江苏省苏州昆山柏庐高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（8*5分=40分）
1. 已知，则（）
A. B. C. D.
2. 已知是互相垂直的单位向量，若，则（）
A. B. C. 0D. 2
3 （）
A. B. C. D.
4. 已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则（）

A. B. 2C. D. 3
6 已知，若，则（）
A. B. C. D.
7. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
8. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（）
A. B. C. D.
二、多选题（3*6分=18分，漏选得2分、3分或4分）
9. 如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
10 已知，则（）
A ，使得
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则的最大值为
11. 在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（）

A. B.
C. 的最小值为17D.
三、填空题（3*5分=15分）
12 已知向量，满足，，则______．
13. 设函数，若存在使成立，则的取值范围是__________.
14. 如图，在中，已知是的中点，，设与相交于点P，若，则___________，___________．
四、解答题（13分+15分+15分+17分+17分）
15. 已知．
（1）求函数在上的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
16. 已知，且．
（1）求的值：
（2）求的值．
17. 如图，在一块长米，宽米的矩形荒地的一角有一口四分之一圆形的池塘，且半径米.某人想在荒地上用篱笆围一个矩形菜园，且点P，G，H分别在弧，线段和上，设.
（1）用表示矩形菜园的周长l；
（2）若篱笆的价格为12元/米，求这个矩形菜园的最低造价.
18. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
（3）当向量时，伴随函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
19. 已知函数，其中．
（1）若，求的对称中心；
（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；
（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．