2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点CB．AC＝EC
C．∠BCA＝∠DCED．点D是AC中点
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
5．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）
A．a+bB．a﹣bC．2a+bD．2a﹣b
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝ °．
8．如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 ．
9．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别是（6，1）、（2，4），则点B的坐标是 ．
10．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 cm2．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED＝26°，则∠C的度数为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF＝3，则AD的长为 ．
13．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 ．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，连接EO并延长，交BC于点F．若AB＝5，OE＝2，则四边形CDEF的周长是 ．
15．如图，将矩形ABCD对折，折痕为MN，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使得点B刚好落在MN上的点F处，此时FE＝FN，若AB＝cm，则BC＝ cm．
16．如图，正方形ABCD的边长是8，点E在DC上，点F在AC上，∠BFE＝90°，若CE＝2．则AF的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．
已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线．
求证： ．
证明：
18．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；
（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为 ．
19．如图，在▱ABCD中，E，F位于BC，AD上，AE，CF分别平分∠BAC，∠DCA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件 时，四边形AECF是矩形．
20．如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
（1）证明：四边形EFGH为平行四边形．
（2）若四边形ABCD是矩形，且其面积是7cm2，则四边形EFGH的面积是 cm2．
21．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 （填写满足要求的所有条件的序号）．
22．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD的中点，AB＝5．求FH的长．
23．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．
（1）求证：BE＝FG；
（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．
24．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；
（2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论： ．
25．如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．
要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法．
26．数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系是 ．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．
（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；
（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．科克曲线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
3．△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点CB．AC＝EC
C．∠BCA＝∠DCED．点D是AC中点
【分析】根据旋转的定义及性质即可求解．
解：∵△EDC是由△ABC绕点C旋转得到的，且点D落在AC边上，
∴旋转中心是点C，AC＝CE，∠BCA＝∠ECD，点D不一定AC的中点，
∴A、B、C结论正确，D结论错误．
故选：D．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】由三角形中位线定理知：AB＝2DE＝10．结合已知条件可以推知AF＝AD＝7，所以由图形得到BF＝AB﹣AD．
解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，
∴AF＝AD＝7．
在△ABC中，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝10．
∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F”得到AF＝AD＝7是解题的突破口．
5．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）
A．a+bB．a﹣bC．2a+bD．2a﹣b
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT＝S△DKN＝a即可解决问题．
解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN＝∠MDT＝90°，
∴∠KDM＝∠NDT，
∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM＝S△DNT，
∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，
∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③
【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到BE＝AB，CF＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；推导出△ADG不是等边三角形，进而得到∠EAG≠30°，故③错误；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE＝BE，根据全等三角形的性质得到BC＝AH＝AD，由AG是斜边的中线，得到AG＝DH＝AD，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF．故④正确．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故③错误；
∵CE⊥DF，
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，如图，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠OAB＝65°，则∠BOC＝ 130 °．
