中考数学真题分类汇编第一期专题28解直角三角形试题含解析

这是一份中考数学真题分类汇编第一期专题28解直角三角形试题含解析，共48页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1． （2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
2． （2018年湖北省宜昌市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
3. (2018四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据： ）（ ）
A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
二.填空题
1. （2018·重庆(A)·4分）如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，若厘米，则的边的长为厘米。
【考点】解直角三角形、勾股定理
【解析】 过作于。
由翻折得
【点评】 本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等
2. （2018•湖北黄石•3分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是 100（1+） 米．（结果保留根号）
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
【解答】解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，
∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
故答案为100（1+）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
3. （2018·山东泰安·3分）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 S=x2 ．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
故答案为S=x2．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4（2018·山东潍坊·3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），
所以 PQ﹣90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以 =（小时）
故答案是：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
5．（2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

6（2018·湖北省武汉· 3分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．
题号依次顺延
三.解答题

1. ．（2018•四川凉州•8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
【分析】（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根据题意列方程求解．
【解答】解：（1）理由如下：
如图，过C作CH⊥AB于H．
设CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAH=45°，∠CBA=30°．
在Rt△ACH中，AH=CH=x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC=
∴，
∵AH+HB=AB，
∴x+x=600，
解得x=≈220（米）＞200（米）．
∴MN不会穿过森林保护区．
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣5）天．
根据题意得：=（1+25%）×
解得：y=25．
经检验知：y=25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．
2. （2018•山西•8分）祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部 ， 该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱
组合而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造 型新颖，是“三晋 大 地” 的 一 种 象征 .某 数 学 “ 综 合 与 实 践 ” 小 组 的 同 学 把 “ 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 ”作 为 一 项 课 题 活 动 ，他 们 制 订 了 测 量 方 案 ，并 利 用 课 余 时 间借助该桥斜拉索 完 成了实地测量 .
测量结果如下表 .
项目
内容
课题
测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离
测 量 示 意 图
说 明 ： 两 侧 最 长 斜 拉 索 AC， BC 相 交 于 点 C， 分 别 与 桥 面 交 于 A， B 两 点 ， 且 点 A， B， C 在 同 一 竖 直 平 面 内 .
测量数据
∠ A 的 度 数
∠ B 的 度 数
AB 的长度
38°
28°
234 米
......
(1) 请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离（参考数据sin 38 0.6 ，cs 38 0.8 ，
tan 38 0.8 ， sin 28 0.5 ， cs 28 0.9 ， tan 28 0.5 ）；
(2) 该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）.
【考点】 三 角 函 数 的 应 用
【解析】
（ 1） 解： 过点 C 作 CD  AB 于点 D.
设 CD= x 米，在 Rt  ADC 中，
∠ ADC=90°， ∠ A=38°.
 AD  BD  AB  234 .  x  2x  234.
解得 x  72 .
答：斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米 .
（ 2） 解 ： 答 案 不 唯 一 ， 还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 ： 测 量 工 具 ， 计 算 过 程 ， 人 员 分 工 ， 指 导 教 师，活动感受等 .
3. （2018•山东枣庄•4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.18 米．（2018•山东枣庄•结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cs31°=0.857，tan31°=0.601】
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.18米．
故答案为：6.18．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
4（2018•四川成都•8分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：由题知： ， ， .在 中， ， ， （海里）.
在 中， ， ， （海里）.
答：还需要航行的距离 的长为20.4海里.
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用解直角三角形在Rt△ACD和Rt△BCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。
5 （2018•山东菏泽•6分）2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求差即可．
【解答】解：∵EC∥AD，
∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD=，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD﹣DB=200﹣200，
答：A、B两点间的距离为200﹣200米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
6 （2018•江西•8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点固定，当点在上左右运动时，与的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若,求的长；
(2)当点从点向右运动60时，求点在此过程中运动的路径长.
参考数据：sin50°≈0.77, cs50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14

图1 图2
【解析】 （1）如图，作OH⊥AB于H
∵OC=OB=60 ∴CH=BH
在Rt△OBH中
∵ cs∠OBC=
∴BH= OB·cs50°≈60×0.64=38.4
∴AC=AB－2BH≈120－2×38.4=43.2
∴AC的长约为43.2cm. ★★

（2）∵AC=60 ∴BC=60 ∵OC=OB=60
∴OC=OB=BC=60
∴△OBC是等边三角形
∴OC弧长=
=62.8
∴点O在此过程中运动的路径长约为62.8cm.
