湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．本试卷共 4页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在R上单调递增
B. 函数在上单调递增
C. 函数在R上单调递增
D. 函数在上单调递增
4. 如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则=（ ）
A. 9B. 10C. 18D. 19
8. 设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7
B. 样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同
C. 若随机事件，满足：，则，相互独立
D. 若，且函数为偶函数，则
10. 过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ）
A. 以为直径的圆过坐标原点
B.
C. 若直线斜率存在，则斜率为
D. 若，则
11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则____________．
13. 若复数满足：，则________.
14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，成等差数列，且面积为，求的周长．
16. 某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及人数，得到下表：
（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.
（参考数据：
，
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
19. 已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）函数在区间上极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.
①证明：；
②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310