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湖南省长沙市麓山国际实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析）
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这是一份湖南省长沙市麓山国际实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：蔡云清 审题人：王京臣 总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A.B.C.D.
3.有一散点图如图所示，在A，B，C，D，E这5个点中去掉后，下列说法错误的是（ ）
A.相关系数r变大B.残差平方和变大
C.变量x，y正相关D.解释变量x与预报变量y的相关性变强
4.已知，，，（其中e为自然对数的底数），则下列不等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
6.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至6000，则C的增长率为（ ）（，）
A. 10%B. 16%C. 26%D. 33%
7.若函数存在最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知定义在上的函数，满足不等式，则x的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强
B.决定系数越大的模型，拟合的效果越好
C.回归直线至少会经过其中一个样本点
D.以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，b的值分别为2，6
10.已知，则以下不等式成立的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则（ ）
A.B.的图象关于点中心对称
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算______.
13.若a，b是方程的两个实根，则的值为______.
14.已知x，满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）若不等式解集为时，求实数a的值；
（2）时，恒成立，求实数x的取值范围.
16.（15分）已知幂函数是偶函数，.
（1）求实数k的值和解析式；
（2）判断的奇偶性，并用定义证明；
（3）直接写出的单调递减区间，并求不等式的解集.
17.（15分）已知函数是奇函数.
（1）求b的值和函数在区间上的值域；
（2）若不等式对于任意的上恒成立，求实数m的取值范围.
18.（17分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量.企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的A，B两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A，B生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.
（1）请完成列联表：并依据小概率值的独立性检验，分析一级品率是否与生产线有关？
（2）生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率.
①分别估计A，B生产线生产一件产品的平均利润；
②你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.
附：①参考公式：，其中.
②临界表值：
19.对于定义在区间上的函数，若.
（1）已知，，试写出、的表达式；
（2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；
（3）若，存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由.
2023-2024-2 麓山国际 高二4月学情检测
数学答案
命题人：蔡云清 审题人：王京臣 总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【详解】因为，所以.
因为，所以.故选B.
2.【答案】A
【详解】命题“，”为假命题，
则，解得，
对于A，能推出，反之不成立，故A正确；
对于B，不能推出，反之成立，故B不正确；
对于C，不能推出，反之成立，故C不正确；
对于D，能推出，反之成立，故D不正确.
所以命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是.
故选：A
3.【答案】B
【详解】观察散点图知，变量x，y呈线性相关，点D偏离回归直线较远，去掉后：
对于A，相关性变强，相关系数r变大，A正确；
对于B，残差平方和变小，B错误；
对于C，散点的分布是从左下到右上，因此变量x，y正相关，C正确；
对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，D正确.
故选：B
4.【答案】D
【详解】因为，，
，
，
所以，
故选：D
5.【答案】C
【详解】由题意得函数的定义域为，可排除B、D，
，
∴函数为偶函数，可排除选项A.
故选：C.
6.【答案】C
【详解】解：当时，，
当时，，
，
∴C的增长率约为26%.
故选：C
7.【答案】B
【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；
又因为在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
结合题意可得，解得，，
即实数a的取值范围为，
故选：B
8.【答案】A
【详解】令，则，，原函数化为，
令，显然，
即函数是奇函数，又函数，，都是R上的增函数，
因此函数是R上的增函数，不等式
，
则，
于是，解得，
所以x的取值范围是.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BD
【详解】对于A，因为，即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，决定系数越大则残差平方和越小，则其拟合的效果越好，故B正确；
对于C，回归直线不一定经过样本点，C选项错误；
对于D，由，得，，，D选项正确.
故选：BD.
10.【答案】ABD
【详解】当，所以，则，
当时可得，所以，则，
当时，，所以，
综上可得，故A正确；
因为，即，故B正确；
取、满足，但是，故C错误；
因为，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11.【答案】ABC
【详解】因为是偶函数，则，
所以，
所以.
当时，，
又，所以，所以，所以，故A正确；
由，得，
两式相减得，所以，
又，所以，即，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
，所以是以6为周期的周期函数，
所以，故C正确；
，D不正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【详解】.
13.【答案】12
【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为.
设方程的两根为，，则，.
由已知a，b是原方程的两个根.
可令，，则，
.
故答案为：12.
14.【答案】4
【详解】设，则为往右平移两个单位得来.
又为单调递增的奇函数，且关于对称.
故为单调递增的函数且关于对称.
又可知，关于对称.故，
即.又对任意的，恒成立.
即恒成立.故判别式，得.故k的最小值为4.故答案为4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）或；（2）.