【分析】由矩形的性质得OA＝OB，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝65°，然后由三角形的外角性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝65°，
∴∠BOC＝∠OAB+∠OBA＝65°+65°＝130°，
故答案为：130．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质，由等腰三角形的性质得出∠OBA＝∠OAB＝65°是解题的关键．
8．如图，两条宽都为的纸条交叉成60°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 ．
【分析】如图，重叠四边形为ABCD，作AE⊥CD交CD于E，CF⊥AD交AD于F，首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后在Rt△ADE中，利用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出DE和AD，再根据平行四边形的面积公式计算即可．
解：如图，重叠四边形为ABCD，作AE⊥CD交CD于E，CF⊥AD交AD于F，
由题意得：AB∥CD，AD∥BC，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由对顶角相等可知∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE，
在Rt△ADE中，AD2＝DE2+AE2，
∴4DE2＝DE2+3，
∴DE＝1，
∴AD＝2DE＝2，
∴重叠四边形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握含30°直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C的坐标分别是（6，1）、（2，4），则点B的坐标是 （8，5） ．
【分析】根据平行四边形的性质利用平移规律求得答案即可．
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥CB，且OA＝CB，
∵点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（6，1），
∴相当于将点O向右平移6个单位，向上平移1个单位，
∴点C（2，4）向右平移6个单位，向上平移1个单位为（8，5），
故答案为：（8，5）．
【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到平移规律，难度不大．
10．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是 120 cm2．
【分析】已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积．
解：由题意可得，AD＝13cm，OA＝12cm，
根据勾股定理可得，OD＝5cm，则BD＝10cm，则它的面积是24×10×＝120cm2．
故答案为：120．
【点评】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED＝26°，则∠C的度数为 52° ．
【分析】根据平行四边形对边平行、对角相等得出AB∥CD，∠DAB＝∠C，从而知∠AED＝∠BAE＝26°，再利用角平分线的性质可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠DAB＝∠C，
∴∠AED＝∠BAE＝26°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAE＝52°，
∴∠C＝52°，
故答案为：52°．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC的中点，连接EF，若EF＝3，则AD的长为 6 ．
【分析】由题意知，EF是△ACD的中位线，则，CD＝6，由∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，可知AD＝CD，进而可得结果．
解：∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴，
∴CD＝6，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC的面积是 12 ．
【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝3，
∴BC＝GH＝3+3＝6，
∴△ABC的边BC上的高为4，
∴S△ABC＝×6×4＝12，
解法二：证明△ABC的面积＝矩形BCHG的面积，可得结论．
故答案为：12．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，连接EO并延长，交BC于点F．若AB＝5，OE＝2，则四边形CDEF的周长是 14 ．
【分析】根据菱形的性质证明△OAE≌△OCF，得OE＝OF＝2，AE＝CF，进而可以 解决问题．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC＝AB＝5，
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OE＝OF＝2，AE＝CF，
∴四边形CDEF的周长＝CF+EF+DE+CD＝AE+EF+DE+CD＝AD+EF+CD＝5+4+5＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△OAE≌△OCF．
15．如图，将矩形ABCD对折，折痕为MN，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使得点B刚好落在MN上的点F处，此时FE＝FN，若AB＝cm，则BC＝ cm．
【分析】由折叠可得出△ABF为等边三角形，再分别Rt△ABE，Rt△EFG中根据30°直角三角形的性质求出BE，FC的长，最后根据BC＝BE+EG+GC求解即可．
解：如图，连接BF，过点F作FG⊥BC于G，则四边形CNFG为矩形，
∴GC＝FN，
由折叠可知△ABE≌△AFE，MN为矩形的对称轴，
∴AB＝AF，BE＝EF，∠BAE＝∠FAE，∠AEB＝∠AEF，AF＝BF，
∴AB＝AF＝BF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF＝60°，
∴∠BAF＝∠FAE＝30°，∠AEB＝∠AEF＝60°，
在Rt△ABE中，∠BHE＝30°，AB＝cm
令BE长为x，则AE＝2x，
，
解得x＝1（cm），
∴BE＝EF＝1cm，
∵FE＝FN，GC＝FN，
∴GC＝FM＝1cm，
在Rt△EFG中，
∠FEG＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣60°＝60，
∴∠EFG＝30°，
∴BC＝BE+EG+GC＝1++1＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠问题，等边三角形的判定与性质，30°直角三角形的性质及矩形的性质，解题关键是根据折叠的性质得出△ABF为等边三角形．
16．如图，正方形ABCD的边长是8，点E在DC上，点F在AC上，∠BFE＝90°，若CE＝2．则AF的长为 ．
【分析】过点F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，则∠EGF＝∠FHB＝90°，根据正方形的性质得∠BCD＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠CAB＝45°，即可得四边形BCGH是矩形，得CG＝BH，根据∠GCA＝45°，∠CGF＝90°得∠GFC＝45°，则CG＝GF，GF＝BH，根据∠BFE＝90°得∠GFE+∠HFB＝90°，即可得∠HFB＝∠GEF，根据角角边可证明△GFE≌△HBF，可得FH＝GE，根据∠CAB＝45°，∠AHF＝90°得∠HFA＝45°，则AH＝FH，设AH＝FH＝x，则GE＝x，根据正方形的边长为8得HB＝8﹣x，根据CG＝HB得x+2＝8﹣x，即可得AH＝FH＝3，
