还剩11页未读，
继续阅读
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附答案）
展开
这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则（ ）
A． B．2 C． D．5
2．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A,B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，已知,那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
7．如图，已知圆O的半径为2，弦长为圆O上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数为定义在上的偶函数，当时，,则下列四个判断正确的为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ）
参考公式：，其中．
附表：
A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B．女生中喜爱物理学科的频率为
C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
10．函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是2，已知．下列四个判断中，正确的有（ ）
A．函数有5个零点
B．当时，为偶函数
C．当时，函数的值域为
D．当时，函数关于对称
11．已知函数图象如图1所示，A,B分别为图象的最高点和最低点，过A,B作x轴的垂线，分别交x轴于,点C为该部分图象与x轴的交点，与y轴的交点为,此时．将绘有该图象的纸片沿x轴折成的二面角,如图2所示，折叠后，则下列四个结论正确的有（ ）
图1 图2
A．
B．的图象在上单调递增
C．在图2中，上存在唯一一点Q,使得面
D．在图2中，若是上两个不同的点，且满足,则的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知,则的最小值为__________．
13．已知直线与抛物线交于A,B两点，抛物线的焦点为F,O为原点，且,则__________．
14．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面,点E,F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知平面内的一动点满足方程．
（1）求动点P的轨迹C的标准方程；
（2）已知点，过的直线交轨迹C于A、B两点，若,求的面积．
17．（本小题满分15分）
在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．
（1）若平面,求证：;
（2）若为正三角形，E是的中点，求二面角余弦值的最小值．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点,
（i）求m的取值范围；（ii）求证：．
19．（本小题满分17分）
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
（1）用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
（2）已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
（3）记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
长沙市第一中学2023—2024学年度高二第二学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一、二、选择题
1．A 【解析】，故选A．
另解：．
2．B 【解析】圆锥底面圆的半径为，又圆锥母线长为5，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．
3．B 【解析】不等式等价于等价于，所以,即,解得或,故能推出成立，但是成立不一定有,所以“”是“”的必要不充分条件．
4．B 【解析】依题意，,根据对称性可知,从而,不妨设A在第一象限，则,故，故，可得渐近线方程为．
15．A 【解析】设等比数列的公比为，．
6．C 【解析】先在每个盒子中放一个白球和一个红球，剩下2个红球、2个白球共四个球，红球有种放法，同理白球也有6种放法，总共种放法．
7．D 【解析】依题意，,过点C作的垂线，垂足为E,则,当与圆相切时取到最大值与最小值，如图，此时．
8．D 【解析】令,则在恒成立，所以在单调递增，所以,即,又因为函数为定义在上的偶函数，所以,即．
9．AC 【解析】对于A,喜爱物理学科的学生共有（名），故喜爱物理学科的学生中男生的频率为，A正确；对于B,女生共有100名，喜爱物理的女有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；对于C，D，，故依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误．
10．ACD 【解析】A选项，令，得，作出和的图象可知此两个函数的图象有5个交点，故A正确；B选项，当时，，因为关于对称，所以关于对称，即为奇函数，故B错误；C选项，函数的最小正周期为2，当时，,求出的值域为，进而得到，C正确；D选项，的图象关于点对称，当时，的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称，所以D正确．
11．BD 【解析】函数的最小正周期为,则，又，平方得,即,即，即,因为,解得，故，即，所以,则,可得,又因为函数在附近单调递减，且,所以，故A错误；对于B选项，因为,当时，,此时单调递增，B符合题意；对于C选项，在平面内，过点D作交x轴于M,交于,再在平面上，过M作平行于的直线交于,此时面,故C错误；对于D选项，若均在上，由可知，平行于x轴，此时,若均在上，如图，作于点E,则,又,从而面,故,而，因此，在图1中作直线，则为与的交点，不妨设为与在y轴右侧最近的两个交点，则此时的最小值为，若不在同一个面上，此时，故D正确．
三、填空题
12． 【解析】，因为,故，当且仅当，即时取等号．
13．13 【解析】设,由得,则,所以，因为,所以，解得,所以,所以．
14． 【解析】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内．
延长到M,使得,则四点在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值．
在中，C是的中点，
又,得．
设的外心为,外接圆的半径为r,由得，，则,即．
设三棱锥外接球的半径为R,球心为O,连接,则,则．所以三棱锥外接球的表面积等于．
四、解答题
15．【解析】（1）,所以．