【详解】
（1）由题设，是的解集，
，整理得，解得或；……………………5分
（2）由题意，时恒成立，
当时，则有恒成立，符合题意；
当时，则有，……………………9分
若，要使题设不等式恒成立，仅需即可，而上，
……………………11分
，解之得
综上，……………………13分
16.【答案】（1），
（2）偶函数，证明见解析
（3）的单调递减区间，
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在R上是奇函数，不满足题意，舍去；
当时，在上是偶函数，
综上，，……………………4分
（2），，
对于任意的，，
故是上的偶函数……………………8分
（3）因为，
且，在上是单调递减，在定义域内是单调递增，
所以在上是单调递减，……………………10分
因为是偶函数，所以在上是单调递增，
所以的单调递减区间，
所以由可得，所以，……………………13分
解得或，
所以不等式的解集为.……………………15分
17.【答案】（1）；
（2）
【详解】（1）由得，
所以定义域为，……………………1分
由是奇函数，则，
即，解得……………………3分
所以.经检验满足
……………………4分
令，易知在单调递减，则.
故，所以函数在区间上的值域为……………………6分
（2），其中，
所以，即，所以，……………………9分
令，，，
则，……………………11分
因为，当且仅当，即等号成立，
所以，所以……………………15分
18.【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为一级品率与生产线有关联，此推断犯错误概率不大于0.05.
（2）①A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元；
②A生产线的利润更为稳定；答案见解析.
【详解】解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：
……………………2分
零假设为
：一级品率与生产线无关联.
计算得：，……………4分
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为一级品率与生产线有关联，此推断犯错误概率不大于0.05.……………………6分
（2）A生产线生产一件产品为一、二、三级晶的概率分别为，，.
记A生产线生产一件产品的利润为X，则X的取值为100，50，，
其分布列为
……………………8分
B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为，，.
记B生产线生产一件产品的利润为Y，则Y的取值为100，50，，
其分布列为
……………………10分
①；
.
故A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.……………………12分
②；……………………14分
.……………………16分
因为，所以A生产线的利润更为稳定.……………………17分
19.【答案】（1）、
（2）
（3）是，
【详解】（1）解：因为函数在上单调递减，
则，……………………2分
因为函数在上单调递增，则.…………4分
（2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增，
……………………6分
当时，令，则，
由，则，对称轴，
根据复合函数的单调性，函数在为单调递增，故不成立.…………7分
当时，令，由，则，只需，
化简得，解得，
综上所述a的取值范围为……………………9分
（3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，……………………11分
所以，，……………………12分
当时，，，；……………………13分
当时，，，
因为函数在上单调递减，所以，；……………………14分
当时，，，
因为函数在上单调递增，
所以，……………………16分
综上所述：
故是上的“k阶收缩函数”，且小正整数.……………………17分0.10
0.02
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
一级品
非一级品
合计
A生产线
20
80
100
B生产线
35
65
100
合计
55
145
200
X
100
50
P
Y
100
50
P
命题人：蔡云清 审题人：王京臣 总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A.B.C.D.
3.有一散点图如图所示，在A，B，C，D，E这5个点中去掉后，下列说法错误的是（ ）
A.相关系数r变大B.残差平方和变大
C.变量x，y正相关D.解释变量x与预报变量y的相关性变强
4.已知，，，（其中e为自然对数的底数），则下列不等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
6.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至6000，则C的增长率为（ ）（，）
A. 10%B. 16%C. 26%D. 33%
7.若函数存在最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知定义在上的函数，满足不等式，则x的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强
B.决定系数越大的模型，拟合的效果越好
C.回归直线至少会经过其中一个样本点
D.以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则a，b的值分别为2，6
10.已知，则以下不等式成立的是（ ）
A.B.C.D.
11.已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则（ ）
A.B.的图象关于点中心对称
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算______.
13.若a，b是方程的两个实根，则的值为______.
14.已知x，满足，若对任意的，恒成立，则实数k的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）若不等式解集为时，求实数a的值；
（2）时，恒成立，求实数x的取值范围.
16.（15分）已知幂函数是偶函数，.
（1）求实数k的值和解析式；
（2）判断的奇偶性，并用定义证明；
（3）直接写出的单调递减区间，并求不等式的解集.
17.（15分）已知函数是奇函数.
（1）求b的值和函数在区间上的值域；
（2）若不等式对于任意的上恒成立，求实数m的取值范围.
18.（17分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量.企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的A，B两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A，B生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如图的统计图.
（1）请完成列联表：并依据小概率值的独立性检验，分析一级品率是否与生产线有关？
（2）生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率.
①分别估计A，B生产线生产一件产品的平均利润；
②你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.
附：①参考公式：，其中.
②临界表值：
19.对于定义在区间上的函数，若.
（1）已知，，试写出、的表达式；
（2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求a的取值范围；
（3）若，存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为上的“k阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由.
2023-2024-2 麓山国际 高二4月学情检测
数学答案
命题人：蔡云清 审题人：王京臣 总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【详解】因为，所以.
因为，所以.故选B.
2.【答案】A
【详解】命题“，”为假命题，
则，解得，
对于A，能推出，反之不成立，故A正确；
对于B，不能推出，反之成立，故B不正确；
对于C，不能推出，反之成立，故C不正确；
对于D，能推出，反之成立，故D不正确.
所以命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是.
故选：A
3.【答案】B
【详解】观察散点图知，变量x，y呈线性相关，点D偏离回归直线较远，去掉后：
对于A，相关性变强，相关系数r变大，A正确；
对于B，残差平方和变小，B错误；
对于C，散点的分布是从左下到右上，因此变量x，y正相关，C正确；
对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，D正确.