在Rt△AFH中，根据勾股定理得即可得．
解：如图所示，过点F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，
则∠EGF＝∠FHB＝90°，
∴∠GEF+∠GFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ABC＝90°，∠ACD＝∠CAB＝45°，
∴四边形BCGH是矩形，
∴CG＝BH，
∵∠GCA＝45°，∠CGF＝90°，
∴∠GFC＝45°，
∴CG＝GF，
∴GF＝BH，
∵∠BFE＝90°，
∴∠GFE+∠HFB＝90°，
∴∠HFB＝∠GEF，
在△GFE和△HBF中，
，
∴△GFE≌△HBF（AAS），
∴FH＝GE，
∵∠CAB＝45°，∠AHF＝90°，
∴∠HFA＝45°，
∴AH＝FH，
设AH＝FH＝x，则GE＝x，
∵正方形的边长为8，
∴HB＝8﹣x，
∵CG＝HB，
∴x+2＝8﹣x，x＝3，
∴AH＝FH＝3，
在Rt△AFH中，根据勾股定理得，，
故答案为：．
【点评】本题考查了了正方形的性质，掌握矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．求证：菱形的一条对角线平分这一组对角．
已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线．
求证： ∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA ．
证明：
【分析】由菱形的性质可得DA＝DC，DA∥BC．由平行线的性质和等腰三角形的性质可证∠DCA＝∠BCA，可得结论．
解：求证：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，DA∥BC．
∴∠DAC＝∠DCA，
∵DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DCA＝∠BCA，
同理∠DAC＝∠BAC．
故答案为：∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
18．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，0）、B（﹣2，3）、C（﹣1，0）
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B'C′；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A″B″C″；
（3）若以A'、B'、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D'坐标为 （6，﹣3） ．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
解：（1）如图所示，△A′B'C′即为所求
（2）如图所示，△A″B″C″即为所求：
（3）第四象限D′的坐标（6，﹣3）．
故答案为：（6，﹣3）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
19．如图，在▱ABCD中，E，F位于BC，AD上，AE，CF分别平分∠BAC，∠DCA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当△ABC满足条件 AB＝AC 时，四边形AECF是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线定义即可完成证明；
（2）根据等腰三角形的性质可得AE⊥BC，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴∠EAC＝∠BAC，∠FCA＝∠DCA，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．
20．如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．
（1）证明：四边形EFGH为平行四边形．
（2）若四边形ABCD是矩形，且其面积是7cm2，则四边形EFGH的面积是 cm2．
【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF＝GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由矩形的判定与性质得出答案．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵E、F分别为AD、AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD，EF∥BD，
同理，GH＝BD，GH∥BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴DH＝AF＝CH＝BF，
∴四边形AFHD和四边形HFBC都是矩形，
∴AD＝HF＝BC，DC＝EG＝AB，
∴S四边形EFGH＝AB•BC，
∵四边形ABCD的面积是7cm2，
∴AB•BC＝7cm2，
∴四边形EFGH的面积是（cm2），
故答案为：．
【点评】本题主要考查中点四边形以及矩形的性质，解题时利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．
（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是 ①② （填写满足要求的所有条件的序号）．
【分析】（1）根据全等三角形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABC＝∠ADC，AB＝AD．
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°．
∴∠C+∠ABC＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD．
∵①∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD．
连接BD，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
又∵②AB＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：①②．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD的中点，AB＝5．求FH的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出EH＝EG，EH∥GH，进而利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）连结EG，先求出EG＝AB＝5，由矩形的性质可求解．
【解答】（1）证明：在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥GH，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，
∴∠BFG＝∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF与△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）解：连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，
又AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四形，
∴EG＝AB．
∴EG＝AB＝5．
∵四边形EFGH是矩形，
∴FH＝EG＝5．
【点评】本题考查矩形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是利用AAS证明△BGF≌△DEH．
23．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．
