人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律1 功与功率学案

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[学习目标]
1.掌握功的公式W＝Flcs α及公式的适用范围，会用功的公式进行计算.2.理解正、负功的概念，会根据公式计算多个力所做的总功.3.理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝eq \f(W,t)及功率与速度的关系式P＝Fv进行有关分析和计算.
一、功
1.功的公式：W＝Flcs α，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小、力与位移的夹角.
2.功是标(填“矢”或“标”)量.在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J.
二、正功和负功
1.力对物体做正功或负功的条件
由W＝Flcs α可知
(1)当α＝eq \f(π,2)时，W＝0，力F对物体不做功.
(2)当0≤α＜eq \f(π,2)时，W＞0，力F对物体做正功.
(3)当eq \f(π,2)＜α≤π时，W＜0，力F对物体做负功.
2.总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于：
(1)各个分力分别对物体所做功的代数和.
(2)几个力的合力对物体所做的功.
三、功率
1.意义：功率是表示物体做功快慢的物理量.
2.定义：功W与完成这些功所用时间t之比.
3.定义式：P＝eq \f(W,t).单位：瓦特，简称瓦，符号W.
4.功率与速度的关系式：P＝Fv(F与v方向相同).
应用：由功率速度关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反(填“正”或“反”)比，要增大牵引力，就要减小速度.
5.功率是标(填“标”或“矢”)量.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式W＝Flcs α中的l是物体运动的路程.( × )
(2)物体只要受力且运动，该力就一定做功.( × )
(3)功有正负之分，所以功是矢量.( × )
(4)由公式P＝eq \f(W,t)知，做功越多，功率越大.( × )
(5)力对物体做功越快，力的功率一定越大.( √ )
(6)汽车爬坡时常常需要换高速挡.( × )
2.如图1所示，质量为1 kg的物体，静止在光滑水平面上.现在给物体一个与水平方向成60°角斜向上、大小为10 N的拉力F，物体在拉力F的作用下沿水平面运动了2 s，则在这2 s内，拉力F所做的功是 J，功率是 W.
图1
答案 50 25
解析 Fcs 60°＝ma
l＝eq \f(1,2)at2
W＝Flcs 60°
联立解得W＝50 J，
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝25 W.
一、对功的理解
导学探究
1.观察图2，分析图中的哪个人对物体做了功？
图2
答案 小川拉重物上升的过程，小川对重物做了功，其他三人都没有对物体做功.
2.如图3所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下沿水平面前进了l，则力F对物体做的功为多少？
图3
答案 如图所示，把力F沿水平方向和竖直方向进行分解，物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力为Fcs α，所做的功为Flcs α，所以力F对物体所做的功为Flcs α.
知识深化
对公式W＝Flcs α的理解
1.某一恒力F对物体做的功，只与l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关.
2.功是标量，没有方向，但是有正负.
3.公式W＝Flcs α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用.
如图4所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则雪橇受到的( )
图4
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcs θ
D.滑动摩擦力做功为－μmgl
答案 C
解析 支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为W1＝Flcs θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)l，C正确，D错误.
二、正、负功的理解 功的计算
导学探究
某物体在力F作用下水平向右运动的位移为l，拉力的方向分别如图5甲、乙所示，分别求两种情况下拉力对物体做的功.
图5
答案 eq \f(\r(3),2)Fl －eq \f(\r(3),2)Fl
知识深化
1.正、负功的理解和判断
(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图6所示.物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是( )
图6
A.重力对物体做正功 B.合力对物体做功为零
C.摩擦力对物体做负功 D.支持力对物体做正功
答案 BCD
解析 物体的受力和位移如图所示，支持力FN与位移l的夹角αP2，选项B正确.
如图9所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
图9
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率.
答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W
解析 (1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ－μmgcs θ＝ma
前2 s内木块的位移x＝eq \f(1,2)at2
联立解得：x＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J；
(2)重力在前2 s内的平均功率为
eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(48,2) W＝24 W；
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W.
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fvcs α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率，则是指平均功率，此时可用eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)求解，也可以用eq \x\t(P)＝Feq \x\t(v)cs α求解.
