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粤教版 (2019)必修 第二册第二章 圆周运动第三节 生活中的圆周运动学案设计
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这是一份粤教版 (2019)必修 第二册第二章 圆周运动第三节 生活中的圆周运动学案设计，共26页。
知识点一 汽车转弯
1．汽车在水平公路上转弯
(1)汽车相当于在做圆周运动，此时的向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供。
f＝F＝mv2r。
(2)相关因素
解得汽车转弯时的速度大小
v＝frm。
从上式可知，急转弯处半径r较小，雨天路滑使最大静摩擦力Ffm减小，汽车质量m过大，这三种情况都需要在转弯时限制速度v的大小。
2．在部分公路弯道处采用外高内低的斜坡式设计
mg与FN的合力提供向心力
F＝mgtan θ＝mv2r
解得v＝grtanθ此时仅由重力和支持力的合力提供向心力。
当v＞grtanθ，静摩擦力方向向哪个方向？
提示：沿斜面向下。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车在水平面内转弯时，向心力由静摩擦力提供。( √ )
(2)汽车在斜面处转弯时，速度大小不受限制。( × )
知识点二 铁路弯道
1．火车在水平轨道上转弯
火车在弯道处实际上做圆周运动，由外侧车轮的轮缘挤压外轨，车轮受外轨的横向力作用，使火车获得转弯所需的向心力。
2．弯道处铁轨的外轨略高于内轨
火车转弯处外轨略高于内轨，巧妙地借助火车受到的支持力和重力的合力提供部分向心力，减轻轮缘对外轨的挤压。
火车转弯时圆面是沿着轨道吗？
提示：不是，是沿水平面。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)铁路弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。( × )
(2)火车转弯时的向心力一定是由重力与铁轨支持力的合力提供的。( × )
知识点三 拱形与凹形路面
汽车过拱形路面最高点及凹形路面最低点的压力分析
汽车在拱形路面速度不宜过大，不要使车脱离桥面；在凹形路面速度过大容易爆胎。
3：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车驶过拱形路面最高点时，对路面压力可能等于零。( √ )
(2)汽车过拱形或凹形路面时，向心加速度的方向都是竖直向上的。( × )
知识点四 离心现象及其应用
1．离心现象
做圆周运动的物体，在所受向心力突然消失或合力不足以提供维持圆周运动所需向心力的情况下，会做逐渐远离圆心的运动，这种现象称为离心现象。
2．应用：利用离心现象工作的机械叫作离心机械，如洗衣机的脱水筒和离心分离器。
离心现象是因为受到离心力作用吗？
提示：不是。
4：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的航天员及所有物体均处于完全失重状态。
( √ )
(2)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。( × )
1．2020年2月27日，埃及一列由亚历山大开往马特鲁的火车发生脱轨事故，造成24人受伤。火车因其载客量大、速度快等特点，一旦发生事故就会产生严重的后果。
结合我们所学的向心力的知识，思考在火车转弯时，除了垫高外轨还有哪些措施可减少脱轨事故的发生？
提示：降低转弯速度、增加弯道半径、禁止超载。
2．在电视或电影中我们经常会看到汽车高速通过一个拱桥时会一跃而起，脱离地面。试分析：
(1)这种“飞车”现象产生的原因是什么？
(2)车速到多少时才能达到这种效果呢？
提示：(1)在最高点时，由于速度太大，重力完全充当向心力，导致汽车脱离地面。
(2)v≥gR。
考点1 火车转弯问题分析
1．轨迹分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2．向心力分析
(1)若转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力。
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据弯道的半径和规定的速度，适当选择内、外轨的高度差，则按规定速度转弯时所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供。
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道侧压力。则mg tan θ＝mv0 2R，可得v0＝gRtanθ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。
4．轨道轮缘压力与火车速度的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力。
(2)当火车行驶速度v大于规定速度v0时，火车有离心运动趋势，故外轨道对轮缘有侧压力。
(3)当火车行驶速度v小于规定速度v0时，火车有向心运动趋势，故内轨道对轮缘有侧压力。
【典例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
思路点拨：1．(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
2．(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有
F＝mv2r＝105×202400 N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝mv2r
由此可得tan θ＝v2rg＝0.1。
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
[母题变式]
上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则要想火车安全通过弯道需要如何改进铁轨？
提示：速率变为原来的32倍，则由mg tan θ＝mv2R可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900 m，
若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225。
火车转弯问题的两点注意
(1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
(2)受力分析：火车转弯速率大于或小于规定速率时，火车受到三个力的作用，即重力、轨道的支持力和外轨或内轨对火车的侧向挤压力，侧向挤压力的方向沿轨道平面向里或向外，合力沿水平面指向圆心。
[跟进训练]1．铁路在弯道处的内、外轨高度是不同的，已知内、外轨所在平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于gRtanθ，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于mgcsθ
D．这时铁轨对火车的支持力大于mgcsθ
C [火车转弯时需要的向心力F＝mv2R＝mg tan θ，由受力分析可知，支持力与重力的合力正好等于向心力，故火车轮缘对内、外轨无挤压，选项A、B错误；由竖直方向受力平衡得，mg＝FNcs θ，可知选项C正确，D错误。]
考点2 汽车过拱形与凹形路面时的动力学分析
汽车过拱形与凹形路面时的动力学分析
【典例2】 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N( g取10 m/s2)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
思路点拨：解此题的关键是确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以在经过凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力最大。
[解析] (1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝mv2r
