2024年中考数学计算能力考前训练提升4 因式分解

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一、选择题
1．对于①a2b−ab2=ab(a−b)，②(x+2)(x−3)=x2−x−6，从左到右的变形，下面的表述正确的是（ ）．
A．①②都是因式分解B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
2．对于①(x+1)(x−1)=x2−1，②x−2xy=x(1−2y)，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解D．①是因式分解，②是乘法运算
【答案】C
3．解方程（x-1）2-3（x-1）＝0的最适当的方法是（ ）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
【答案】D
4．对于①ab−b=b(a−1) ，②(a+2)(a−1)=a2+a−2 ．从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
5．对于①(x+3)(x−1)=x2+2x−3 ，②x−3xy=x(1−3y) 从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是整式的乘法
C．①是因式分解，②是整式的乘法
D．①是整式的乘法，②是因式分解
【答案】D
6．一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A．因式分解法B．配方法
C．公式法D．直接开平方法
【答案】A
7．解方程①x2−7=0；②9x2−7x−1=0；③(2−3x)+3(3x−2)2=0；④12x2+12=25x.较简便的方法是（ ）
A．依次为：直接开平方法、公式法、因式分解法
B．依次为：因式分解法、公式法、配方法
C．依次为：直接开平方法、因式分解法、因式分解法
D．依次为：公式法，公式法，因式分解法
【答案】A
8．对于①x−3xy=x(1−3y) ，②(x+3)(x−1)=x2+2x−3 ，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2−4x=2x(x−4)B．a2−3a−4=(a−4)(a+1)
C．a2+b2−2ab=(a+b)2D．x3−81x=x(x2+9)(x2−9)
【答案】B
10．下列因式分解错误的是 （ ）
A．9−6x−y+x−y2=3−x+y2
B．4(a−b)2−12a(a−b)+9a2=(a+2b)2
C．(a+b)2−2(a+b)(a−c)+(a−c)2=(b+c)2
D．m−n2−2m−n+1=m−n+12
【答案】C
11．把多项式2x2+mx−5因式分解成(2x+5)(x−n)，则m的值为（ ）
A．−3B．3C．5D．7
【答案】B
12．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（ ）
A．6x2+x−15B．3y2+7y+3C．x2−2x−4D．2x2−4xy+5y2
【答案】D
二、填空题
13．因式分解： m2−m= .
【答案】m（m-1）
14．因式分解：a2(x−y)+(y−x)= ．
【答案】(x−y)(a−1)(a+1)
15．因式分解： x2−4= .
【答案】(x+2)(x−2)
16．因式分解： 4a2−9= .
【答案】（2a+3）（2a﹣3）
17．因式分解：3x3﹣12x= ．
【答案】3x（x+2）（x﹣2）
18．因式分解：a²+2ab+b²-3a-3b-4= .
【答案】(a+b-4)(a+b+1)
三、计算题
19．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+y）2﹣14（x+y）+49
【答案】（1）解：原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）
（2）解：原式＝（x+y﹣7）2
20．因式分解：
（1）xy+3y；
（2）ax2−4a．
【答案】（1）解：xy+3y=y(x+3)；
（2）解：ax2−4a=a(x2−4)=a(x+2)(x−2)．
21．因式分解：
（1）3x2−12；
（2）2x2y−4xy+2y．
【答案】（1）解：原式=3(x2−4)，
=3(x+2)(x−2)；
（2）解：原式=2y(x2−2x+1)，
=2y(x−1)2．
22．因式分解：
（1）x2−25x
（2）a3−4a2+4a
【答案】（1）x2−25x=x(x−25)；
（2）a3−4a2+4a=a(a2−4a+4)
=a(a−2)2
23．因式分解：
（1）ay2−3ay+2a
（2）3(x+y)(x−y)−(y−x)2
【答案】（1）解：a(y−2)(y−1)
（2）解：2(x−y)(x+2y)
24．因式分解
（1）x3−4x；
（2）3x2y−12xy+12y；
（3）(x2+4)2−16x2．
【答案】（1）解：x3−4x
=x(x2−4)
=x(x+2)(x−2)；
（2）解：3x2y−12xy+12y
=3y(x2−4x+4)
=3y(x−2)2；
（3）解：(x2+4)2−16x2
=[(x2+4)+4x][(x2+4)−4x]
=(x+2)2(x−2)2
25．因式分解：
（1）a2b−2ab；
（2）2x2−4x+2．
【答案】（1）解：原式=ab（a-2）
（2）解：原式=2（x﹣1）2
26．因式分解：
（1）ab2−4a；
（2）2a2+4ab+2b2．
【答案】（1）解：ab2−4a
=a(b2−4)
=a(b+2)(b−2)；
（2）解：2a2+4ab+2b2
=2(a2+2ab+b2)
=2(a+b)2
27．因式分解．
（1）4a2x﹣12ax+9x；
（2）（2x+y）2﹣y2．
【答案】（1）解：原式＝x（4a2﹣12a+9）
＝x（2a﹣3）2
（2）解：原式＝（2x+y+y）（2x+y﹣y）
＝2x（2x+2y）
＝4x（x+y）
28．因式分解。
（1）−2x2−8y2+8xy；
（2）4(x+y)2−16(x−y)2．
【答案】（1）解：−2x2−8y2+8xy
=−2(x2−4xy+4y2)
=−2(x−2y)2；
（2）4(x+y)2−16(x−y)2
=4[(x+y)2−4(x−y)2]
=4[(x+y)+2(x−y)][(x+y)−2(x−y)]
=4(3x−y)(3y−x).
29．因式分解
（1）4a2+12ab+9b2；
（2）16a2(a−b)+4b2(b−a)；
（3）25(m+n)2−9(m−n)2；
（4）4a2−b2−4a+1．
【答案】（1）解：4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2
（2）解：原式=16a2(a−b)−4b2(a−b)
=4(a−b)(4a2−b2)
=4(a−b)(2a−b)(2a+b)
（3）解：原式=[5(m+n)]2−[3(m−n)]2
=[5(m+n)+3(m−n)][5(m+n)−3(m−n)]
=(5m+5n+3m−3n)(5m+5n−3m+3n)
=4(4m+n)(m+4n)；
（4）解：原式=(4a2−4a+1)−b2
=(2a−1)2−b2
=(2a−1+b)(2a−1−b)．
30．因式分解：
（1）3ax2−6ax+3a.
（2）(x2+y2)2−4x2y2.
【答案】（1）解：3ax2−6ax+3a
=3a(x2−2x+1)
=3a(x−1)2；
（2）解：(x2+y2)2−4x2y2
=(x2+y2)2−(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)
=(x+y)2(x−y)2．
四、实践探究题
31．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2=(a+b)2，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
（1）【小试牛刀】
请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
（2）【自主探索】
请利用图1的卡片，将多项式2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形．
（3）【拓展迁移】
事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把a3+4a2b+3ab2进行因式分解并写出因式分解结果．
【答案】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，
∴图3的面积为 a2+3ab+2b2 ，
又∵图3的面积又等于一个长为 (a+2b) ，宽为 (a+b) 的长方形面积，
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) ；
（2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴同理可得 2a2+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b) ；
（3）解：观察可知 a3+4a2b+3ab2=a(a2+4ab+3b2) ，
∴我们可以把 a3+4a2b+3ab2 看做是一个高为a，底面积为 a2+4ab+3b2 的长方体的体积，
如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的，
∴a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b) ，
∴a3+4a2b+3ab2=a(a+b)(a+3b) ．