人教版 (2019)必修 第一册3 位置变化快慢的描述——速度学案设计

这是一份人教版 (2019)必修 第一册3 位置变化快慢的描述——速度学案设计，共12页。
1．会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.2.会用公式v2－v02＝2ax进行分析和计算.3.掌握初速度为零的匀加速直线运动的比例式，并会进行有关计算．
速度与位移的关系式
1．公式：v2－v02＝2ax.
2．推导：
速度公式v＝v0＋at.
位移公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
由以上两式可得：v2－v02＝2ax.
判断下列说法的正误．
(1)公式v2－v02＝2ax适用于所有的直线运动．( × )
(2)做匀加速直线运动的物体，位移越大，物体的末速度一定越大．( × )
(3)确定公式v2－v02＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的．( √ )
(4)因为v2－v02＝2ax，v2＝v02＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.( × )
一、关系式v2－v02＝2ax的理解和应用
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？
答案 eq \f(v2,2a)
解析 由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间
t＝eq \f(v,a).
所以飞机起飞所通过的位移为x＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(v2,2a).
对速度与位移的关系v2－v02＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又运动到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又反向运动的速度．
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
例1 长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度是多大？
(2)通过隧道所用的时间是多少？
答案 (1)0.02 m/s2 (2)100 s
解析 (1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
v＝12 m/s，由v2－v02＝2ax得，
加速度a＝eq \f(v2－v02,2x)＝0.02 m/s2.
(2)由v＝v0＋at得
所用时间为t＝eq \f(v－v0,a)＝eq \f(12－10,0.02) s＝100 s.
针对训练 (2020·济宁一中高一期中)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由
10 m/s增加到30 m/s时的位移为x，则当速度由30 m/s增加到50 m/s时，它的位移是( )
A．x B．1.5x C．2x D．2.5x
答案 C
解析 根据v2－v02＝2ax，速度由10 m/s增加到30 m/s时，(30 m/s)2－(10 m/s)2＝2ax；速度由30 m/s增加到50 m/s时，(50 m/s)2－(30 m/s)2＝2ax′.联立解得x′＝2x，选项C正确．
例2 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
(1)火车的加速度大小；
(2)火车中点经过此路标时的速度大小；
(3)整列火车通过此路标所用的时间．
答案 (1)eq \f(v22－v12,2l) (2)eq \r(\f(v12＋v22,2)) (3)eq \f(2l,v1＋v2)
解析 (1)由匀变速直线运动的规律得v22－v12＝2al，即a＝eq \f(v22－v12,2l).
(2)设火车中点经过此路标时速度为，则2－v12＝2a·eq \f(l,2)
解得＝eq \r(\f(v12＋v22,2)).
(3)火车的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v1＋v2,2)
故所用时间t＝eq \f(l,\x\t(v))＝eq \f(2l,v1＋v2).
1．注意：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度与位移中点的瞬时速度不同，匀变速直线运动位置中点的瞬时速度＝ eq \r(\f(v2＋v02,2))，时间中点的瞬时速度＝eq \f(v0＋v,2).
2．可以证明不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有＞.
二、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
2．按位移等分(设相等的位移为x)，则：
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n).
(3)通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
例3 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为
4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度大小；
(2)第1 s内的位移和前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移大小．
答案 (1)6 m/s (2)0.5 m 18 m (3)5.5 m
解析 (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v6＝eq \f(3,2)v4＝6 m/s
(2)由v4＝at4得a＝eq \f(v4,t4)＝1 m/s2.
所以第1 s内的位移x1＝eq \f(1,2)at12＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.
例4 (多选)(2019·广安高一上学期期末)水球可以挡住高速运动的子弹．中央电视台《国家地理频道》实验证实：如图1所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)( )
图1
A．子弹在每个水球中运动的时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1
B．子弹在每个水球中运动的时间之比t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1
C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
答案 BD
解析 把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动．子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3).则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C错误，D正确．子弹从右向左，通过每个水球的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))．则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故B正确，A错误．
1．(速度与位移的关系)(2020·临沂市高一期末)在交通事故分析中，刹车线的长度是事故责任认定的重要依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是10 m，假设汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2，则汽车开始刹车时的速度为( )
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s
答案 B
解析 根据匀变速直线运动的速度位移公式得0－v02＝2ax，解得汽车开始刹车时的速度v0＝eq \r(－2ax)＝eq \r(－2×－5×10) m/s＝10 m/s，故B正确．
2．(速度与位移的关系)如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为( )
图2
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝eq \f(1,2)a2 D．a1＝4a2
答案 B
解析 设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v2＝2a2x2，
联立两式解得eq \f(a1,a2)＝eq \f(x2,x1)＝2，即a1＝2a2.