即v＝FN1m-gr＝3.0×1052.0×104-10×60 m/s
＝103 m/s＜gr＝106 m/s
故汽车在凸形桥最高点不会脱离桥面，所以最大速率为103 m/s。
(2)汽车在凸形桥面的最高点时，对桥面的压力有最小值，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝mv2r
则FN2＝mg-v2r＝2.0×104×10-30060 N＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105 N。
[答案] (1)103 m/s (2)1.0×105 N
对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
[跟进训练]
2．有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m 的拱桥。g取10 m/s2，求：
(1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力F的大小；
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v0；
(3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来。
[解析] (1)当汽车到达桥顶时，重力、支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg－F＝mv2r
解得F＝7 600 N。
(2)汽车经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空，则FN＝0，汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，有mg＝mv02r
解得v0＝105 m/s≈22.4 m/s。
(3)汽车要在地面上腾空，所受的支持力为零，重力提供向心力，则有mg＝mv'2R
解得v′＝8 000 m/s。
[答案] (1)7 600 N (2)105 m/s(或22.4 m/s) (3)8 000 m/s
考点3 对离心运动的理解
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。
2．做离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力Fn与所需向心力mv2r或mrω2的大小关系决定。
(1)若F＝mrω2(或mv2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。
(2)若F＞mrω2(或mv2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。
(3)若F＜mrω2(或mv2r)即“提供”不足，物体做离心运动。
1．产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。
2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。
4．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
【典例3】 无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相等
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度最大为gR
思路点拨：解答本题的关键是明确无缝钢管的制作原理，知道铁水做圆周运动的向心力来源，可以结合牛顿第二定律分析。
C [铁水在竖直平面内做圆周运动，重力和弹力合力的一部分提供向心力，没有离心力，故A错；铁水做圆周运动的向心力由重力和弹力的径向分力提供，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相等，故B错；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则是重力恰好提供向心力，故C对；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度不小于临界角速度即可，故D错。]
[跟进训练]
3．如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A．缓慢起动时，两个行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两个行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
B [缓慢起动时，两个箱子都应该处于受力平衡状态，箱子的运动状态不会改变，即两个行李箱会与车子保持相对静止，选项A错误；急刹车时，箱子由于惯性保持原有运动状态，因此行李箱a会相对车子向前运动，行李箱b因受到的摩擦力较大，不一定会相对车子向前移动，选项B正确；根据F向＝mv2r可知，缓慢转弯时，所需要的向心力会很小，因此静摩擦力足够提供两个行李箱转弯的向心力，所以两个行李箱会与车子保持相对静止，选项C错误；根据F向＝mv2r可知，急转弯时，行李箱b需要的向心力较大，如果行李箱b所受最大静摩擦力不足以提供向心力，则会发生离心运动，即可能会相对车子向外侧运动，选项D错误。]
1．(多选)在人们经常见到的以下现象中，属于离心现象的是( )
A．舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开
B．在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出
C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出
D．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动
ABC [裙子张开属于离心现象，故A项正确；伞上的雨水受到的力由于不够提供向心力导致水滴做离心运动，故B项正确；黄沙或石子也是因为受到的力不够提供向心力而做离心运动，故C项正确；守门员踢出足球，球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下运动，不是离心现象，故D项错误。]
2．摩托车转弯时容易发生侧滑(速度过大)或侧翻(车身倾斜角度不当)，所以除了控制速度外车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到路面沿转弯半径方向的静摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身方向(过重心)。某摩托车沿水平路面以恒定速率转弯过程中车身与路面间的夹角为θ，已知人与摩托车的总质量为m，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。则此次转弯中的向心力大小为( )
A．mgtanθ B．mg tan θ
C．μmg tan θD．μmgtanθ
A [在水平路面上转弯，向心力由沿半径方向的静摩擦力f提供，在竖直方向支持力与重力平衡，FN＝mg，已知支持力与摩擦力的合力沿车身方向，所以f＝mgtanθ，故选A。]
3．城市中为了解决交通拥堵问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg-mv12R
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR
A [由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝mv12R，解得FN＝mg-mv12R＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg-mv12R只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝mv12R，FN≥0解得v1≤gR，D错误。]
