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2022-2023学年四川省南充市仪陇县复兴中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省南充市仪陇县复兴中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中是二次根式的是( )
A. 38B. −1C. 2D. x(x<0)
2.下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 5，12，23
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD=BC
4.若 a2=−a成立，则满足的条件是( )
A. a>0B. a<0C. a≥0D. a≤0
5.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为( )
A. 5B. 37C. 7D. 38
6.关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形
7.如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AO=4，则AB的长是( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
8.根式a−b2a与 a+3是可以合并的最简二次根式，则a+b的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是( )
A. h≤17cmB. h≥8cm
C. 15cm≤h≤16cmD. 7cm≤h≤16cm
10.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1，若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为S，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算(2 5− 2)2的结果是______．
12.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则另一边BC= ______，面积为______，AB边上的高为______．
13.若 m−3+(n+1)2=0，则m−n的值为______．
14.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为________．
15.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=____cm．
16.如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE=1：4，若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是______.(结果保留根号)
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 27−15 13+14 48；
(2)( 5+ 3)2−2 30÷ 2．
19.(本小题6分)
已知：x= 3+ 2，y= 3− 2，求代数式x2−y2+5xy的值．
20.(本小题6分)
已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．
21.(本小题8分)
观察下列各式： 1+13=2 13, 2+14=3 14, 3+15=4 15,…你发现了什么规律？用含自然数n(n≥1)的代数式将你发现的规律表示出来，并说明你的理由．
22.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点E，边结CE、DE
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE= ______cm时，四边形CEDF是菱形．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：△AFE≌△DBE；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF.请解答以下两个问题．
(1)试判断四边形BDFG是什么特殊的平行四边形，并说明理由；
(2)如果AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．
25.(本小题12分)
已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，连接EN、FN．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD：AB= ______时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、38的根指数为3，不是二次根式；
B、 −1的被开方数−1<0，无意义；
C、 2的根指数为2，且被开方数2>0，是二次根式；
D、 x的被开方数x<0，无意义；
故选：C．
根据二次根式的定义逐一判断即可．
本题考查了二次根式的定义：形如 a(a≥0)叫二次根式．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，属于基础题．
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：A.∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B.∵12+12=( 2)2，∴能构成直角三角形，故B正确；
C.∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D.∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
4.【答案】D
【解析】解：∵ a2=−a，
∴a≤0，
故选D．
根据 a2=a(a≥0)−a(a<0)，进行选择即可．
本题考查了二次根式的化简求值，解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如 a(a≥0)的代数式叫做二次根式．当a>0时， a表示a的算术平方根；当a=0时， 0=0；当a<0时，非二次根式(在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根)．
②性质： a2=|a|．
5.【答案】A
【解析】【分析】
可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，
根据题意得12x(7−x)=6，
解得x=3或x=4，
所以斜边长为 32+42=5．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．
故选：C．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
根据矩形性质得出AO=OC，BO=OD，AC=BD，推出OA=BO，得出△AOB是等边三角形，推出AB=AO=4即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=4，BO=OD，AC=BD，
∴OA=BO=4，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：∵根式a−b2a与 a+3是可以合并的最简二次根式，
∴a−b=22a=a+3，解得a=3b=1，
∴a+b=4．
故选：C．
根据同类二次根式的定义列出关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】
解：如图，
当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24−8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB= AD2+BD2=17，
∴此时h=24−17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC//AD，
