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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动1 简谐运动导学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动1 简谐运动导学案，共15页。
1 简谐运动
[学科素养与目标要求]
物理观念：1.知道什么是弹簧振子，知道振子的平衡位置和位移的概念.2.知道简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道其图象是一条正弦曲线.
科学思维：会根据简谐运动的位移—时间图象分析振子的位移和速度的变化情况.
科学探究：通过对比振子和匀速直线运动物体的位移—时间图象，弄清图象的物理意义及应用.
一、弹簧振子
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.
2.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.
3.弹簧振子：小球和弹簧构成的系统.
二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)
1.用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示.
图1
2.振子的位移：振子相对平衡位置的位移.
三、简谐运动及其图象
简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
1.判断下列说法的正误.
(1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动.( √ )
(2)物体的往复运动都是机械振动.( × )
(3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段.( √ )
(4)简谐运动的图象表示质点振动的轨迹是正弦曲线.( × )
2.如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点运动到C点的过程中，位移变________(选填“小”或“大”)，速度变________(选填“小”或“大”).
图2
答案 OC 小 大
一、弹簧振子
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动.
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案 (1)小球的运动具有往复性.小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动. (2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长. (3)小球将持续地做往复运动.
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动).
图3 图4
2.弹簧振子是一种理想化模型.实际物体可看成弹簧振子的条件：
(1)不计摩擦阻力和空气阻力.
(2)不计弹簧的质量.
(3)物体可视为质点.
(4)弹簧的形变在弹性限度内.
3.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.
(3)加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力.不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.
例1 (多选)在图5中，当振子由A向平衡位置O运动时，下列说法正确的是( )
图5
A.振子的位移变小B.振子的运动方向向左
C.振子的位移方向向左D.振子的位移变大
答案 AB
解析 在振动中位移的参考点是O点，由于振子在O点的右侧由A向O运动，所以振子的运动方向向左，位移方向向右，且位移变小，故A、B正确.
例2 如图6所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间振动，O是平衡位置.关于小球的运动情况，下列描述正确的是( )
图6
A.小球经过O点时速度为零
B.小球经过M点与N点时有相同的加速度
C.小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大
D.小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小
答案 D
解析 小球经过O点时速度最大，A错；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错；小球从M点向O点运动过程中，速度增大，加速度减小，C错；小球从O点向N点运动过程中，速度减小，加速度增大，D对.
[学科素养] 以上两题考查了弹簧振子在振动过程中位移、速度、加速度的变化规律，在位移为零处，即平衡位置，加速度为零，速度最大；在最大位移处，速度为零，加速度最大.通过解题，让物理概念和规律在头脑中得到提炼和升华，体现了“物理观念”与“科学思维”的学科素养.
二、简谐运动及其图象
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图象：
如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图象是否为正弦曲线？
答案 (1)是一条垂直于OO′的直线.
(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置.一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线是否可以用正弦函数表示.
1.对x－t图象的理解
x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律.
注意 x－t图象不是振子的运动轨迹.
2.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
3.x－t图象的应用
(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示.
(2)判断任意时刻质点的振动方向.看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动.
甲 乙
图7
(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断.图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向.在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.
例3 如图8甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
甲 乙
图8
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动.
(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________.
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是____________________.
(4)振子在前4 s内的位移等于________.
答案 (1)E 右 (2)E G E F E (3)相反 逐渐增大 (4)0
解析 (1)由题图知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从起始位置开始，振子向正的最大位移处运动，即向右运动.(2)由x－t图象知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点.(3)t＝2 s时，图线切线的斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线切线的斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度逐渐增大.(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零.
例4 (2016·北京卷)如图9所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动.以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向.若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为( )
图9
答案 A
解析 开始计时时振子位于正向最大位移处，向负方向做简谐运动，振动图象为余弦函数图象，A项对.
1.(对机械振动的理解)(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A.做机械振动的物体必有一个平衡位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
答案 AB
解析 物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向振动物体所在位置的有向线段，位移随时间而变，振动物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，故B正确，C、D错误.