7．（2018·湖南省常德·7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，≈1.4）
【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1．
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cs∠A≈0.8．
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cs∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
8（2018·湖南省衡阳·8分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．
（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？
【解答】解：（1）作CP⊥AB于P，
由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，
则CP=AC=1000米；
（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，
∴BC=PC=1000米．
∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，
∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，
∴他在15分钟内能到达宾馆．
9.（2018·山东临沂·7分）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？
【分析】过B作BD⊥AC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，
理由是：过B作BD⊥AC于D，
∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，
∴求出DB长和2.1m比较即可，
设BD=xm，
∵∠A=30°，∠C=45°，
∴DC=BD=xm，AD=BD=xm，
∵AC=2（+1）m，
∴x+x=2（+1），
∴x=2，
即BD=2m＜2.1m，
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．
【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．
10（2018·山东青岛·6分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈，cs73.7°≈，tan73.7°≈
【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，
在Rt△BOM中，BM==x，
由题意得，840﹣x+x=500，
解得，x=480，
答：点O到BC的距离为480m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
11. （2018•甘肃白银，定西，武威）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图，，两地被大山阻隔，由地到地需要绕行地，若打通穿山隧道，建成，两地的直达高铁，可以缩短从地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：，）
【答案】隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 在Rt△ADC和Rt△BCD中，分别解直角三角形即可.
【解答】如图，过点C作CD⊥AB, 垂足为D,
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∵ ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640．
∴ CD=320，AD=，
∴ BD=CD=320，BC=,
∴ AC+BC=，
∴ AB=AD+BD=，
∴ 1088-864=224（公里）．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．
【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
12（2018•安徽•4分） 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
【答案】旗杆AB高约18米.
【解析】【分析】如图先证明△FDE∽△ABE，从而得，在Rt△FEA中，由tan∠AFE=，通过运算求得AB的值即可.
【详解】如图，∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°，
∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°，
∴∠FEA=90°，
∵∠FDE=∠ABE=90°，
∴△FDE∽△ABE，∴，
在Rt△FEA中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°=，
∴，
∴AB=1.8×10.02≈18，
答：旗杆AB高约18米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到是解题的关键.
13.（2018•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直，，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，上的点N位于点M的北偏东方向上，且，MN=千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.
（1）求之间的距离
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
【答案】（1）2；（2）小时.
【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；
（2）利用tan30°=，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即可得出答案．
详解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，
∵csα=，MN=2千米，
∴csα=，
解得：DM=2（km），
答：l2和l3之间的距离为2km；
（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，
∴tan30°=，
解得：AB=3（km），
可得：AC=3+2=5（km），
∵MN=2km，DM=2km，
∴DN==4（km），
则NC=DN+BM=5（km），
∴AN==10（km），
∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要小时．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键．
14（2018•株洲市）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】分析：（1）利用HL证明即可；
（2）证明△DNT∽△AMT，可得，由AT=AD，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．
详解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT=AD，
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM=．
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
15 （2018年江苏省南京市）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
【分析】在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，进而得出EF，列出方程即可得出建筑物AB的高度；
【解答】解：在Rt△CED中，∠CED=58°，
∵tan58°=，
∴DE=，
在Rt△CFD中，∠CFD=22°，
∵tan22°=，
∴DF=，
∴EF=DF﹣DE=，
同理：EF=BE﹣BF=，
∴，
解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物AB的高度约为5.9米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
16（2018年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=AC•BC
=（x+3）（x+4）
=（x2+7x+12）
=×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由AC•BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；
（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cs60°=（x+m）、BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以S△ABC=AC•BC
=（x+m）（x+n）
= [x2+（m+n）x+mn]
=（mn+mn）
=mn，
（2）由AC•BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ACG中，AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cs60°=（x+m），
∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x+m）]2+[（x+n）﹣（x+m）]2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC=BC•AG
=×（x+n）•（x+m）
= [x2+（m+n）x+mn]
=×（3mn+mn）
=mn．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点．
17（2018•株洲市）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】分析：（1）利用HL证明即可；
（2）证明△DNT∽△AMT，可得，由AT=AD，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．
详解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT=AD，
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM=．
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
18（2018年江苏省泰州市•10分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75==，设EH=4x，则FH=3x，由勾股定理求出EF==5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75==，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF==5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：（H﹣H1）==，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
19（2018年江苏省宿迁）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ， 然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300 ， 设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）
【答案】（1）解：依题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,
∴∠BPQ=30°,
（2）解：设CQ=x，
在Rt△QBC中，
∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,
∴BQ=2x，BC= x，
又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°，
∴∠PBQ=30°,
由（1）知∠BPQ=30°,
∴PQ=BQ=2x，
∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，
又∵∠A=45°，
∴AC=PC，
即3x=10+ x，
解得：x= ,
∴PQ=2x= ≈15.8（m）.
答：树PQ的高度约为15.8m.
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【解析】【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数.
