2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市和桥镇第二中学八年级（下）3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市宜兴市和桥镇第二中学八年级（下）3月月考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查适合做普查的是( )
A. 了解初中生晚上睡眠时间B. 百姓对推广共享单车的态度
C. 了解某中学某班学生使用手机的情况D. 了解初中生在家玩游戏情况
3.下列事件中，是必然事件的为( )
A. 3天内会下雨B. 打开电视，正在播放广告
C. 367人中至少有2人公历生日相同D. 某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩
4.如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=( )
A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°
5.如图，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有
( )
A. 甲、乙、丙B. 甲、乙C. 甲、丙D. 乙、丙
6.重庆天气犹如“过山车”，如图是2022年5月一周的气温图，以下叙述错误的是( )
A. 周五气温最高B. 周五到周日气温持续降低
C. 周二的气温与周四的气温一样高D. 气温最低为18℃
7.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠A=28∘将Rt▵ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt▵DEC，此时点E恰在AB边上，则旋转角的大小为
( )
A. 28∘B. 34∘C. 56∘D. 62∘
8.如图，将▵ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′//BB′，则∠CAB′的度数为
( )
A. 75°B. 80°C. 85°D. 90°
9.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形
10.如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF=2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为
( )
A. 2 3B. 6C. 3 2D. 13
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.当x=________时，分式x−3x+3的值为零．
12.某中学为了了解初二300名学生视力情况，在全校范围内随机抽取20名学生进行调查，本次抽样调查的样本容量是___．
13.小芳抛一枚硬币8次，有5次正面朝上，当她抛第9次时，正面朝上的概率为___．
14.若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD四边中点所得的图形是___．
15.已知菱形的面积为24，一条对角线长为6，则这个菱形的另一条对角线长是___．
16.化简：( 3−x)2− x2−6x+9=______．
17.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=7，则AB=____．
18.如图，▵ABC中，AB=AC=5，BC=8，D为AB边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，DE长的范围是_____．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为OC、OA的中点．求证：BE=DF．
20.(本小题8分)
正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，▵ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中作出▵ABC绕点A逆时针旋转90∘的▵AB1C1，再作出▵AB1C1关于原点O成中心对称的▵A1B2C2．
21.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF．AE与BF交于点O.猜想：AE与BF的关系，并给出证明．
22.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．

(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若DE=8,BD=6，求菱形ABCD的面积．
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，
(1)求证：AE=CF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，C(−2,0)△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
(3)画出与△A1B1C1关于点O成中心对称的△A3B3C3．
25.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，直线l：y=−1.5x+3分别交x轴，y轴于点A，B，将▵AOB绕点O顺时针旋转90∘后，得到△A′OB′；

(1)求直线A′B′解析式；
(2)若直线A′B′于直线l交于点C，求▵A′BC面积；
26.(本小题8分)
在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A的路径运动，运动时间为t(秒).以BE为边在矩形ABCD的内部作正方形BEHG．

(1)如图，当四边形ABCD为正方形且点H在▵ABC的内部，连接AH，CH，求证：AH=CH．
(2)经过点E且把矩形ABCD的面积平分的直线有 条．
(3)当AB=9，BC=12时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，请求出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A、了解初中生晚上睡眠时间，人数较多，适合抽查，故选项错误；
B、百姓对推广共享单车的态度，人数较多，不容易普查，适合抽查，故选项错误；
C、了解某中学某班学生使用手机的情况，人数不多，容易普查，选项正确；
D、了解初中生在家玩游戏情况，人数较多，适合抽查，故选项错误．
故选C．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】C
【解析】【详解】试题分析：必然事件是一定能够发生的事件，选项A、B、D的结果是不确定的，是随机事件；选项C，一年最多有366天，所以367人中至少有2人公历生日相同是确定能够发生的，是必然事件，故答案选C．
考点：必然事件．
4.【答案】B
【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质即可解答．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，