（2）因为，因为,所以．
因为,①
又,所以②，联立方程①②得：．
所以的面积为．
16．【解析】（1）方程，
表示平面内到定点的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆．
,
∴轨迹C的方程是．
（2）当直线的斜率不存在时，则,显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为,
由消去y整理得，
显然，所以，①
,②
因为，所以，代入①得，
代入②得，所以，即，
因为，所以,
所以，
所以的面积为．
17．【解析】（1）过点E作,交于M,连接．
则平面且．
又平面,且平面,
故平面平面,
又平面平面,平面平面,
所以,从而．
故,所以．
（2）过D作,垂足为G,则平面,再过G作,垂足为N,连接,则即为二面角的平面角．
在中，当点D从B向C运动时，增加，而减小，从而增加，
故D与C重合时二面角的余弦值最小．
此时，故．
故二面角余弦值的最小值为．
18．【解析】（1）函数,
当时，则在上单调递增；
当时，令,得．
当时，单调递减，
当时，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在单调递增．
（2）（i）由题意可得：,
令，整理可得,
设，则，
且,可知，
令,解得;令,解得;
则在内单调递减，在内单调递增，
由题意可知：有两个零点，则,解得,
若,令，则,
则,
可知在内有且仅有一个零点；
且当x趋近于趋近于，可知内有且仅有一个零点；
即，符合题意，综上所述：m的取值范围为．
（ii）由（i）可知：令,则，
令,
则,
因为,则,
可知在内单调递增，则,
可得在内恒成立，可知在内单调递增，
则,即,
不妨设，则,
且在内单调递减，可得，即,证毕．
19．【解析】（1）X的所有可能取值为0,1,2，
，
，
的分布列如下：
（2）记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为,
若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为,
故，
“第6位成员上场且闯过第二关”，“第3位成员闯过第一关”，
故，
．
（3）由（2）知，．
当时，若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人阁过第一关，其概率为,
故．
故．
，即单调递增；
又,
故,
所以,①
,②
得，
故．
由,得，
设,则，
故单调递减，,故满足题意的n的最大值为5．
性别
物理学科
合计
喜爱
不喜爱
男
60
40
100
女
20
80
100
合计
80
120
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
B
AA
C
D
D
AC
ACD
BD
X
0
1
2
P
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则（ ）
A． B．2 C． D．5
2．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则此圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点，满足A,B均在y轴右侧，且为正三角形，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，已知,那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
7．如图，已知圆O的半径为2，弦长为圆O上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数为定义在上的偶函数，当时，,则下列四个判断正确的为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ）
参考公式：，其中．
附表：
A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B．女生中喜爱物理学科的频率为
C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
10．函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是2，已知．下列四个判断中，正确的有（ ）
A．函数有5个零点
B．当时，为偶函数
C．当时，函数的值域为
D．当时，函数关于对称
11．已知函数图象如图1所示，A,B分别为图象的最高点和最低点，过A,B作x轴的垂线，分别交x轴于,点C为该部分图象与x轴的交点，与y轴的交点为,此时．将绘有该图象的纸片沿x轴折成的二面角,如图2所示，折叠后，则下列四个结论正确的有（ ）
图1 图2
A．
B．的图象在上单调递增
C．在图2中，上存在唯一一点Q,使得面
D．在图2中，若是上两个不同的点，且满足,则的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知,则的最小值为__________．
13．已知直线与抛物线交于A,B两点，抛物线的焦点为F,O为原点，且,则__________．
14．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马（如图），平面,点E,F分别在上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知平面内的一动点满足方程．
（1）求动点P的轨迹C的标准方程；
（2）已知点，过的直线交轨迹C于A、B两点，若,求的面积．
17．（本小题满分15分）
在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．
（1）若平面,求证：;
（2）若为正三角形，E是的中点，求二面角余弦值的最小值．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点,
（i）求m的取值范围；（ii）求证：．
19．（本小题满分17分）
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
（1）用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
（2）已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
（3）记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
长沙市第一中学2023—2024学年度高二第二学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一、二、选择题
1．A 【解析】，故选A．
另解：．
2．B 【解析】圆锥底面圆的半径为，又圆锥母线长为5，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为．
