2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共35页。试卷主要包含了正十二边形的一个内角的度数为，分解因式等内容，欢迎下载使用。
1．2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F（CZ﹣2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应为（ ）
A．48×105B．4.8×105C．48×104D．4.8×104
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝44°，则∠AOD的大小为（ ）
A．146°B．144°C．136°D．134°
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＞0B．b＜1C．b﹣a＜0D．﹣a＞b
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤1B．m＜1C．m≤1且m≠0D．m＜1且m≠0
6．正十二边形的一个内角的度数为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
7．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝8，分别以AB、AC、BC为直径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（本大题共24分，每小题3分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．分解因式：x2y﹣y3＝ ．
11．写出一个大小在和之间的整数 ．
12．若反比例函数的图象经过点A（3，﹣4）和点B（2，n），则n＝ ．
13．如表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若EF＝5，则CD＝ ．
15．如图，⊙A的圆心A的坐标是（3，0），在直角坐标系中，⊙A半径为1，P为直线上的动点，过P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
16．在矩形台球桌面ABCD中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即∠2＝∠1，如图2，AB＝4，BC＝6，在矩形台球桌面ABCD的内部有P、Q两点，点Q到CD、AD的距离都为1，若在图中的点P处放一台球，则该台球 （填“能”或“不能”）依次撞击BC、CD边后经过点Q．若放在点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为 ．
三.解答题（本题共72分，第17～19题，每小题5分，第20题6分，第21～23题，每小题5分，第24题6分，第25～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．已知a2+2a﹣3＝0，求代数式的值．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求BE的长．
21．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？
24．根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
如图4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
（1）在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
（2）若喷泉跨度OB的最小值为3m，求喷水管OA高度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道CD的宽度．
25．在平面内，给定不在同一条直线上的三点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，连接点O与AB的中点D，点E在AB的延长线上，连接OC，CE，∠CED+∠COD＝180°．
（1）画出图形G，并依题意补全图形；
（2）求直线CE与图形G的公共点个数；
（3）连接OB，若OB∥CE，，OD＝2，求CE的长．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若抛物线过点（﹣3，m），（5，m），求抛物线的对称轴；
（2）已知点（0，y0），（x1，y1），（﹣4，y2），（2，n）在抛物线上，其中﹣2＜x1＜﹣1，若存在x1使y1＞n，试比较y0，y1，y2的大小关系．
27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．
（1）求证：∠CDM＝∠BFE；
（2）在MF上截取MN＝DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得∠MPN＝90°，作PQ⊥MN于Q，则称Q为P关于图形G的射影点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（﹣1，1），P2（0，﹣2），P3（2，3）中，关于⊙O的射影点存在的有 ；
②点P在直线上，若P关于⊙O的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为，直线＝与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙T的射影点Q满足TQ＝2，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
参考答案
一.选择题（本大题共24分，每小题3分）
