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天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）质量检测数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）质量检测数学试题（原卷版+解析版），文件包含天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期第一次3月质量检测数学试题原卷版docx、天津市津衡高级中学2023-2024学年高一下学期第一次3月质量检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
一、选择题（每个小题5分，满分60分）
1. 若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的分类求出实数后可得结论．
【详解】由题意，，，，
所以．
故选：C．
2. 已知单位向量满足， ，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件有，由公式可得答案.
【详解】单位向量满足，则
又与的夹角的范围是
所以与的夹角为
故选：B
3. 在中，内角所对的边分别为，若， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理即可求得答案.
【详解】由题意，，由余弦定理，，
∵，∴
故选：C
4. .设向量， ，若共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可.
【详解】因为，， 且共线，
则解得.
故选：A
5. 在中，，为上一点，若，则实数的值
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出、关于、的表达式，设，可得出关于、的方程组，由此可解得实数的值.
【详解】，，则，
，
由于为上一点，则，
设，则，
所以，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查平面向量基本定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
6. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理得到，结合，得到，结合，求出，求出正确答案.
【详解】，由正弦定理得：，
因为，
所以，即，
因为，所以，
故，所以是等腰三角形.
故选：B
7. 已知向量的夹角为60°，且，，则向量在方向上的投影向量的模等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及向量数量积的运算律可得，求出向量的模，再由向量在方向上的投影向量的模，即可得结果.
【详解】由题设，，而，
所以，可得或(舍)，
综上，向量在方向上的投影向量的模为.
故选：B
8. 已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解.
【详解】由，得，即，
所以，
所以，即，
故选：B
9. 复数纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据纯虚数的概念，得到，再利用齐次式法化简求值，将变形为，再分子分母同除以，再代入，求得答案.
【详解】由于是纯虚数，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了纯虚数的理解与应用，齐次式法化简求值，属于中档题.
10. 如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意过点作交的延长线于点，即可求出，设与的夹角为，结合图形即可得到在方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；
【详解】解：依题意过点作交的延长线于点，则，
设与的夹角为，
因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，
所以
故选：A
11. 在中，角的对边分别为，则“”是“为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题知:,结合余弦定理,可推出为锐角,反之无法推出,因此“”是“为锐角”的充分不必要条件.
【详解】①在中,若,则,
即,
,
,
为锐角,
即“”“为锐角”,
②若为锐角,则,即,
无法推出,
所以“为锐角”“”,
综上所述:“”是“为锐角”的充分不必要条件,
故选:A
12. 已知的重心为点P，若，则角B为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由的重心，可得，代入题中等式，结合不共线，可得，进而可求得，，求得角B即可.
【详解】取的中点，由的重心为点P，可得，又，所以，
所以，
即，
因为不共线，所以，
故，
所以，故，
又，所以，
因为，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量在平面几何中的应用，考查三角函数恒等变换，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
二、填空题（每个小题5分，满分30分）
13. 已知向量，，若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的数量积坐标表示，即可得出结果.
【详解】解：因为，所以，解得，
故答案为：.
14. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C=60°，a=1，b=2，则c=______，外接圆半径为______．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】利用余弦定理的式子算出，再根据正弦定理算出外接圆半径．
【详解】中，，a=1，b=2，
由余弦定理，得，
因此，由正弦定理，得外接圆的半径满足
，即外接圆的半径为1.
故答案为：.
15. 甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B处时与电视塔S的距离是______
【答案】
【解析】
【分析】在中，求出，再由正弦定理可得．
【详解】如图，由已知可得，．
在中，，，，
,由正弦定理可得，
故答案为:
16. 在中，已知b=2，A=30°，且该三角形有唯一解，则a取值范围______
【答案】,
【解析】
【分析】利用正弦定理得出与的关系式，再根据三角形有唯一解，可得只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到的范围，且当为直角时，也满足题意，进而可得出的取值范围．
【详解】在中，，，
由正弦定理得，，，
要使三角形有唯一解，得到，即，
，解得，
又时，三角形也只有一解，
此时，的取值范围为，．
故答案为：,．
17. 设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
【答案】##2.4
【解析】
【分析】由可判断，确定当时，最小，利用三角形面积即可求得答案.