（1）求证：BE＝FG；
（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．
【分析】（1）作AM∥FG交BE于N，BC于M．根据正方形的性质证明△ABM≌△BCE可得AM＝BE．再证明四边形AMGF为平行四边形．即可得结论；
（2）连接BF、EF，设AF＝x，则DF＝8﹣x，根据勾股定理即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：作AM∥FG交BE于N，BC于M．
在正方形ABCD中，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°．
∵FG⊥BE，
∴∠FOB＝90°．
∵AM∥FG，
∴∠ANB＝∠FOB＝90°．
∴∠ABN+∠EBC＝90°
∵∠C＝90°．
∴∠BEC+∠EBC＝90°．
∴∠ABN＝∠BEC．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABM≌△BCE（AAS），
∴AM＝BE．
∵AD∥BC，
∴AF∥MG．
∵AM∥FG，
∴四边形AMGF为平行四边形．
∴AM＝FG．
∵AM＝BE，
∴BE＝FG．
（2）如图，连接BF、EF，
∵FG⊥BE，O是BE的中点，
∴BF＝FE．
在正方形ABCD中，
∴AD＝AB＝DC＝BC＝8．
∵EC＝3，
∴DE＝5．
设AF＝x，则DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF2＝AB2+AF2＝82+x2．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2＝DF2+DE2＝52+（8﹣x）2．
∵BF＝FE，
∴BF2＝EF2．
即82+x2＝52+（8﹣x）2，
解得：x＝．
∴AF＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ABM≌△BCE．
24．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：；
（2）如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，直接写出你的结论： EF＝（AB﹣AC） ．
【分析】（1）利用ASA证明△ABE≌△ADE，根据全等三角形的性质得出BE＝DE，AB＝AD，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题；
（2）先证明AB＝AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE＝PE，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵BE⊥AE于点E，
∴∠BEA＝∠DEA＝90°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴BE＝DE，AB＝AD，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EF＝DC＝（AC﹣AD）＝（AC﹣AB）；
（2）如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠APE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BP，
∴E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴EF是△BCP的中位线，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC），
故答案为：EF＝（AB﹣AC）．
【点评】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．
要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法．
【分析】方法一：作OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接EQ，连接QO，延长QO交AM于点P，线段PQ即为所求．
方法二：连接AO，延长AO到T，使得OT＝OA，作TP∥AN交AM于点P，连接PO，延长PO交AN于点Q，线段PQ即为所求．
解：如图，线段PQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．数学课上，李老师给出这么一道数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作EF⊥AC，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，他发现AF与DE之间的数量关系是 AF＝DE ．若点E在其它位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．
（1）请你按照小明的思路，完成解题过程；
（2）你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的“数学问题”吗？请写出解题过程．
【分析】（1）延长BC，作DGLAF，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形，从而证明ACDEAFGE得到DEG是等腰直角三角形，得到DG＝2DE，故可求解；
（2）作DGIDE，并截取DG﹣DE，连接AG，证明DEG是等腰直角三角形，得到EGEDE，再证明GDAAEDC EF＝AG，AGIEF，再得到四边形GEF为平行四边形，则AF＝EG，故可求解（1）．
解：AF＝DE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE．
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴；
（1）如图③，延长BC，作DG∥AF，交BC的延长线于点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD﹣90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵DG∥AF，AD∥BC，
∴四边形AFGD为平行四边形，
∴AF＝DG，AD＝FG，
∴FG＝CD．
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，∠ACD＝45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴EF＝EC．
∴∠EFC＝∠ECD．
∴△CDE≌△FGE（SAS）．
∴ED＝EG，∠FEG＝∠CED．
∴∠DEG＝∠FEC＝90°，
∴△DEG是等腰直角三角，
∴DG2＝DE2+EG2＝2DE2，
∴，
∴AF＝DE，
故答案为：AF＝DE．
（2）如图④，作DG⊥DE，并截取DG＝DE，连接AG、GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
同理，∠ACB＝45°，
∵GD⊥DE，
∴∠GDE＝90°，
又∵DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴EG2＝DE2+DG2＝2DE2，
∴EG＝DE，
∵∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠GDA＝∠EDC，
∴△GDA≌Δ EDC（SAS），
∴∠GAD＝∠ECD＝45°，AG＝EC，
∴∠GAE＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠FEA＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴EF＝EC．
∴EF＝AG，
∵∠GAE＝∠FEA＝90°，
∴AG∥EF，
∴四边形AGEF为平行四边形，
∴AF＝EG．
∵AF＝DE．
【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．