(2018·孝感八校教学联盟高一下学期期末联考)列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率.已知匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即Ff＝kv2.设提速前匀速运动速度为180 km/h，提速后匀速运动速度为240 km/h，则提速前与提速后机车发动机的功率之比为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(9,16) C.eq \f(27,64) D.eq \f(81,256)
答案 C
解析 匀速运动时，F＝Ff＝kv2
P＝Fv，则P＝kv3
故提速前与提速后机车发动机的功率之比为
P1∶P2＝v13∶v23＝27∶64.
1.(正、负功的判断)(2018·山东夏季学业水平考试)某同学为配合值日生打扫地面，将凳子向上搬起后再缓慢放回原处，此过程中该同学对凳子做功的情况是( )
A.一直做正功 B.先做正功，再做负功
C.一直做负功 D.先做负功，再做正功
答案 B
解析 该同学将凳子向上搬起过程中，人对凳子有向上的作用力，凳子向上运动，故人对凳子做正功；放下过程中，人对凳子的力仍然向上，但凳子运动方向向下，故人对凳子做负功，故B正确，A、C、D错误.
2.(功的计算)(2018·岷县一中高一下学期期末)用水平恒力F作用于质量为m的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离l，恒力F做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )
A.W1>W2 B.W1m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同.设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则( )
图2
A.无论水平面光滑与否，都有W1＝W2
B.若水平面光滑，则W1>W2
C.若水平面粗糙，则W1>W2
D.若水平面粗糙，则W1WB B.WA＝WB
C.WAmg；在t1～t2时间内，重物匀速上升，钢索拉力F2＝mg；在t2～t3时间内，重物匀减速上升，钢索拉力F3F2v1；t1～t2时间内，功率保持不变，P＝F2v1，t2～t3时间内，功率均匀减小，且t2时刻F2v1>F3v1，综上所述，只有B正确.
10.(多选)(2018·吉林省实验中学高一下学期期末)将三个光滑的平板倾斜固定，三个平板顶端到底端的高度相等，三个平板AC、AD、AE与水平面间的夹角分别为θ1、θ2、θ3，如图3所示.现将三个完全相同的小球由最高点A沿三个平板同时无初速度释放，经一段时间到达平板的底端.则下列说法正确的是( )
图3
A.重力对三个小球所做的功相同
B.沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球的重力的平均功率最大
C.三个小球到达底端时的瞬时速度大小相同
D.沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最小
答案 ACD
解析 设A点距水平面的高度为h，小球的质量为m，对沿AC板下滑的小球，重力做功WAC＝mgsin θ·LAC＝mgh，同理可得，重力对三个小球所做的功相同，均为W＝mgh，选项A正确；由a＝gsin θ以及L＝eq \f(h,sin θ)＝eq \f(1,2)at2可知，t＝eq \f(1,sin θ)eq \r(\f(2h,g))，故沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球运动的时间最长，根据eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)可知，重力的平均功率最小，选项B错误；根据v2＝2ax＝2gsin θ·eq \f(h,sin θ)＝2gh，可知三个小球到达底端的速度大小相同，根据P＝mgvsin θ可知，沿倾角为θ3的AE平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最小，选项C、D正确.
11.(多选)(2018·商丘市高一下学期期末九校联考)如图4甲所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动.监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图乙、丙所示.取g＝10 m/s2，则( )
图4
A.第1 s内推力做功为1 J
B.第2 s内物体克服摩擦力做的功为2 J
C.t＝1.5 s时推力F的功率为2 W
D.第2 s内推力F做功的平均功率为3 W
答案 BD
解析 由题图丙可知，第1 s内物体保持静止状态，在推力方向上没有位移，故推力做功为0，故A错误；由题图乙、丙可知，第3 s内物体做匀速运动，F＝2 N，故F＝Ff＝2 N，由v－t图像知，第2 s内物体的位移x＝eq \f(1,2)×1×2 m＝1 m，第2 s内物体克服摩擦力做的功Wf＝Ffx＝2 J，故B正确；第2 s内推力F＝3 N，t＝1.5 s时物体的速度为v＝1 m/s，故推力的功率为P＝Fv＝3 W，第2 s内推力F做功WF＝Fx＝3 J，故第2 s内推力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(WF,t)＝3 W，故C错误，D正确.
