湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（标准难度）（含详细答案解析）

这是一份湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（标准难度）（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直角三角形的面积为S，斜边上的中线为d，则这个三角形周长为( )
A. d2+S+2dB. d2−S−dC. 2( d2+S+d)D. 2 d2+S+d
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于( )
A. 104°B. 108°C. 126°D. 144°
3.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：
①先以点A为旋转中心顺时针旋转90∘，再向右平移4格、向上平移4格;
②先以点O为对称中心作中心对称图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转90∘;
③先以直线MN为轴作轴对称图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转90∘．
其中，能将△ABC变换成△PQR的是
( )
A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③
4.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
5.平面直角坐标系中，已知点A(5,4)和点B(1,1)，则线段AB的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
6.如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A(−2,0)，过点B作BD⊥AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为( )
A. (4,0)B. (4 3,0)C. (6,0)D. (8,0)
7.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为( )
A. 3
B. 32
C. 2
D. 6
8.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
9.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
10.如图，将四边形纸片ABCD沿PR翻折得到三角形PC′R，恰好C′P/​/AB，C′R/​/AD.若∠B=120°，∠D=50°，则∠C=( )
A. 85°
B. 95°
C. 90°
D. 80°
11.在平面直角坐标系中，已知定点A(−3,2)，B(m,n)，其中m，n为常数且m≠−3，点C为平面内的动点，若AC/​/x轴，则线段BC长度的最小值及此时点C的坐标分别为( )
A. |n−2|，(m,2)B. |m−2|，(−3,n)
C. |n+3|，(m,2)D. |m+3|，(−3,n)
12.如图，平面直角坐标系中，一蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A⋅⋅⋅循环爬行，其中A点的坐标为(2−2)，B点的坐标为(−2,−2)，C点的坐标为(−2,6)，D点的坐标为(2,6)，当蚂蚊爬了2020个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为( )
A. (−2,−2)B. (2,−2)C. (−2,6)D. (0,−2)
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为(0,4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______．
14.如图，长方形ABCD中AB=2，BC=4，正方形AEFG的边长为1.正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为 ．
15.如图，四边形ABCD中，AB=CD=4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是______．
16.如图，MN/​/PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB=______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AB=5，AC=8，求BE的长．
18.(本小题8分)
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，距沿海城市A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30∘方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响.试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
(1)若ED⊥EF，求证：ED=EF；
(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；
(3)若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
20.(本小题8分)
如图，点E在▱ABCD内部，AF/​/BE，DF/​/CE．
(1)求证：△BCE≌△ADF；
(2)设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，且A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)平移△ABC得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为(−5,−2)，则点B的对应点的坐标是____;
(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出旋转后点A的对应点的坐标;
(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：____.
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，O是原点，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(0,8)，点C的坐标为(6,0)，连接OB.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向匀速运动，设运动的时间为t s．
(1)当t=_______时，以OB，OP为邻边的平行四边形是菱形;
(2)当点P在〇B的垂直平分线上时，求t的值;
(3)将△OBP沿直线OP翻折，使点B的对应点D恰好落在x轴上，求t的值
23.(本小题8分)
如图，直线BC、DE相交于点O，OA、OF为射线，OA⊥OB，OF平分∠COE，∠COF+∠BOD=51∘，求∠AOD的度数．
24.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0(1)当t为何值时，△PBC为等腰直角三角形？
(2)求当移动到△QAP为等腰直角三角形时斜边QP的长．
25.(本小题8分)
如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−1,2)，C(1,−2)，将三角形ABC平移后，点A的对应点为A′(−1,−1)，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′．
(1)画出平移后的三角形A′B′C′，并写出点B′，C′的坐标．
(2)请你写出由三角形ABC平移得到三角形A′B′C′的过程．
(3)连接BB′，则∠B′BC与∠C′有何关系?请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设直角三角形的两条直角边分别为x、y，
∵斜边上的中线为d，
∴斜边长为2d，
由勾股定理得，x2+y2=4d2，
∵直角三角形的面积为S，
∴12xy=S，
则2xy=4S，
则(x+y)2=4d2+4S，
∴x+y=2 d2+S，
∴这个三角形周长为：2( d2+S+d)，
故选：C．
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
2.【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，
∴∠C=90°−∠B=54°．
∵AD是Rt△ABC中斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，
∴∠ADC=180°−∠DAC−∠C=72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF=∠ADC=72°，
∴∠BED=∠BAD+∠ADF=36°+72°=108°．
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠C=90°−∠B=54°.由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC=180°−∠DAC−∠C=72°.再根据折叠的性质得出∠ADF=∠ADC=72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED=∠BAD+∠ADF=108°．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了几何变换的类型，由一个图形可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出另一个图形．