4．(新情境题，以汽车在公路上行驶为背景，考查圆周运动)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设置限速是30 m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍(g取10 m/s2)。
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车以最大速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
[解析] (1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg＝mv2r，由速度v＝30 m/s，解得弯道的最小半径r＝150 m。
(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，
有mg－FN＝mv2R
为了保证安全，路面对车的支持力FN必须大于等于零。
有mg≥mv2R，代入数据解得R≥90 m。
(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，
有mg tan θ＝mv2r'
解得tan θ＝34
故弯道路面的倾斜角度θ＝37°。
[答案] (1)150 m (2)90 m (3)37°
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．对火车转弯要做哪些安全限制？
提示：速度、载重。
2．汽车过拱形桥的向心力来源是什么？
提示：重力和支持力的合力。
3．航天员在太空处于什么状态？
提示：完全失重状态。
4．发生离心现象的原因是什么？
提示：物体所受外力不足以提供所需的向心力。
离心运动的应用
一池污水，若顺其自然靠重力沉降，往往需要几个月才能清浊分明。微粒的沉降，由于存在着分子热运动的干扰作用，靠重力作为推动力不仅极其缓慢有时甚至是不可能的。例如，在蔗糖水溶液中，蔗糖分子要沉降1 mm就需要100年。啤酒、果汁何以清澈透亮？如何从牛奶中提取奶油？如何将油田中喷出的油水混合液进行油水分离？如何将血液中的血细胞和血浆分开？究竟依靠的是何种推动力呢？
(1)离心分层现象
在一个盛有清水的圆筒形容器(转鼓)中，倒入一组同样大小的钢球和木球，然后启动电机使其绕轴高速旋转。此时，由于离心力的大小正比于物体的质量(体积相同时正比于它的密度)，所以钢球很快被甩到最外层，而木球则被推向转轴，清水则占据了“中间地带”(如图)。
可见，一旦转鼓高速转动起来，容器中的物质就会按密度分层排列。密度小者(轻相)聚集在“中央”即转轴附近，密度大者(重相)则分散在“边区”即转鼓壁附近。这种现象称为离心沉降。如果在转鼓上开满小孔，则其中的液体就会在离心力作用下通过小孔被“驱逐出境”，而固体颗粒则停留在转鼓壁面上，从而达到脱水的目的，这种现象称为离心过滤。例如，奶油的提取，啤酒、酒、果汁的澄清，污水的净化，就属于离心沉降；而煤、矿石和海盐的脱水等则属于离心过滤。
上面这个实验告诉我们，要将存在密度差的两种物体(液体或固体)高效地分离开来，可以依靠惯性离心力，它是由物体做高速转动所产生的。瑞典科学家斯维伯格和比姆斯曾使用比重力场大五万至十万倍的离心力场，高效地完成像细菌、病毒等超细微粒(直径只有万分之几乃至十万分之几毫米)的沉降，将它们从水状悬浮液中分离出来。
(2)离心分离术
啤酒何以清澈透亮？原来，这也与离心分离密切相关。在麦汁中含有一种极不稳定的冷凝固物，应尽量减少其含量才能保证成品啤酒不致出现冷混浊现象。然而这种冷凝固物的粒子极其微小，直径仅有0.1～0.5 μm，很难除净。若采用高速离心机进行处理，就比较容易实现净化。这种粒子虽然极微小，但由于它与液柤之间存在密度差，所以一旦进入强大的离心力场后，二者立即“分道扬镳”，从而可以很容易把冷凝固粒子剔除。
一种名叫“离心浇铸”的先进技术，也得益于这种分离术。当模具绕一固定轴旋转达到500 r/min时，将熔化了的金属倒入其中，夹杂在液态金属里的气体和熔渣，由于其密度远小于液态金属，因此它们将从金属里被分离出来跑向模具的空处。按此法浇铸出的金属零件密实、均匀，可以大大提高使用寿命。
离心运动实际是应用了什么？
提示：向心力、向心加速度。
课时分层作业(七) 生活中的圆周运动 离心现象及其应用
题组一 火车转弯
1．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法正确的是( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
[答案] A
2．火车以半径r＝900 m 转弯，火车质量为8×105 kg，轨道宽为l＝1.4 m，外轨比内轨高h＝14 cm，则下列说法中正确的是(当角度很小时，可以认为其正弦值近似等于正切值，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．若火车在该弯道实际运行速度为40 m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
B．若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，内轨对车轮有向外的侧压力
C．若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
D．若火车在该弯道实际运行速度为25 m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
A [若火车拐弯时不受轨道的挤压，重力和支持力的合力提供向心力，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得，mg tan θ＝mv02r，由于θ很小，则tan θ≈sin θ＝hl，由以上两式解得v0＝ghrl＝30 m/s，若火车在该弯道实际运行速度为40 m/s，则火车有向外运动的趋势，外轨对车轮有向内的侧压力，A正确；若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则轨道与车轮间没有作用力，B、C错误；若火车在该弯道实际运行速度为25 m/s，则火车有向内运动的趋势，内轨对车轮有向外的侧压力，D错误。]
题组二 汽车过拱形桥
3．如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(汽车运动速率不变)( )
A．a点 B．b点
C．c点D．d点
D [由牛顿第二定律及向心力公式可知，汽车在a、c两点，有FN＝G－mv2r＜G，即汽车在a、c两点不容易发生爆胎；同理可知，汽车在b、d两点，有FN＝G＋mv2r>G，即汽车在b、d两点容易发生爆胎，又由题图知b点所在曲线半径大，即rb＞rd，又汽车在b、d两点的速率相等，故FNb4．如图所示，当汽车通过拱形桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的34，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)( )
A．15 m/s B．25 m/s
C．30 m/sD．20 m/s
D [根据牛顿第二定律得mg－FN＝mv2r，即14mg＝mv2r，解得r＝40 m，当汽车在桥顶所受摩擦力为零时，支持力为零，有mg＝mv'2r，解得v′＝20 m/s，故选项D正确，A、B、C错误。]
5．(多选)在某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把滑铁索过江简化成如图所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离L＝80 m，绳索的最低点与A、B间的垂直距离h＝8 m，若把绳索看成是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么( )
A．人在整个绳索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
BC [人借助滑轮下滑过程中，速度大小是变化的，所以人在整个绳索上的运动不能看成匀速圆周运动，故A错误；设绳索的圆弧半径为R，由几何知识得R2＝L22＋(R－h)2，得R＝104 m，故B正确；在最低点对人进行受力分析，由牛顿第二定律得F－mg＝mv2R，解得F＝570 N，由牛顿第三定律可知，此时人对绳索的压力为570 N，此时人处于超重状态，故C正确，D错误。]
