广西桂林市第十八中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（A卷）（原卷版+解析版）

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一．选择题
1. 若a，b，c是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对ABC，举反例判断，对D，根据指数函数的单调性判断即可
【详解】对A，当时，满足，但不成立，故A错误；
对B，当时，满足，但不成立，故B错误；
对C，当时，不成立，故C错误；
对D，∵是增函数，且，∴．
故选：D
2. 设是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形性质及向量线性运算化简得解.
【详解】如图，

，
故选：A．
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意利用的图象变换规律，得出结论.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
故选：A.
4. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于圆周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用密位制与弧度制公式及弧长公式计算即可.
【详解】由题意知，密位的圆心角为，所以弧长为.
故选：C.
5. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
6. 已知是定义在上的偶函数，且最小正周期，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦型三角函数最小正周期与偶函数得出与，即可代入求值.
【详解】函数的周期，
，解得，
函数是定义在上的偶函数，
，
，
，
，
，
故选：A.
7. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【详解】任取，
从而
,
因为，所以，
所以，
则在R上单调递增．
不等式等价于不等式
，
即．
因为在R上单调递增，
所以，解得．
故选：A.
8. 已知函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，为图象与轴的交点，为图象上的最高点，且，则（ ）
A. B.
C. 在上单调递减D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，为等腰直角三角形可以求出，进而求出周期，即求出，将点代入即可求出，从而确定函数解析式，再逐项判断.
【详解】由为等腰直角三角形，为图象上的最高点，且点的纵坐标为1，
所以．
则函数的周期为4，由，，可得，
又，所以，则，
将点代入，得，
则，．而，则，
所以,
则，A错误；
，B错误；
若，则，显然函数不是单调的，C错误；
，
所以函数的图象关于点中心对称，D正确.
故选：D.
二．多选题
9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误.
【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10年粮食年产量极差为，故A正确；
B选项，，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确；
C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，
这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确；
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误；
故选：ABC.
10. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 与是平行向量
C. 若与是共线向量，则四点共线
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误；
对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确；
对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误；
对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误.
故选：ACD.
11. 已知函数（，）满足，且在上单调递减，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 的对称轴为，D. 在上有3个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】先通过条件推知是的对称中心，以及是的的对称轴，然后结合在上单调递减得出，在上单调递减，再推知，至此可直接验证A正确，而验证是否为0即可判断B，分别解方程和即可判断C和D.
【详解】由于在上单调递减，，故对应的点是的对称中心，即.
同样地由于在上单调递减，故最小正周期.
同时，由于对任意的实数，方程在一个形如的区间上至多有两个根，且在有两个根的情况下，这两个根的平均值对应的直线一定是的的对称轴，而，，从而，故对应的直线一定是的的对称轴.
现在，由于是的对称中心，是的的对称轴，故是的对称轴. 而在上单调递减，，故，在上单调递减.
再由是的对称中心，就知道，所以，故.
此时得到，代入得，即.
从而，由知，所以，即.
经验证，满足条件.
然后逐一验证各个选项：
我们已经推出，故A正确；
由，知函数在处有定义但不过原点，从而不可能是奇函数，B错误；
由于当且仅当，即，即，故的对称轴是，C正确；
由于当且仅当，即，即，故在上的全部零点是，只有2个，D错误.
故选：AC.
三．填空题
12. 已知平面向量，若与共线，则实数______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】，
若与共线，则，
解得.
故答案为：.
13. 已知函数在区间上的值域为，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数值域的知识求得.
【详解】依题意，函数在区间上值域为，
由于，
所以，
此时，当时取得最小值，符合题意，
所以.
故答案为：
14. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为__________.

【答案】
【解析】
【分析】就和分类讨论，后者可根据对称性只需考虑在对应的半圆弧上，前者，后者，而后者可建系处理.
【详解】连接.
若，则，
若不为零，则，这与题设矛盾，若为零，则与重合.
若，则，
设，故，且三点共线
由对称可知只需考虑在对应的半圆弧上.
当在对应的半圆弧上（除外）时，总在的延长线上，
故此时.

当在对应的半圆弧上，总在之间，故此时
建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，
设，
当时，，而，
此时.
当时，则，
由可得，
故，
当时，.
综上，
故答案为：
【点睛】关键点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.
四．解答题
15. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义直接求解；
（2）先利用诱导公式化简，然后代入三角函数值计算.
【小问1详解】
角的终边经过点，
，
，；
【小问2详解】
．
16. 已知函数．
（1）求函数的最小值，并求出函数取得最小值的x的集合．
（2）求函数在上的单调递增区间．
【答案】（1）；
（2）和
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦函数的性质求最小值及取最小值时的集合；
（2）先通过求出的范围，再根据正弦函数的性质求解单调增区间.
【小问1详解】
对于函数，
当时，即时，函数取得最小值；
【小问2详解】
，，
由和可得
和，
所以函数的单调增区间为和.
17. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
【答案】（1）；；
（2）平均值81.5，中位数82；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率定义即可求出，再根据小矩形面积和为1即可求出值；
（2）根据平均数和中位数定义计算即可；
（3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可.
【小问1详解】
由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
【小问2详解】
甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
，
解得，所以乙样本数据的中位数为82.
【小问3详解】
由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.
18. 深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为米．
（1）经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
（2）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
【答案】（1）
（2）分钟
【解析】
【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求；
（2）化简，根据，求解出的范围，由此可知结果.
【小问1详解】
由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，所以，所以，
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，所以且，所以，
所以；
【小问2详解】
因为，
令，则，
又因为，所以，
所以，且分钟，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有分钟最佳视觉效果.
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）本题可根据正弦函数的单调性得出，然后通过计算即可得出结果；
（2）首先可通过解得或，然后绘出函数在区间上的图像，再然后将“有三个不同的实数根”转化为有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，最后分为或、、、四种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）令，
解得，
故单调递增区间为，
（2）等价于，
解得或，
因为，所以，，
如图，绘出函数的图像，
方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，
①当或时，无解，不符合题意；
②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；
③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；
④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，
综上，m的取值范围为．
【点睛】本题考查三角函数单调区间的求解以及三角函数图像的综合应用，可借助正弦函数、余弦函数以及正切函数的单调性来求解三角函数的单调区间，考查数形结合思想以及分类讨论思想，考查推理能力，是难题.
20. 若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．
（1）判断是否是函数的点，并说明理由；
（2）若函数的集为，求的最大值；
（3）若定义域为的连续函数的集满足，求证：．
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）直接求出，再判断出，即可得到，即可得到结论；
（2）先说明，若，则，由题设得到，推出矛盾即可证得；再说明的值可以等于，令，利用三角函数的值域加以证明即可；
（3）由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明.
【小问1详解】
不是函数的点，理由如下：设，则，，
因为，所以，所以，所以不是函数的点；
【小问2详解】
先证明，若，则函数的最小正周期，因为函数的集为，
所以对，是的点，令，则，因为函数的值域为，
所以当时，必有，即对于恒成立，
所以，即的最小正周期，与矛盾；
再证明的值可以等于，令，对，当时，，；
当时，，，所以是的点，
即函数的集为；综上所述，的最大值是；
【小问3详解】
因为函数的集满足，所以存在，使得且，即，
因为若，则，所以，因为函数的图象是连续不断的，
不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，所以存在零点，即.
【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设，利用周期推出矛盾，进而证得，再利用三角函数的值域说明的值可以等于即可；第三小问的关键点在于得到存在，使得，结合零点存在定理即可证明.