2024年黑龙江省哈尔滨市道外区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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考生须如；
1.本试卷满分为120分．考试时间为120分钟．
2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4.选择题须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄鼓，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题：（110题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数，按照倒数定义即可求解本题．
【详解】解：根据倒数的定义知的倒数为，
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4. 如图，四边形内接于，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形性质以及圆周角定理，先根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可作答．
【详解】解：∵四边形内接于
∴
∵
∴
故选：B
5. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层两侧是两个小正方形，
故选：B．
6. 方程的解为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故选：C．
7. 不透明的盒子中装有2张红色卡片和1张绿色卡片，除了颜色外没有任何不同，随机抽出两卡片，同为红色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两卡片同为红色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中随机抽出两卡片，同为红色的结果数有2种，
∴随机抽出两卡片，同为红色的概率为，
故选：A．
8. 某品牌耳机经过两次降价，零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分比都为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．若两次降价的百分率均是，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意得：
满足方程为．
故选：D．
9. 如图，，，与交于点，．若，则线段的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得即可．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
10. 学校提倡“低嘊环保，绿色出行”、小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发、沿同一条路匀速新进．如图所示、和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系，下列结论：①小明和小亮两家相距；②小亮比小明早到0.1小时；③小明步行的速度为每小时，④小明和小克在距离学校处相遇，其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．由图逐项判断，用待定系数法求出和的函数解析式，再令解方程求出相遇时间，再判断即可．
【详解】解：由图知：小明和小亮两家相距，小亮比小明早到小时，
故①，②正确；
小明步行的速度为每小时，故③正确，
设的函数解析式为，
则，
解得，
的函数解析式为；
设函数解析式为，
则，
解得，
的函数解析式为；
令，即，
解得，
出发小时后两人相遇，此时小明和小克在距离学校处．
故④正确．
故答案为：D．
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分）
11. 习近平主席强调“中国人的饭碗要牢牢端在自己的手上”，为了粮食的安全，我国政府要守住耕地面积的红线是18亿亩，将18亿亩用科学记数法表示为______亩．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
【详解】解：18亿，
故答案为：．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
14. 把多项式分解因式的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
15. 二次函数的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，即可作答．
【详解】解：∵
∴顶点坐标为
故答案为：
16. 点在反比例函数的图像上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，把点代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上
∴把点代入
得
解得
故答案为：
17. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分解集，即可作答．
【详解】解：∵
∴由，得，解得
由，得，解得
∴原不等式组的解集为
故答案为：
18. 定义，若，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，根据新定义运算，得，再解一元二次方程即可．
详解】解：由题意，得，
解得：．
故答案为：或．
19. 加图，把边长为1的等边三角形从原点出发沿轴正半轴方向流动，则的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，找出点的规律是解题的关键，先结合图形，得出的纵坐标与是相等，且为0，再得出的横坐标相差为3，即可作答．
【详解】解：如图所示：
发现的纵坐标是相等的，的纵坐标是相等的，
∴的纵坐标与是相等，且为0
∵边长为1的等边三角形
由图可得：的横坐标相差为3
∴的横坐标相差为3
即的横坐标为
∴的坐标为
故答案为：．
20. 如图，正方形中，点在边上，沿翻折使得点落在点处，延长线交于点，若，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，设，则，在中，根据勾股定理，得，再在和中，根据勾股定理，得，再解方程即可．
【详解】解：在正方形中，，
由翻折得，，
，
设，则，
，
在中，，即，
连接，
在和中，，
联立，且，
解得：，即，
在中，．
故答案为：．
三、解答题（21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法，然后约分化简，接着根据特殊角三角函数值求出a的值，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
22. 实践操作：如图，是正方形网格，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在图中画出等腰，使得点在格点上，，且；
（2）仅用无刻度直尺作出的中位线，使得点分别在上，并保留作图痕迹．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，取格点C，连接，即为所求；
（2）分别取格点M、N、G、H，连接交于E，连接交于F，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等等，熟练掌握相关性质是解题关键．
23. 某校开展了以“养成读书好习惯”为主题的请书活动．学校对部分学生四月份读书量进行了随机抽样调查，读书是为2本书的占，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示，根据以上信息，解答下列问题：