依据旋转变换、平移变换以及轴对称变换，即可将△ABC变换成△PQR，进而得出结论．
【解答】
解：①先以点A为旋转中心顺时针旋转90°，再向右平移4格，最后向上平移4格，符合题意；
②先以点O为对称中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针旋转90°，符合题意；
③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，最后以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转90°，符合题意．
综上所述，其中能将△ABC变换成△PQR的是①②③．
故选D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
由正方形的性质和平行线的性质得出∠A=90°，∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，从而得出∠AB′E=30°，得出B′E=2AE，设BE=x，得出B′E=x，AE=3−x，从而得出2(3−x)=x，解方程求出x，即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB/​/CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，
∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，
∴∠AB′E=30°，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，
∴2(3−x)=x，
解得x=2，
∴BE=2．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：由题意知，AB的长为 (5−1)2+(4−1)2=5，
故选：C．
根据AB的长为 (5−1)2+(4−1)2，计算求解即可．
本题考查了勾股定理求两点间的距离．解题的关键熟记两点间的坐标距离公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB= (x2−x1)2+(y2−y1)2．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质，坐标与图形的性质，关键是由等边三角形的性质推出BC=CD．
由A的坐标是(−2,0)，求出OA=2，由等边三角形的性质得到OC=OA=2，AC=2OA=4，BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60∘，由垂直的定义得到∠ABD=90∘，求出∠CBD=90∘−60∘=30∘，由三角形外角的性质得到∠CDB=∠ACB−∠CBD=30∘，因此∠CBD=∠CDB，推出CD=CB=4，求出OD=OC+CD=2+4=6，即可得到D的坐标．
【解答】
解：∵A的坐标是(−2,0)，
∴OA=2，
∵△ABC是等边三角形，BO⊥AC，
∴OC=OA=2，
∴AC=2OA=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60∘，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90∘，
∴∠CBD=90∘−60∘=30∘，
∴∠CDB=∠ACB−∠CBD=60∘−30∘=30∘，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CD=CB=4，
∴OD=OC+CD=2+4=6，
∴D的坐标是(6,0)．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴由角平分线的性质得DE=DB=3，
故选：A．
根据角平分线的性质即可求得．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
8.【答案】D
【解析】【解析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
由AB=AC，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得△ACD≌△ABD，△AOC≌△AOB，△OCD≌△OBD，又由EF是AC的垂直平分线，证得△OCE≌△OAE．
【解析】
解：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，
∴OC=OB，
在△ACD和△ABD中，
{C=AB∠CAD=∠BADAD=AD,
∴△ACD≌△ABD(SAS)；
在△AOC和△AOB中，
{A=OAOC=OBAC=AB
∴△OAC≌△OAB(SSS)；
同理：△COD≌△BOD，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，
在Rt△OAE和Rt△OCE中，
OA=OCOE=OE,
∴Rt△OAE≌Rt△OCE(HL)．
一共有4对，
故选D ．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，AB=AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠ABE=∠AEB=15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°．
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=12×(180∘−150∘)=15∘，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°．
故选B．
10.【答案】B
【解析】解：∵将纸片ABCD沿PR翻折得到△PC′R，
∴∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，
∵C′P/​/AB，C′R/​/AD，∠B=120°，∠D=50°，
∴∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，
∴∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，
∴∠C=180°−∠CRP−∠CPR=95°，
故选：B．
根据折叠得出∠CRP=∠C′RP，∠CPR=∠C′PR，根据平行线的性质得出∠C′RC=∠D=50°，∠C′PC=∠B=120°，求出∠CRP=∠C′RP=25°，∠CPR=∠C′PR=60°，即可得出答案．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质，能正确运用性质和定理进行推理是解此题的关键．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查坐标与图形，熟练掌握绝对值的性质、两点间距离公式等知识是解答此题的关键．
根据题意先设点C坐标为(t,2)，再用两点间距离公式表示出BC的长度，再根据绝对值的性质求解即可．
【解答】
解：∵点A(−3,2)，B(m,n)，AC/​/x轴，
∴点C的纵坐标为2，
设C(t,2)，
∴BC= m−t2+n−22
∵m，n为常数且m≠−3，
∴当t=m时，线段BC长度的最小，此时BC的值为|n−2|，
故选：A．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查动点的坐标的问题，数式规律有关知识，由点A、B、C的坐标可得出AB、BC的长度，从而可找出爬行一圈的长度，再根据2020=84×24+4即可得出当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置的坐标．
【解答】
解：∵A点坐标为(2,−2)，B点坐标为(−2,−2)，C点坐标为(−2,6)，
∴AB=2−(−2)=4，BC=6−(−2)=8，
∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=24．
∵2020=84×24+4，
∴当蚂蚁爬了2020个单位时，它所处位置在点A左边4个单位长度处，即(−2,−2)．
故选A．
13.【答案】(165,−125)
【解析】【分析】
此题考查了翻折变化(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．【解答】
解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC/​/OA，
∴∠CBO=∠BOA，
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
在△ODE和△BAE中，{∠D=∠BAO=90∘∠OED=∠BEAOE=BE，
∴△ODE≌△BAE(AAS)，
∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8−x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8−x)2，
解得：x=3，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=12OD⋅DE=12OE⋅DF，
∴DF=125，OF= 42−( 12 5 )2=165，
则D(165，−125).
