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    2024厦门双十中学高一下学期4月月考数学试题

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    2024厦门双十中学高一下学期4月月考数学试题

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    这是一份2024厦门双十中学高一下学期4月月考数学试题,共10页。试卷主要包含了考试结束后,将答题卡交回, C,已知向量满足,设复数,则以下结论正确的是等内容,欢迎下载使用。
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上
    2.选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
    3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液,不按以上方式作答无效,
    4.考试结束后,将答题卡交回.
    一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
    1.已知,则等于( )
    A.10 B.-10 C.3 D.-3
    2.若复数满足,则( )
    A.-2 B.0 C. D.2
    3,下列结论正确的是( )
    A.用一个平面去截一个圆台,得到的图形可能是平行四边形
    B.有两个面平行且相似,其余各个面都是梯形的多面体是棱台
    C.棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形
    D.用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台
    4.在中角所对边满足,则( )
    A.4 B.5. C.6 D.6或
    5.在平行四边形中,,则( )
    A.-12 B.-8 C.8 D.12
    6.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛,参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具,原材料为如图所示的是边上一点,,要求分别把的内切圆裁去,则裁去的圆的周长为( )
    A. B. C. D.
    7.已知是所在平面内一点,且,则的最大值为( )
    A. B. C. D.
    8.已知向量满足:为单位向量,且和相互垂直,又对任意不等式恒成立,若,则的最小值为( )
    A.1 B. C. D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.已知是两个互相垂直的单位向量,,则下列结论中正确的有( )
    A. B.
    C. D.与的夹角为
    10.设复数,则以下结论正确的是( ).
    A. B.
    C.是方程的根 D.
    11.已知锐角三个内角的对应边分别为,且.则下列结论正确的是( )
    A.的面积最大值为
    B.的取值范围为
    C.的值可能为3
    D.的最小值为
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.设为复数,若,则的最大值为__________.
    13.已知为单位向量,且,则在上的投影向量为__________(用或表示)
    14.已知在所在平面内,分别为线段的中点,直线与相交于点,若,则的最大值为__________.
    四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)
    已知,当为何值时:
    (1)与共线;
    (2)与的夹角为.
    16.(本小题满分15分)
    已知的内角的对边分别为,且.
    (1)求角的大小;
    (2)若的面积为,求的周长和外接圆的面积;
    (3)若,求的值.
    17.(本小题满分15分)
    已知的内角所对的边分别为,且.
    (1)求的大小;
    (2)为内一点,的延记线交于点,__________,求的面积.
    请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上,使存在,并解决问题.
    ①为的外心,;
    ②为的内心,;
    ③为的重心,.
    18.(本小题满分17分)
    为改进城市旅游景观面貌、提高市民的生活幸福指数,城建部门拟在以水源为圆心的空地上,规划一个形状为四边形的动植物园.如图:四边形内接于圆为动物园区,为植物园区(为了方便植物园的浇水灌溉,水源必须在植物园区的内部或边界上).又根据规划已知千米,千米.
    (1)若,且,求边的长?
    (2)若千米,求该动植物园区面积的最小值?
    19.(本小题满分17分)
    在中,对应的边分别为
    (1)求;
    (2)奥古斯丁.路易斯.柯西(Augustin Luis Cauchy,1789年-1857年),法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
    ①用向量证明二维柯西不等式:
    ②已知三维分式型柯西不等式:,当且仅当时等号成立.若是内一点,过作垂线,垂足分别为,求的最小值.
    2023级高一数学必修第二册第一次阶段性训练-参考答案
    1-8BDCCACBD
    9.BD 10.ABD 11.BC
    12.3 13. 14.
    8.【详解】和相互垂直,则,则,结合图象,
    ,则,因为恒成立,则,即
    ,则,
    法1:
    对称轴时:,即
    法2:,因为,所以向量的终点共线(起点重合),则的面积,所以.
    11.【解析】因为为锐角三角形,所以,解得,同理可得.由正弦定理得,所以,因为,所以,所以;所以,因为,所以,所以.
    A选项,,A错误;
    选项,由余弦定理得,即,所以,所以,因为,所以正确;
    选项,由射影定理得.正确;
    D选项,当且仅当时取等号,但,而,所以,故,等号取不到,不正确.故选:
    14.【详解】,且为线段的中点,所以,
    则,设,则
    ,且和共线,,所以.
    故为线段的中点,且,所以
    且,若,则,
    即,故,当且仅当时,等号成立;,当的最大时,即最小时,此时.
    15.【详解】(1),所以.因为与共线,所以,4分解得.
    (2)因为,所以,,
    因为与的夹角为,所以.
    化简得12分解得.
    16.【详解】(1)由,由正弦定理,
    从而有,
    .
    (2)因为,所以,
    由余弦定理得:,即,
    解得,由,
    (3)因为,所以,所以,
    所以,
    .
    17.【详解】(1),即
    由正弦定理得,,即,

    (2)设外接圆半径为,则根据正弦定理得,,
    若选①:为的外心,则为外接圆半径,,与所给条件矛盾,故不能选①
    若选②:为的内心,,
    由得,
    ,即,
    由余弦定理可得,即,
    即,
    .
    若选③:为该三角形的重心,则为线段的中点且,
    又,即,
    又由余弦定理得,即,
    解得,
    18.【详解】(1),则
    在中,,即
    在中,,
    由正弦定理知;,即,
    则千米
    (2)设,则,在中:
    在中:
    则,得
    所以
    .
    .
    因为圆心在的内部或边界,所以,
    则,所以.
    19.【详解】(1)由正弦定理得即
    由余弦定理有,若,等式不成立,则,所以
    因为,所以.
    ①设,由,得
    从而即
    ②.

    .
    由三维分式型柯西不等式有.
    当且仅当即时等号成立.
    由余弦定理得,所以即,
    则令,则.
    因为.得,当且仅当时等号成立.
    所以.则.
    令;则在上递减,
    当即时,有最大值,此时有最小值.

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