1．2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，长征二号F（CZ﹣2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为480000千克，将480000用科学记数法表示应为（ ）
A．48×105B．4.8×105C．48×104D．4.8×104
【分析】将480000写成a×10n其中1≤|a|＜10，n为整数的形式即可．
解：480000＝4.8×105．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝44°，则∠AOD的大小为（ ）
A．146°B．144°C．136°D．134°
【分析】先求∠AOC与∠BOC的度数差即可得出∠AOB的度数，再求∠AOB与∠DOB的和即可．
解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝44°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣44°＝46°，
∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝90°+46°＝136°，
故选：C．
【点评】本题考查了角的运算，理解题意，利用数形结合是解决问题的关键．
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＞0B．b＜1C．b﹣a＜0D．﹣a＞b
【分析】根据题意可得﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，且|a|＞|b|，进而得到a+b＜0，b﹣a＞0，﹣a＞b．
解：有数轴可知，﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，﹣a＞b，
故选：D．
【点评】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤1B．m＜1C．m≤1且m≠0D．m＜1且m≠0
【分析】当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0．
根据根的情况列式求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m≥0，
解得：m≤1，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系是解题的关键．，
6．正十二边形的一个内角的度数为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
解：正十二边形的每个外角的度数是：，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
7．不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：列表如下：
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝8，分别以AB、AC、BC为直径作半圆，若记图中阴影部分的面积为y，AC为x，则下列y关于x的图象中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由图示知，S阴影＝以AC为直径的扇形的面积+以BC为直径的扇形面积﹣以AB为直径的扇形面积+△ABC的面积．据此列出y与x的函数关系式，根据函数关系式选择相应的图象．
解：∵AC+BC＝8，AC＝x，
∴BC＝8﹣x．
∴S阴影＝×（）2+×（）2﹣×（）2+S△ABC＝×+S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴S阴影＝S△ACB＝•x•（8﹣x），
即y＝﹣x2+4x（0＜x＜8）．
则该函数图象是开口向下的抛物线，且自变量的取值范围是0＜x＜8．
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象、勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
二.填空题（本大题共24分，每小题3分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可．
解：∵在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
即x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
10．分解因式：x2y﹣y3＝ y（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
11．写出一个大小在和之间的整数 2 ．
【分析】先估算，，可得符合题意的整数k满足，写出一个即可．
解：∵，，
∴符合题意的整数有2，3．
故答案为：2（答案不唯一，也可以写3）．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
12．若反比例函数的图象经过点A（3，﹣4）和点B（2，n），则n＝ ﹣6 ．
【分析】首先利用待定系数法把A（3，﹣4）代入反比例函数解析式中可得到k的值，从而计算出反比例函数解析式y＝﹣，再把B（2，n）代入求出的反比例函数解析式y＝﹣中即可算出n的值．
解：把A（3，﹣4）代入反比例函数解析式中，
得k＝3×（﹣4）＝﹣12，
则反比例函数解析式y＝﹣，
再把B（2，n）代入反比例函数解析式y＝﹣中得：
2×n＝﹣12，
解得：n＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是函数图象经过的点都能满足解析式．
13．如表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市运动会100米短跑项目，应选择 甲 ．
【分析】根据平均数和方差的意义分析即可．