∵BC // AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的几何性质．
5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键．对于甲方案：连接AC交BD于O，利用平行四边形的性质结合已知证明ON=OM，OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：先根据平行线的判定证明AN//CM，再证明▵ABN≌▵CDMAAS得到AN=CM，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明AB=CD，∠ABN=∠CDM，再根据角平分线的定义证得∠BAN=∠DCM，进而证明▵ABN≌▵CDMASA得到AN=CM，∠ANM=∠CMN，则AN//CM，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论．
【详解】解：甲方案：连接AC交BD于O，如图，
在▱ABCD中，OB=OD，OA=OC，
∵BN=MD，
∴OB−BN=OD−MD，
∴ON=OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故甲方案正确；
乙方案：
在▱ABCD中，AB/​/CD，AB=CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN//CM，∠ANB=∠CMD=90∘，
在▵ABN和▵CDM中，
∠ABN=∠CDM∠ANB=∠CMDAB=CD
∴▵ABN≌▵CDMAAS，
∴AN=CM，又AN//CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故乙方案正确；
丙方案：
在▱ABCD中，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AB/​/CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN、CM分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAN=12∠BAD，∠DCM=12∠BCD，
∴∠BAN=∠DCM，
在▵ABN和▵CDM中，
∠ABN=∠CDMAB=CD∠BAN=∠DCM
∴▵ABN≌▵CDMASA，
∴AN=CM，∠ANB=∠CMD，
∴∠ANM=∠CMN，
∴AN//CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故丙方案正确，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据折线统计图逐项进行判断即可．
【详解】解：A.根据图象可知，周五气温为30最高，故 A正确，不符合题意；
B.根据图象可知，周五到周日气温持续降低，故B正确，不符合题意；
C.根据图象可知，周二的气温与周四的气温都是25，一样高，故 C正确，不符合题意；
D.根据图象可知，气温最低为15，故 D错误，符合题意．
故选：D．
本题主要考查了折线统计图，解题的关键是数形结合，从折线统计图中获得相关信息．
7.【答案】C
【解析】【分析】先根据互余得到∠B=90∘−28∘=62∘，再根据旋转的性质得到CB=CE，∠BCE等于旋转角，再根据等边对等角得到∠CEB=∠B=62∘，然后根据三角形的内角和定理计算出∠BCE=180∘−2×62∘=56∘，于是得到旋转角度为56∘．
【详解】解：∵∠ACB=90∘，∠A=28∘，
∴∠B=90∘−28∘=62∘，
∵▵ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到▵DEC
∴CB=CE，∠BCE等于旋转角
∴∠CEB=∠B=62∘
∴∠BCE=180∘−2×62∘=56∘
∴旋转角为56∘
故选：C
本题考查旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，利用数形结合的思想是解题关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=∠CAC′=110∘，由此即可求出∠ABB′=35∘，由平行线的性质求出∠C′AB′=∠AB′B=35∘即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=∠CAC′=110∘，
∴∠ABB′=∠AB′B=180∘−∠BAB′2=35∘，
∵AC//BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=35∘，
∴∠CAB′=∠CAC′−∠C′AB′=75∘，
故选：A．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．
10.【答案】D
【解析】【分析】如图作AH // BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，此时AE+AF的值最小，
【详解】
解：如图作AH // BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH=EF，AH // EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH，
∵BD所在的直线是菱形的对称轴，点A、C是对称点，(或根据SAS证明△ABF≌△CBF)