2.(对弹簧振子的理解)如图10所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是( )
图10
A.振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B.振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等
D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
答案 C
解析 因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确.振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误.
3.(弹簧振子的位移－时间图象)(多选)(2017·长沙市高二检测)如图11所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图象，下列关于该图象的说法正确的是( )
图11
A.该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B.从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向做匀速运动
D.图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
答案 ACD
解析 由题图看出，弹簧振子在x轴方向做简谐运动，小球并不是沿t轴方向移动，由对称性可知，该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置，故A正确，B错误；为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向做匀速运动，故C正确；题图中小球的疏密反映了小球在x轴方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢，故D正确.
4.(简谐运动的图象)如图12所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是( )
图12
A.0.1 s时振子正通过平衡位置向正方向运动
B.0.1～0.15 s这段时间内，振子的加速度增大，速度减小，加速度方向与速度方向相反
C.0.2～0.3 s这段时间内，振子的位移在增大
D.该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的
答案 B
解析 从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正方向的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；0.1 s以后振子的位移为负，因此0.1 s时振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；0.1～0.15 s这段时间内，振子向负方向运动，加速度增大，速度减小，加速度方向指向平衡位置，为正方向，加速度与速度方向相反，B选项正确；0.2～0.3 s这段时间内，振子从负的最大位移处向平衡位置运动，位移减小，C选项错误.
一、选择题
考点一 机械振动的理解和判断
1.(多选)下列运动属于机械振动的是( )
A.说话时声带的运动
B.弹簧振子在竖直方向的上下运动
C.体育课上某同学进行25米折返跑
D.竖直向上抛出的物体的运动
答案 AB
解析 机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动.
考点二 弹簧振子
2.(多选)如图1所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统.用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
图1
A.钢球的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
答案 BC
解析 振子的平衡位置为振子原来静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，可知C对，D错.
3.(多选)如图2所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中( )
图2
A.位移方向向左，速度方向向左B.位移方向向左，速度方向向右
C.位移不断增大，速度不断减小D.位移不断减小，速度不断增大
答案 BD
解析 在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确.
4.如图3为某鱼漂的示意图.当鱼漂静止时，水位恰好在O点.用手将鱼漂往下按，使水位到达M点.松手后，鱼漂会上下运动，水位在M、N之间来回移动.且鱼漂的运动是简谐运动.下列说法正确的是( )
图3
A.水位到达N点时，鱼漂的位移向下最大
B.水位在O点时，鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时，鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
答案 B
解析 水位由O点到N点过程，鱼漂向上运动，到达N点时，鱼漂的位移方向向上，达到最大，A错误；O点是平衡位置，所以水位在O点时鱼漂的速度最大，B正确；水位到达M点时，鱼漂具有向上的加速度，C错误；鱼漂由上往下运动时，可能加速也可能减速，D错误.
5.对水平弹簧振子，下列说法正确的是( )
A.每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
B.通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
答案 A
解析 振子每次通过同一位置时，其速度方向不一定相同，但由于受力相同，加速度一定相同，A正确；振子通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，速度方向不一定相同，C错误；若位移为负值，则加速度一定为正值，振子远离平衡位置运动时速度方向为负值，D错误.
考点三 简谐运动及其图象
6.(2018·屯溪一中高二下学期期中)如图4所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动.O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过eq \f(1,4)周期，振子具有正方向的最大速度，那么下列四幅图象中能够正确反映振子的振动情况的图线是( )
图4
答案 D
解析 经过eq \f(1,4)周期振子具有最大的正向速度，说明t＝0时振子在负向最大位移处，故选D.
7.(多选)如图5所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
图5
A.由P→Q，位移在增大B.由P→Q，速度在增大
C.由M→N，位移先减小后增大D.由M→N，位移始终减小
答案 AC
解析 由P→Q，物体远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，物体先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误.