解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好，
∴从甲和丁中选择一人参加竞赛，
又∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若EF＝5，则CD＝ 3 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD．
解：∵E、F分别为BC、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2EF＝2×3＝6，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，⊙A的圆心A的坐标是（3，0），在直角坐标系中，⊙A半径为1，P为直线上的动点，过P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
【分析】如图1，连接AP、AQ，根据切线的性质得AQ⊥PQ，则利用勾股定理得到，则当AP最小时，PQ最小，如图2，直线与y轴交于B，与x轴交于点C，利用垂线段最短得到当AP⊥BC于P时，AP最小，利用特殊角的三角函数值，从而得到PQ的最小值．
解：如图1，连接AP、AQ，
∵PQ为切线，
∴AQ⊥PQ，
在Rt△APQ中，，
当AP最小时，PQ最小，
直线与y轴交于B，与x轴交于点C，则，C（﹣1，0），
∴，OC＝1，
∴，
∴∠BCO＝60°，
当AP⊥BC于P时，AP最小，如图2，
∵AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∴，
∴PQ的最小值＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查切线的性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用特殊三角函数是解答本题的关键．
16．在矩形台球桌面ABCD中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即∠2＝∠1，如图2，AB＝4，BC＝6，在矩形台球桌面ABCD的内部有P、Q两点，点Q到CD、AD的距离都为1，若在图中的点P处放一台球，则该台球 能 （填“能”或“不能”）依次撞击BC、CD边后经过点Q．若放在点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为 ．
【分析】由题意可知Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，找到零界点：当球从Q出发撞击CD边的点F后，反射到达点B，然后讨论当球从Q出发撞击CD边的点F上方时，当球从Q出发撞击CD边的点F下方时，是否去撞击BC边，由此可知，当球从Q出发撞击CD、BC边，球所到达的区域为四边形ABCH，在根据相似三角形的判定及性质求解即可．
解：若点P处的球能够依次撞击BC、CD边后经过点Q，
则反过来，Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，
过点Q作QG⊥AD，QE⊥CD，则∠QEF＝∠BCD＝90°，QG＝QE＝1，
则四边形QGDE是正方形，
∴CE＝CD﹣DE＝3，
当球从Q出发撞击CD边的点F后，反射到达点B，
此时，∠QFE＝∠BFC，
∴△QFE∽△BFC，
∴，即：，
∴，，
当球从Q出发撞击CD边的点F上方时，撞击路线与CD的夹角大于∠QFE，则反射时的夹角也会大于∠BFC，则显然不会再撞击BC，故不符合题意；
当球从Q出发撞击CD边的点F下方时，撞击路线与CD的夹角小于∠QFE，则反射时的夹角也会小于∠BFC，则显然会再撞击BC，且再次反弹，
当球从Q出发撞击点C时，显然不符合题意，
连接CQ并延长交AD于H，
由此可知，当球从Q出发撞击CD、BC边，球所到达的区域为四边形ABCH，
即点P从四边形ABCH所在区域内任意位置依次撞击BC、CD边后都能经过点Q，
由正方形的性质可知QE∥AD，
∴△CQE∽△CDH，
∴，即：，
∴，则，
∴所有点P构成的区域面积为四边形ABCH的面积，
即：所有点P构成的区域面积＝，
故答案为：能，．
【点评】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，正方形的判定及性质，能通过Q处的球依次撞击CD、BC边后经过点P，找到点P构成的区域是解决问题的关键．
三.解答题（本题共72分，第17～19题，每小题5分，第20题6分，第21～23题，每小题5分，第24题6分，第25～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）
17．计算：．
【分析】代入特殊角三角形函数值，根据实数的运算法则计算即可求解．
解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幂，实数的运算．是相关运算法则是关键．
18．解不等式组：．
【分析】解组中各不等式，再借助数轴或口诀确定不等式组的解集．
解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
【点评】本题考查了不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．
19．已知a2+2a﹣3＝0，求代数式的值．
【分析】先计算除法，再计算加法即可化简，然后把a2+2a﹣2＝0变形为a2+2a＝2，代入化简式计算即可．
解：
＝
＝
＝
＝
＝，
∵a2+2a﹣3＝0
∴a2+2a＝3，
∴原式＝．
【点评】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求BE的长．
【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明AD＝CD，继而判断四边形ABCD是平行四边形，结合AB＝AD得证．
