南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试卷(含答案)

这是一份南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知点,, 则与向量方向相同的单位向量为( )
A.B.C.D.
2．已知单位向量a，b的夹角为，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A.B.C.D.
3．计算( )
A.1B.2C.D.-3
4．P是所在平面上一点,满足,则的形状是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
5．已知,且,则等于( )
A.B.C.D.
6．已知函数在内有且仅有3个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．如图,在中,,,,,边上的两条中线,于点P,则( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐标系xOy中,,,若点是线段AB上的动点,设,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中,错误的有( )
A.单位向量都相等B.模相等的两个平行向量相等
C.若且,同向,则D.,若,,则
10．函数的( )
A.图象对称中心为B.图象对称轴方程为
C.增区间为D.最大值是1，最小值是
11．定义平面向量的一种运算,其中是与的夹角,下列说法正确的是( )
A.若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,,则
三、填空题
12．已知,,且,为锐角,则的值为_____________．
13．青花瓷（blue and white prcelain）,又称白地青花瓷,常简称青花,是中国瓷器的主流品种之一,属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪,成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为2,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为1,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则的取值范围是_________________．

四、双空题
14．如图,在中,,,D,E分别是直线AB,AC上的点,,,且,则___________．若P是线段DE上的一个动点,则的取值范围是______________．
五、解答题
15．在平面直角坐标系中,已知,.
（1）若,求实数k的值;
（2）若,求实数t的值.
16．已知,,,均为锐角．
（1）求的值;
（2）求的值．
17．已知,,是同一平面内的三个向量,其中．
（1）若,且,求的坐标;
（2）若,且与垂直,求在方向上的投影向量．
18．如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°(即)，已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且，.
(1)求两座高塔底部A，B之间的距离；
(2)为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰.政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处(点P在线段AB上)搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？
19．已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量,同时称函数为向量的伴随函数．
（1）设函数,试求的伴随向量;
（2）记向量的伴随函数为,在中,,,求的值;
（3）记向量的伴随函数为,函数,函数在区间上的最大值为,最小值为,设函数,若,求函数的值域．
20．对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称X具有性质P．
（1）设,请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
（2）若,且集合具有性质P,求x的值;
（3）若X具有性质P,且,q为常数且,求证：．
参考答案
1．答案：A
解析：由题可得：,
设与向量方向相同的单位向量为,其中,
则,解得：或（舍去）
所以与向量方向相同的单位向量为
故选：A.
2．答案：D
解析：方法一：由题意，得.对于A，；对于B，；对于C，；对于D，，所以.
方法二：不妨设，，则，，，，易知选D.
方法三：根据条件，分别作出向量b与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示.由图易知，只有选项D满足题意，故选D.
3．答案：A
解析：因为
.
故选：A.
4．答案：B
解析：由,可得,
即,即,
将等式两边平方,化简得, ,
即,因此,是直角三角形,
故选：B．
5．答案：A
解析：因为,
所以,
所以.
因为,所以,
所以.
则.
故选：A.
6．答案：A
解析：
当时,
在有且仅有3个零点,结合正弦函数图像可知,
解得：
故选：A.
7．答案：D
解析：因为,所以为直角三角形,
建立如图所示的平面直角坐标系,
则有,,,
又D,E分别为BC,AB中点,
所以,,
故,,
所以,
故选：D．
8．答案：D
解析：由已知,
,且, ,
为线段AB上的动点,则,,
,,
则．
所以,
其中,且为锐角,则,
所以时,的最大值为,
故选：D．
9．答案：ABC
解析：对于A,单位向量的方向不能确定,根据两个向量相等的概念,两向量不一定相等,故A错误;
对于B,相反向量模相等,且为平行向量,但不是相等向量,故B错误;
对于C,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小,故C错误;
对于D,因为,所以若,,则,故D正确.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：，
令，，对称中心是，A正确；
令，，，B错误；
令，，，C正确；
因为，所以，D正确.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：,其中是与的夹角,
对A：若,则,,
则,故A正确;
对B：若,则,故与的夹角为90°,
则,故B错误;
对C：若,则,故C正确;
对D：若,,则,,
,,
则,,故D错误．
故选：AC．
12．答案：
解析：,为锐角,,,
,,
,
,为锐角,,,
故答案为：．
13．答案：
解析：连接,,如图所示：
．
根据图形可知,当点M位于正六边形各边的中点时,有最小值为,此时,
当点M位于正六边形的顶点时,有最大值为2,此时,
故,即的取值范围是．
故答案为：.
14．答案：①②
解析： ,, ,,
,又,,
,
解得, , ．
设,,
,,
当时,有最小值,最小值为,
当时,有最大值,最大值为16,
故答案为：;.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
所以,,
因为,
所以,解得.
（2）,
因为,所以,
解得.
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,且为锐角,故,
则.
（2）,且,均为锐角,故,
即,
则．
17．答案：（1）或
（2）解析：（1）设,则,解得或,
所以或.
（2）与垂直, ,
,
在方向上的投影向量为．
18．答案：(1)90m
(2)在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果
解析：(1)由题知，，，，，
如图，作，垂足为E，
则四边形ABED为矩形，所以，，
设，，，则，，
，
，，(舍)，，
两座高塔底部A，B之间的距离为90m；
(2)设()，则，
当时，
所以，，
所以
，
当时，，符合上式；
当时，，符合上式.
设()，则，
所以
，
当且仅当即时，等号成立.
又因为在锐角范围内，越大，越大，
所以当时，取得最大值，此时，
在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果；
综上，两座高塔底部A，B之间的距离为90m；在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,
所以．
（2）由题意,得．
因为,又C为的内角,所以．
因为,所以,所以．
所以．
（3）由题意,得,
,,
①当时,为上的增函数,上的减函数,
所以,,
此时,;
, , ,
即可得函数的取值范围为
②当时,为的减函数,,
最小值为,
此时;
, , ,
即可得函数的取值范围为．
综上可得函数的值域为．
20．答案：（1）,X具有性质P;
（2）;
（3）证明见解析.
解析：（1）根据向量集的定义可得：
,
若,则存在,使得,
同理亦可证明对任意,也满足性质P,
故具有性质P．
（2）对任意a,,都存在c,,使得,
即对于,都存在,使得,其中a,b,c,,
因为集合具有性质P,
选取,,则有,
假设,则有,解得,这与矛盾,
假设,则有,解得,这与矛盾,
假设,则有,解得,这与矛盾,
假设,则有,解得,满足,故;
经检验,集合具有性质P．
（3）证明：取,设且满足,
由得,从而s,t异号,
-1是x中唯一负数,
s,t中一个为－1,另一个为1,故．
因为,所以,
X具有性质P,取,,
设,因为,且c,d中的正数大于等于1,
所以只能,
所以,．
又X中只有个大于1的正数,
即,
且,这个大于1的正整数都属于集合X,
所以只能,,…,
即,
即．