∠DAC=∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠D1A1A=∠DAC=∠ACB，A1D1=AD，AA1=CC1，
在△A1AD1和△CC1B中，
AA1=CC1∠D1A1A=∠ACBAA1=CC1，
∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)．
故①正确；
∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC1=1，
∴△AC1B为等边三角形，
同理可得△AC1D1为等边三角形．
∴AB=BC1=C1D1=D1A，
故四边形ABC1D1为菱形．
故②正确；
当x=2时，即C1与A重合时，
则根据矩形性质和平移性质可得BD=DD1=BD1=2，
∴△BDD1为等边三角形．
故③正确．
综上，正确的为①②③，
故选：A．
根据矩形的性质可得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质可得∠D1A1A=∠DAC=∠ACB，A1D1=AD，AA1=CC1，从而证明△A1AD1≌△CC1B，可判定①；可证明△AC1B为等边三角形，同理可证△AC1D1为等边三角形，得到AB=BC1=C1D1=D1A，即可判断②；当x=2时，即C1与A重合时，则根据矩形性质和平移性质可得BD=DD1=BD1=2，可判断③．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定及解直角三角形的知识，关键要熟练掌握全等三角形的判定及含30度角的直角三角形的性质．
11.【答案】22−4 10
【解析】解：原式=20−4 10+2
=22−4 10．
故答案为22−4 10．
根据完全平方公式进行计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12.【答案】4 6 125
【解析】解：如图所示，根据勾股定理可得BC= AB2−AC2= 25−9=4，
故面积为12AC⋅BC=12×3×4=6，
设AB上的高为h，则根据面积可得：
12h⋅AB=6，又AB=5，
解得：h=125．
故答案为：4，6，125．
由勾股定理可求BC=4，故面积为两直角边乘积的一半，AB边上的高可结合三角形的面积公式求得．
本题考查了勾股定理定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理的运用，三角形的面积求法是关键．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得：m−3=0n+1=0，
解得：m=3n=−1．
则m−n=3−(−1)=4．
故答案是：4．
根据任何非负数的算术平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m、n的方程，从而求得m、n的值，进而求解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14.【答案】3.75
【解析】解：设ED=x，则AE=6−x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+(6−x)2，
解得：x=3.75，
∴ED=3.75．
故答案为：3.75．
首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
15.【答案】 3
【解析】解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°−60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=12AB=12×2=1，
由勾股定理得：BO=DO= 3，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF//BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=12BD=12×( 3+ 3)= 3，
故答案为： 3．
根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF//BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
16.【答案】 41
【解析】解：连接BD，
则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，
由对称的性质可得，PB=PD，故PE+PB=DE，
由两点之间线段最短可知，DE即为PE+PB的最小值，
∵AB=AD=5，BE：AE=1：4
∴BE=1，AE=4，
在Rt△ADE中，
DE= AD2+AE2= 52+42= 41．
故答案为： 41．
连接BD，则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，根据两点之间线段最短可知，点P即为所求，根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．
本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，能求出P点的位置是解此题的关键，有一定的综合性，但难易适中．
17.【答案】解：如图，已知AC为旗杆的长，AB=AC+1，BC=5米，求AC
已知AC⊥BC，则由勾股定理得：
AC= AB2−52= (AC+1)2−25
解得：AC=12，
答：旗杆的高度为12米．
【解析】根据题意列出已知条件再根据勾股定理求得旗杆的高度．
此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
18.【答案】解：(1)原式=3 3−15× 33+14×4 3
=3 3−5 3+ 3
=− 3．
(2)原式=5+2 15+3−2 15
=8．
【解析】(1)先化简各个二次根式，再算乘法，最后算加减法；
(2)先计算幂，再计算除法，最后计算减法．
本题考查了二次根式的混合运算，熟记乘法公式，二次根式的运算性质，二次根式的化简是解本题的关键．
19.【答案】解：∵x= 3+ 2，y= 3− 2，
∴x2−y2+5xy
=(x+y)(x−y)+5xy
=2 3×2 2+5( 3+ 2)( 3− 2)
=4 6+5．
【解析】首先把代数式利用平方差公式因式分解，再进一步代入求得答案即可．
此题考查二次根式的化简求值，根据数据特点，灵活变形，进一步代入求得答案即可．
20.【答案】证明：∵连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
21.【答案】解：观察题目所给式子可得规律： n+1n+2=(n+1) 1n+2(n≥1)．
理由如下： n+1n+2= n(n+2)+1n+2= (n+1)2n+2= (n+1)2⋅ 1n+2=(n+1) 1n+2．
【解析】观察式子能较容易得到规律．对所找的规律等号左边部分进行恒等变形即可论证理由．
本题考查了算术平方根的性质，分式的运算性质，数字的变化类，通过观察能较容易得到规律．关键是要掌握以上性质的运用．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠CFG=∠DEG，
在△CFG和△DEG中，
∠CFG=∠DEG∠CGF=∠DGEGC=GD，
∴△CFG≌△DEG，
∴CF=DE，∵CF//DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)2．
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠CFG=∠DEG，
在△CFG和△DEG中，
∠CFG=∠DEG∠CGF=∠DGEGC=GD，
∴△CFG≌△DEG，
∴CF=DE，∵CF//DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)解：∵四边形CEDF是平行四边形，
∴当EF⊥CD时，四边形CEDF是菱形，
在Rt△DEG中，∵∠EGD=90°，DG=12CD=32cm，∠EDG=∠B=60°，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3cm，
∵AD=BC=5cm，
∴AE=AD−DE=2cm．
故答案为2．