（2）由菱形的性质得，BD⊥AC，，，由勾股定理可得：，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，
又∵AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，BD⊥AC，，，
由勾股定理可得：，
∵CE⊥AB，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，
在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即：，
解得：．
【点评】本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
21．初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数．
【分析】根据题意，设有x名学生，打8折的钱数＝打9折的钱数，列方程即可．
解：设一班有x名学生，
由题意可知：0.8×50x＝0.9×50（x﹣4），
解得：x＝36，
答：一班有36名学生．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据“两种方案费用一样”列出方程是解题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，
∴k＝1，
将点（1，2）代入y＝x+b，
得1+b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，
∴m≥2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为 4.55 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ②③ ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过多少亿元？
【分析】（1）影片甲单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；
（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；
②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式求出甲、乙的方差，可判断②；
③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；
（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．
解：（1）影片甲单日票房从小到大排序为
2.91，3.02，4.28，4.55，5.38，5.52，5.90．
一共7个数据，所以影片甲单日票房的中位数为：4.55，
故答案为：4.55；
（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，
∴甲的单日票房逐日增加说法不正确；
②，，，，
∴甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
③甲超过乙的差值从15日开始分别为：
15日：5.38﹣4.36＝1.02，
16日：5.90﹣3.13＝2.77，
17日：5.52﹣2.32＝3.2，
18日：4.28﹣1.63＝2.65，
∴在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是②③，
故答案案为：②③；
（3）乙票房截止到21日收入为：37.22+2.95＝40.17亿，
甲票房前7天达到31.56亿，
∴2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：40.17﹣31.56＝8.61亿．
故答案为：8.61．
【点评】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．
24．根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为OM＝4m，水柱最高点离地面3m．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．OA为喷水管，B为水的落地点，记OB长度为喷泉跨度．
如图4，安全通道CD在线段OB上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入CD上方的矩形区域，则称这个矩形区域CDEF为安全区域．
（1）在图2中，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
（2）若喷泉跨度OB的最小值为3m，求喷水管OA高度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，直接写出此时安全通道CD的宽度．
【分析】（1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+3，代入（0，0）即可求解；
（2）设抛物线解析式为：，代入x＝3时，y＝0，即可求抛物线解析式，从而求OA的值；
（3）求出当时，点F落在上，点E落在上时两个点的横坐标即可求解．
解：（1）∵点O坐标为（0，0），点M坐标为（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵抛物线的最高点为3，
∴顶点坐标为（2，3），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+3过点（0，0），
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）∵喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，
∴设喷泉跨度OB的最小值为3m时，抛物线的函数表达式为，m≤2，