8.如图6甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线.若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是( )
图6
A.振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B.1 s末到5 s末振子的路程为10 cm
C.2 s末和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同
D.振子在2 s内完成一次往复性运动
答案 A
解析 由题图可知振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，故A正确，D错误；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长，为40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误.
9.(多选)如图7所示为某简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是( )
图7
A.质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动
B.质点在1.5 s时的位移最大
C.1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大
D.1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大
答案 BC
解析 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向为正，正在向平衡位置运动，所以A错误；质点在1.5 s时的位移最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置运动，所以其位移在增大，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向着平衡位置运动，所以其位移在减小，故D错误.
10.(2017·北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图8所示，下列描述正确的是( )
图8
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
解析 t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误.
11.某弹簧振子的振动图象如图9所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，则( )
图9
A.在0.1～0.2 s振子正在做加速度减小的加速运动
B.在0.1～0.2 s振子正在做加速度增大的减速运动
C.在0.1～0.2 s振子速度方向沿x轴正方向
D.在0.15 s时振子的位移一定等于2 cm
答案 B
解析 在0.1～0.2 s，振子由平衡位置向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，振子的速度方向沿x轴负方向，故A、C错误，B正确；在0.1～0.2 s内振子做加速度增大的减速运动，故在0.15 s时振子的位移不等于2 cm，D错误.
二、非选择题
12.如图10所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线.从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有________性，三个物体中，最简单的振动是________的振动.图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s，则此人的心率是________次/分.
图10
答案 周期 弹簧振子 67.5
解析 三个物体振动的共同特点是具有周期性，三个物体中，最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动图线可知，心脏跳动一次方格纸走过了3.2个格，即3.2×0.5 cm＝1.6 cm，故心脏跳动一次所需要的时间为eq \f(1.6,1.8) s，故1分钟心脏跳动的次数为n＝eq \f(60×1.8,1.6) 次＝67.5次.
13.如图11所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
图11
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
答案 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
解析 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小.由题图知最大距离为2 cm.
14.如图12所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图12
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在2 s末的位移是多少？
答案 (1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动 (3)0
解析 (1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点2 s末在平衡位置，因此位移为零.
1 简谐运动
[学科素养与目标要求]
物理观念：1.知道什么是弹簧振子，知道振子的平衡位置和位移的概念.2.知道简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道其图象是一条正弦曲线.
科学思维：会根据简谐运动的位移—时间图象分析振子的位移和速度的变化情况.
科学探究：通过对比振子和匀速直线运动物体的位移—时间图象，弄清图象的物理意义及应用.
一、弹簧振子
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.
2.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.
3.弹簧振子：小球和弹簧构成的系统.
二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)
1.用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示.
图1
2.振子的位移：振子相对平衡位置的位移.
三、简谐运动及其图象
简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
1.判断下列说法的正误.
(1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动.( √ )
(2)物体的往复运动都是机械振动.( × )
(3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段.( √ )
(4)简谐运动的图象表示质点振动的轨迹是正弦曲线.( × )
2.如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点运动到C点的过程中，位移变________(选填“小”或“大”)，速度变________(选填“小”或“大”).
图2
答案 OC 小 大
一、弹簧振子
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动.
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案 (1)小球的运动具有往复性.小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动. (2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长. (3)小球将持续地做往复运动.
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动).
图3 图4
2.弹簧振子是一种理想化模型.实际物体可看成弹簧振子的条件：
(1)不计摩擦阻力和空气阻力.
(2)不计弹簧的质量.
(3)物体可视为质点.
(4)弹簧的形变在弹性限度内.
3.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.
(3)加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力.不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.
例1 (多选)在图5中，当振子由A向平衡位置O运动时，下列说法正确的是( )
图5
A.振子的位移变小B.振子的运动方向向左
C.振子的位移方向向左D.振子的位移变大
答案 AB
解析 在振动中位移的参考点是O点，由于振子在O点的右侧由A向O运动，所以振子的运动方向向左，位移方向向右，且位移变小，故A、B正确.