【详解】因为，则，
即得，即，
由于,，故,
当时，最小，最小值为，
故答案为：
18. 在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
三、解答题（本大题共5个小题，满分60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 实数分别取什么数值时，复数
（1）为纯虚数；
（2）对应点在第四象限．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由纯虚数定义可直接构造方程组求得结果；
（2）根据对应点位于第四象限可直接构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
为纯虚数，，即，解得：.
【小问2详解】
对应的点在第四象限，，即，解得：，
的取值范围为.
20. 已知向量与的夹角为，，.
（1）求；
（2）若和垂直，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）把平方，转化为数量积的运算．
（2）由可求得．
【详解】解：（1），将，代入上式得.
（2）因为和垂直，所以，
展开可得.
将，.代入上，解得.
21. 在中，D为上一点，，，，.
（1）求角B；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在中，利用正弦定理求解出的值；
（2）根据（1）的结果求解出的长度，在中利用余弦定理求解出的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，
所以，又，所以；
（2）在中，，所以
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
【点睛】本题考查正、余弦定理在几何图形中的运用，难度一般.利用正、余弦定理求解几何图形中的边或角要充分利用图形本身的性质去分析解决问题.
22. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，，．
（1）求c的值；
（2）求的值：
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及题中条件可得边的值；
（2）由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值；
（3）求出及角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．
【小问1详解】
因为，，，
由余弦定理可得，解得；
【小问2详解】
，，
所以，由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，所以；
小问3详解】
因为，，
所以，
，
，可得，
当，所以，
当,所以
所以的值为或.
23. 在中，，点，分别在，边上．
（1）若，，求面积的最大值；
（2）设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为1，再利用面积公式即可求解；
（2）由四边形存在外接圆，知四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，进而利用基本不等式求解.
【小问1详解】
由已知，
在中，利用余弦定理知，
结合基本不等式有，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，
所以面积的最大值为
【小问2详解】
四边形存在外接圆，
又，，，
，所以四边形为等腰梯形，
连接，设，，
在中，由正弦定理得，，
，
同理，在中，由正弦定理得，，
所以
，，
，
当且仅当，即
，，当且仅当时，等号成立，
即，即
一、选择题（每个小题5分，满分60分）
1. 若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的分类求出实数后可得结论．
【详解】由题意，，，，
所以．
故选：C．
2. 已知单位向量满足， ，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件有，由公式可得答案.
【详解】单位向量满足，则
又与的夹角的范围是
所以与的夹角为
故选：B
3. 在中，内角所对的边分别为，若， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理即可求得答案.
【详解】由题意，，由余弦定理，，
∵，∴
故选：C
4. .设向量， ，若共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可.
【详解】因为，， 且共线，
则解得.
故选：A
5. 在中，，为上一点，若，则实数的值
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出、关于、的表达式，设，可得出关于、的方程组，由此可解得实数的值.
【详解】，，则，
，
由于为上一点，则，
设，则，
所以，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查平面向量基本定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
6. 在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理得到，结合，得到，结合，求出，求出正确答案.
【详解】，由正弦定理得：，
因为，
所以，即，
因为，所以，
故，所以是等腰三角形.
故选：B
7. 已知向量的夹角为60°，且，，则向量在方向上的投影向量的模等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及向量数量积的运算律可得，求出向量的模，再由向量在方向上的投影向量的模，即可得结果.
【详解】由题设，，而，
所以，可得或(舍)，
综上，向量在方向上的投影向量的模为.
故选：B
8. 已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解.
【详解】由，得，即，
所以，
所以，即，
故选：B
9. 复数纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据纯虚数的概念，得到，再利用齐次式法化简求值，将变形为，再分子分母同除以，再代入，求得答案.
【详解】由于是纯虚数，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了纯虚数的理解与应用，齐次式法化简求值，属于中档题.
10. 如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意过点作交的延长线于点，即可求出，设与的夹角为，结合图形即可得到在方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；
【详解】解：依题意过点作交的延长线于点，则，
设与的夹角为，
因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，
所以
故选：A
11. 在中，角的对边分别为，则“”是“为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题知:,结合余弦定理,可推出为锐角,反之无法推出,因此“”是“为锐角”的充分不必要条件.