当x＝3时，y＝0，得，解得：m＝1或m＝5（舍去），
则，
由x＝0，得，
即：喷水管OA的高度最大值为；
（3）由题意得：当点F落在上，
当时，，
解得：或（舍去），
当点E落在上时，
当时，，
解得：或（舍去），
则，．
即：此时安全通道CD的宽度为2m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
25．在平面内，给定不在同一条直线上的三点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，连接点O与AB的中点D，点E在AB的延长线上，连接OC，CE，∠CED+∠COD＝180°．
（1）画出图形G，并依题意补全图形；
（2）求直线CE与图形G的公共点个数；
（3）连接OB，若OB∥CE，，OD＝2，求CE的长．
【分析】（1）点O到A、B、C的距离均等于a，则A、B、C三点共圆，可得图形G是圆心为O，半径为a的圆；
（2）先求得∠OCE＝90°，得到OC⊥CE，加上OC为半径，得出CE为⊙O切线，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥CE于点F，四边形OBFC是正方形，分别求出CF、EF，即可求解．
解：（1）∵点O到A、B、C的距离均等于a，
∴OA＝OB＝OC＝a，
∴A、B、C三点共圆，
∴到点O的距离等于a的所有点都在圆心为O，半径为a的圆上，
∴图形G是圆心为O，半径为a的圆，如图1：
（2）直线CE与图形G的公共点个数为1个，
连接OA、OB，如图2，
∵在四边形DECO中，∠CED+∠COD＝180°，
∠CED+∠COD+∠OCE+∠ODE＝360°
∴∠OCE+∠ODE＝180°，
∵OA＝OB，点D为AB中点，
∴OD⊥AB，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE+90°＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵OC为半径，
∴CE为⊙O切线，
∴直线CE与图形G公共点个数为1个．
（3）如图3，过点B作BF⊥CE于点F，
由（2）知∠OCE＝90°，
∵OB∥CE，
∴∠BOC+∠OCE＝180°，
∴∠BOC＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝∠BFE＝90°，
∵∠BOC＝∠OCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形OBFC是矩形，
∵，
∴四边形OBFC是正方形，
∴，
∵∠ODB＝90°，
在Rt△ODB中，，
∴，
∵OB∥CE，
∴∠OBD＝∠CEB，
∴tan∠OBD＝tan∠E＝2，
∵∠BFE＝90°，
∴在Rt△BFE中，，
∵tan∠E＝2，
∴2EF＝BF，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了圆的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关性质是解题的关键．
26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若抛物线过点（﹣3，m），（5，m），求抛物线的对称轴；
（2）已知点（0，y0），（x1，y1），（﹣4，y2），（2，n）在抛物线上，其中﹣2＜x1＜﹣1，若存在x1使y1＞n，试比较y0，y1，y2的大小关系．
【分析】（1）抛物线过点（﹣3，m），（5，m），可知（﹣3，m），（5，m）关于对称轴对称，即可求解；
（2）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，先求出t的取值范围，再根据函数的增减性即可求解．
解：（1）∵抛物线过点（﹣3，m），（5，m），
∴（﹣3，m），（5，m）关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是．
（2）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，
由题知，（2，n）在x＝t的右侧，（x1，y1）在x＝t的左侧，
∵a＞0，存在y1＞n，
∴点（x1，y1）到x＝t大于 点（2，n）到x＝t的距离，
∴（x1，y1）到x＝t的距离为：t﹣x1，点（2，n）到x＝t的距离为：2﹣t，
∴t﹣x1＞2﹣t，
∴，
∵﹣2＜x1＜﹣1，
∴，
∴，
∴（0，y0），（x1，y1），（﹣4，y2）都在函数的左侧，
∴a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，在对称轴左侧函数随着x的增大而减小，
∵﹣4＜x1＜0，
∴y2＞y1＞y0．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M．
（1）求证：∠CDM＝∠BFE；
（2）在MF上截取MN＝DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论；
（2）①根据题意补全图形即可；
②连接MG并延长使得MG＝GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM（SAS），进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BFE＝∠DEM，∠CDM+∠EDM＝90°，
又∵DM⊥EF，
∴∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠CDM＝∠DEM，
∴∠CDM＝∠BFE；
（2）解：①根据题意补全图形如图所示：
②，
证明：连接MG并延长使得MG＝GH，
∵点G为BN的中点，
∴BG＝NG，
又∵∠BGH＝∠NGM，
∴△BGH≌△NGM（SAS），
∴HG＝MG，BH＝NM，∠BHG＝∠NMG，则BH∥NM，
∴∠CBH＝∠BFE，
由（1）可知，∠CDM＝∠BFE，
