陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试押题（一）数学（文）试题（Word版附解析）

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文数（一）（全国卷）
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.复数的模等于（ ）
A. B.1 C. D.
3.某幼儿园组织“宝贝计画”兴趣小组.“变变变”是“宝贝计画哲学”，源自《周易》“穷则变，变则通，通则久”，宝贝计画的终极理想是通过画画，让孩子还原想象､树立自信､感悟智慧､温存内心.某天中班有四个小朋友参加此项活动，每个人画了一幅《小猪佩奇》的画，他们先把作品放到一起再反扣在桌子上，每人从中随机的拿出一幅画，则四个小朋友拿到的都不是自己的作品的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.一组数据为，下列说法正确的个数是（ ）
①这些数据的众数是6
②这些数据的中位数是
③这些数据的平均数是7
④这些数据的标准差是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知的内角所对的边分别为，若，函数的最小值为，则的外接圆的周长为（ ）
A. B. C. D.
6.已知一个三棱锥的三视图如图，正视图为边长为3的正方形，侧视图和俯视图均为等腰直角三角形，则此几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
9.若，则有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，半径为2的圆满足：圆心在直线0上，且到直线的距离为.若圆上任意一点都满足，则实数的值可能是（ ）
A.1 B. C.2 D.
11.已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（ ）
A.2 B.14 C.18 D.25
12.已知双曲线的左､右焦点分别为，右焦点到渐近线的距离为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在区域内任取一点，使点落在区域内的概率为__________.
14.若满足约束条件，则的最小值为__________.
15.已知向量满足，则在上的投影为__________.
16.定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是__________.
三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
已知正项数列是方程的根，数列满足公比是2的等比数列，.
（1）数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18.（本题满分12分）
已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
（1）求椭圆的方程，
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
19.（本题满分12分）
在长方体中，在线段上，且满足.
（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.
20.（本题满分12分）
2023张信哲世界巡回演唱会在唐山站正式启动，9月9日唐山新体育中心体育场一起来见证情歌王子的魅力现场!为了了解关注该演唱会是否与性别有关，某电视台随机抽取200名观众进行统计，得到如下列联表.
（1）能否有的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”；（运算结果保留三位小数）
附：，其中.
（2）演唱会结束后，现场开启有奖竞猜活动.规定同组三个人中至少有两个人答对这道题目就可以获得神秘奖品.甲､乙､丙三人现场组队参赛，已知甲和乙能答对这道题的概率为和，三人都答对这道题的概率为，求三个人能获得神秘奖品的概率.
21.（本题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若函数的导函数有两个不同的零点，，证明：.
考生在第22､23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本题满分10分）
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（为直线的斜率且）.
（1）将曲线和直线化为普通方程；
（2）设曲线与直线交于两点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
23.（本题满分10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求的取值范围.
2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟押题试卷
文数（一）参考答案（全国卷）
1.C 【解析】因为集合，故.故选C.
2.B 【解析】由已知.故选B.
3.D 【解析】四个小朋友拿到的都不是自己的作品有种方法，四个小朋友随便拿一个有种方法，故四个小朋友拿到的都不是自己的作品的概率为.故选D.
4.A 【解析】依题意，原数据组由小到大排列为：，
所以这组数据的众数是6或8，故①错误；
中位数分别是6，故②错误；
平均数为.故③错误；
方差为，
标准差为.故④正确.故选A.
5.B 【解析】要使，取得最小值，只需
，即，又.设的外接圆的半径为，
根据正弦定理，，解得.所以的外接圆的周长为.故选B.
6.D 【解析】由题意将该三棱锥补充为一个正方体，如图所示，该三棱锥为
，其外接球与它所在正方体外接球是同一个，设其外接球的半径为
则有此几何体的外接球的表面积为：
.故选D.
7.D 【答案】，.故选D.
8.B 【解析】将化简为，所以数列是以为首项，
2为公差的等差数列.所以，即，所以
，
所以.故选B.
9.B 【解析】，所以
，又因为
，所以，即.故选B.
10.A 【解析】设圆心，由已知，解得或，圆心的坐标
为或，圆方程为：或，圆心或，半径为，因为圆上任意一点都满足，即，所以圆与圆位置关系为相离，所以，又因为，所以，即.故选A.
11.C 【解析】因为函数满足，所以的对称中心为，
又的对称中心也是，故两个函数的图象交点关于对称，
故应为6的倍数，故选C.
12.A 【解析】如图，因为右焦点到渐近线的距离为，故，
作于点于点，因为与圆相切，
所以，因为，
即.在RT中，
.又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以
，整理得，
因为，所以，圆的面积.故选A.
13. 【解析】区域，表示以圆心，半径为3的圆及其内部，
区域，表示以圆心，半径为1的圆，结合图形可得所求概率.
14.-7 【解析】作出如下图可行域：，即，平移
直线，经过点时直线的纵截距最大，即取最小值，联立
解得，代入得.
15. 【解析】由，两边平方化简得到，由.
则，则在上的投影为
.则在上的投影为.
16. 【解析】由知是奇函数，，
设，则，
在上单调递减，由得，即，，得的取值范围是.
17.【解析】（1）因为，即
所以或
因为，所以
设数列的首项，
，故.
（2）设，数列的前项和.
，
.
上述两式相减，得
故
18.【解析】（1）依题意得：
，即，解得
，解得
椭圆的方程为
（2）设的中点为，即，如图所示：
设，又中点坐标为，
所以
则
又两点在椭圆上，可得，
两式相减可得，整理得
，①.
过点斜率为的直线为.
因为在直线上，故，②
联立①②，解得
所以中点坐标为.
19.【解析】（1）由已知
所以平面平面
平面平面
（2）因为，所以为异面直线与所成的角，设，根据余弦定理，解得，所以..
延长到使，所以，
到平面的距离等于到平面的距离.
利用等体积求点到面距离：，设
到平面的距离为，
解得到平面的距离为2.
20.【解析】（1）根据列联表中的数据，经计算得到
有的把握认为“是否关注演唱会与性别有关”
（2）记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件，
则，所以.
①有0个人答对这道题的概率
②有1个人答对这道题的概率
所以若三个人中至少有两个人答对这道题目.
综上：三个人能获得神秘奖品的概率为
21.【解析】（1）由已知函数的定义域为
当时，，函数在上是增函数.
当时，，且当，
函数在上是增函数；
当，函数在上是减函数；
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减.
（2）由已知，即，
可得，
函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，
令，只需，故
又
所以
，
要证.即证
只需证
令，
则
令，则恒成立，
所以在上单调递减，又，
由零点存在性定理得，使得，即
所以时，单调递增，
时，单调递减，
则
又由对勾函数知在上单调递增，
所以
所以，即得证
22.【解析】（1）将变形为
两边平方相加得到；故曲线化为普通方程为
直线的极坐标方程为.
又
故直线化为直角坐标方程为.
（2）直线的方程为，
联立，消去得，.
所以.
为线段的中点，
.
为定值
23.（1）因为
所以的等价于或或
解得或或
不等式的解集为.
（2）
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为4
若不等式有解，即
所以，解得或
的取值范围为男
女
合计
关注演唱会
70
10
80
不关注演唱会
80
40
120
合计
150
50
200
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828