题组三 向心力的来源
6．质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置且固定在地面上，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是( )
A．所需向心力为mg＋mv2R
B．受到的摩擦力为μmv2R
C．受到的摩擦力为μmg
D．受到的合力方向斜向左上方
D [在最低点，物块所需向心力Fn＝mv2R，故A错误；根据牛顿第二定律得，物块在最低点有FN－mg＝mv2R，则FN＝mg＋mv2R，摩擦力f＝μFN＝μmg+mv2R，故B、C错误；因为物块受到重力和支持力的合力竖直向上，摩擦力水平向左，根据平行四边形定则知，物块所受的合力方向斜向左上方，故D正确。]
7．一辆汽车质量m＝2.0 t，汽车与路面的动摩擦因数为μ＝0.2，公路某转弯处半径为R＝50 m(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)，问：若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不可能是( )
A．9 m/s B．10 m/s
C．11 m/sD．8 m/s
C [汽车转弯时，静摩擦力提供向心力，要不发生侧滑：f ≤μmg；又因圆周运动有：f＝mv2R得：v≤μgR＝10 m/s，所以汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不可能是11 m/s，A、B、D不符合题意，C符合题意。]
题组四 离心现象
8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为( )
A．游客受到离心力的作用
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力大小等于重力
D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
C [游客受三个力的作用，分别为重力、与筒壁垂直的弹力和向上的静摩擦力，故A错误；因为游客的加速度位于水平方向，不存在超重或失重现象，故B错误；游客在竖直方向上受重力和静摩擦力，二力平衡，则知静摩擦力的大小等于重力的大小，故C正确；当转速增大时，弹力增大，静摩擦力不变，游客没有沿筒壁向上滑动的趋势，故D错误。]
9．飞船中的航天员需要在航天之前进行多种训练，其中如图所示是离心实验器的原理图。可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(线AB与舱底垂直)与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
[解析] 人受重力和弹力的作用，两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示。竖直方向：
FNsin 30°＝mg
得FN＝2mg
由牛顿第三定律知，人对座位的压力是其重力的2倍。
[答案] 2倍
1．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝gR，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
D [设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝mv02R，把v0＝gR代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。]
2．下列行为可以在绕地球做匀速圆周运动的“天宫二号”舱内完成的有( )
A．用台秤称量重物的质量
B．用水杯喝水
C．用沉淀法将水与沙子分离
D．给小球一个很小的初速度，小球就能在细绳拉力下在竖直面内做圆周运动
D [重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确。]
3．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛。在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，g取10 m/s2。
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度大小；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度是多少。
[解析] (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力mg和路面的支持力N′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力。则有
mg tan θ＝mv02r
所以v0＝grtanθ＝20 m/s。
(2)汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示。将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncs θ，N2＝Nsin θ，f1＝fsin θ，f2＝fcs θ
所以有mg＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为F向＝tanθ+μ1-μtanθmg
根据F向＝mv2r可得v＝155 m/s。
[答案] (1)20 m/s (2)155 m/s
4．如图所示，一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道做特技表演。若摩托车运动的速率恒为v＝20 m/s，人和车的总质量为m＝200 kg，摩托车受到的阻力是摩托车对轨道压力的k倍，且k＝0.5。摩托车通过与圆心O在同一水平面上的B点向下运动时牵引力恰好为零，摩托车车身的长度不计，重力加速度g取10 m/s2，试求：
(1)运动员完成一次圆周运动所需的时间(π取3.14)；
(2)摩托车通过最低点A时牵引力的大小。
[解析] (1)根据题意可知，摩托车通过B点时牵引力为零，此时摩托车所受摩擦阻力f与重力平衡，所以有mg＝f＝kN
根据牛顿第二定律有N＝mv2R
解得R＝20 m
运动员完成一次圆周运动所需的时间
T＝2πRv＝6.28 s。
(2)摩托车经过A点时，根据牛顿第二定律得
NA－mg＝mv2R
又fA＝kNA，
摩托车经过A点时，水平方向有FA＝fA，
联立解得FA＝3.0×103 N。
[答案] (1)6.28 s (2)3.0×103 N
学习任务
1．通过实例了解汽车经过公路弯道处时的向心力来源，能对铁路弯道、拱形与凹形路面模型进行分析。
2．了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用和危害。
3．利用生活中圆周运动实例分析，培养学生科学的态度并激发学习兴趣及爱国热情。
项目
拱形路面的最高点
凹形路面的最低点
受力分析图
向心力
G－FN＝mv2r
FN－G＝mv2r
汽车对路
面的压力
FN′＝FN＝G－mv2r
FN′＝FN＝G＋mv2r
结论
v增大时，FN′减小；当v增大至gr时，FN′＝0，此过程为失重
v增大时，FN′增大，此过程为超重
项目
汽车过拱形路面
汽车过凹形路面
受力分析
向心力的来源
Fn＝mg－FN＝mv2r
Fn＝FN－mg＝mv2r
对路面的压力
FN′＝FN＝mg－mv2r
FN′＝FN＝mg＋mv2r
超重或失重
失重
超重
讨论
(1)当v＝gr时，FN＝0，汽车将做平抛运动
(2)当0≤v＜gr时，0＜FN≤mg，v增大，FN减小
(3)当v＞gr时，汽车脱离路面，发生危险
v增大，FN、FN′增大
知识点一 汽车转弯
1．汽车在水平公路上转弯
(1)汽车相当于在做圆周运动，此时的向心力由车轮与路面间的静摩擦力f来提供。
f＝F＝mv2r。
(2)相关因素
解得汽车转弯时的速度大小
v＝frm。
从上式可知，急转弯处半径r较小，雨天路滑使最大静摩擦力Ffm减小，汽车质量m过大，这三种情况都需要在转弯时限制速度v的大小。
2．在部分公路弯道处采用外高内低的斜坡式设计
mg与FN的合力提供向心力
F＝mgtan θ＝mv2r