3.(初速度为零的匀变速直线运动的比例关系)(多选)(2019·扬州中学月考)如图3所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点．下列说法正确的是( )
图3
A．物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
B．通过各段所用的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)
C．物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
D．下滑全程的平均速度eq \x\t(v)＝vB
答案 ACD
解析 物体做初速度为零的匀加速直线运动．由v2＝2ax得v∝eq \r(x)，A正确；通过各段时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))，故B错误；又由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故eq \x\t(v)＝vB，D正确．
4．(速度与位移的关系)(2019·辉县一中段考)“神舟五号”载人飞船的返回舱距地面10 km时开始启动降落伞装置，速度减至10 m/s，并以这个速度在大气中匀速降落，在距地面1.2 m时，返回舱的4台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速．设最后减速过程中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时速度恰好为2 m/s，求最后减速阶段的加速度．
答案 见解析
解析 在匀减速阶段，初速度v0＝10 m/s，
末速度vt＝2 m/s，
位移x＝1.2 m，根据vt2－v02＝2ax得：
a＝eq \f(vt2－v02,2x)＝eq \f(22－102,2×1.2) m/s2＝－40 m/s2
负号表示加速度方向竖直向上．

一、选择题
考点一 速度与位移关系的理解与应用
1.如图1所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使战机具有的初速度为( )
图1
A．10 m/s B．20 m/s
C．30 m/s D．40 m/s
答案 D
解析 根据公式v2－v02＝2ax，解得v0＝eq \r(v2－2ax)＝eq \r(502－2×4.5×100) m/s＝40 m/s，D正确．
2．如图2所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为( )
图2
A．8 m/s B．12 m/s
C．10 m/s D．14 m/s
答案 C
解析 由v2－v02＝2ax得v＝eq \r(v02＋2ax)＝eq \r(82＋2×1×18) m/s＝10 m/s，C正确．
3．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，则它们运动的最大位移之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．4∶1 D．2∶1
答案 B
解析 小车的末速度为0时，运动的位移最大，由v2－v02＝2ax得
eq \f(x1,x2)＝eq \f(v012,v022)＝eq \f(1,4)，选项B正确．
4．如图3所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是( )
图3
A.eq \f(5,2)x B.eq \f(5,3)x C．2x D．3x
答案 B
解析 由v2－v02＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′；两式联立可得x′＝eq \f(5,3)x，故B正确．
5．物体的初速度是v0，以不变的加速度a做直线运动，如果要使速度增加到初速度的n倍，那么经过的位移是( )
A.eq \f(v02,2a)(n2－1) B.eq \f(v02,2a)(n－1)
C.eq \f(v02,2a)n2 D.eq \f(v02,2a)(n－1)2
答案 A
解析 由公式v2－v02＝2ax知，(nv0)2－v02＝2ax，得x＝eq \f(v02,2a)(n2－1)，A正确．
6．一滑雪运动员由静止开始沿足够长的斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v，那么，当他的速度是eq \f(v,2)时，下滑的距离是( )
A.eq \f(l,2) B.eq \f(\r(2)l,2) C.eq \f(l,4) D.eq \f(3l,4)
答案 C
解析 由v2－v02＝2ax知v2＝2al；当速度为eq \f(v,2)时有(eq \f(v,2))2＝2al1，得l1＝eq \f(v2,8a)＝eq \f(l,4)，C正确．
7.如图4所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L，一颗子弹沿水平方向以v1射入A，以速度v2穿出B，子弹可视为质点，其运动可视为匀变速直线运动，则子弹穿出A时的速度为( )
图4
A.eq \f(2v1＋v2,3) B. eq \r(\f(2v12＋v22,3))
C. eq \r(\f(v12＋v22,3)) D.eq \f(2,3)v1
答案 B
解析 设子弹运动的加速度大小为a，子弹穿出A时的速度为v，子弹在A中运动的过程中，有v2－v12＝－2aL，子弹在B中运动的过程中，有v22－v2＝－2a·2L，两式联立可得v＝ eq \r(\f(2v12＋v22,3)).故正确答案为B.
考点二 初速度为零的匀变速直线运动的比例式
8．(2019·豫南九校高一第一学期期末联考)质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内三段位移之比为( )
A．1∶4∶25 B．2∶8∶7
C．1∶3∶9 D．2∶2∶1
答案 C
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以质点在第1个2 s、第2个2 s和第5个2 s内的三段位移之比为1∶3∶9，因此选C.
9．(2019·抚顺重点高中协作校高一上学期期末)一观察者站在第一节车厢前端，设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计，当列车从静止开始做匀加速运动时，下列说法中正确的是( )
A．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1∶2∶3∶…
B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…
C．在相等时间里经过观察者的车厢速度之比是1∶22∶32∶…
D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…
答案 D
10．(多选)如图5所示，一个滑块从斜面顶端A由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是( )
图5
A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)
C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶eq \r(2)
D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(eq \r(2)＋1)∶1
答案 BD
解析 方法一 根据匀变速直线运动的速度位移公式：v2＝2ax，解得：v＝eq \r(2ax)，因为经过B、C两点的位移比为1∶2，则通过B、C两点的速度之比为1∶eq \r(2)，故B正确，A错误；设AB段、BC段的长度为L，所经历的时间分别为t1、t2，根据匀变速直线运动的位移时间公式：L＝eq \f(1,2)at12和2L＝eq \f(1,2)a(t1＋t2)2，联立可得：eq \f(t1,t2)＝eq \f(\r(2)＋1,1)，故D正确，C错误．
方法二 比例关系：
初速度为零的匀变速直线运动通过连续相等的位移所用时间之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))，所以滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶(eq \r(2)－1)＝(eq \r(2)＋1)∶1，D正确，C错误；通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)，A错误，B正确．
二、非选择题
11．在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速运行，在
列车头经路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方1 000 m处出现特殊情况，若司机听到报告后立即以最大加速度a＝2 m/s2刹车，问该列车是否发生危险？请计算说明．
答案 见解析
解析 设列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x.
则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0
取列车前进方向为正方向，
则a＝－2 m/s2
由关系式v2－v02＝2ax得：x＝900 m
因x＝900 m