2024年山东省枣庄市滕州市滕南中学九年级中考数学一模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列实数中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，
下列实数中，无理数有，共2个，
故选：B．
2. 我国航天事业发展越来越吸引人们关注，刚返回地面的神舟17号三名航天员接受采访的短视频最近在短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法，绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，n为整数位数减1，据此即可解答．
【详解】解：万．
故选：C．
3. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，根据数轴判断出式子的正负是解题关键．根据数轴推出，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
，
故选：D．
4. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合．
【详解】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有种，
小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率，
故选：C．
6. 已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图和菱形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，平分，但不能判定四边形为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图可知，不一定垂直平分，四边形不一定为菱形，故④不符合题意；
综上分析可知，正确的只有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的基本作图，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定．
7. 马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．
【详解】解：∵，，A为的中点，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
故选B
8. 如图，等边的边长为1，D是边上的一动点，过点D作边的垂线，交于点G，设线段的长度为x，的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化．根据题意可知，点为临界点，分别研究在点两侧时的情况即可．
【详解】解：当时，，
∵是等边三角形
∴
，
，
根据解析式可知正确，
故选：．
9. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
10. 已知m的平方根是和，则m的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
根据一个数的两个平方根互为相反数列式求得k的值，进而求得m的值．
【详解】解：∵m的平方根是和，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
11. 已知数轴上两点，其中A表示的数为表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点的“和距离点”．如图，若点表示的数为0，有，则称点为点的“5和距离点”．如果点在数轴上（不与重合），满足，且此时点为点的“和距离点”，则的值为______．
【答案】5或15##15或5
【解析】
【分析】本题考查数轴，一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，解题的关键是掌握“m和距离点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般．设D点表示的数为x，需要分类讨论：①当D点在线段上时（不与A，B重合），②当D点在线段延长线上时（不与B重合），列方程可得结论．
【详解】解：设D点表示的数为x，
∵，
∴D的位置有两种可能，
当D点在线段上时（不与A，B重合），
，，
∴，
解得： ，
此时；
当D点在线段延长线上时（不与B重合），
，，
，
解得：，
此时，
综上所述，m的值为5或15．
故答案为：5或15．
12. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与不等式，与解析式构成不等式解集的关系，确定交点的横坐标，结合不等式，利用数形结合思想解答即可．熟练掌握数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
的解集是：，
故答案为：．
13. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质及折叠的性质推出，得到，再根据勾股定理列得，求出的长．
【详解】由折叠得，
∵四边形矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
解得，
故答案为：．
14. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，延长交x轴于点C，若的面积为12，且，则_______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，过点A作于D，设，，由的面积为12，推出，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．
详解】解：如图所示，过点A作于D，设，
，
的面积为12，
，
∵，
∴B点是中点，
B点坐标
B点在反比例图像上，
又∵，
∴，
，
，
故答案是：8．
15. 如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上点，，，在轴的正半轴上，若，，，均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；根据题意分别求出，，，，，，，进而求出，，，，，，以探索三角形面积的规律，即可求解．
【详解】解：交轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
若，，，均为等腰直角三角形，
，，，，
，，，，，
的面积为；
故答案为：．
三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解．
【详解】解：
17. 先化简，再求代数式的值，其中：．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，属于简答题，熟悉分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则进行化简即可解题．
【详解】解：
，
当时，
原式
18. 一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．

（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】(1)把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到．
【小问1详解】
将代入，
得，，
∴,
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
【小问2详解】
联立，解得，，或，
∴，
观察图象可得:当时，；
【小问3详解】
①当时，轴，
∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，

∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键．
19. 如图，在 中，，为的直径，与相交于点 D，过点D作于点E，延长线交于点F．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论；
（2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，，
，,
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质．解题的关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用勾股定理和垂径定理求长度．
20. 如图，宜宾的著名建筑夹镜楼始建于清代初年，有诗曰：“两水夹明镜，双桥落彩虹； 巍峨夹镜楼，一楼镇三江”． 某校数学爱好者小明决定利用数学方法计算夹镜楼的高度．用无人机在夹镜楼的顶端C处测得地面上A、B两点的俯角分别为和又测得A、B两点的距离为，且点D、A、B在同一水平直线上，于是很快算出夹镜楼的高度． 请你写出解答过程．（结果精确到． 参考数据 ）
【答案】23m
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，，
在中，设，则．
中，
，
，
，
，
解得
夹镜楼的高度为23m．
21. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）4．
【解析】
【分析】（1）利用定理证明，根据全等三角形性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：连接、，如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点P的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：作交于点，
令，则，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点R的坐标为，
∴
，
∵，
∴时，有最大值，此时点P的坐标为；
【小问3详解】
解：∵点Q线段上一点，
∴设点Q的坐标为，
∵，，
∴，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点P的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为；
如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴点P的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
10
15
20
谢谢惠顾
10
20
25
30
10
15
25
30
35
15
20
30
35
40
20
谢谢惠顾
10
15
20
0