解】以取出的编号为奇数的球的个数进行分类.
第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数，有(种)取法；
第二类，取出的5个球的编号中有3个奇数，有(种)取法；
第三类，取出的5个球的编号全是奇数，有(种)取法.
根据分类计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.
故选：A
4．A
【分析】
利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.
【详解】因为存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
令，则，令，解得(负值舍去)，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，故，
故选：A.
5．B
【分析】
利用插空法求解.
【详解】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，
此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，
故选：.
6．C
【分析】
构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
7．C
【分析】
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
8．D
【分析】
由题意可得，由函数有两个极值点，，可得方程在上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得的取值范围，由，令，利用导数研究其最大值即可．
【详解】
函数的定义域为，且，
因为函数有两个极值点，，
所以方程在上有两个不相等的正实数根，
则，解得．
因为
，
设，
，易知在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是．
故选：．
【点睛】
关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，，关于a的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究最值得参数范围.
9．ABD
【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，极值，零点，值域，可判断A，B，C选项，根据函数奇偶性及图象变换可判断D.
【详解】由，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故A正确；
又，，，，
，所以函数在有且仅有一个零点，
同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点，
即函数共有3个零点，故B正确；
由前面得在上值域为，故C错误；
设，，，
所以函数是奇函数，图象关于对称，
又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】
根据排除法和分类法，以及排列数公式的化简，即可判断选项.
【详解】
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，
排除法：从十个数字中任选五个进行排列，有个，1在个位和0在第一位的有个五位数，0在第一位且1在个位的有个五位数，
则符合题意的五位数共有（个），故C正确；
讨论法：若有1，
若1在第一位，共有个五位数．
若1在第二，第三，第四位，共有个五位数，
若没有1，第一位有种选法，剩下的四位有种选法，共有个五位数，
故有符合题意的个五位数，故D正确；
又，故B正确．
故选：BCD
11．AD
【分析】由题意可得，在上有解，即有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】根据题意，若在区间上存在次不动点，
则在区间上有解，
即，
即有解，
令，，则，
令函数，且单调递增，
当时，，所以在上单调递增，
，所以为偶函数，
所以在上单调递减.
，，
故，，
则.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：通过分离参数和换元，构造函数，利用导数研究函数最值，从而得解.
12．
【分析】
由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
13．78
【分析】利用分类加法计数原理结合排列知识可直接求得答案.
【详解】上午2节不连堂，下午一节，共有种；
上午1节，下午2节不连堂，共有，
故不同的排课方案共有种．
故答案为：78.
14．
【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，作出函数图像，数形结合，进而求得实数的取值范围.
【详解】设点为曲线上一点，则
又，则，
则曲线在点处的切线方程为
，又切线过点，
则，即
令，则，
则时，单调递减；
时，单调递增；
时，单调递减，
则时取得极小值，时取得极大值，
又，
当时，恒成立，时，，
又由题意得方程有3个根，
则与图像有3个交点，则.
则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.

故答案为：.
15．共13分 （1）126；6分 （2）．7分
【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出并计算得解.
（2）利用组合计算公式、排列数公式求解即得.
【详解】（1）因为，则，解得，
经验证符合题意，——3分
所以
.——3分
（2）由，得，——3分
即，而由，知，解得，
所以原方程的解为.——4分
16．(1)60 7分
(2)36 8分
【分析】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员；
（2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案.
【详解】（1）出场阵容可以分两步确定：
第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种；
第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为.——7分
（2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案：
第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛；
第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：
第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种；
第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种；
第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种，
根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种；
根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为.——8分
17．（1）；4分 （2）答案见解析.11分
【分析】（1）利用函数在处取极值得，即可求得的值.
（2）由，通过讨论的取值来判断的符号，进而得到函数的单调性.
【详解】（1）因为，所以，——1分
因为在处取得极值，
所以，解得.——1分
验证：当时，，
易得在处取得极大值.——2分
（2）因为，
所以.——2分
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.——2分
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，——2分
在上单调递减；
当时，恒成立，∴函数在上单调递增；——2分
当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.
——2分
综上：——1分
18．（1）； 4分（2）个； 6分 （3）. 7分
【分析】（1）由题意可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法和基本不等式可求得实数的最大值；
（2）当时，，利用导数分析函数的单调性，并求出该函数的极大值和极小值，进而可得出函数的零点个数；
（3）当时，由可得，令，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，，——1分
由题意可知对任意的恒成立，，——1分
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，——1分
所以，，因此，实数的最大值为；——1分
（2）当时，，定义域为，.
令，得或，——2分
列表如下：
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
所以，函数的极大值为，极小值为，
且，——3分
所以，函数只有一个零点；——1分
（3），，
，——1分
令，得，构造函数，——1分
，——1分
令，得，，解得，
当时， ；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以，函数的最小值为，——2分
当时，；当时，.——1分
因此，实数的取值范围是.——1分
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，以及利用导数研究等式成立时参数的取值范围问题，考查运算求解能力，属于中等题.
19．(1)证明见解析 3分
(2)证明见解析 5分
(3) 9分
【分析】
（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.
【详解】（1）设， 则.——1分
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.——1分
因此，，即.——1分
（2）由泰勒公式知，①
于是，②——1分
由①②得
——1分
——1分
所以
即.——2分
（3），则
，——1分 设，——1分
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.——1分
所以当时，，所以在上单调递增.——1分
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.——2分
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.——2分
综上，实数的取值范围是.——1分
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性.
极大值
极小值