例2 如图6所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间振动，O是平衡位置.关于小球的运动情况，下列描述正确的是( )
图6
A.小球经过O点时速度为零
B.小球经过M点与N点时有相同的加速度
C.小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大
D.小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小
答案 D
解析 小球经过O点时速度最大，A错；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错；小球从M点向O点运动过程中，速度增大，加速度减小，C错；小球从O点向N点运动过程中，速度减小，加速度增大，D对.
[学科素养] 以上两题考查了弹簧振子在振动过程中位移、速度、加速度的变化规律，在位移为零处，即平衡位置，加速度为零，速度最大；在最大位移处，速度为零，加速度最大.通过解题，让物理概念和规律在头脑中得到提炼和升华，体现了“物理观念”与“科学思维”的学科素养.
二、简谐运动及其图象
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图象：
如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图象是否为正弦曲线？
答案 (1)是一条垂直于OO′的直线.
(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置.一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线是否可以用正弦函数表示.
1.对x－t图象的理解
x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律.
注意 x－t图象不是振子的运动轨迹.
2.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
3.x－t图象的应用
(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示.
(2)判断任意时刻质点的振动方向.看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动.
甲 乙
图7
(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断.图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向.在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.
例3 如图8甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
甲 乙
图8
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动.
(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________.
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是____________________.
(4)振子在前4 s内的位移等于________.
答案 (1)E 右 (2)E G E F E (3)相反 逐渐增大 (4)0
解析 (1)由题图知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从起始位置开始，振子向正的最大位移处运动，即向右运动.(2)由x－t图象知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点.(3)t＝2 s时，图线切线的斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线切线的斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度逐渐增大.(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零.
例4 (2016·北京卷)如图9所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动.以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向.若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为( )
图9
答案 A
解析 开始计时时振子位于正向最大位移处，向负方向做简谐运动，振动图象为余弦函数图象，A项对.
1.(对机械振动的理解)(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A.做机械振动的物体必有一个平衡位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
答案 AB
解析 物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向振动物体所在位置的有向线段，位移随时间而变，振动物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，故B正确，C、D错误.
2.(对弹簧振子的理解)如图10所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是( )
图10
A.振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B.振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等
D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
答案 C
解析 因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确.振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误.
3.(弹簧振子的位移－时间图象)(多选)(2017·长沙市高二检测)如图11所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图象，下列关于该图象的说法正确的是( )
图11
A.该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B.从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向做匀速运动
D.图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
答案 ACD
解析 由题图看出，弹簧振子在x轴方向做简谐运动，小球并不是沿t轴方向移动，由对称性可知，该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置，故A正确，B错误；为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向做匀速运动，故C正确；题图中小球的疏密反映了小球在x轴方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢，故D正确.
4.(简谐运动的图象)如图12所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是( )
图12
A.0.1 s时振子正通过平衡位置向正方向运动
B.0.1～0.15 s这段时间内，振子的加速度增大，速度减小，加速度方向与速度方向相反
C.0.2～0.3 s这段时间内，振子的位移在增大
D.该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的
答案 B
解析 从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正方向的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；0.1 s以后振子的位移为负，因此0.1 s时振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；0.1～0.15 s这段时间内，振子向负方向运动，加速度增大，速度减小，加速度方向指向平衡位置，为正方向，加速度与速度方向相反，B选项正确；0.2～0.3 s这段时间内，振子从负的最大位移处向平衡位置运动，位移减小，C选项错误.
一、选择题
考点一 机械振动的理解和判断
1.(多选)下列运动属于机械振动的是( )
A.说话时声带的运动
B.弹簧振子在竖直方向的上下运动
C.体育课上某同学进行25米折返跑
D.竖直向上抛出的物体的运动
答案 AB
解析 机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动.
考点二 弹簧振子
2.(多选)如图1所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统.用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
图1
A.钢球的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
答案 BC
解析 振子的平衡位置为振子原来静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，可知C对，D错.
3.(多选)如图2所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中( )
图2
A.位移方向向左，速度方向向左B.位移方向向左，速度方向向右
C.位移不断增大，速度不断减小D.位移不断减小，速度不断增大
答案 BD
解析 在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确.
