青海省西宁市大通县2024届高三第二次模拟考试数学（文）试题

这是一份青海省西宁市大通县2024届高三第二次模拟考试数学（文）试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，在复平面内，复数对应的点位于，已知函数若，则实数的取值范围是，已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2，答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3，考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．6C．13D．15
4．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．4B．C．2或D．或4
5．已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．执行如图所示的程序，输出S的值为（ ）
A．0B．C．D．
7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，设，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，若都是区间内的数，则使得成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量不共线，且，则的值为______．
14．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为______．
15．已知各项都是正数的等比数列的前3项和为21，且，数列中，，若是等差数列，则______．
16．已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
只要骑车，都应该戴头盔．骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障．骑行过程中的摔倒会对头部造成很大的损害，即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行，也同样不可忽视安全问题．佩戴头盔的原因很简单也很重要——保护头部，减少伤害．相关数据表明，在每年超过500例的骑车死亡事故中，有75%的死亡原因是头部受到致命伤害造成的，医学研究发现，骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤，并且大大减小了损伤程度和事故死亡率．
某市对此不断进行安全教育，下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口的骑电动车不戴头盔的人数的统计数据：
（1）求不戴头盔人数与年份序号之间的线性回归方程；
（2）预测该路口2024年不戴头盔的人数．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
18．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点．
（1）若直线过的焦点，求的值；
（2）若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若，求证：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，直线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点的直角坐标为，直线与交于两点，求的值．
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，且正数满足，求证：．
青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试。数学（文科）
参考答案、提示及评分细则
1．A 由题意知，所以．故选A．
2．B 因为复数，所以对应的点为，位于第二象限．故选B．
3．C 实数满足约束条件，表示的可行域如图阴影部分所示．当直线经过点时，取得最大值．由，解得，所以．故选C．
4．B 因为直线与直线平行，所以，解得或．当时，直线与直线重合，不符合题意；当时，直线与直线平行，符合题意．综上，．故选B．
5．B 设等比数列的公比为．若，当时，，但是，所以“”不是“”的充分条件；
若，则，所以，所以“”是“”的必要条件．综上，“”是“”的必要不充分条件．故选B．
6．C 执行程序框图：，不满足；，不满足，不满足，满足，循环结束，输出，故输出的值为-72．故选C．
7．A 将函数的图象向右平移个单位长度得，又的图象关于轴对称，所以，解得，当时，取得最小值．故选A．
8．D 画出的图象如图所示，由图可知在上单调递增，又，所以，解得．故选D．
9．C因 为，又，所以．故选C．
10． D因为，所以，所以．故选D．
11．C 设为“在区间内”，则要满足的条件为设事件为“成立”，即，所以要满足的条件为作出各自可行域即可得到．故选C．
12．D 由已知得，直线的方程为，设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即，所以，又，所以，即，设直线的斜率与直线的斜率之比值为，则，又，所以．故选D．
13．1 因为不共线，所以可设为一组基向量，因为，所以，使得，所以，所以，消去，得．
14． 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线与直线平行，所以，又双曲线的一个焦点在直线上，所以，又，解得，所以该双曲线的方程为．
15． 设数列的公比为，则，即，化简得，解得（舍去），所以．于是，所以等差数列的公差为，所以，所以．
16． 设球的半径为外接圆的半径为，在中，，则由余弦定理得，即，所以，所以．因为球的表面积为，则，解得，所以球心到平面的距离，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥的体积．
17．解：（1）由题意知，
所以
，，
所以，
所以，
所以不戴头盔人数与年份序号之间的线性回归方程为．
（2）当时，，即预测该路口2024年不戴头盔的人数为．
18．解：（1）因为，所以，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，又，
所以，所以，
所以，所以．
因为，所以，所以，所以．
（2）因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，所以，解得，所以，
所以的面积．
19．（1）证明：如图，取的中点，连接，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以．
在中，，所以，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以四棱锥的体积
．
20．解：（1）因为点是抛物线上的一点，
所以，解得，所以的方程为，
所以的焦点为．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得，所以，
所以，
所以．
（2）设，显然直线的斜率存在，且斜率为，
所以直线的方程为，
所以，即，
同理可得，，
所以，所以，即，①
显然直线的斜率存在，且斜率为，
所以直线的方程为，②
将①式代入②式，整理得，
所以直线恒过定点．
21．（1）解：若，则，
所以，
令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的极小值为，无极大值．
（2）证明：由题意知
，
令，
则，
令，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以．
22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以，
即的普通方程为．
直线的极坐标方程为，所以，
将代入，得，即，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）点的直角坐标为，易得点在直线上，
直线的一个参数方程为（为参数），
将（为参数）代入，得，
设点在直线上对应的参数分别为，
所以，
所以与的夹角为，所以．
23．（1）解：当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以．
综上，不等式的解集为．
（2）证明：函数所以在上单调递减，在上单调递增，所
以，所以，所以．
因为，所以
，
当且仅当时，等号成立，所以．年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份序号
1
2
3
4
5
不戴头盔人数
1450
1300
1200
1100
950