2024年黑龙江省哈尔滨市道里区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 哈市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过8小时气温下降了，那么当天20时的气温是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，减去一个数，等于加上这个数的相反数．根据有理数减法法则计算即可．
【详解】解：，
故选A．
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 3a2 +2a2 =5a4B. a9÷a3=a3C. D. （﹣3x2）3=﹣27x6
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 3a2 +2a2 =5 a 2，故该选项不正确，不符合题意；
B. a9÷a3=a6，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. （﹣3x2）3=﹣27x6，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
4. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解①得，
解②得，
不等式组解集为，在数轴上表示为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
6. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解，
∴
解得：
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
8. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转性质得，结合，得到，，，结合旋转性质，三角形内角和定理计算即可，本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】根据旋转性质得，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形问题，点坐标规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2024次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，，，
∴，
∴，
第1次旋转结束时，点A的坐标为；
第2次旋转结束时，点A的坐标为；
第3次旋转结束时，点A的坐标为；
第4次旋转结束时，点A的坐标为；
∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转，
∴4次一个循环，
∵，
∴经过第2024次旋转后，点A的坐标为，
故选：D．
10. 甲、乙两人相约同时从某地出发同向骑行，甲骑行的速度为每小时18千米，乙骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A. 当时，则
B. 当时，则
C. 当时，甲、乙两人在骑行的途中相遇
D. 当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，由函数图像获取信息，不等式的应用，关键是根据图像用待定系数法分段求函数解析式．用待定系数法求出函数解析式可判断A和B；求出时，甲、乙两人骑行的路程可判断C；分两种情况求出甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时的时间可判断D．
【详解】解：A．当时，设，
把代入解析式得，，
解得：，
，故A正确；
当时，设
B．把和代入解析式，
得
解得
，故B正确；
C． 当时，
∵千米，
千米，
∴当时，甲、乙两人在骑行的途中相遇，故C正确；
D． 当时，由题意，得
，
解得；
当时，由题意，得
，
解得或，
当甲、乙两人在骑行的途中相距0.2km时，此时或或，故D不正确．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将数字4100000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵，
故答案为：．
12. 函数中，自变量x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，是解题的关键．
13. 把因式分解的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用完全平方公式解答即可，本题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
14. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查二次根式的减法计算法则，先分别化简二次根式，再计算减法即可,熟练掌握二次根式的减法计算法则是解题的关键．
【详解】解：
故答案为．
15. 若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 _____．
【答案】k＞5
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当5−k＜0时，图象分别位于第二、四象限，即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴5−k＜0，
解得k＞5，
故答案为：k＞5．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题的关键．
16. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查二次函数的平移：左加右减，上加下减，根据平移的规律即可得到平移后的函数解析式，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的抛物线的解析式为，
故答案为．
17. 如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是______（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．
先根据正方形的性质求解和再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长是，
∴，，
∴的长为 ，
故答案为：．
18. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形；
当底是腰2倍时，底边为，则，不能构成三角形；
故答案为：．
19. 在中，，，，若点Q在直线上，，则的长为______．
【答案】2或4
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．分为点Q在线段上和Q在线段的延长线上两种情况；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得的长度．
【详解】解：∵，，
∴，，
①点Q在线段上，
∵，，
∴，
∴；
②点在线段的延长线上，
∵，，
∴，
∴，
综上，的长为2或4．
故答案为：2或4．
20. 如图，在中，，是的角平分线，过点D作的垂线交的延长线于点E，过点E作的平行线交的延长线于点F，若，，则线段的长______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，设，则，过点D作于点N,延长交于点M，结合，证明,得到，结合，计算即可，本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】延长交于点M，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
则，
∴，
过点D作于点N,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故
故答案为：．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查的据分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
【详解】原式
，
．
22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形．
（1）画出，点C在方格纸上的格点上，的面积是3，有一个锐角的正切值为；
（2）在（1）的条件下，画出矩形（字母顺序为逆时针），点F和点G都在方格纸上的格点上，矩形一组对边平行于，直接写出矩形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析；
【解析】