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC=60°，
∴AC=AB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH // DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH=90°，
在Rt△CAH中，CH= AC2+AH2= 32+22= 13，
∴AE+AF的最小值为 13，
故选：D．
本题考查轴对称−最短问题，菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3
【解析】【分析】分式的值为零时：分子等于零，但是分母不等于零．
【详解】依题意得：x−3=0且x+3≠0，
解得x=3．
故答案是：3．
本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12.【答案】20
【解析】【分析】根据样本的容量的定义即可得出答案，样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位．
【详解】解：抽取20名学生进行调查，
∴本次抽样调查的样本容量是20，
故答案为：20．
本题考查了样本的容量的定义，理解定义是解题的关键．样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
13.【答案】12/0.5
【解析】【分析】硬币只有正反两个面，然后根据概率的意义解答．
【详解】∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
∴正面向上的概率为12．
故答案为：12．
本题考查的知识点是概率的意义，解题关键是理解概率的定义并明确硬币只有正反两个面．
14.【答案】矩形
【解析】【分析】四边形ABCD中，E,F,G,H分别为各边中点，根据中位线的性质可得EH=FG=12BD,EF=HG=12AC，继而可得EH⊥EF，即可求解．
【详解】如图，四边形ABCD中，E,F,G,H分别为各边中点，
∴EH=FG=12BD，EF=HG=12AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为：矩形．
本题考查了中位线的性质、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理，掌握中位线的性质是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出另一条对角线的长度．
【详解】解：如图所示：
∵S菱形ABCD=24，
∴12BD·AC=24，
∵AC=6，
∴12BD·6=24，
∴BD=8，
故答案为：8．
本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：菱形的面积等于对角线乘积的一半．
16.【答案】0
【解析】【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：3−x≥0，
∴( 3−x)2− x2−6x+9
=3−x− x−32
=3−x−x−3
=3−x+x−3
=0
故答案为：0．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
17.【答案】2.5
【解析】【分析】分别过点A、D作AE⊥BC、DE⊥BC，设BE=x，利用含30∘直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：分别过点A、D作AE⊥BC、DE⊥BC，如下图：
由题意可得：∠BAE=∠C=30∘，四边形AEFD为矩形
∴AD=EF=2，AE=DF
设BE=x，则AB=2x，AE= AB2−BE2= 3x
∴DF= 3x
则CD=2 3x，CF= CD2−DF2=3x
∵BE+EF+CF=BC
∴x+2+3x=7，解得x=54，
∴AB=2.5
故答案为：2.5
此题考查了含30∘直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
18.【答案】245≤DE≤8
【解析】【分析】分两种情况讨论，当BC为边时，DE=BC=8.当BC为对角线时，首先根据已知得出DE最小时D的位置，进而利用三角形面积求出DF的长，进而得出答案．
【详解】解：当BC为边时，DE=BC=8．
当BC为对角线时，
如图所示：取BC的中点F，过点F作FH⊥AB于点H，连接AF，
∵AB=AC=5，BC=8，BF=CF=4，
∴AF⊥BC，
∴AF= AB2−BF2=3，
∵S△AFB=12AF×BF=12FH×AB，
∴FH=AF×BFAB=125,
∵四边形CDBE是平行四边形，
当D运动到与H点重合时，此时FH最小，
∴FH=DF=12DE,
∴DE=245．
∴DE的最小值为：245．
D不能与B重合，此时平行四边形不存在，
∴ DF≤AF综上：245≤DE≤8,
故答案为：245≤DE≤8．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知得出D的位置是解题关键．
19.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD,OA=OC
∵E、F分别为OC、OA的中点
∴OF=OE，
又∵∠DOF=∠BOE，
∴▵DOF≌▵BOESAS，
∴BE=DF．