解得v＝grtanθ此时仅由重力和支持力的合力提供向心力。
当v＞grtanθ，静摩擦力方向向哪个方向？
提示：沿斜面向下。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车在水平面内转弯时，向心力由静摩擦力提供。( √ )
(2)汽车在斜面处转弯时，速度大小不受限制。( × )
知识点二 铁路弯道
1．火车在水平轨道上转弯
火车在弯道处实际上做圆周运动，由外侧车轮的轮缘挤压外轨，车轮受外轨的横向力作用，使火车获得转弯所需的向心力。
2．弯道处铁轨的外轨略高于内轨
火车转弯处外轨略高于内轨，巧妙地借助火车受到的支持力和重力的合力提供部分向心力，减轻轮缘对外轨的挤压。
火车转弯时圆面是沿着轨道吗？
提示：不是，是沿水平面。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)铁路弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。( × )
(2)火车转弯时的向心力一定是由重力与铁轨支持力的合力提供的。( × )
知识点三 拱形与凹形路面
汽车过拱形路面最高点及凹形路面最低点的压力分析
汽车在拱形路面速度不宜过大，不要使车脱离桥面；在凹形路面速度过大容易爆胎。
3：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)汽车驶过拱形路面最高点时，对路面压力可能等于零。( √ )
(2)汽车过拱形或凹形路面时，向心加速度的方向都是竖直向上的。( × )
知识点四 离心现象及其应用
1．离心现象
做圆周运动的物体，在所受向心力突然消失或合力不足以提供维持圆周运动所需向心力的情况下，会做逐渐远离圆心的运动，这种现象称为离心现象。
2．应用：利用离心现象工作的机械叫作离心机械，如洗衣机的脱水筒和离心分离器。
离心现象是因为受到离心力作用吗？
提示：不是。
4：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的航天员及所有物体均处于完全失重状态。
( √ )
(2)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。( × )
1．2020年2月27日，埃及一列由亚历山大开往马特鲁的火车发生脱轨事故，造成24人受伤。火车因其载客量大、速度快等特点，一旦发生事故就会产生严重的后果。
结合我们所学的向心力的知识，思考在火车转弯时，除了垫高外轨还有哪些措施可减少脱轨事故的发生？
提示：降低转弯速度、增加弯道半径、禁止超载。
2．在电视或电影中我们经常会看到汽车高速通过一个拱桥时会一跃而起，脱离地面。试分析：
(1)这种“飞车”现象产生的原因是什么？
(2)车速到多少时才能达到这种效果呢？
提示：(1)在最高点时，由于速度太大，重力完全充当向心力，导致汽车脱离地面。
(2)v≥gR。
考点1 火车转弯问题分析
1．轨迹分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面。火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
2．向心力分析
(1)若转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力。
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据弯道的半径和规定的速度，适当选择内、外轨的高度差，则按规定速度转弯时所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供。
3．规定速度分析
若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道侧压力。则mg tan θ＝mv0 2R，可得v0＝gRtanθ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)。
4．轨道轮缘压力与火车速度的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，内、外轨道对轮缘都没有侧压力。
(2)当火车行驶速度v大于规定速度v0时，火车有离心运动趋势，故外轨道对轮缘有侧压力。
(3)当火车行驶速度v小于规定速度v0时，火车有向心运动趋势，故内轨道对轮缘有侧压力。
【典例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
思路点拨：1．(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。
2．(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有
F＝mv2r＝105×202400 N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝mv2r
由此可得tan θ＝v2rg＝0.1。
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
[母题变式]
上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则要想火车安全通过弯道需要如何改进铁轨？
提示：速率变为原来的32倍，则由mg tan θ＝mv2R可知：
若只改变轨道半径，则R′变为900 m，
若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225。
火车转弯问题的两点注意
(1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
(2)受力分析：火车转弯速率大于或小于规定速率时，火车受到三个力的作用，即重力、轨道的支持力和外轨或内轨对火车的侧向挤压力，侧向挤压力的方向沿轨道平面向里或向外，合力沿水平面指向圆心。
[跟进训练]1．铁路在弯道处的内、外轨高度是不同的，已知内、外轨所在平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于gRtanθ，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于mgcsθ
D．这时铁轨对火车的支持力大于mgcsθ
C [火车转弯时需要的向心力F＝mv2R＝mg tan θ，由受力分析可知，支持力与重力的合力正好等于向心力，故火车轮缘对内、外轨无挤压，选项A、B错误；由竖直方向受力平衡得，mg＝FNcs θ，可知选项C正确，D错误。]
考点2 汽车过拱形与凹形路面时的动力学分析
汽车过拱形与凹形路面时的动力学分析
【典例2】 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N( g取10 m/s2)，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
思路点拨：解此题的关键是确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以在经过凹形桥面最低点时，汽车对桥面的压力最大。
[解析] (1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝mv2r
即v＝FN1m-gr＝3.0×1052.0×104-10×60 m/s
＝103 m/s＜gr＝106 m/s
故汽车在凸形桥最高点不会脱离桥面，所以最大速率为103 m/s。
(2)汽车在凸形桥面的最高点时，对桥面的压力有最小值，由牛顿第二定律得
mg－FN2＝mv2r
则FN2＝mg-v2r＝2.0×104×10-30060 N＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面最高点汽车对桥面的压力为1.0×105 N。
[答案] (1)103 m/s (2)1.0×105 N
对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
[跟进训练]
2．有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m 的拱桥。g取10 m/s2，求：