(1)只要证明△CFG≌△DEG，可得CF=DE，CF//DE，即可推出四边形CEDF是平行四边形；
(2)当EF⊥CD时，四边形CEDF是菱形，在Rt△DEG中，由∠EGD=90°，DG=12CD=32cm，∠EDG=∠B=60°，推出∠DEG=30°，推出DE=2DG=3cm，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=DC
∴AF=DC．
∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=12BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，全等三角形对应边相等．
(1)根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE即可；
(2)首先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，进而可得四边形ADCF是菱形．
24.【答案】解：(1)四边形BDFG是菱形，理由如下：
∵AG//BD，BD=FG，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，
∴BD=DF=12AC，
∴平行四边形BDFG是菱形；
(2)如图，过点B作BH⊥AG于点H，
∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，
∴AC= CF2+AF2=10，
∴DF=12AC=5，
∵四边形BDFG是菱形，
∴BD=GF=DF=5，
∵BH⊥AG，CE⊥BD，CF⊥AG，
∴四边形BHFE是矩形，
∴BH=EF，
∵CD=FD，
∴BH=EF=12CF=3，
∴S菱形BDFG=GF⋅BH=15．
【解析】(1)首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BD=DF，则可判断平行四边形BDFG是菱形；
(2)过点B作BH⊥AG于点H，由AF=8，CF=6，可利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF的长，然后由菱形的性质求得BG=GF=DF=5，则BH=EF=12CF=3，继而求得四边形BDFG的面积．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，菱形的面积等知识．本题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
25.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
AB=DC∠A=∠DAM=DM，
∴△ABM≌△DCM(SAS)；
(2)解：四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE//MF，NF//ME．
∴四边形MENF是平行四边形．
由(1)，得BM=CM，
∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形；
(3)2：1
【解析】此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．
(1)根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；
(2)四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE//MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；
(3)当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM，
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB，
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°−45°−45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案为2：1．
1.下列各式中是二次根式的是( )
A. 38B. −1C. 2D. x(x<0)
2.下列各组数中，能构成直角三角形的是( )
A. 4，5，6B. 1，1， 2C. 6，8，11D. 5，12，23
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD=BC
4.若 a2=−a成立，则满足的条件是( )
A. a>0B. a<0C. a≥0D. a≤0
5.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为( )
A. 5B. 37C. 7D. 38
6.关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形
7.如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AO=4，则AB的长是( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
8.根式a−b2a与 a+3是可以合并的最简二次根式，则a+b的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
9.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是( )
A. h≤17cmB. h≥8cm
C. 15cm≤h≤16cmD. 7cm≤h≤16cm
10.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1，若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为S，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算(2 5− 2)2的结果是______．
12.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则另一边BC= ______，面积为______，AB边上的高为______．
13.若 m−3+(n+1)2=0，则m−n的值为______．
14.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为________．
15.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=____cm．
16.如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE=1：4，若P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是______.(结果保留根号)
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1) 27−15 13+14 48；
(2)( 5+ 3)2−2 30÷ 2．
19.(本小题6分)
已知：x= 3+ 2，y= 3− 2，求代数式x2−y2+5xy的值．
20.(本小题6分)
已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：四边形DEBF是平行四边形．
21.(本小题8分)
观察下列各式： 1+13=2 13, 2+14=3 14, 3+15=4 15,…你发现了什么规律？用含自然数n(n≥1)的代数式将你发现的规律表示出来，并说明你的理由．
22.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点E，边结CE、DE
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE= ______cm时，四边形CEDF是菱形．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：△AFE≌△DBE；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF.请解答以下两个问题．
(1)试判断四边形BDFG是什么特殊的平行四边形，并说明理由；