【解析】【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合OC、OA的中点，可以得到，▵DOF≌▵BOESAS，即可求解，
本题考查了，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
20.【答案】解：如下图，▵AB1C1、▵A1B2C2即为所求．


【解析】【分析】将▵ABC的顶点B、C绕点A逆时针旋转90∘得到点B1、C1，顺次连接即可；再根据中心对称的特征，得出▵AB1C1的各顶点关于原点O成中心对称的点A1、B2、C2，连接各点即可．
本题主要考查了作旋转变换图形和中心对称图形，理解并掌握旋转图形和中心对称图形的特征是解题关键．
21.【答案】解：AE=BF，AE⊥BF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠C=90°，
在△ABE和△BCF中，
AB=BC∠ABE=∠CBE=CF,
∴▵ABE≌▵BCFSAS．
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF．
∵∠ABE=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BOB=90°，即AE⊥BF．

【解析】【分析】只需要利用SAS证明▵ABE≌▵BCF即可得到对应的结论．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知正方形的性质与全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC//AB，DB⊥AC，
∴∠BOA=90∘，
又∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90∘，
∴∠BDE=∠BOA，
∴DE//CA，
∵DC//AB，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)解：∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE=8，
∵菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24．

【解析】【分析】(1)根据菱形的对角线互相垂直推出DE/​/CA，即可证明；
(2)根据菱形的面积公式求解．
本题考查平行四边形的判定，菱形的性质和面积，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直．
23.【答案】【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
∴AE=CF．
(2)∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB//CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
(2)首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE//CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质．
24.【答案】(1)连接AA1,BB1,CC1，三线的交点就是所求对称中心E，画图如下：
根据题意，得A(−3,2)，A1(−3,−4)，
故点E的坐标为(−3,−4+22)即(−3,−1)．
(2)根据旋转的性质，画图如下：
(3)根据题意，得A1(−3,−4)，B1(−1,−3)，C1(−4,−2)，根据中心对称的性质，得到A2(3,4)，B2(1,3)，C2(4,2)，描点后，画图如下：

【解析】【分析】(1)连接AA1,BB1,CC1，三线的交点就是所求，利用中点坐标公式计算即可．
(2)根据旋转的性质，旋转方向，画图即可．
(3)根据中心对称的性质，确定点的坐标，依次连接即可．
本题考查了旋转的作图，中心对称作图，计算点的坐标，熟练掌握作图的要领，准确计算点的坐标是解题的关键．
25.【答案】(1)解：由直线l：y=−1.5x+3分别交x轴、y轴于点A、B，
当x=0时，y=3；
当y=0时，x=2；
∴A2,0,B0,3，
∵▵AOB绕点O顺时针旋转90∘而得到△A′OB′，
∴▵AOB≌▵A′OB′，
故A′0,−2,B′3,0，
设直线A′B′的解析式为y=kx+b(k≠0,k,b为常数)，
∴−2=b0=3k+b,
解得：b=−2k=23,
∴直线A′B′的解析式为y=23x−2；
(2)解：联立y=−32x+3y=23x−2,
解得：x=3013y=−613,
∴C3013,−613，
∵A′B=2+3=5，
∴S=12×5×3013=7513，
∴▵A′BC的面积为7513．

【解析】【分析】(1)根据直线l的解析式先确定出点A、B的坐标，根据旋转的性质结合图象可得A′0,−2,B′3,0，设直线A′B′的解析式为y=kx+b(k≠0,k,b为常数)，将两点代入求解即可得；
(2)联立两个一次函数求解可得点C3013,−613，结合图形得出A′B=5，利用三角形面积公式求解即可得．
题目主要考查直线与坐标轴交点问题及利用待定系数法确定函数解析式，旋转的性质，两个函数交点问题等，理解题意，结合图象，综合运用一次函数的基本性质是解题关键．
26.【答案】(1)解：证明：∵四边形ABCD、四边形BEHG是正方形，
∴AB=BC，BE=BG=EH=GH，∠B=∠BEH=∠BGH=90∘，
∴AB−BE=BC−BG，∠AEH=∠CGH=90∘，
∴AE=CG，
在▵AEH和▵CGH中，
AE=CG∠AEH=∠CGHEH=GH,
∴△AEH≌△CGH(SAS)，
∴AH=CH；
(2)连接BD交AC于O，如图1所示：

作直线OE，则直线OE矩形ABCD面积平分，
即经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有1条，
故答案为：1；
(3)分两种情况：
①如图2所示：连接AH交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴▵ABC的面积=▵ADC的面积，
∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，
∴▵ABM的面积=△ACM的面积，
∴BM=CM=12BC=6，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9−t，GM=6−t，
∵▵ABM的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，
∴12×6×9=12t(9−t)+t2+12t(6−t)，
解得：t=185；
②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90∘，AD=BC=12，CD=AB=9，▵ABC的面积=▵ADC的面积，
∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，
∴▵ADM的面积=△ACM的面积，
∴DM=CM=12CD=92，
在▵ADM和▵KCM中，
∠D=∠MCKDM=CM∠AMD=∠KMC,
∴▵ADM≌▵KCMASA，
∴CK=DA=12，
∴BK=BC+CK=24，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9−t，GK=24−t，
∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，
∴12×24×9=12t(9−t)+t2+12t(24−t)，
解得：t=7211；
综上所述，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1:3两部分，t的值为185或7211．

【解析】【分析】(1)证△AEH≌△CGH(SAS)，即可得出AH=CH；
(2)连接BD交AC于O，作直线OE即可；
(3)分两种情况：①连接AH交BC于M，证出BM=CM=12BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t，则AE=9−t，GM=6−t，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；②连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，证出DM=CM=12CD=92，证△KCM≌△ADM(ASA)，得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9−t，GK=24−t，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．