2023-2024学年北京十二中七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京十二中七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝120°，那么∠3的度数为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
4．如图．将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
5．下列四个图形中，∠1和∠2是内错角的是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列语句中，真命题是（ ）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．﹣3是的平方根
D．相等的两个角是对顶角
7．如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．23cmB．26cmC．29cmD．32cm
8．某正数的平方根为和，则这个数为（ ）
A．1B．2C．4D．9
9．如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（ ）
①∠1＝∠E
②∠2＝∠E
③∠B＝∠1
④∠E+∠EGC＝180°
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
二、填空题：（每题4分，共32分）
10．16的算术平方根是 ．
11．如图，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为 °．
12．木工用如图所示的角尺就可以画出平行线，如CD∥EF，这样画图的依据是： ．
13．已知＝0，则a+2b的值是 ．
14．如图，只需添加一个条件，即可以证明AB∥CD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，
那么6*（5*4）＝ ．
16．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是 m2．
17．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为 ．
三、解答题：（第18题4分；第19题6分；第20题5分；第21、23题，每题6分；第22题7分，第24题7分）
18．计算：．
19．求下列各式中的x：
（1）（x﹣2）3＝8；
（2）64x2﹣81＝0．
20．完成下面的证明．
已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3．
求证：b∥c．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥ （ ）．
∵∠1＝∠3，
∴a∥ （ ）．
∴b∥c（ ）．
21．如图，已知∠B＝43°，∠BDC＝43°，∠A＝∠1，试说明∠2＝∠BDE．
22．下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点C在直线AB上，点D在直线AB外，且∠DCB＝60°．
求作：直线DE，使得DE∥AB．
作法：如图，
①在线段CD的延长线上任取一点M；
②以D为顶点，DM为一边，通过量角器度量，在DM右侧作MDE＝60°；
③将射线DE反向延长．
直线DE就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
（1）补全图形，并完成证明过程；
证明：∵∠MDE＝60°，∠DCB＝60°，
∴∠MDE＝∠DCB．
∴DE∥AB（ ）（填推理的依据）．
（2）在（1）的条件下，过点C作CD的垂线，交直线DE于点F．求∠CFE的度数．
23．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
（3）若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（4）在图中画出△ABC的高CD．
24．如图，已知线段AB，点C是线段AB外一点，连接AC，∠CAB＝α（90°＜α＜180°）．将线段AC沿AB平移得到线段BD．点P是线段AB上一动点，连接PC，PD．
（1）依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD＝∠PCA+∠PDB；
（2）过点C作直线l∥PD．在直线l上取点M，使．
①当α＝120°时，画出图形，并直接用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系；
②在点P运动的过程中，当点P到直线l的距离最大时，∠BDP的度数是 （用含α的式子表示）．
参考答案
一、选择题：（每题3分，共27分）
1．下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；
B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；
C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；
D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
2．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的性质，逐项进行判断即可．
解：A．选项A中的两个图形是轴对称，因此选项A不符合题意；
B．选项B中的两个图形可以通过旋转得到，因此选项B不符合题意；
C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意；
D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键．
3．如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝120°，那么∠3的度数为（ ）
A．150°B．120°C．60°D．30°
【分析】根据对顶角相等以及平角的定义进行计算即可．
解：∵∠1+∠2＝120°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝60°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣60°＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查对顶角，邻补角，掌握对顶角相等以及邻补角的定义是正确解答的前提．
4．如图．将含30°角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】依据平行线的性质，即可得出∠CAB的度数，再根据直角即可得到∠2的度数．
解：如图，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BAC＝35°，
又∵∠CAE＝90°，
∴∠2＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5．下列四个图形中，∠1和∠2是内错角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可．
解：A．∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
B．∠1与∠2是内错角，选项符合题意；
C．∠1与∠2不是内错角，选项不符合题意；