12.(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用.水平力F与时间t的关系如图5所示，力的方向保持不变，则( )
图5
A.3t0时刻，物体的速度为eq \f(15F0t0,m)
B.3t0时刻的瞬时功率为eq \f(8F\\al( 2,0)t0,m)
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为eq \f(8F\\al( 2,0)t0,3m)
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为eq \f(25F\\al( 2,0)t0,6m)
答案 BC
解析 由题图知，0～2t0时间内，物体加速度a1＝eq \f(F0,m)，位移x1＝eq \f(1,2)a1(2t0)2＝eq \f(2F0t\\al( 2,0),m)，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝eq \f(2F0t0,m)；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝eq \f(2F0,m)，位移x2＝v1t0＋eq \f(1,2)a2t02＝eq \f(3F0t\\al( 2,0),m)，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝eq \f(4F0t0,m)，所以3t0时刻的瞬时功率P＝2F0v2＝eq \f(8F\\al( 2,0)t0,m)，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝eq \f(F0x1＋2F0x2,3t0)＝eq \f(8F\\al( 2,0)t0,3m)，选项C正确，D错误.
13.起重机将一质量为1.0×103 kg的货物竖直向上吊起，货物运动的v－t图象如图6所示，求：(取g＝10 m/s2)
图6
(1)整个过程中货物上升的高度；
(2)减速过程中货物的加速度大小；
(3)加速过程中起重机拉力的平均功率.
答案 (1)14 m (2)0.5 m/s2 (3)1.1×104 W
解析 (1)v－t图像中图像与时间轴围成的面积即为货物在该段时间内的位移，
所以：x＝eq \f(1,2)×(4＋10)×2 m＝14 m
(2)由公式：a＝eq \f(vt－v0,t)
可得：a＝－0.5 m/s2
故减速过程中货物的加速度大小为0.5 m/s2
(3)由题图可知加速过程中：a′＝1 m/s2，eq \x\t(v)＝1 m/s
由牛顿第二定律得：
F牵－mg＝ma′
解得：F牵＝1.1×104 N
由eq \x\t(P)＝F牵eq \x\t(v)得：
eq \x\t(P)＝1.1×104 W
14.(2018·泉州五中期末)如图7所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动.已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)则：
图7
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
答案 (1)960 W (2)480 W
解析 (1)物体对水平面的压力等于水平面对物体的支持力，FN＝mg－Fsin 37°＝10×10 N－100×0.6 N＝40 N
由牛顿第二定律得物体的加速度
a＝eq \f(Fcs 37°－μFN,m)＝eq \f(100×0.8－0.5×40,10) m/s2＝6 m/s2
第2 s末，物体的速度v＝at＝12 m/s
第2 s末，拉力F对物体做功的功率P＝Fvcs 37°＝960 W.
(2)从开始运动到物体前进12 m，所用时间为
t′＝eq \r(\f(2l,a))＝eq \r(\f(2×12,6)) s＝2 s
该过程中拉力对物体做功
W＝Flcs 37°＝100×12×0.8 J＝960 J
拉力对物体做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t′)＝eq \f(960,2) W＝480 W.条件
从动力学角度看
从能量角度看
正功
当0≤α＜eq \f(π,2)时，cs α＞0，W＞0
力是物体运动的动力
力对物体做正功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
不做功
当α＝eq \f(π,2)时，cs α＝0，W＝0
力对物体既不起动力作用，也不起阻力作用
负功
当eq \f(π,2)＜α≤π时，cs α＜0，W＜0
力是物体运动的阻力
物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身能量为代价)，即负功表示物体失去了能量
说明
也可根据力和速度方向夹角判断功的正负
起重机编号
被吊物体重力
匀速上升速度
上升的高度
所用时间
做功
A
2.0×103 N
4 m/s
16 m
4 s
B
4.0×103 N
3 m/s
6 m
2 s
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度