（1）一共抽取了______名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）样本的众数是______本；
（4）已知该校有1200名学生，请你估计该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【答案】（1）60 （2）见详解
（3）3 （4）120名
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）根据读书两本的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数；
（2）然后即可得到本次所抽取学生四月份“读书量”的众数，再计算出读书4本所占的百分比，即可将统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出样本的众数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【小问1详解】
解：本次抽取的学生有：（名，
故答案为：60；
【小问2详解】
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
样本的众数是3本，
故答案为3；
【小问4详解】
（名，
答：估计该校学生中，四月份“读书量”为5本的学生有120名．
24. 已知：矩形中，动点在边上（不与点重合），交于点，连接．
（1）如图1，若平分，求证：；
（2）如图2，若，动点在移动过程中，设的长为的长为，
①则与之间的函数关系式为______；
②线段的最大值为______．
【答案】（1）见详解 （2）①②
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值性
（1）先根据证明，再证明即可；
（2）①证明，得即可，②根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：在矩形中，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①设的长为的长为，则，
由（1）得，，
，
，
，
；
故答案为：；
②当时，有最大值，最大值为．
即线段的最大值为．
故答案为：．
25. 某学校复印社购进一批白色复印纸和彩色复印纸，若购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元．
（1）求白色复印纸和彩色复印纸每箱各多少元．
（2）该复印社计划整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元，问两种复印纸各购买几箱？
【答案】（1）白色复印纸和彩色复印纸每箱各80元，180元
（2）购进白色复印纸和彩色复印纸个10箱，2箱或购进白色复印纸和彩色复印纸个1箱，6箱
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设白色复印纸和彩色复印纸每箱各x元，y元，然后根据购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元列出方程组求解即可；
（2）设购进白色复印纸和彩色复印纸个m箱，n箱，则，求出该方程的非负整数解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设白色复印纸和彩色复印纸每箱各x元，y元，
由题意得， ，
解得，
答：白色复印纸和彩色复印纸每箱各80元，180元；
【小问2详解】
解：设购进白色复印纸和彩色复印纸个m箱，n箱，
由题意得，，
∴，
∵m、n都是整数，
∴也是整数，
当时，；
当，；
答：购进白色复印纸和彩色复印纸个10箱，2箱或购进白色复印纸和彩色复印纸个1箱，6箱．
26. 已如内接于半径为的，设．
（1）如图，若时，求证：；
（2）如图若时，探究弦之间的数量关系并说明理由；
（3）如图，若，点为弧上一点，交延长线于点．，求的值．
【答案】（1）见详解 （2），理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交圆于点，连接，由同弧所对圆周角相等，及正弦的定义，即可求解，
（2）在圆上取点，过作，由圆内接四边形对角互补，圆周角定理，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，特殊角的三角函数，即求解，
（3）作，得到是等腰直角三角形，，结合，得到，由同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角，得到，，，设，，则，在中，应用勾股定理，得到，由同弧所对圆周角相等得到，，由，得到，在中，应用勾股定理得到，由，即可求解，
本题考查了，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质，同弧所对圆周角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形．
【小问1详解】
解∶如图，连接并延长交圆于点，连接，
则，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：
理由如下：如图，在圆上取点，连接，过作，
则，
∴，
∴，
又∵，
，，
∴，
∴ ，
，
故答案为：，
【小问3详解】
解：过点作，交延长线于点，连接，，
∵，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
设，，则，
在中，，
∵，，
∴，
∵，即：，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案为：．
27. 如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点作轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若时，则函数的取值范围是______；
（3）点为右侧第一象限抛物线上一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，连接，，延长线交轴于点B，点在轴负半轴上，连接、，若，求直线的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，，得出，代入解析式即可求出
（2）分别根据函数解析式求出顶点函数最大值和取值范围的函数端点值，即可确定在时，函数的取值范围，
（3）根据，在上取点，使，过点作轴于，构造K全等模型，得，，确定直线上点K坐标，由待定系数法求出直线的解析式为，进而确定点B坐标，由，得、、、四点共圆，进而证明，得，即可求出点，从而求出直线的解析式．
【小问1详解】
解：抛物线交x轴正半轴于点A，
时，即，
，代入，
得，解得（舍去），
故抛物线的解析式；
【小问2详解】
解：
时，有最大值，
时，，
时，，
若时，函数取值范围是；
小问3详解】
如图，在上取点，使，过点作轴于，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，，
由可知点，即，
设，由得，
∴点，点，，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
即直线的解析式为，
当时，，
解并检验得：，（负值，不合题意，舍去），（不合题意，舍去）
故，
∴点，，，直线的解析式为，
当时，，即点B坐标为，
∵，，即，
∴、、、四点共圆，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点N坐标为，
线设直线的解析式为，则，
∴直线解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，包括了待定系数法求解析式，解直角三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识点，构造K字型模型，确定解析式，由、、、四点共圆证明是解题关键．