故选：B
4.【答案】D
【详解】因为，，
，
，
所以，
故选：D
5.【答案】C
【详解】由题意得函数的定义域为，可排除B、D，
，
∴函数为偶函数，可排除选项A.
故选：C.
6.【答案】C
【详解】解：当时，，
当时，，
，
∴C的增长率约为26%.
故选：C
7.【答案】B
【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；
又因为在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
结合题意可得，解得，，
即实数a的取值范围为，
故选：B
8.【答案】A
【详解】令，则，，原函数化为，
令，显然，
即函数是奇函数，又函数，，都是R上的增函数，
因此函数是R上的增函数，不等式
，
则，
于是，解得，
所以x的取值范围是.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BD
【详解】对于A，因为，即A组数据比B组数据的相关性较弱，故A错误；
对于B，决定系数越大则残差平方和越小，则其拟合的效果越好，故B正确；
对于C，回归直线不一定经过样本点，C选项错误；
对于D，由，得，，，D选项正确.
故选：BD.
10.【答案】ABD
【详解】当，所以，则，
当时可得，所以，则，
当时，，所以，
综上可得，故A正确；
因为，即，故B正确；
取、满足，但是，故C错误；
因为，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11.【答案】ABC
【详解】因为是偶函数，则，
所以，
所以.
当时，，
又，所以，所以，所以，故A正确；
由，得，
两式相减得，所以，
又，所以，即，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
，所以是以6为周期的周期函数，
所以，故C正确；
，D不正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【详解】.
13.【答案】12
【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为.
设方程的两根为，，则，.
由已知a，b是原方程的两个根.
可令，，则，
.
故答案为：12.
14.【答案】4
【详解】设，则为往右平移两个单位得来.
又为单调递增的奇函数，且关于对称.
故为单调递增的函数且关于对称.
又可知，关于对称.故，
即.又对任意的，恒成立.
即恒成立.故判别式，得.故k的最小值为4.故答案为4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）或；（2）.
【详解】
（1）由题设，是的解集，
，整理得，解得或；……………………5分
（2）由题意，时恒成立，
当时，则有恒成立，符合题意；
当时，则有，……………………9分
若，要使题设不等式恒成立，仅需即可，而上，
……………………11分
，解之得
综上，……………………13分
16.【答案】（1），
（2）偶函数，证明见解析
（3）的单调递减区间，
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在R上是奇函数，不满足题意，舍去；
当时，在上是偶函数，
综上，，……………………4分
（2），，
对于任意的，，
故是上的偶函数……………………8分
（3）因为，
且，在上是单调递减，在定义域内是单调递增，
所以在上是单调递减，……………………10分
因为是偶函数，所以在上是单调递增，
所以的单调递减区间，
所以由可得，所以，……………………13分
解得或，
所以不等式的解集为.……………………15分
17.【答案】（1）；
（2）
【详解】（1）由得，
所以定义域为，……………………1分
由是奇函数，则，
即，解得……………………3分
所以.经检验满足
……………………4分
令，易知在单调递减，则.
故，所以函数在区间上的值域为……………………6分
（2），其中，
所以，即，所以，……………………9分
令，，，
则，……………………11分
因为，当且仅当，即等号成立，
所以，所以……………………15分
18.【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为一级品率与生产线有关联，此推断犯错误概率不大于0.05.
（2）①A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元；
②A生产线的利润更为稳定；答案见解析.
【详解】解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：
……………………2分
零假设为
：一级品率与生产线无关联.
计算得：，……………4分
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为一级品率与生产线有关联，此推断犯错误概率不大于0.05.……………………6分
（2）A生产线生产一件产品为一、二、三级晶的概率分别为，，.
记A生产线生产一件产品的利润为X，则X的取值为100，50，，
其分布列为
……………………8分
B生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为，，.
记B生产线生产一件产品的利润为Y，则Y的取值为100，50，，
其分布列为
……………………10分
①；
.
故A，B生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元.……………………12分
②；……………………14分
.……………………16分
因为，所以A生产线的利润更为稳定.……………………17分
19.【答案】（1）、
（2）
（3）是，
【详解】（1）解：因为函数在上单调递减，
则，……………………2分
因为函数在上单调递增，则.…………4分
（2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增，
……………………6分
当时，令，则，
由，则，对称轴，
根据复合函数的单调性，函数在为单调递增，故不成立.…………7分
当时，令，由，则，只需，
化简得，解得，
综上所述a的取值范围为……………………9分
（3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，……………………11分
所以，，……………………12分
当时，，，；……………………13分
当时，，，
因为函数在上单调递减，所以，；……………………14分
当时，，，
因为函数在上单调递增，
所以，……………………16分
综上所述：
故是上的“k阶收缩函数”，且小正整数.……………………17分0.10
0.02
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.897
10.828
一级品
非一级品
合计
A生产线
20
80
100
B生产线
35
65
100
合计
55
145
200
X
100
50
P
Y
100
50
P
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