(2)如果AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．
25.(本小题12分)
已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，连接EN、FN．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
(3)当AD：AB= ______时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、38的根指数为3，不是二次根式；
B、 −1的被开方数−1<0，无意义；
C、 2的根指数为2，且被开方数2>0，是二次根式；
D、 x的被开方数x<0，无意义；
故选：C．
根据二次根式的定义逐一判断即可．
本题考查了二次根式的定义：形如 a(a≥0)叫二次根式．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，属于基础题．
根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可得出答案．
【解答】
解：A.∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B.∵12+12=( 2)2，∴能构成直角三角形，故B正确；
C.∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D.∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
4.【答案】D
【解析】解：∵ a2=−a，
∴a≤0，
故选D．
根据 a2=a(a≥0)−a(a<0)，进行选择即可．
本题考查了二次根式的化简求值，解答此题，要弄清以下问题：
①定义：一般地，形如 a(a≥0)的代数式叫做二次根式．当a>0时， a表示a的算术平方根；当a=0时， 0=0；当a<0时，非二次根式(在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根)．
②性质： a2=|a|．
5.【答案】A
【解析】【分析】
可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，
根据题意得12x(7−x)=6，
解得x=3或x=4，
所以斜边长为 32+42=5．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；
∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．
故选：C．
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
根据矩形性质得出AO=OC，BO=OD，AC=BD，推出OA=BO，得出△AOB是等边三角形，推出AB=AO=4即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=4，BO=OD，AC=BD，
∴OA=BO=4，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：∵根式a−b2a与 a+3是可以合并的最简二次根式，
∴a−b=22a=a+3，解得a=3b=1，
∴a+b=4．
故选：C．
根据同类二次根式的定义列出关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】
解：如图，
当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24−8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB= AD2+BD2=17，
∴此时h=24−17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC//AD，
∠DAC=∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠D1A1A=∠DAC=∠ACB，A1D1=AD，AA1=CC1，
在△A1AD1和△CC1B中，
AA1=CC1∠D1A1A=∠ACBAA1=CC1，
∴△A1AD1≌△CC1B(SAS)．
故①正确；
∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC1=1，
∴△AC1B为等边三角形，
同理可得△AC1D1为等边三角形．
∴AB=BC1=C1D1=D1A，
故四边形ABC1D1为菱形．
故②正确；
当x=2时，即C1与A重合时，
则根据矩形性质和平移性质可得BD=DD1=BD1=2，
∴△BDD1为等边三角形．
故③正确．
综上，正确的为①②③，
故选：A．
根据矩形的性质可得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质可得∠D1A1A=∠DAC=∠ACB，A1D1=AD，AA1=CC1，从而证明△A1AD1≌△CC1B，可判定①；可证明△AC1B为等边三角形，同理可证△AC1D1为等边三角形，得到AB=BC1=C1D1=D1A，即可判断②；当x=2时，即C1与A重合时，则根据矩形性质和平移性质可得BD=DD1=BD1=2，可判断③．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定，等边三角形的判定及解直角三角形的知识，关键要熟练掌握全等三角形的判定及含30度角的直角三角形的性质．
11.【答案】22−4 10
【解析】解：原式=20−4 10+2
=22−4 10．
故答案为22−4 10．
根据完全平方公式进行计算．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12.【答案】4 6 125
【解析】解：如图所示，根据勾股定理可得BC= AB2−AC2= 25−9=4，
故面积为12AC⋅BC=12×3×4=6，
设AB上的高为h，则根据面积可得：
12h⋅AB=6，又AB=5，
解得：h=125．
故答案为：4，6，125．
由勾股定理可求BC=4，故面积为两直角边乘积的一半，AB边上的高可结合三角形的面积公式求得．
本题考查了勾股定理定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理的运用，三角形的面积求法是关键．
13.【答案】4
【解析】解：根据题意得：m−3=0n+1=0，
解得：m=3n=−1．
则m−n=3−(−1)=4．
故答案是：4．
根据任何非负数的算术平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m、n的方程，从而求得m、n的值，进而求解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14.【答案】3.75
【解析】解：设ED=x，则AE=6−x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+(6−x)2，
解得：x=3.75，
∴ED=3.75．
故答案为：3.75．
首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
15.【答案】 3
【解析】解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°−60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO=12AB=12×2=1，
由勾股定理得：BO=DO= 3，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF//BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=12BD=12×( 3+ 3)= 3，
故答案为： 3．
根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF//BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
16.【答案】 41
【解析】解：连接BD，
则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，