D．∠1和∠2不是内错角，选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形．
6．下列语句中，真命题是（ ）
A．若a2＝b2，则a＝b
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．﹣3是的平方根
D．相等的两个角是对顶角
【分析】根据等式的性质、平方根、对顶角和点到直线的距离进行判断即可．
解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；
C、﹣3是的平方根，是真命题；
D、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
7．如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，若三角形ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．23cmB．26cmC．29cmD．32cm
【分析】先根据平移的性质得DF＝AC，AD＝CF＝3cm，再由△ABC的周长为20cm得到AB+BC+AC＝20cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD＝26（cm），于是得到四边形ABFD的周长为26cm．
解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC＝20cm，
∴AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF＝20+3+3＝26（cm），
即四边形ABFD的周长为26cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
8．某正数的平方根为和，则这个数为（ ）
A．1B．2C．4D．9
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于a的方程，解方程即可解决问题．
解：由题意得，+＝0，
解得：a＝3，
故这个正数为：（）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的定义及解一元一次方程的知识，难度一般，解答本题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
9．如图，下列条件中能判断BC∥EF的是（ ）
①∠1＝∠E
②∠2＝∠E
③∠B＝∠1
④∠E+∠EGC＝180°
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．
解：①∠1与∠E是同位角，可判定BC∥EF，故①正确，
②∠2与∠E是内错角，能判断BC∥EF，故②正确，
③∠B与∠1是同位角，可判定AB∥DE，故③错误，
④∠E与∠EGC是同旁内角，且∠E+∠EGC＝180°，可判定BC∥EF，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟记判定定理并灵活运用是解决本题的关键．
二、填空题：（每题4分，共32分）
10．16的算术平方根是 4 ．
【分析】根据算术平方根的定义解决．
解：∵（±4）2＝16，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做这个正数的算术平方根．
11．如图，AB⊥CD，垂足为O，OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为 135 °．
【分析】根据垂线的性质和角平分线的定义解答即可．
解：∵AB⊥CD，
∴∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
故答案为：135．
【点评】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的定义和性质是解答本题的关键．
12．木工用如图所示的角尺就可以画出平行线，如CD∥EF，这样画图的依据是： 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行作答．
解：木工用角尺画出CD∥EF，其依据是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
13．已知＝0，则a+2b的值是 10 ．
【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值，代入计算即可得出答案．
解：∵+|b﹣2a|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，
解得：a＝2，b＝4，
∴a+2b＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
14．如图，只需添加一个条件，即可以证明AB∥CD，这个条件可以是 ∠BAC＝∠ACD（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
解：这个条件可以是∠BAC＝∠ACD，
理由：∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
故答案为：∠BAC＝∠ACD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
15．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，
那么6*（5*4）＝ 1 ．
【分析】本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．
解：∵，
∴5*4＝＝3，
∴6*（5*4）＝6*3，
＝，
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．
16．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草坪的总面积是 880 m2．
【分析】草坪的面积等于矩形的面积﹣三条路的面积+三条路重合部分的面积，由此计算即可．
解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）．
故答案为：880．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是求出草坪总面积的表达式．
17．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为 45°，60°，105°，135° ．
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
解：当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故答案为：45°，60°，105°，135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
三、解答题：（第18题4分；第19题6分；第20题5分；第21、23题，每题6分；第22题7分，第24题7分）
18．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：
＝3+（﹣4）+﹣1
＝3﹣4+﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．求下列各式中的x：
（1）（x﹣2）3＝8；
（2）64x2﹣81＝0．
【分析】（1）直接利用开立方的方法解方程即可；
