江苏省南通市崇川区启秀中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题3月（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
【详解】解：的倒数是．
故选：D．
2. 1.2亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：1.2亿，
1.2亿这个数用科学记数法表示为，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
3. 如图是由四个相同的小正方体组成的一个立体图形，那么它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主视图朝向自己，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，底层左侧是一个小正方形，上层是两个小正方形，左齐．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上方向下看得到的的视图，正确理解三视图相关概念是解题关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的四则混合运算法则即可求解．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误．
故选：B
【点睛】本题考查整式的四则混合运算．掌握相关运算法则即可．
5. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
6. 已知圆锥的三视图及相关数据如图所示，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，高为，再由勾股定理可求得圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，高为，
∴由勾股定理，可得圆锥母线长为，
∴圆锥侧面积．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图、勾股定理、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和高是解题的关键．
7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，.添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形或有一个角是直角的平行四边形，逐项分析判断即可．
【详解】解：由，，可证四边形是平行四边形，
A. ，根据邻边相等的平行四边形，可证四边形是菱形，不符合题意；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，可证四边形是矩形，符合题意；
C. ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形是菱形，不符合题意；
D. ，证，根据等角对等边可证，即可证得四边形是菱形，不符合题意.
故选B
【点睛】本题考查了特殊四边形菱形的证明，平行四边形的证明，矩形的证明，注意对这些证明的理解，容易混淆，小心区别对比．
8. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示．根据图象所提供的信息分析，下列说法正确的是（ ）
A. 甲队开挖到30m时，用了2h
B. 乙队在0≤x≤6的时段，y与x之间的关系式y＝5x+20
C. 当两队所挖长度之差为5m时，x为3和5
D. x为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等
【答案】D
【解析】
【分析】图意是：甲、乙都是工作了6小时；甲用了6小时挖河渠的长度是60m，乙前2个小时挖河渠30m，后4个小时挖河渠20m，乙一共挖了50m．
【详解】解：A、根据图示知，乙队开挖到30m时，用了2h，甲队开挖到30m时，用的时间是大于2h．故本选项错误；
B、根据图示知，乙队挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系是分段函数：在0～2h时，y与x之间的关系式y＝15x．故本选项错误；
C、由图示知，甲队挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系为：y＝10x（0≤x≤6），
乙队挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系为：
，
当0≤x≤2时，当两队所挖长度之差为5m时得：15x﹣10x＝5，
解得：x＝1；
当2＜x≤6时，当两队所挖长度之差为5m时得：|10x﹣（5x+20）|＝5，
解得：x＝3或5；
∴当两队所挖长度之差为5m时，x为1，3和5；故本选项错误；
D、甲队4h完成的工作量是：10×4＝40（m），
乙队4h完成的工作量是：30+2×5＝40（m），
∵40＝40，
∴当x＝4时，甲、乙两队所挖河渠长度相同．故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，施工距离、速度、时间三者之间的关系的运用，但难度不大，读懂图象信息是解题的关键．
9. 如图，正方形的边长为6，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，在上取一点F使得，连接，先证明得到，，进而可以证明得到，设，则，，，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，上取一点F使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．动点E与动点D同时从点C出发，点D沿线段CB以1单位长度/秒的速度运动，点E沿线段CA以2单位长度/秒的速度运动，当其中一个点到达端点时，另一个点也停止运动．以CE，CD为边作矩形CDFE，若设运动时间为x秒（0＜x≤4），矩形CDFE与△ABC重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分0≤x≤2、2＜x≤4两种情况，通过画图确定矩形CDFE的位置，进而求解．
【详解】解：当0≤x≤2时，如图，
y=CE•CD=2x•x=2x2，该函数为开口向上的抛物线；
当2＜x≤4时，如下图，设DF、EF分别交AB于点H、G，
则BD=BC-CD=4-x，则HD=BDtanB=（4-x）×=8-2x，
则HF=DF-DH=CE-DH=2x-（8-2x）=4x-8，则GF=2x-4，
则y=S五边形CDHGE=S矩形CDFE-S△GHF
=2x•x-×（2x-4）（4x-8）
=-2x2+16x-16，该函数为开口向下的抛物线，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．
二、填空题
11. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称的点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，解题的关键是正确记忆横纵坐标关系．
12. 如图，，如果，那么的度数为___________．

【答案】##130度
【解析】
【分析】由对顶角相等可得，再根据两直线平行、同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】解：如图，