(1)若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，桥对汽车的支持力F的大小；
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，汽车此时的速度大小v0；
(3)已知地球半径R＝6 400 km，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气的影响，也不考虑地球自转，那它开到多快时就可以“飞”起来。
[解析] (1)当汽车到达桥顶时，重力、支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mg－F＝mv2r
解得F＝7 600 N。
(2)汽车经过桥顶时恰好对桥没有压力而腾空，则FN＝0，汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，有mg＝mv02r
解得v0＝105 m/s≈22.4 m/s。
(3)汽车要在地面上腾空，所受的支持力为零，重力提供向心力，则有mg＝mv'2R
解得v′＝8 000 m/s。
[答案] (1)7 600 N (2)105 m/s(或22.4 m/s) (3)8 000 m/s
考点3 对离心运动的理解
1．离心运动的实质
离心现象的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的倾向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用。从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来。
2．做离心运动的条件
做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力。
3．离心运动、近心运动的判断
如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的合力Fn与所需向心力mv2r或mrω2的大小关系决定。
(1)若F＝mrω2(或mv2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。
(2)若F＞mrω2(或mv2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。
(3)若F＜mrω2(或mv2r)即“提供”不足，物体做离心运动。
1．产生离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”。
2．做离心运动的物体是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，而不是沿半径方向飞出去。
4．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器，洗衣机的脱水筒，离心制管技术。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶，转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
【典例3】 无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力大小相等
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度最大为gR
思路点拨：解答本题的关键是明确无缝钢管的制作原理，知道铁水做圆周运动的向心力来源，可以结合牛顿第二定律分析。
C [铁水在竖直平面内做圆周运动，重力和弹力合力的一部分提供向心力，没有离心力，故A错；铁水做圆周运动的向心力由重力和弹力的径向分力提供，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相等，故B错；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则是重力恰好提供向心力，故C对；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度不小于临界角速度即可，故D错。]
[跟进训练]
3．如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A．缓慢起动时，两个行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两个行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
B [缓慢起动时，两个箱子都应该处于受力平衡状态，箱子的运动状态不会改变，即两个行李箱会与车子保持相对静止，选项A错误；急刹车时，箱子由于惯性保持原有运动状态，因此行李箱a会相对车子向前运动，行李箱b因受到的摩擦力较大，不一定会相对车子向前移动，选项B正确；根据F向＝mv2r可知，缓慢转弯时，所需要的向心力会很小，因此静摩擦力足够提供两个行李箱转弯的向心力，所以两个行李箱会与车子保持相对静止，选项C错误；根据F向＝mv2r可知，急转弯时，行李箱b需要的向心力较大，如果行李箱b所受最大静摩擦力不足以提供向心力，则会发生离心运动，即可能会相对车子向外侧运动，选项D错误。]
1．(多选)在人们经常见到的以下现象中，属于离心现象的是( )
A．舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开
B．在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出
C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出
D．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动
ABC [裙子张开属于离心现象，故A项正确；伞上的雨水受到的力由于不够提供向心力导致水滴做离心运动，故B项正确；黄沙或石子也是因为受到的力不够提供向心力而做离心运动，故C项正确；守门员踢出足球，球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下运动，不是离心现象，故D项错误。]
2．摩托车转弯时容易发生侧滑(速度过大)或侧翻(车身倾斜角度不当)，所以除了控制速度外车手要将车身倾斜一个适当角度，使车轮受到路面沿转弯半径方向的静摩擦力与路面对车支持力的合力沿车身方向(过重心)。某摩托车沿水平路面以恒定速率转弯过程中车身与路面间的夹角为θ，已知人与摩托车的总质量为m，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。则此次转弯中的向心力大小为( )
A．mgtanθ B．mg tan θ
C．μmg tan θD．μmgtanθ
A [在水平路面上转弯，向心力由沿半径方向的静摩擦力f提供，在竖直方向支持力与重力平衡，FN＝mg，已知支持力与摩擦力的合力沿车身方向，所以f＝mgtanθ，故选A。]
3．城市中为了解决交通拥堵问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg-mv12R
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR
A [由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝mv12R，解得FN＝mg-mv12R＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg-mv12R只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝mv12R，FN≥0解得v1≤gR，D错误。]
4．(新情境题，以汽车在公路上行驶为背景，考查圆周运动)在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设置限速是30 m/s。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍(g取10 m/s2)。