（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC= x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.
20（2018•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直，，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，上的点N位于点M的北偏东方向上，且，MN=千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.
（1）求之间的距离
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
【答案】（1）2；（2）小时.
【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；
（2）利用tan30°=，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即可得出答案．
详解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，
∵csα=，MN=2千米，
∴csα=，
解得：DM=2（km），
答：l2和l3之间的距离为2km；
（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，
∴tan30°=，
解得：AB=3（km），
可得：AC=3+2=5（km），
∵MN=2km，DM=2km，
∴DN==4（km），
则NC=DN+BM=5（km），
∴AN==10（km），
∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要小时．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键．
21. （2018·新疆生产建设兵团·10分）如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．
【分析】根据在Rt△ACF中，tan∠ACF=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF=，
∴tan30°=，
∴=，
∴AF=3m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=9m，
∴AB=AD+BD=3+9（m）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22. （2018·四川宜宾·8分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义分别用x表示出HC、ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：作CH⊥AB于H，
则四边形HBDC为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
设CD=x米，则AH=（30﹣x）米，
在Rt△AHC中，HC==（30﹣x），
则BD=CH=（30﹣x），
∴ED=（30﹣x）﹣10，
在Rt△CDE中，=tan∠CED，即=，
解得，x=15﹣，
答：立柱CD的高为（15﹣）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．
23. （2018·天津·10分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.
【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
详解：如图，过点作，垂足为.
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴ .
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
24. （2018·四川自贡·8分）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
【解答】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25. （2018·浙江衢州·8分）“五•一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示，根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】解直角三角形
【分析】根据题意表示出AD，DC的长，进而得出等式求出答案．
【解答】解：如图所示：可得：∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m，则设BD=x，故DC=x．
∵AD=DC，∴200+x=x，解得：x=100（﹣1）≈73，答：小明还需沿绿道继续直走73米才能到达桥头D处．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=DC是解题的关键．
26.（2018·浙江舟山·10分）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°。当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2），根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳。
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41， ≈1.73）
【考点】等腰三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）求P上升的高度，设上升后的点P为P1 ， 即求P0P1=CP0-CP1的值，其中CP0=2，即求CP1的长度，由已知可得P1F=CF=1，且可已知求出∠C=45°，从而可得△CP1F为等腰直角三角形，由勾股定理求出CP1即可；
（2）与（1）同理即求CP2的长度，因为△CP1F为等腰三角形，由三线合一定理，作底中的垂线，根据解直角三角形的方法求出底边的长即可
【解答】（1）如图2，当点P位于初始位置P0时，CP0=2m。
如图3，10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，点P上调至P1处，
∠1=90°，∠CAB=90°，
∴∠AP1E=115°，
∴∠CPE=65°．
∵∠DP1E=20°，
∴∠CP1F=45°
∵CF=P1F=1m，
∴∠C=∠CP1F=45°，
∴△CP1F为等腰直角三角形，
∴CP1= m，
P0P1=CP0-CP1=2- ≈0.6m，
即点P需从P0上调0.6m
（2）如图4，中午12：00时，太阳光线与PE，地面都垂直，点P上调至P2处，
∴P2E∥AB
∵∠CAB=90°，
∴∠CP2E=90°
∵∠DP2E=20°，
∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°
∵CF=P2F=1m，得△CP2F为等腰三角形，
∴∠C=∠CP2F=70
过点F作FG⊥CP2于点G，
∴GP2=P2F·cs70°=1×0.34=0.34m
∴CP2=2GP2=0.68m，
∴P1P2=CP1-CP2= -0.68≈0.7
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m。
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的应用.
27（2018•广西桂林•8分）如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：，，结果精确到0.1小时）
【答案】1.0小时.
【解析】分析：延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D，通过解直角三角形BDC和ADC，求出BD、CD和AD的长，继而求出AB的长，从而可以解决问题.
详解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D
∵∠BCD=45°，BD⊥CD
∴BD=CD
在Rt△BDC中，∵cs∠BCD=，BC=60海里
即cs45°=，解得CD=海里
∴BD=CD=海里
在Rt△ADC中，∵tan∠ACD=
即 tan60°==，解得AD=海里
∵AB=AD－BD
∴AB=－=30（）海里
∵海监船A的航行速度为30海里/小时
则渔船在B处需要等待的时间为 ==≈2.45－1.41=1.04≈1.0小时
∴渔船在B处需要等待1.0小时
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
28. (2018四川省眉山市5分 ) 知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈ ,cs53°≈ ，tan53°≈ )
【答案】解：过点B作BD⊥ AC，
依题可得：
∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），
∵BD⊥ AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,
在Rt△DCB中，
∴tan∠CBD= ,
即tan53°= ，
设CD=4x，BD=3x，
∴BC=5x，
又∵AC=13，
∴AD=13-4x，
在Rt△DBA中，
∴tan∠BAD=tan60°= ,
即： ,
解得：x=4- ,
∴BC=5x=5（4- ）=20-5 （千米）.