由对顶角相等可得，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角的定义，解题的关键是掌握两直线平行、同旁内角互补．
13. 不透明的袋子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，现从袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】解：因为袋中装有3个红球和2个白球，一共是5个球，
所以从袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是明确概率的意义，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14. 若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组恰有两个整数解，得出关于的不等式组，求出即可．
【详解】解：不等式组恰有两个整数解，
解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．
15. 设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】2024
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答．
【详解】∵是方程两个实数根
由一元二次方程根与系数关系可得：
，
而
故答案为2024．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键．
16. 如图，反比例函数的图象经过对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，的面积为4，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【详解】解：过点P作PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BD⊥x轴，
∴ABDO为矩形，
∴AB＝DO，
∴S矩形ABDO＝S▱ABCD＝4，
∵P为对角线交点，PE⊥y轴，
∴四边形PDOE为矩形面积为2，
∵反比例函数y的图象经过▱ABCD对角线的交点P，
∴|k|＝S矩形PDOE＝2，
∵图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
17. 已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．
【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）
【解析】
【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)，
∴OA=BC=10，OC=AB=4，
如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=5-3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
如图所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=，
∴此时点P坐标为（3，4）；
如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
18. （在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是__．
【答案】.
【解析】
【分析】根据y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）可求出顶点坐标和A、B的坐标，再根据题意结合图象列出关于a的不等式组，求解即可得出答案．
【详解】∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，
∴顶点坐标为（﹣2，1），
令y＝0，得x＝﹣2±，
设A（﹣2+，0），B（﹣2﹣，0），
∵此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为（﹣2，1），
∴﹣6＜﹣2+≤﹣5，1≤﹣2﹣＜2，
解得：﹣≤a＜﹣；
故答案为﹣≤a＜﹣．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于a的不等式．
三、解答题
19. （1）计算：
（2）先化简，再求代数式的值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先分别计算平方，三角函数，0指数幂，负整数指数幂，再相加即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式化简，再去括号将除法转化为乘法，然后约分，最后将代入计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
，
将代入得原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20. 有甲、乙两个不透明度的布袋，甲袋中装有两个相同的小球，它们分别标有数字1，2；乙袋中装有三个相同的小球，它们分别标有数字0，， ．现从甲袋中随机摸出一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机摸出一个小球，记录标有的数字为y，得点．
（1）求点在直线上的概率；
（2）在平面直角坐标系中，的半径为2，求过点能作切线的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用树状图法展示所有6种等可能的结果数和点在直线上的结果数，再利用概率公式可得答案；
（2）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作的切线，则可计算出过点能作的切线的概率．
【小问1详解】
解：画树状图：
共有6种等可能的结果数，它们是：，，，，，；其中在直线上的点有，，
点在直线上的概率．
【小问2详解】
解：在上的点有，在⊙O外的点有，，，
所以过点能作⊙O的切线的点有4个，
所以过点能作⊙O的切线的概率．
【点睛】本题考查列表法和树状图法，一次函数图象上的点的坐标特征，切线的性质，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21. 如图，内接于⊙O，是⊙O的直径，点P在半径延长线上，连接，．
（1）若，求证：是⊙O的切线；
（2）在（1）的基础上，若cm，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）cm
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理证明，根据切线的判定证明即可；
（2）证明为等边三角形，根据正切的定义计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
【点睛】本题考查的是切线的性质、三角形的外角的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握切线的性质定理是解题的关键．
22. 在关于x，y的二元一次方程组中