由对称的性质可得，PB=PD，故PE+PB=DE，
由两点之间线段最短可知，DE即为PE+PB的最小值，
∵AB=AD=5，BE：AE=1：4
∴BE=1，AE=4，
在Rt△ADE中，
DE= AD2+AE2= 52+42= 41．
故答案为： 41．
连接BD，则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，根据两点之间线段最短可知，点P即为所求，根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．
本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，能求出P点的位置是解此题的关键，有一定的综合性，但难易适中．
17.【答案】解：如图，已知AC为旗杆的长，AB=AC+1，BC=5米，求AC
已知AC⊥BC，则由勾股定理得：
AC= AB2−52= (AC+1)2−25
解得：AC=12，
答：旗杆的高度为12米．
【解析】根据题意列出已知条件再根据勾股定理求得旗杆的高度．
此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
18.【答案】解：(1)原式=3 3−15× 33+14×4 3
=3 3−5 3+ 3
=− 3．
(2)原式=5+2 15+3−2 15
=8．
【解析】(1)先化简各个二次根式，再算乘法，最后算加减法；
(2)先计算幂，再计算除法，最后计算减法．
本题考查了二次根式的混合运算，熟记乘法公式，二次根式的运算性质，二次根式的化简是解本题的关键．
19.【答案】解：∵x= 3+ 2，y= 3− 2，
∴x2−y2+5xy
=(x+y)(x−y)+5xy
=2 3×2 2+5( 3+ 2)( 3− 2)
=4 6+5．
【解析】首先把代数式利用平方差公式因式分解，再进一步代入求得答案即可．
此题考查二次根式的化简求值，根据数据特点，灵活变形，进一步代入求得答案即可．
20.【答案】证明：∵连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
21.【答案】解：观察题目所给式子可得规律： n+1n+2=(n+1) 1n+2(n≥1)．
理由如下： n+1n+2= n(n+2)+1n+2= (n+1)2n+2= (n+1)2⋅ 1n+2=(n+1) 1n+2．
【解析】观察式子能较容易得到规律．对所找的规律等号左边部分进行恒等变形即可论证理由．
本题考查了算术平方根的性质，分式的运算性质，数字的变化类，通过观察能较容易得到规律．关键是要掌握以上性质的运用．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠CFG=∠DEG，
在△CFG和△DEG中，
∠CFG=∠DEG∠CGF=∠DGEGC=GD，
∴△CFG≌△DEG，
∴CF=DE，∵CF//DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)2．
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠CFG=∠DEG，
在△CFG和△DEG中，
∠CFG=∠DEG∠CGF=∠DGEGC=GD，
∴△CFG≌△DEG，
∴CF=DE，∵CF//DE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)解：∵四边形CEDF是平行四边形，
∴当EF⊥CD时，四边形CEDF是菱形，
在Rt△DEG中，∵∠EGD=90°，DG=12CD=32cm，∠EDG=∠B=60°，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3cm，
∵AD=BC=5cm，
∴AE=AD−DE=2cm．
故答案为2．
(1)只要证明△CFG≌△DEG，可得CF=DE，CF//DE，即可推出四边形CEDF是平行四边形；
(2)当EF⊥CD时，四边形CEDF是菱形，在Rt△DEG中，由∠EGD=90°，DG=12CD=32cm，∠EDG=∠B=60°，推出∠DEG=30°，推出DE=2DG=3cm，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AFE≌△DBE，
∴AF=BD，
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=DC
∴AF=DC．
∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=12BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，全等三角形对应边相等．
(1)根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE即可；
(2)首先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，进而可得四边形ADCF是菱形．
24.【答案】解：(1)四边形BDFG是菱形，理由如下：
∵AG//BD，BD=FG，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，
∴BD=DF=12AC，
∴平行四边形BDFG是菱形；
(2)如图，过点B作BH⊥AG于点H，
∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，
∴AC= CF2+AF2=10，
∴DF=12AC=5，
∵四边形BDFG是菱形，
∴BD=GF=DF=5，
∵BH⊥AG，CE⊥BD，CF⊥AG，
∴四边形BHFE是矩形，
∴BH=EF，
∵CD=FD，
∴BH=EF=12CF=3，
∴S菱形BDFG=GF⋅BH=15．
【解析】(1)首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BD=DF，则可判断平行四边形BDFG是菱形；
(2)过点B作BH⊥AG于点H，由AF=8，CF=6，可利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF的长，然后由菱形的性质求得BG=GF=DF=5，则BH=EF=12CF=3，继而求得四边形BDFG的面积．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，菱形的面积等知识．本题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
25.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
AB=DC∠A=∠DAM=DM，
∴△ABM≌△DCM(SAS)；
(2)解：四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE//MF，NF//ME．
∴四边形MENF是平行四边形．
由(1)，得BM=CM，
∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形；
(3)2：1
【解析】此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．
(1)根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；
(2)四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE//MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；
(3)当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM，
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB，
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°−45°−45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案为2：1．
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