【分析】本题考查了网格线作图；涉及三角形面积、解直角三角形、矩形的判定等知识；
（1）的面积是3，底，根据三角形的面积公式可知的高是2，由一个锐角的正切值为，可得点的位置；
（2）由题意可知，、为矩形的对角线，且，过点、作的平行线，再过点、作、的垂线，交于、点，故矩形即为所求；
熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示；的面积是3，底，根据三角形的面积公式可知的高是2，由一个锐角的正切值为，可得点的位置；
【小问2详解】
由题意可知，、为矩形的对角线，且，过点、作的平行线，再过点、作、的垂线，交于、点，故矩形即为所求；
∴矩形的面积为：
故矩形面积为．
23. 为了促进学生课后服务多样化，某校组织了第二课堂，分别设置了文艺类、体育类、阅读类、兴趣类四个社团（假设该校要求人人参与社团，每人只能选择一个）．为了了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查，并绘制成如图（1）、图（2）所示的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题．
（1）求抽取参加调查的学生人数；
（2）通过计算将以上两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若该校有1800人参加社团活动，试估计该校报兴趣类社团的学生人数．
【答案】（1）人
（2）补图见解析 （3）人
【解析】
【分析】此题考查了条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法以及用样本估计总体，解题的关键是从两个统计图中获取数量和数量关系式．
（1）从两个统计图中可知，报兴趣类社团有人，占调查人数的，可求出抽取参加调查的学生人数；
（2）求出报体育类社团的人数即可补全条形统计图，求出文艺类和阅读类所占百分比可补全扇形统计图；
（3）用去乘报兴趣类社团的学生所占的比例即可．
【小问1详解】
解：（人），
答：抽取参加调查的学生人数为人．
【小问2详解】
解：(人)，
补全条形统计图如图所示：
，，
补全扇形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：（人）
答：估计该校报兴趣类社团的学生人数有人．
24. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，连接；
操作二：在上选一点E，沿折叠，使点B落在矩形内部点F处，把纸片展平，连接、和．
根据以上操作，当点F在上时，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图1中所有的角是 ．
（2）迁移探究
小棋同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，如图2，改变点E在上的位置（点E不与点B，C重合），并延长交于点G，连接，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据折叠矩形得到，由折叠得，推出，求出，证明四边形是矩形，得到，推出，再利用折叠得到；
（2）根据正方形的性质得到，按照（1）中的方式操作，可得，得到，，进而证得，得到，从而得到，即．
【小问1详解】
∵沿折叠矩形，
∴，，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是正方形，
∴，
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，可得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
25. 有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元．
（1）买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元？
（2）已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1370元，问至少买乙种快餐多少份？
【答案】（1）甲种快餐每份30元，乙种快餐每份20元
（2）28份
【解析】
【分析】(1)设甲种快餐每份a元，乙种快餐每份b元，列出方程组计算即可．
(2) 设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，列出不等式计算即可．本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，正确列式并准确解答时解题的关键．
【小问1详解】
设甲种快餐每份a元，乙种快餐每份b元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种快餐每份30元，乙种快餐每份20元．
【小问2详解】
解：设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐份，
依题意得：，
解得．
答：至少买乙种快餐28份．
26. 已知：为的直径，点C为上一点，连接，点D为上一点，连接，过点D作的垂线，垂足为点F，交于点E，连接，分别交和于点H和点K，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点H作的垂线交于点T，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，延长交的延长线于点M，若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）连接，证明，得到，证明，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，得到，推出，证明，得到，再证明，即可证明结论；
（3）连接，过点M作的垂线，垂足为点N，证明，得到，进而推出，证明，得到，进而推出，证明，得到，设，则，求出，设，则，利用勾股定理即可求解．
小问1详解】
解：∵，
∴
∵
∴
∴；
【小问2详解】
解：如图2：连接，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
点F是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
∴
；
【小问3详解】
解：如图3，连接，过点M作的垂线，垂足为点N，
是直径
，，
，，
设，则
在中，
即
或 (舍去)
设，则，
在中，
即
．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，全等三角形．
27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A和点B两点，交y轴于点C，交经过点B的直线于另一点D，直线与y轴交于点E．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，在第三象限的抛物线上取一点F，连接和，若，求点F的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线上取一点P，连接，以为斜边作等腰直角三角形，过点R作的平行线交y轴于点Q，连接交抛物线于点T，，求点T的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出，代入即可求解；
（2）过点作，垂足为点．求出，再证明过点作轴于点．设点，根据，即可求解；
（3）过点作的垂线交轴于点，连接交于点．证明，得出，，过点作轴的垂线，垂足为点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点与交于点．求出直线解析式，设，表示出，将代入抛物线即可求解；
【小问1详解】
解：如图1，令，则，
解得．
∴，
把代入中，解得，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为点．
∵直线与y轴交于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
过点作轴于点．
设点，
，
解得(舍去)或，
∴；
【小问3详解】
解：如图，，
∴，
过点作的垂线交轴于点，连接交于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，垂足为点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点与交于点．
直线经过点和，
设，
则
解得：
设，
则，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
将代入抛物线中得，
解得舍去，
∴，
∴．
【点睛】该题主要考查了二次函数综合，用到的知识点主要有二次函数的性质和图象，一次函数的图象和性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．