（1）若，求方程组的解；
（2）若，且时，求S的最值．
【答案】（1）
（2）最小值是0，最大值是30
【解析】
【分析】（1）用加减消元法求解即可；
（2）把方程组的两个方程相加得到，然后代入整理，可得关于a的二次函数，再利用二次函数的最值问题解答即可．
【小问1详解】
解：时，方程组为，
得：，
解得；
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解是．
【小问2详解】
解：
得：，
∴，
∴关于a的二次函数的图象开口向上，对称轴为，
∴当时，y随a的增大而增大，
∴当时，S有最小值，最小值为，
当时，S有最大值，最大值为，
即S的最小值是0，最大值是30．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二次函数的最值，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和将二次函数化为顶点式，是解题的关键．
23. 如图，一海伦位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求航程的值（结果保留根号）．

【答案】海里
【解析】
【详解】试题分析：过P作PC垂直于AB，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AC与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出CB的长，由AC+CB求出AB的长即可．
试题解析：

过P作PC⊥AB于点C，
在Rt△ACP中,PA=海里,∠APC=45°,sin∠APC=,cs∠APC=，
∴AC=AP⋅sin45°=×=40(海里)PC=AP⋅cs45°=×=40(海里)，
在Rt△BCP中,∠BPC=60°,tan∠BPC=，
∴BC=PC⋅tan60°= (海里)，
则AB=AC+BC=(40+)海里．
24. 已知抛物线
（1）求抛物线的对称轴（用含m的代数式表示）；
（2）若点在此抛物线上，请比较a，b的大小；
（3）已知点，如果此抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）直线；
（2）；
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）由二次函数的交点式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解；
（2）由点到对称轴的距离大小关系求解；
（3）由抛物线与x轴的交点坐标可得抛物线与至少有一个交点，讨论另一个点与线段的位置关系求解．
【小问1详解】
∵，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线．
【小问2详解】
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴时，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
【小问3详解】
∵，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，
∵，
∴点在线段上，
∴点不在线段上时，符合题意，
∴或或，
解得或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
25. 如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE=CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE≌△CDF，即可得到AE＝CF；
（2）先利用，求得长，再利用，求得，然后设PF=x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长；
（3）本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，由旋转得：，，
四边形是正方形，
，，
，
即，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，过作的垂线，交的延长线于，
是的中点，且，
，，三点共线，
，
由勾股定理得：，
，
，
由（1）知：，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
或（舍，
，，
由勾股定理得：，
（3）解：如图3，由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
，，
，
，
当最小时，为、、三点共线，
，
，
的最小值是．
【点睛】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答.
26. 定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P（x，y），满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”例如：当m＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4的“2倍点”．
（1）在点A（2，3），B（﹣2，﹣3），C（﹣3，﹣2）中， 是函数y＝的“1倍点”；
（2）若函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，求b的值；
（3）若函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值．
【答案】（1）和
（2）0，8 （3）1，2
【解析】
【分析】（1）将y＝mx+m变形为“1倍点”的方程，再求与函数y＝的交点得到，解方程即可求解；
（2）根据函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，得到y＝﹣x2+bx与y＝4x+4有唯一的交点，利用一元二次方程判别式来求解；
（3）设函数y＝﹣x+2m+1与y＝mx+m的交点为B，求出点B的坐标，再利用两点间距离公式求出AB的长度，再根据函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，列出不等式求解．
【小问1详解】
解：∵满足y＝mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”，
∴由函数y＝的“1倍点”可得，
整理得，
解得，，
把和代入y＝中求得，，
∴和是函数y＝的“1倍点”．
故答案为：和；
【小问2详解】
解：∵函数y＝﹣x2+bx存在唯一的“4倍点”，
∴y＝﹣x2+bx与y＝4x+4有唯一的交点，
∴，
即，
，
解得或；
【小问3详解】
解：如图，设函数y＝﹣x+2m+1与y＝mx+m交点为B，
则，
解得 ，
∴ ，
∴．
∵函数y＝﹣x+2m+1的“m倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆外，
∴以点（0，10）为圆心，半径长为2m的圆与直线y＝﹣x+2m+1和y＝mx+m的交点B之间的距离大于A半径2m，
∴，
∴，
解得．
∵m为正整数，
∴或2．
【点睛】本题主要考查了“新定义”，反比例函数与一次函数，一次函数与二元一次方程组的应用，二次函数与一元二次方程的判别式，两点间距离公式，不等式解集．准确理解“新定义”是解答关键．