【详解】①在中,若,则,
即,
,
,
为锐角,
即“”“为锐角”,
②若为锐角,则,即,
无法推出,
所以“为锐角”“”,
综上所述:“”是“为锐角”的充分不必要条件,
故选:A
12. 已知的重心为点P，若，则角B为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由的重心，可得，代入题中等式，结合不共线，可得，进而可求得，，求得角B即可.
【详解】取的中点，由的重心为点P，可得，又，所以，
所以，
即，
因为不共线，所以，
故，
所以，故，
又，所以，
因为，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量在平面几何中的应用，考查三角函数恒等变换，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
二、填空题（每个小题5分，满分30分）
13. 已知向量，，若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直的数量积坐标表示，即可得出结果.
【详解】解：因为，所以，解得，
故答案为：.
14. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C=60°，a=1，b=2，则c=______，外接圆半径为______．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】利用余弦定理的式子算出，再根据正弦定理算出外接圆半径．
【详解】中，，a=1，b=2，
由余弦定理，得，
因此，由正弦定理，得外接圆的半径满足
，即外接圆的半径为1.
故答案为：.
15. 甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B处时与电视塔S的距离是______
【答案】
【解析】
【分析】在中，求出，再由正弦定理可得．
【详解】如图，由已知可得，．
在中，，，，
,由正弦定理可得，
故答案为:
16. 在中，已知b=2，A=30°，且该三角形有唯一解，则a取值范围______
【答案】,
【解析】
【分析】利用正弦定理得出与的关系式，再根据三角形有唯一解，可得只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到的范围，且当为直角时，也满足题意，进而可得出的取值范围．
【详解】在中，，，
由正弦定理得，，，
要使三角形有唯一解，得到，即，
，解得，
又时，三角形也只有一解，
此时，的取值范围为，．
故答案为：,．
17. 设点在直线上，点A在直线外，且,，，则的最小值为_________.
【答案】##2.4
【解析】
【分析】由可判断，确定当时，最小，利用三角形面积即可求得答案.
【详解】因为，则，
即得，即，
由于,，故,
当时，最小，最小值为，
故答案为：
18. 在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
三、解答题（本大题共5个小题，满分60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 实数分别取什么数值时，复数
（1）为纯虚数；
（2）对应点在第四象限．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由纯虚数定义可直接构造方程组求得结果；
（2）根据对应点位于第四象限可直接构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
为纯虚数，，即，解得：.
【小问2详解】
对应的点在第四象限，，即，解得：，
的取值范围为.
20. 已知向量与的夹角为，，.
（1）求；
（2）若和垂直，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）把平方，转化为数量积的运算．
（2）由可求得．
【详解】解：（1），将，代入上式得.
（2）因为和垂直，所以，
展开可得.
将，.代入上，解得.
21. 在中，D为上一点，，，，.
（1）求角B；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）在中，利用正弦定理求解出的值；
（2）根据（1）的结果求解出的长度，在中利用余弦定理求解出的值.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，
所以，又，所以；
（2）在中，，所以
因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以.
【点睛】本题考查正、余弦定理在几何图形中的运用，难度一般.利用正、余弦定理求解几何图形中的边或角要充分利用图形本身的性质去分析解决问题.
22. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，，．
（1）求c的值；
（2）求的值：
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及题中条件可得边的值；
（2）由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值；
（3）求出及角的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．
【小问1详解】
因为，，，
由余弦定理可得，解得；
【小问2详解】
，，
所以，由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，所以；
小问3详解】
因为，，
所以，
，
，可得，
当，所以，
当,所以
所以的值为或.
23. 在中，，点，分别在，边上．
（1）若，，求面积的最大值；
（2）设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为1，再利用面积公式即可求解；
（2）由四边形存在外接圆，知四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，进而利用基本不等式求解.
【小问1详解】
由已知，
在中，利用余弦定理知，
结合基本不等式有，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为1，
所以面积的最大值为
【小问2详解】
四边形存在外接圆，
又，，，
，所以四边形为等腰梯形，
连接，设，，
在中，由正弦定理得，，
，
同理，在中，由正弦定理得，，
所以
，，
，
当且仅当，即
，，当且仅当时，等号成立，
即，即
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