安徽省池州市青阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份安徽省池州市青阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.下列各组图形一定相似的是( )
A. 所有等腰三角形都相似B. 所有等边三角形都相似
C. 所有菱形都相似D. 所有矩形都相似
3.制作一块长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A. 360元B. 720元C. 1080元D. 2160元
4.已知抛物线，下列说法错误的是( )
A. 开口向下B. 与x轴无交点
C. y的最大值为D. 对称轴是直线
5.将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
6.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为( )
A.
B.
C.
D.
7.在平面直角坐标系中，抛物线与直线如图所示，方程的解为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.如图，在中，，，，CD是的高，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为( )
A. 米B. 米C. 米D. 米
10.如图，中，，点D在AC上，若，，则BD的长度为( )
A. B. C. D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如果，那么______.
12.已知锐角中，，，则BC的长为______.
13.反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是______.
14.已知二次函数为常数，，当时，，则该函数图象的顶点位于______.
15.如图，，AC，BD相交于点E，作，交BD于点F，已知，，则EF的长度为______.
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题5分
计算：
17.本小题6分
如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点.
以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为1：2；
利用图中网格线的交点用直尺在线段AB上找到一点D，使AD：：
18.本小题8分
某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．结果保留根号
19.本小题8分
现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照明灯.
求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，请通过计算说明高度不超过米的车辆能否安全通过该隧道？
20.本小题8分
如图，在中，，点D在AC上，且满足，若，连接求的度数．
21.本小题8分
如图，在中，，
求边BC的长度；
求的值.
22.本小题17分
如图，在中，，，点D，E分别在边BC，AC上点D不与端点B，C重合，并且满足
求证：∽；
设，，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？
当是等腰三角形时，求BD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点.
根据关于原点对称的点的坐标特点.：横，纵坐标均互为相反数，由此即可得出答案.
【解答】
解：点关于原点对称的点的坐标是：
故选：
2.【答案】B
【解析】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；
任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确；
任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；
任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；
故选：
根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：，制作一块长方形广告牌的成本是120元，
长方形广告牌的成本是元，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
扩大后长方形广告牌的面积，
扩大后长方形广告牌的成本是元．
故选：
根据题意，首先求出原来广告牌的面积，即可求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，然后用其乘以每平方米的成本，即可得到所求结果．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、抛物线中的，则该抛物线开口向下，原说法正确；
B、令时，，则，所以该抛物线与x轴没有交点，原说法正确；
C、抛物线，开口向下，顶点坐标为，则其最大值为，原说法正确；
D、由选项C解答可知，对称轴是直线，原说法不正确．
故选：
根据二次函数性质逐次求解即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的函数解析式为：，即
故选：
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6.【答案】D
【解析】解：二次函数的图象开口向下，
，
，
，
抛物线与y轴相交于正半轴，
，
直线经过一、二、四象限，
由图象可知，当时，，
，
反比例函数的图象必在二、四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：
先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知，由抛物线交y的正半轴，可知，由当时，，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：联立方程组得到：
方程的解即为抛物线与直线的交点横坐标，
由函数图象知，抛物线与直线的交点坐标为和
所以方程的解为，
故选：
此题实际上是求得抛物线与直线的交点横坐标，根据函数图象可以直接得到答案．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的图象与性质以及二次函数的性质，解题的关键是提取信息“抛物线与直线的交点横坐标即为方程的解”．
8.【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：
根据已知可得，再利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而利用同角的余角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点B作交CA的延长线于D，如图：
设米，
，
，
，
，
则，
解得，
答：这段河的宽度为米．
故选：
过点B作交CA的延长线于D，设米，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：，，，
，
，
，
，
故选：
在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
11.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：
用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：作于D，
，
，
，
，
令，则，
，
，
，
故答案为：
作于D，由得，再由，应用勾股定理即可求出BD的长，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，关键是作于D，构造直角三角形，应用正切定义，勾股定理来解决问题．
13.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象的一个分支在第二象限，
，
解得
故答案为：
根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限，可得，解不等式即可求解．
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
14.【答案】第一象限
【解析】解：当时，，
，
或，
解得：，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
抛物线的对称轴为直线，
时，，
即顶点的纵坐标大于0，
该函数图象的顶点位于第一象限．
故答案为：第一象限．
先解方程得到抛物线与x轴的交点坐标为，，利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，由于时，，所以顶点的横坐标为1，纵坐标大于0，于是可判断该函数图象的顶点所在象限．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
即，
故答案为：
先证明∽得到，则，接着证明∽，然后利用相似比可计算出EF的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
16.【答案】解：

【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
17.【答案】解：如图所示：即为所求；
如图，点D为所求，
如图，，
故点D满足题意．
【解析】连接OA并延长到点，使得，连接OB并延长到点，使得，连接OC并延长到点，使得，顺次连接、、即可；
如图，，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
此题考查了位似图形的作图、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握作图步骤和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
18.【答案】解：如图，作，水平线，垂足分别为D、H，
由题意得：，，，
，，
又，，
，
，
，
在中，，
故这架无人飞机的飞行高度为
【解析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
如图，作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数定义求出AD、CD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．
19.【答案】解：抛物线经过点，，
可以设抛物线的解析式为，
把点代入，可得，
抛物线的解析式为
即；
解：，
根据对称性，令，得﹒
，
高度不超过米的车辆能安全通过该隧道．
【解析】设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解；
令，求得y的值，再与比较，即可解答．
本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
20.【答案】解：，
，
，
又，
∽
，
，
设，则，
，解得

【解析】由以及、证明∽进而求出，，根据三角形内角和定理列方程，解方程得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
21.【答案】解：如图，过点A作于点D，
，
，
在中，，
，
，
则；
如图，过B作于H，
，
，
，

【解析】如图，过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论；
如图，过B作于H，根据三角形的面积公式所示，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】证明：，
，
，
，
，，
，
∽；
解：，，
，
由知∽，
，
，
，
，且，
当时，y有最大值为；
解：当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
当x的长为2时，是等腰三角形；
当时，是等腰三角形，
即，
又，
∽，
，
，
，
，
点D不与B、C重合，
，
综上所述，当或时，是等腰三角形．
【解析】根据等腰三角形的性质得，再根据三角形三角形内角和定理得出，即可证明结论；
由知∽，得，代入化简得，利用二次函数的性质可得答案；
分和和三种情形，分别计算即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．