4.如图3为某鱼漂的示意图.当鱼漂静止时，水位恰好在O点.用手将鱼漂往下按，使水位到达M点.松手后，鱼漂会上下运动，水位在M、N之间来回移动.且鱼漂的运动是简谐运动.下列说法正确的是( )
图3
A.水位到达N点时，鱼漂的位移向下最大
B.水位在O点时，鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时，鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
答案 B
解析 水位由O点到N点过程，鱼漂向上运动，到达N点时，鱼漂的位移方向向上，达到最大，A错误；O点是平衡位置，所以水位在O点时鱼漂的速度最大，B正确；水位到达M点时，鱼漂具有向上的加速度，C错误；鱼漂由上往下运动时，可能加速也可能减速，D错误.
5.对水平弹簧振子，下列说法正确的是( )
A.每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
B.通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
答案 A
解析 振子每次通过同一位置时，其速度方向不一定相同，但由于受力相同，加速度一定相同，A正确；振子通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，速度方向不一定相同，C错误；若位移为负值，则加速度一定为正值，振子远离平衡位置运动时速度方向为负值，D错误.
考点三 简谐运动及其图象
6.(2018·屯溪一中高二下学期期中)如图4所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动.O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过eq \f(1,4)周期，振子具有正方向的最大速度，那么下列四幅图象中能够正确反映振子的振动情况的图线是( )
图4
答案 D
解析 经过eq \f(1,4)周期振子具有最大的正向速度，说明t＝0时振子在负向最大位移处，故选D.
7.(多选)如图5所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
图5
A.由P→Q，位移在增大B.由P→Q，速度在增大
C.由M→N，位移先减小后增大D.由M→N，位移始终减小
答案 AC
解析 由P→Q，物体远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，物体先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误.
8.如图6甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线.若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是( )
图6
A.振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B.1 s末到5 s末振子的路程为10 cm
C.2 s末和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同
D.振子在2 s内完成一次往复性运动
答案 A
解析 由题图可知振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，故A正确，D错误；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长，为40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误.
9.(多选)如图7所示为某简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是( )
图7
A.质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动
B.质点在1.5 s时的位移最大
C.1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大
D.1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大
答案 BC
解析 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向为正，正在向平衡位置运动，所以A错误；质点在1.5 s时的位移最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置运动，所以其位移在增大，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向着平衡位置运动，所以其位移在减小，故D错误.
10.(2017·北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图8所示，下列描述正确的是( )
图8
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
解析 t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误.
11.某弹簧振子的振动图象如图9所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，则( )
图9
A.在0.1～0.2 s振子正在做加速度减小的加速运动
B.在0.1～0.2 s振子正在做加速度增大的减速运动
C.在0.1～0.2 s振子速度方向沿x轴正方向
D.在0.15 s时振子的位移一定等于2 cm
答案 B
解析 在0.1～0.2 s，振子由平衡位置向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，振子的速度方向沿x轴负方向，故A、C错误，B正确；在0.1～0.2 s内振子做加速度增大的减速运动，故在0.15 s时振子的位移不等于2 cm，D错误.
二、非选择题
12.如图10所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线.从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有________性，三个物体中，最简单的振动是________的振动.图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s，则此人的心率是________次/分.
图10
答案 周期 弹簧振子 67.5
解析 三个物体振动的共同特点是具有周期性，三个物体中，最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动图线可知，心脏跳动一次方格纸走过了3.2个格，即3.2×0.5 cm＝1.6 cm，故心脏跳动一次所需要的时间为eq \f(1.6,1.8) s，故1分钟心脏跳动的次数为n＝eq \f(60×1.8,1.6) 次＝67.5次.
13.如图11所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
图11
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
答案 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
解析 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小.由题图知最大距离为2 cm.
14.如图12所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图12
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在2 s末的位移是多少？
答案 (1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动 (3)0
解析 (1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点2 s末在平衡位置，因此位移为零.
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