故答案为(165,−125)
14.【答案】2 5− 2
【解析】解：如图，连接AF，CF，AC，
∵长方形ABCD中AB=2，BC=4，正方形AEFG的边长为1，
∴AC=2 5，AF= 2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC−AF，
∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2 5− 2，
故答案为：2 5− 2．
15.【答案】0【解析】【分析】
本题主要考查：三角形中位线性质定理，解题关键是三角形面积公式的使用．
根据三角形中位线定理得到PM=12AB=2，PN=12CD=2，△PMN的面积S=12×PN×ME=ME，进而解答即可．
【解答】
解：如图，过点M做ME⊥PN，ME是ΔPMN的高，
∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，
∴PM=12AB=2，PN=12CD=2，
∵△PMN的面积S=12×PN×ME=ME，
∵AB与CD不平行，
∴四边形ABCD不是平行四边形
∴M，N不能重合，
∴ME>0，
∵ME⩽MP=2，
∴0故答案是：016.【答案】7
【解析】解：∵MN/​/PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE=∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
DE=ECAD=BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)，
∴AE=BC，
∵AD+BC=7，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7．
故答案为7．
可判定△ADE≌△BEC，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识比较简单．
17.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
设BE=CF=x，
∴AB+BE=AC−CF，即5+x=8−x，
解得x=1.5，
∴BE=1.5．
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据直角三角形全等的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线的判定得出即可；
(2)先证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，再设BE=CF=x，根据AE=AF列方程：5+x=8−x，解方程即可解答．
18.【答案】解：(1)该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，
∵∠ABD=30°，AB=240千米，
∴AD=12AB=120(千米)，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为25×(12−4)=200(千米)．
∵120千米<200千米，
∴该城市会受到这次台风的影响；
(2)如图，以A为圆心，200为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE=AF=200千米．
∴台风影响该市持续的路程为：EF2=(2DE)2=42002−1202=3202．
∴EF=320(千米)
∴台风影响该市的持续时间为320÷20=16(小时)；
(3)∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12−(120÷25)=7.2(级)．
【解析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
(1)求是否会受到台风的影响，其实就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段．直角三角形ABD中，求得AD；再求出台风影响范围的半径即可得结论．
(2)受台风影响时，应该是以A为圆心，以台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF的长，可通过在直角三角形AED中，根据勾股定理求得DE，由此即可解．
(3)风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出是几级风．
19.【答案】解：(1)证明：在▱ABCD中，AD=BC，AD//BC，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°−∠CED，
在△CEF和△AED中，
∠CEF=∠AEDEC=AE∠ECF=∠EAD，
∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
(2)由(1)知△CEF≌△AED，
∴CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP/​/AB，
∴FP=PB，
∴CP=12AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
(3)垂直，
理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥AF于N，
∵∠NAE=∠EAM=45∘，
∴EM=EN，
在Rt△DME与Rt△FNE中，
EM=ENDE=EF
∴Rt△DME≌Rt△FNE，
∴∠ADE=∠CFE，
∵∠AOD=∠FOE，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠DAF=90∘，
∴∠DEF=90∘，
∴ED⊥EF．
【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接CE，根据题意以及全等三角形的判定证出△CEF≌△AED，即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=12AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
(3)过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥AF于N，证明Rt△DME≌Rt△FNE，即可得出结论．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵AF/​/BE，
∴∠EBA+∠BAF=180°，
∴∠CBE=∠DAF，