(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上转弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速公路上设计了圆弧拱桥作立交桥，要使汽车能够安全通过(不起飞)圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
(3)如果弯道的路面设计为倾斜(外高内低)，弯道半径为120 m，要使汽车以最大速度通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？
[解析] (1)汽车在水平路面上转弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其最大向心力等于车与路面间的最大静摩擦力，有0.6mg＝mv2r，由速度v＝30 m/s，解得弯道的最小半径r＝150 m。
(2)汽车过拱桥，可看成在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，
有mg－FN＝mv2R
为了保证安全，路面对车的支持力FN必须大于等于零。
有mg≥mv2R，代入数据解得R≥90 m。
(3)设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，
有mg tan θ＝mv2r'
解得tan θ＝34
故弯道路面的倾斜角度θ＝37°。
[答案] (1)150 m (2)90 m (3)37°
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．对火车转弯要做哪些安全限制？
提示：速度、载重。
2．汽车过拱形桥的向心力来源是什么？
提示：重力和支持力的合力。
3．航天员在太空处于什么状态？
提示：完全失重状态。
4．发生离心现象的原因是什么？
提示：物体所受外力不足以提供所需的向心力。
离心运动的应用
一池污水，若顺其自然靠重力沉降，往往需要几个月才能清浊分明。微粒的沉降，由于存在着分子热运动的干扰作用，靠重力作为推动力不仅极其缓慢有时甚至是不可能的。例如，在蔗糖水溶液中，蔗糖分子要沉降1 mm就需要100年。啤酒、果汁何以清澈透亮？如何从牛奶中提取奶油？如何将油田中喷出的油水混合液进行油水分离？如何将血液中的血细胞和血浆分开？究竟依靠的是何种推动力呢？
(1)离心分层现象
在一个盛有清水的圆筒形容器(转鼓)中，倒入一组同样大小的钢球和木球，然后启动电机使其绕轴高速旋转。此时，由于离心力的大小正比于物体的质量(体积相同时正比于它的密度)，所以钢球很快被甩到最外层，而木球则被推向转轴，清水则占据了“中间地带”(如图)。
可见，一旦转鼓高速转动起来，容器中的物质就会按密度分层排列。密度小者(轻相)聚集在“中央”即转轴附近，密度大者(重相)则分散在“边区”即转鼓壁附近。这种现象称为离心沉降。如果在转鼓上开满小孔，则其中的液体就会在离心力作用下通过小孔被“驱逐出境”，而固体颗粒则停留在转鼓壁面上，从而达到脱水的目的，这种现象称为离心过滤。例如，奶油的提取，啤酒、酒、果汁的澄清，污水的净化，就属于离心沉降；而煤、矿石和海盐的脱水等则属于离心过滤。
上面这个实验告诉我们，要将存在密度差的两种物体(液体或固体)高效地分离开来，可以依靠惯性离心力，它是由物体做高速转动所产生的。瑞典科学家斯维伯格和比姆斯曾使用比重力场大五万至十万倍的离心力场，高效地完成像细菌、病毒等超细微粒(直径只有万分之几乃至十万分之几毫米)的沉降，将它们从水状悬浮液中分离出来。
(2)离心分离术
啤酒何以清澈透亮？原来，这也与离心分离密切相关。在麦汁中含有一种极不稳定的冷凝固物，应尽量减少其含量才能保证成品啤酒不致出现冷混浊现象。然而这种冷凝固物的粒子极其微小，直径仅有0.1～0.5 μm，很难除净。若采用高速离心机进行处理，就比较容易实现净化。这种粒子虽然极微小，但由于它与液柤之间存在密度差，所以一旦进入强大的离心力场后，二者立即“分道扬镳”，从而可以很容易把冷凝固粒子剔除。
一种名叫“离心浇铸”的先进技术，也得益于这种分离术。当模具绕一固定轴旋转达到500 r/min时，将熔化了的金属倒入其中，夹杂在液态金属里的气体和熔渣，由于其密度远小于液态金属，因此它们将从金属里被分离出来跑向模具的空处。按此法浇铸出的金属零件密实、均匀，可以大大提高使用寿命。
离心运动实际是应用了什么？
提示：向心力、向心加速度。
课时分层作业(七) 生活中的圆周运动 离心现象及其应用
题组一 火车转弯
1．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法正确的是( )
A．仅内轨对车轮有侧压力
B．仅外轨对车轮有侧压力
C．内、外轨对车轮都有侧压力
D．内、外轨对车轮均无侧压力
[答案] A
2．火车以半径r＝900 m 转弯，火车质量为8×105 kg，轨道宽为l＝1.4 m，外轨比内轨高h＝14 cm，则下列说法中正确的是(当角度很小时，可以认为其正弦值近似等于正切值，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．若火车在该弯道实际运行速度为40 m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
B．若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，内轨对车轮有向外的侧压力
C．若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
D．若火车在该弯道实际运行速度为25 m/s，外轨对车轮有向内的侧压力
A [若火车拐弯时不受轨道的挤压，重力和支持力的合力提供向心力，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得，mg tan θ＝mv02r，由于θ很小，则tan θ≈sin θ＝hl，由以上两式解得v0＝ghrl＝30 m/s，若火车在该弯道实际运行速度为40 m/s，则火车有向外运动的趋势，外轨对车轮有向内的侧压力，A正确；若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则轨道与车轮间没有作用力，B、C错误；若火车在该弯道实际运行速度为25 m/s，则火车有向内运动的趋势，内轨对车轮有向外的侧压力，D错误。]
题组二 汽车过拱形桥
3．如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(汽车运动速率不变)( )
A．a点 B．b点
C．c点D．d点
D [由牛顿第二定律及向心力公式可知，汽车在a、c两点，有FN＝G－mv2r＜G，即汽车在a、c两点不容易发生爆胎；同理可知，汽车在b、d两点，有FN＝G＋mv2r>G，即汽车在b、d两点容易发生爆胎，又由题图知b点所在曲线半径大，即rb＞rd，又汽车在b、d两点的速率相等，故FNb
A．15 m/s B．25 m/s
C．30 m/sD．20 m/s
D [根据牛顿第二定律得mg－FN＝mv2r，即14mg＝mv2r，解得r＝40 m，当汽车在桥顶所受摩擦力为零时，支持力为零，有mg＝mv'2r，解得v′＝20 m/s，故选项D正确，A、B、C错误。]
5．(多选)在某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把滑铁索过江简化成如图所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离L＝80 m，绳索的最低点与A、B间的垂直距离h＝8 m，若把绳索看成是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s(g取10 m/s2)，那么( )
A．人在整个绳索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
BC [人借助滑轮下滑过程中，速度大小是变化的，所以人在整个绳索上的运动不能看成匀速圆周运动，故A错误；设绳索的圆弧半径为R，由几何知识得R2＝L22＋(R－h)2，得R＝104 m，故B正确；在最低点对人进行受力分析，由牛顿第二定律得F－mg＝mv2R，解得F＝570 N，由牛顿第三定律可知，此时人对绳索的压力为570 N，此时人处于超重状态，故C正确，D错误。]
题组三 向心力的来源