3．B 【解析】不等式等价于等价于，所以,即,解得或,故能推出成立，但是成立不一定有,所以“”是“”的必要不充分条件．
4．B 【解析】依题意，,根据对称性可知,从而,不妨设A在第一象限，则,故，故，可得渐近线方程为．
15．A 【解析】设等比数列的公比为，．
6．C 【解析】先在每个盒子中放一个白球和一个红球，剩下2个红球、2个白球共四个球，红球有种放法，同理白球也有6种放法，总共种放法．
7．D 【解析】依题意，,过点C作的垂线，垂足为E,则,当与圆相切时取到最大值与最小值，如图，此时．
8．D 【解析】令,则在恒成立，所以在单调递增，所以,即,又因为函数为定义在上的偶函数，所以,即．
9．AC 【解析】对于A,喜爱物理学科的学生共有（名），故喜爱物理学科的学生中男生的频率为，A正确；对于B,女生共有100名，喜爱物理的女有20名，故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；对于C，D，，故依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误．
10．ACD 【解析】A选项，令，得，作出和的图象可知此两个函数的图象有5个交点，故A正确；B选项，当时，，因为关于对称，所以关于对称，即为奇函数，故B错误；C选项，函数的最小正周期为2，当时，,求出的值域为，进而得到，C正确；D选项，的图象关于点对称，当时，的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称，所以D正确．
11．BD 【解析】函数的最小正周期为,则，又，平方得,即,即，即,因为,解得，故，即，所以,则,可得,又因为函数在附近单调递减，且,所以，故A错误；对于B选项，因为,当时，,此时单调递增，B符合题意；对于C选项，在平面内，过点D作交x轴于M,交于,再在平面上，过M作平行于的直线交于,此时面,故C错误；对于D选项，若均在上，由可知，平行于x轴，此时,若均在上，如图，作于点E,则,又,从而面,故,而，因此，在图1中作直线，则为与的交点，不妨设为与在y轴右侧最近的两个交点，则此时的最小值为，若不在同一个面上，此时，故D正确．
三、填空题
12． 【解析】，因为,故，当且仅当，即时取等号．
13．13 【解析】设,由得,则,所以，因为,所以，解得,所以,所以．
14． 【解析】如图所示，把剪开，使得与矩形在同一个平面内．
延长到M,使得,则四点在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值．
在中，C是的中点，
又,得．
设的外心为,外接圆的半径为r,由得，，则,即．
设三棱锥外接球的半径为R,球心为O,连接,则,则．所以三棱锥外接球的表面积等于．
四、解答题
15．【解析】（1）,所以．
（2）因为，因为,所以．
因为,①
又,所以②，联立方程①②得：．
所以的面积为．
16．【解析】（1）方程，
表示平面内到定点的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆．
,
∴轨迹C的方程是．
（2）当直线的斜率不存在时，则,显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为,
由消去y整理得，
显然，所以，①
,②
因为，所以，代入①得，
代入②得，所以，即，
因为，所以,
所以，
所以的面积为．
17．【解析】（1）过点E作,交于M,连接．
则平面且．
又平面,且平面,
故平面平面,
又平面平面,平面平面,
所以,从而．
故,所以．
（2）过D作,垂足为G,则平面,再过G作,垂足为N,连接,则即为二面角的平面角．
在中，当点D从B向C运动时，增加，而减小，从而增加，
故D与C重合时二面角的余弦值最小．
此时，故．
故二面角余弦值的最小值为．
18．【解析】（1）函数,
当时，则在上单调递增；
当时，令,得．
当时，单调递减，
当时，单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在单调递增．
（2）（i）由题意可得：,
令，整理可得,
设，则，
且,可知，
令,解得;令,解得;
则在内单调递减，在内单调递增，
由题意可知：有两个零点，则,解得,
若,令，则,
则,
可知在内有且仅有一个零点；
且当x趋近于趋近于，可知内有且仅有一个零点；
即，符合题意，综上所述：m的取值范围为．
（ii）由（i）可知：令,则，
令,
则,
因为,则,
可知在内单调递增，则,
可得在内恒成立，可知在内单调递增，
则,即,
不妨设，则,
且在内单调递减，可得，即,证毕．
19．【解析】（1）X的所有可能取值为0,1,2，
，
，
的分布列如下：
（2）记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为,
若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为,
故，
“第6位成员上场且闯过第二关”，“第3位成员闯过第一关”，
故，
．
（3）由（2）知，．
当时，若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人阁过第一关，其概率为,
故．
故．
，即单调递增；
又,
故,
所以,①
,②
得，
故．
由,得，
设,则，
故单调递减，,故满足题意的n的最大值为5．
性别
物理学科
合计
喜爱
不喜爱
男
60
40
100
女
20
80
100
合计
80
120
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
B
AA
C
D
D
AC
ACD
BD
X
0
1
2
P
相关试卷
湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）： 这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一阶段考试数学试卷Word版含解析docx、湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一阶段考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（PDF版附解析）： 这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（PDF版附解析），共13页。
湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）： 这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一阶段考试数学试卷Word版含解析docx、湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一阶段考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