同理得∠BCE=∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵∠CBE=∠DAFBC=AD∠BCE=∠ADF，
∴△BCE≌△ADF(ASA)；
(2)∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，
由(1)知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE=S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，
∴ST=S12S=2．
【解析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．
(1)根据ASA证明：△BCE≌△ADF；
(2)根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED=12S▱ABCD，可得结论．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
；
(2)(−3,0)；
(3)(2,3)；
(4)(−1,−2)
【解析】【分析】
本题主要考查作图—旋转变换和平移变换，平移中的坐标变化，旋转中的坐标变化的有关知识.解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质．
(1)根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)将三个顶点分别向左平移2个单位、向下平移4个单位，再首尾顺次连接即可；
(3)根据旋转变换的概念作出旋转后的对应点，从而得出答案；
(4)连接C1C2、B1B2，交点即为所求．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标是(−3,0)；
(3)如图所示，A′即为所求，点A′坐标为(2,3)；
(4)如图所示，点P即为旋转中心，其坐标为(−1,−2)．
22.【答案】解：(1)16；
(2)连结OP
∵点P在OB的垂直平分线上，
∴PO=PB=t．
在Rt△POC中，t2=62+(8−t)2，
∴t=254．
(3)当D在x轴的正半轴上时(如图1)
由题意可知：△OBP≌△ODP．
∴PD=PB=t，
∴OD=OB= 62+82=10．
在Rt△PCD中，t2=42+(8−t)2，
解得t=5．
当D在x轴的负半轴上时(如图2)
PB=PD=t，OD=OB=10．
的Rt△PCD中，t2=162+(t−8)2．
解得t=20．
综上，t的值为5和20．

【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握各定理的应用是解题关键．
(1)利用菱形的性质得到OB=OP，利用△OBC≌△OPC，得到BC=CP，根据路程、时间、速度的关系得到t的值；
(2)根据线段垂直平分线的性质得到PO=PB=t，在Rt△POC中，利用勾股定理求得t的值；
(3)分两种情况讨论：当D在x轴的正半轴上时，当D在x轴的负半轴上时，根据勾股定理求得t的值．
【解答】
解：(1)如图
∵以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形，
∴OB=OP，
∴△OBC≌△OPC，
∴BC=CP=8，
(8+8)÷1=16，
∴t=16s时，以OB、OP为邻边的平行四边形是菱形；
故答案为16；
(2)见答案；
(3)见答案．
23.【答案】解：设∠COF=x°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COE=2∠COF=2x°，
∴∠BOD=∠COE=2x°(对顶角相等)，
∵∠COF+∠BOD=51°，
∴x°+2x°=51°，
解得x=17，
∴∠BOD=2×17°=34°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+34°=124°．
【解析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，设出未知数并根据已知条件列出方程求出∠COF是解题的关键，设∠COF=x°，根据角平分线的定义表示出∠COE，再根据对顶角相等求出∠BOD，然后列出方程求出x，从而得到∠BOD的度数，再根据垂线的定义求出∠AOB，最后根据∠AOD=∠AOB+∠BOD代入数据进行计算即可得解．
24.【答案】解：(1)对于任何时刻t，PB=(12−2t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，CB=AD=6cm，
当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，
即12−2t=6，
解得：t=3
∴当t=3秒时，△PBC为等腰直角三角形；
(2)∵AP=2tcm，DQ=tcm，QA=(6−t)cm
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．
即6−t=2t．
解得：t=2．
∴当t=2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
此时 AP=4cm，QA=4cm，
在Rt△QAP中，QP= QA2+AP2= 42+42=4 2(cm)．
【解析】(1)由矩形的性质得出∠A=∠B=90°，CB=AD=6，当PB=CB时，△PBC为等腰直角三角形，得出方程，解方程即可；
(2)由题意得出AP=2t，DQ=t，QA=6−t，当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形．得出方程，解方程求出t=2，得出AP、QA的长度，再由勾股定理求出QP即可．
本题主要考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求，
由图可知：B′(1,1)，Cˊ(3,−3)；
(2)∵点A(−3,0)的对应点是A′(−1,−1)，
∴将△ABC先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，或将△ABC先向下平移1个单位，再向右平移2个单位；
(3)∠B′BC=∠C′，
理由：根据平移的性质可知，AC与A′C′在同一直线上且B′B//A′C′，
∴∠B′BC=∠BCA，
∵∠BCA=∠B′C′A，
∴∠B′BC=∠C′．
【解析】本题主要考查了平移变换作图，平移中的坐标变化以及平行线的性质，正确得出对应点的位置是解题的关键．
(1)直接利用已知对应点位置得出平移规律，进而得出△A′B′C′的位置；
(2)直接利用平移的性质得出平移规律即可得出答案；
(3)利用平移的性质和平行线的性质分析即可得出答案．