6．质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置且固定在地面上，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是( )
A．所需向心力为mg＋mv2R
B．受到的摩擦力为μmv2R
C．受到的摩擦力为μmg
D．受到的合力方向斜向左上方
D [在最低点，物块所需向心力Fn＝mv2R，故A错误；根据牛顿第二定律得，物块在最低点有FN－mg＝mv2R，则FN＝mg＋mv2R，摩擦力f＝μFN＝μmg+mv2R，故B、C错误；因为物块受到重力和支持力的合力竖直向上，摩擦力水平向左，根据平行四边形定则知，物块所受的合力方向斜向左上方，故D正确。]
7．一辆汽车质量m＝2.0 t，汽车与路面的动摩擦因数为μ＝0.2，公路某转弯处半径为R＝50 m(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)，问：若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不可能是( )
A．9 m/s B．10 m/s
C．11 m/sD．8 m/s
C [汽车转弯时，静摩擦力提供向心力，要不发生侧滑：f ≤μmg；又因圆周运动有：f＝mv2R得：v≤μgR＝10 m/s，所以汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不可能是11 m/s，A、B、D不符合题意，C符合题意。]
题组四 离心现象
8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，是因为( )
A．游客受到离心力的作用
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力大小等于重力
D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
C [游客受三个力的作用，分别为重力、与筒壁垂直的弹力和向上的静摩擦力，故A错误；因为游客的加速度位于水平方向，不存在超重或失重现象，故B错误；游客在竖直方向上受重力和静摩擦力，二力平衡，则知静摩擦力的大小等于重力的大小，故C正确；当转速增大时，弹力增大，静摩擦力不变，游客没有沿筒壁向上滑动的趋势，故D错误。]
9．飞船中的航天员需要在航天之前进行多种训练，其中如图所示是离心实验器的原理图。可以用此实验研究过荷对人体的影响，测定人体的抗荷能力。离心试验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB(线AB与舱底垂直)与水平杆成30°角，则被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
[解析] 人受重力和弹力的作用，两个力的合力提供向心力，受力分析如图所示。竖直方向：
FNsin 30°＝mg
得FN＝2mg
由牛顿第三定律知，人对座位的压力是其重力的2倍。
[答案] 2倍
1．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示。顶部有一物体A，现给它一个水平初速度v0＝gR，则物体将( )
A．沿球面下滑至M点
B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
D [设在顶部物体A受到半圆球对它的作用力为F，由牛顿第二定律得mg－F＝mv02R，把v0＝gR代入得F＝0。说明物体只受重力作用，又因物体有水平初速度v0，故物体做平抛运动，D正确。]
2．下列行为可以在绕地球做匀速圆周运动的“天宫二号”舱内完成的有( )
A．用台秤称量重物的质量
B．用水杯喝水
C．用沉淀法将水与沙子分离
D．给小球一个很小的初速度，小球就能在细绳拉力下在竖直面内做圆周运动
D [重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量重物的质量，故A错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B错误；沙子处于完全失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D正确。]
3．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛。在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料。若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m，路面倾角为θ，且tan θ＝0.4，g取10 m/s2。
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度大小；
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度是多少。
[解析] (1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力mg和路面的支持力N′两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力。则有
mg tan θ＝mv02r
所以v0＝grtanθ＝20 m/s。
(2)汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示。将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncs θ，N2＝Nsin θ，f1＝fsin θ，f2＝fcs θ
所以有mg＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为F向＝tanθ+μ1-μtanθmg
根据F向＝mv2r可得v＝155 m/s。
[答案] (1)20 m/s (2)155 m/s
4．如图所示，一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道做特技表演。若摩托车运动的速率恒为v＝20 m/s，人和车的总质量为m＝200 kg，摩托车受到的阻力是摩托车对轨道压力的k倍，且k＝0.5。摩托车通过与圆心O在同一水平面上的B点向下运动时牵引力恰好为零，摩托车车身的长度不计，重力加速度g取10 m/s2，试求：
(1)运动员完成一次圆周运动所需的时间(π取3.14)；
(2)摩托车通过最低点A时牵引力的大小。
[解析] (1)根据题意可知，摩托车通过B点时牵引力为零，此时摩托车所受摩擦阻力f与重力平衡，所以有mg＝f＝kN
根据牛顿第二定律有N＝mv2R
解得R＝20 m
运动员完成一次圆周运动所需的时间
T＝2πRv＝6.28 s。
(2)摩托车经过A点时，根据牛顿第二定律得
NA－mg＝mv2R
又fA＝kNA，
摩托车经过A点时，水平方向有FA＝fA，
联立解得FA＝3.0×103 N。
[答案] (1)6.28 s (2)3.0×103 N
学习任务
1．通过实例了解汽车经过公路弯道处时的向心力来源，能对铁路弯道、拱形与凹形路面模型进行分析。
2．了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用和危害。
3．利用生活中圆周运动实例分析，培养学生科学的态度并激发学习兴趣及爱国热情。
项目
拱形路面的最高点
凹形路面的最低点
受力分析图
向心力
G－FN＝mv2r
FN－G＝mv2r
汽车对路
面的压力
FN′＝FN＝G－mv2r
FN′＝FN＝G＋mv2r
结论
v增大时，FN′减小；当v增大至gr时，FN′＝0，此过程为失重
v增大时，FN′增大，此过程为超重
项目
汽车过拱形路面
汽车过凹形路面
受力分析
向心力的来源
Fn＝mg－FN＝mv2r
Fn＝FN－mg＝mv2r
对路面的压力
FN′＝FN＝mg－mv2r
FN′＝FN＝mg＋mv2r
超重或失重
失重
超重
讨论
(1)当v＝gr时，FN＝0，汽车将做平抛运动
(2)当0≤v＜gr时，0＜FN≤mg，v增大，FN减小
(3)当v＞gr时，汽车脱离路面，发生危险
v增大，FN、FN′增大
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