（2）先整理成x2＝a的形式，再直接开平方解方程即可．
解：（1）∵（x﹣2）3＝8，
∴x﹣2＝2，
∴＝4．
（2）∵64x2﹣81＝0，
∴64x2＝81
∴x2＝
∴x＝±．
【点评】此题主要考查了利用立方根和平方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便．
20．完成下面的证明．
已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3．
求证：b∥c．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥ b （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∵∠1＝∠3，
∴a∥ c （ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴b∥c（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，同位角相等，两直线平行证明即可．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行 ）．
∵∠1＝∠3，
∴a∥c（ 同位角相等，两直线平行）．
∴b∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：b，同旁内角互补，两直线平行，c，同位角相等，两直线平行，平行于同一条直线的两条直线平行．
【点评】本题主要考查的是平行线的判断，熟记判定定理是解决本题的关键．
21．如图，已知∠B＝43°，∠BDC＝43°，∠A＝∠1，试说明∠2＝∠BDE．
【分析】根据平行线的判定得出AB∥DC，根据平行线的性质得出∠A＝∠C，求出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出AC∥DE，根据平行线的性质得出即可．
解：∵∠B＝43°，∠BDC＝43°，
∴∠B＝∠BDC，
∴AB∥DC，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠1，
∴∠C＝∠1，
∴AC∥DE，
∴∠2＝∠BDE．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
22．下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点C在直线AB上，点D在直线AB外，且∠DCB＝60°．
求作：直线DE，使得DE∥AB．
作法：如图，
①在线段CD的延长线上任取一点M；
②以D为顶点，DM为一边，通过量角器度量，在DM右侧作MDE＝60°；
③将射线DE反向延长．
直线DE就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：
（1）补全图形，并完成证明过程；
证明：∵∠MDE＝60°，∠DCB＝60°，
∴∠MDE＝∠DCB．
∴DE∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）（填推理的依据）．
（2）在（1）的条件下，过点C作CD的垂线，交直线DE于点F．求∠CFE的度数．
【分析】（1）先根据几何语言画出对应的几何图形，然后根据同位角相等，两直线平行可判断DE∥AB；
（2）先根据垂直的定义得到∠FCD＝90°，再利用对顶角相等得到CDF＝∠MDE＝60°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CFE的度数．
【解答】（1）证明：如图，
∵∠MDE＝60°，∠DCB＝60°，
∴∠MDE＝∠DCB．
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）解：∵CF⊥CD，
∴∠FCD＝90°，
∵∠CDF＝∠MDE＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质．
23．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）△ABC的面积为 10 ；
（2）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
（3）若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 平行且相等 ；
（4）在图中画出△ABC的高CD．
【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据平移前后对应点联系互相平行且相等，即可找到A'、C'的位置，从而补全△A′B′C′；
（3）根据平移的性质即可作出判断；
（4）利用格点图形作出即可．
解：（1）S△ABC＝×5×4＝10；
（2）如图所示：
．
（3）平行且相等；
（4）如图所示：
．
【点评】本题考查了平移作图的知识，注意规范作图，及格点三角形的应用．
24．如图，已知线段AB，点C是线段AB外一点，连接AC，∠CAB＝α（90°＜α＜180°）．将线段AC沿AB平移得到线段BD．点P是线段AB上一动点，连接PC，PD．
（1）依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD＝∠PCA+∠PDB；
（2）过点C作直线l∥PD．在直线l上取点M，使．
①当α＝120°时，画出图形，并直接用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系；
②在点P运动的过程中，当点P到直线l的距离最大时，∠BDP的度数是 α﹣90° （用含α的式子表示）．
【分析】（1）先补全图形然后过点P作AC的平行线，根据平移的性质和平行线的性质即可证明结论；
（2）①分DM在∠CDP外部和在∠CDP内部两种情况，将∠BDM写成三个角的和或者差的形式，再根据三角形内角和定理和已知条件推出角之间的关系，即可表示出∠BDM与∠BDP之间的数量关系；
②当直线l垂直于线段AB所在的直线时，点P到直线l的距离最大，通过计算求出结果即可．
【解答】（1）补全图形如图1：
证明：根据平移的性质可知，AC∥BD，
如图2，过点P作PE∥AC∥BD，
∴∠ACP＝∠CPE，∠BDP＝∠DPE，
∵∠CPD＝∠CPE+∠DPE，
∴∠CPD＝∠PCA+∠PDB；
（2）①解：当DM在∠CDP外部时，如图3，
∵∠BDM＝∠BDP+∠CDP+∠MDC，∠MDC＝∠CDP，
∴∠BDM＝∠BDP+∠CDP，
∵∠CAB＝α＝120°，
∴∠B＝60°，
∵∠CDP＝180°﹣∠B﹣∠BDP＝120°﹣∠BDP，
∴∠BDM＝∠BDP+（120°﹣∠BDP）＝180°﹣∠BDP；
当DM在∠CDP内部时，如图4，
∵∠BDM＝∠BDP+∠CDP﹣∠MDC，∠MDC＝∠CDP，
∴∠BDM＝∠BDP+∠CDP，
∵∠CAB＝α＝120°，
∴∠B＝60°，
∵∠CDP＝180°﹣∠B﹣∠BDP＝120°﹣∠BDP，
∴∠BDM＝∠BDP+（120°﹣∠BDP）＝60°+∠BDP，
综上，∠BDM与∠BDP之间的数量关系为∠BDM＝180°﹣∠BDP或∠BDM＝60°+∠BDP；
②P点到直线l距离最大，就是两条直线距离最大，也就是点C到直线PD的距离最大，
当直线l垂直于线段AB所在直线时，距离最大，如图5所示，
∵∠CDB＝∠A＝α，
∴∠PDB＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查平移的性质，平行线的性质，点到直线的距离，三角形的内角和等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．