答：B、C两地的距离为20-5 千米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点B作BD⊥ AC，根据三角形内角和结合已知条件得∠ABD=30°，∠CBD=53°,在Rt△DCB中，根据正切定义得tan∠CBD= ,即tan53°= ，由此设CD=4x，BD=3x，根据勾股定理得BC=5x，则AD=13-4x；在Rt△DBA中，根据正切定义得tan∠BAD=tan60°= ,代入数值解方程得x=4- ,又BC=5x从而求出B、C两地距离.
29．（2018年四川省内江市）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF﹣GF=1，再求得∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=30°可得AB=2BG=2．
【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．
由题意得∠BDE=α，tan∠β=．
设BF=3x，则EF=4x
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=，
∴DF===x，
∵DE=18，
∴x+4x=18．
∴x=4．
∴BF=12，
∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．
∴AB=2BG=2，
答：灯杆AB的长度为2米．
【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
30．（2018四川省泸州市8分）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．
【分析】在直角三角形中，利用余弦函数用AD表示出AE、DE，用BC表示出CE、BE．根据BC=6AD，AE+BE=AB=90m，求出AD、DE、CE的长．在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m
在Rt△ADE中，tan30°=，sin30°=
∴AE==AD，DE=2AD；
在Rt△BCE中，tan60°=，sin60°=，
∴BE==2AD，CE==4AD；
∵AE+BE=AB=90m
∴AD+2AD=90
∴AD=10（m）
∴DE=20m，CE=120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∠DEA=30°，∠CEB=60°，
∴∠DEC=90°
∴CD===20（m）
答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用及勾股定理．题目难度不大，解决本题的关键是利用BC=6AD，AE+BE=AB=90m求出AD的长．
31.（2018•河南•9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答。
如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm，低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH的长。
（结果精确到1cm，参考数据：sin82.4°≈0.991，cs82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500。sin80.3°≈0.983，cs80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）
32．（2018•湖北恩施•8分）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）
【分析】先根据题目给出的方向角．求出三角形各个内角的度数，过点B作BE⊥AC构造直角三角形．利用三角函数求出AE、BE，再求和即可．
【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，
∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，
∴∠C=45°
过点B作BE⊥AC，垂足为E．
在Rt△AEB中，
∵∠BAC=60°，AB=100米
∴AE=cs∠BAC×AB
=×100=50（米）
BE=sin∠BAC×AB
=×100=50（米）
在Rt△CEB中，
∵∠C=45°，BE=50（米）
∴CE=BE=50=86.5（米）
∴AC=AE+CE
=50+86.5
=136.5（米）
≈137米
答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．
【点评】本题考查了方向角和解直角三角形．题目难度不大，过点B作AC的垂线构造直角三角形是解决本题的关键．
33.（2018•湖北黄冈•7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度.
（第21题图）
【考点】解直角三角形的应用，三角函数.
【分析】（1）在在Rt△ABC中，利用三角函数，可求出AC的值；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形；设CD=x米，表示出DE=x米，CE=x米，得出BF=DF=AB-AF=60-x，根据DF=AE=AC+CE列解方程即可.
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=60米，∠ACB=60°，
∴AC==20米.
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，
∴AF=DE，DF=AE
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米
在Rt△BDF中，∠BDF=45°，
∴BF=DF=AB-AF=60-x（米）
∵DF=AE=AC+CE，
∴20+x=60-x
解得：x=80-120（米）
（或解：作BD的垂直平分线MN，构造30°直角三角形，由BC=40解方程可得CD=80-120）
答：（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米.
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，构造直角三角形是解本题的关键．
34．（2018•湖北荆门•10分）数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置P与岚光阁阁顶A、湖心亭B在同一铅垂面内，P与B的垂直距离为300米，A与B的垂直距离为150米，在P处测得A、B两点的俯角分别为α、β，且tanα=，tanβ=﹣1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离AB．（计算结果若含有根号，请保留根号）
【分析】过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E．
由题意得：∠PBD=β，∠PAE=α，AC=150，PD=300，
在Rt△PBD中，，
∵∠AED=∠EDC=∠ACD=90°，
∴四边形EDCA为矩形，
∴DC=EA，ED=AC=150，
∴PE=PD﹣ED=300﹣150=150，
在Rt△PEA中，，
∴
在Rt△ACB中，（米）
答：岚光阁与湖心亭之间的距离AB为450米．
【点评】此题考查了俯角的定义．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．