专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）

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【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】
【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】
【题型3 点面距离（体积求算）问题】
【题型4 线面夹角问题（两大法）】
【题型5 面面夹角问题（两大法）】
基础工具：法向量的求算
待定系数法：步骤如下：
①设出平面的法向量为．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，．
③根据法向量的定义建立关于的方程组
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．
秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.
特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.
：线面平行问题
线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）
：中位线型
如图 = 1 \* GB2 ⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.
分析：
：构造平行四边形
如图 = 2 \* GB2 ⑵, 平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.
分析：过点作//交于， 就是平面
与平面的交线，那么只要证明//即可。
：作辅助面使两个平面是平行
如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形， 为的中点，为的中点，证明：直线
分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。
：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．

如图 = 5 \* GB2 ⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；
（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
如图 = 6 \* GB2 ⑹，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面；
分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，．
因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）
则：=0因此，所以平面．
如图，三棱柱中，为底面的重心，．
(1)求证：∥平面；
(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值．
如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.
(1)求证：平面；
(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．

(1)若，证明：平面；
(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．
1．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
求证：平面；
2．如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点．
求证：//平面；
3．如图，在四棱锥中，平面，，，．

(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．
求证：当为中点时，平面；
5．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.
证明：平面，且；
6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．

求证：平面；
7．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，.
(1)证明：四边形ABCD为菱形；
(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行.
8．如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．

证明：平面；
线面垂直问题（勾股定理妙解）
必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直
②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直
③等腰三角形三线合一，三线与底垂直
④直径所对的圆周角为直角 ⑤菱形和正方形：对角线互相垂直
⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系
要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可
如：要证平面；
第一步：表示,表示（）中的两个
第二步：
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
求证：平面．
如图，在三棱柱中，平面，.
求证：平面；
三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
求证：平面．
1．在长方体中， 是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.

求证：平面
2．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．
证明：．
3．如图，在三棱台中，平面平面.
证明：平面；
4．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．
(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；
(2)证明：平面平面；
5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，，．
求证：平面平面；
6．如图，四棱锥，平面平面为中点．
证明：平面平面；
7．如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．
求证：平面平面；
8．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点．
求证：平面平面；
点面距离问题
结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》
结论2：《点面距离》结论3：《线面距离》
结论4：《面面距离》
结论5：《点点距离》
在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为
在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )
已知正方形的边长为1，平面，且，，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线到平面的距离.
1．如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形.
(1)求证:平面 平面
(2)若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离.
2．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
3．如图，在直三棱柱形木料中，为上底面上一点．
(1)经过点在上底面上画一条直线与垂直，应该如何画线，请说明理由；
(2)若，，，为的中点，求点到平面的距离．
4．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求点B到平面的距离．
5．图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱上，，.
(1)证明：；
(2)求点C到平面的距离.
6．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
(1)求与平面所成角的正切值；
(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
7．如图，在四棱锥中，，，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)已知，且，求点D到平面的距离．
8．如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点到平面的距离．
线面夹角问题（两大法）
结论1：异面直线所成角
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出
关键是求出及与
结论2：线面角
结论：{点面距离（往往用等体积法计算），线自身长度}
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为正三角形，.
求直线与平面所成角的大小；
四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
求与平面所成的角的正切值；
如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.
求直线与平面所成的角的大小.
在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为______________．
1．如图，在几何体中，为等腰梯形，为矩形，，，，，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
2．如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
3．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.

(1)证明：.
(2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积.
4．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
5．如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)求MC与平面所成角的正弦值.
6．如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.

(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
7．如图，在三棱台中，平面，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角正弦值.
8．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
(1)证明：直线平面；
(2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
面面夹角问题（两大法）
结论：二面角的平面角
提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负.
结论：任意二面角的平面角满足如（）
注意：为原图上的点，而分子_则是点在面的投影点
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.
求二面角的余弦值.
如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.
求二面角-BD-的平面角的余弦值.
四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点.
求二面角A-PD-C的正弦值.
1．如图，三棱台中，是边长为2的等边三角形，四边形是等腰梯形，且为的中点.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.
2．如图，在三棱锥中，．

(1)证明：平面平面；
(2)若是线段上的点，且，求二面角的正切值．
3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.

(1)求点到平面的距离；
(2)求二面角的正切值.
4．如图，在正四面体中，是棱的两个三等分点．
(1)证明：；
(2)求出二面角的平面角中最大角的余弦值．
5．如图，已知平面与底面所成角为，且．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
6．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．

(1)证明：；
(2)若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．
7．如图，在三棱柱中，平面是线段上的一个动点，分别是线段的中点，记平面与平面的交线为.
(1)求证：；
(2)当二面角的大小为时，求.
8．如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上.
(1)求二面角的正切值；
(2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.