∴∠CBH＝∠CDM，
∵MN＝DM，
∴BH＝DM，
由正方形的性质可知，CB＝CD，
∴△CBH≌△CDM（SAS），
∴CH＝CM，∠BCH＝∠DCM，∠BCD＝90°，
则∠BCH+∠BCM＝∠DCM+∠BCM＝∠BCD＝90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∵HG＝MG，
∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG＝MG，
∴．
【点评】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．
28．在平面直角坐标系xOy中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得∠MPN＝90°，作PQ⊥MN于Q，则称Q为P关于图形G的射影点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1（﹣1，1），P2（0，﹣2），P3（2，3）中，关于⊙O的射影点存在的有 P1（﹣1，1），P2（0，﹣2） ；
②点P在直线上，若P关于⊙O的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为，直线＝与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙T的射影点Q满足TQ＝2，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
【分析】（1）①作出图形，过点P作两条相互垂直的直线判断即可；
②由①可知，当点P在圆内或圆上时，必存在⊙O的射影点，但由于过点P作两条相互垂直的直线，有无数种情况，故此时射影点Q不唯一，则点P必定在圆外时，过点P作与⊙O相切的两条切线PX，PY，分三种情况：当∠XPY＜90°时，当∠XPY＝90°时，当∠XPY＞90°时，分别进行讨论即可求解；
（2）结合（1）可知点P在以点T为圆心，为半径的圆内，再证PQ＝1，进而由三角形三边关系可知，TQ﹣PQ≤PT≤TQ+PQ，即1≤PT≤3，在根据零界点位置当点P在线段端点B处，当点P在线段端点A处，找到符合题意的点T的位置即可求解．
解：（1）①如图1，点P1（﹣1，1）在圆内，则过点P1作两条相互垂直的直线，与⊙O都有交点，则存在⊙O的射影点，
点P2（﹣1，1）在圆上，当MN是直径时，∠MPN＝90°，则存在⊙O的射影点，
点P3（2，3）在圆外，作P3S⊥x轴，则OS＝2，
∵⊙O的半径为2，
∴P3S与⊙O相切，则，
∴∠OP3S＜45°，
作P3Z与⊙O相切于点Z，则∠P3SO＝∠P3ZO＝90°，
∴Rt△P3ZO≌Rt△P3SO（HL），
∴∠OP3Z＝∠OP3S＜45°，则∠ZP3S＜90°，
则在⊙O上，不存在M、N使得∠MPN＝90°，则不存在⊙O的射影点，
故答案为：P1（﹣1，1），P2（0，﹣2）；
②由①可知，当点P在圆内或圆上时，如图2，
必存在⊙O的射影点，但由于过点P作两条相互垂直的直线，有无数种情况，故此时射影点Q不唯一，
则点P必定在圆外时，过点P作与⊙O相切的两条切线PX，PY，
当∠XPY＜90°时，在⊙O上不存在M、N使得∠MPN＝90°，不符合题意；
当∠XPY＝90°时，此时恰好存在M、N使得∠MPN＝90°，且只有一种情况（M、N分别与两个切点重合），
由切线性质可知，OX⊥PX，OY⊥PY，则四边形PXOY为矩形，
又∵OX＝OY，
∴则四边形PXOY为正方形，
∴OX＝PX＝2，则，
又∵点P在上，设，
则，解得：，
则当时，，当时，，
∴点P的坐标为或；
当∠XPY＞90°时，此时∠MPN＝90°，即在钝角内部画一个直角有无数种情况，不符合题意；
综上，点P的坐标为或；
（2）由（1）可知，当点P在⊙T外，如图3，当∠XPY＝90°时，此时恰好存在M、N使得∠MPN＝90°，且只有一种情况（M、N分别与两个切点重合），
由切线性质可知，TX⊥PX，TY⊥PY，则四边形PXTY为矩形，
又∵TX＝TY，
∴则四边形PXOY为正方形，
∴TX＝PY，则，
即：点P在以点T为圆心，为半径的圆内，
连接TQ，并延长交⊙T于G，H两点，如图4，
∵TQ＝2，
∴，，
由圆周角定理可知，∠GMQ＝∠NHQ，∠MGQ＝∠HNQ，
∴△GMQ∽△NHQ，
∴，即：，
又∵∠MPN＝90°，PQ⊥MN，
∴∠NPQ+∠QPM＝90°，∠QPM+∠PMQ＝90°，
∴∠NPQ＝∠PMQ，
∴△NPQ∽△PMQ，
∴，即：PQ2＝NQ⋅MQ＝1，
∴PQ＝1，
连接PT，由三角形三边关系可知，TQ﹣PQ≤PT≤TQ+PQ，即1≤PT≤3，
对于，当x＝0时，，当y＝0时，，即：，，
当点P在线段端点B处，如图5，BT1＝3，BT2＝1，由勾股定理可得，，
同理，，，
当T在线段T1T3、T2T4之间时，1≤PT≤3，
则或；
当点P在线段端点A处，如图6，AT5＝AT6＝1，AT7＝AT8＝3，
则，，，，
当T在线段T5T7、T6T8之间时，1≤PT≤3，
则或；
综上，圆心T的横坐标t的取值范围为或．
【点评】本题考查图形与坐标，切线的性质定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，判断出点P在以点T为圆心，为半径的圆内，求出PQ＝1，再由三边关系得到1≤PT≤3是解决问题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
11.2
11.3
11.3
11.2
方差
5.5
5.5
5.8
5.9
上映影片
2月12日—18日累计票房（亿元）
2月19日—21日累计票房（亿元）
甲
31.56
乙
37.22
2.95
1
2
1
2
3
2
3
4
甲
乙
丙
丁
平均数（秒）
11.2
11.3
11.3
11.2
方差
5.5
5.5
5.8
5.9
上映影片
2月12日—18日累计票房（亿元）
2月19日—21日累计票房（亿元）
甲
31.56
乙
37.22
2.95