2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（下）期中数学试卷，共45页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2016•沈阳校级一模）已知向量，，若，则的值为
A．B．2C．D．
2．（5分）（2023春•南山区校级期中）复数，则的虚部是
A．2B．C．D．
3．（5分）（2023春•阿拉善左旗校级期中）已知单位向量，满足，则，
A．B．C．D．
4．（5分）（2023春•南山区校级期中）从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是
A．三个面是直角三角形的正三棱锥
B．有一个面是钝角三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
5．（5分）（2023春•南山区校级期中）在中，已知，则一定成立的是
A．B．C．D．
6．（5分）（2023春•南山区校级期中）在中，，若三角形有两解，则的取值范围是
A．B．C．D．
7．（5分）（2023春•南山区校级期中）过的重心的直线分别交线段、于点、，若，则的最小值为
A．B．C．D．
8．（5分）（2023春•辛集市期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）（2023春•南山区校级期中）设，，为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是
A．的充要条件是B．的充要条件是
C．若，，则D．若，则
10．（5分）（2023春•南山区校级期中）已知复数，下列结论正确的是
A．的充要条件是
B．是纯虚数的充要条件是
C．若，则
D．若，则是纯虚数
11．（5分）（2023春•尖山区校级期中）在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是
A．正四面体的体积为
B．正四面体外接球的表面积为
C．如果点在线段上，则的最小值为
D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
12．（5分）（2023春•南山区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，是的外接圆圆心，下列结论正确的是
A．的最大值是
B．的取值范围是
C．若，则是等腰三角形
D．的最大值是3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2023春•库车市校级期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为 ．
14．（5分）（2023春•南山区校级期中）在复数范围内方程的两根为，，则 ．
15．（5分）（2021秋•湖北期中）若为的重心，，则的最小值为 ．
16．（5分）（2023秋•徐汇区校级期中）水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（2023春•淮安期中）已知，，为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当，时，求的取值范围．
18．（12分）已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
（1）若，求与夹角的大小；
（2）试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
19．（12分）（2022春•辽宁期中）如图，在中，，，且点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积．
20．（12分）（2023春•科左中旗校级期中）已知正四棱锥的侧棱长为和底面边长为2．
（1）求正四棱锥的体积和表面积；
（2）若点，，分别在侧棱，，上，且，求三棱锥的体积．
21．（12分）（2022春•武汉期中）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，，高为，如图水平放置，盛有水深为．
（1）求玻璃容器的体积；
（2）将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）
22．（12分）（2023春•井冈山市校级期末）如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
（1）若的面积，求木栈道长；
（2）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，求木栈道的最小值．
2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2016•沈阳校级一模）已知向量，，若，则的值为
A．B．2C．D．
【考点】：数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：平面向量及应用
【分析】利用向量垂直的性质求解．
【解答】解：向量，，，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
2．（5分）（2023春•南山区校级期中）复数，则的虚部是
A．2B．C．D．
【答案】
【考点】共轭复数；复数的运算
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、虚部的定义，即可求解．
【解答】解：，
，
故，
则，其虚部为2．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数、虚部的定义，属于基础题．
3．（5分）（2023春•阿拉善左旗校级期中）已知单位向量，满足，则，
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角
【专题】数学运算；转化思想；平面向量及应用；转化法
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：单位向量，满足，
则，即，解得，
，
，
故，．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
4．（5分）（2023春•南山区校级期中）从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是
A．三个面是直角三角形的正三棱锥
B．有一个面是钝角三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
【答案】
【考点】棱锥的结构特征；棱柱的结构特征
【专题】方程思想；数学抽象；转化思想；计算题；综合法；立体几何
【分析】根据题意，正方体中，举出例子可以说明正确，对于，先选取其中一点，与其余的7个点中的任意2个都不会构成钝角三角形，由此可得错误，即可得答案．
【解答】解：根据题意，如图，正方体中，
对于，四面体就是三个面是直角三角形的正三棱锥，正确；
对于，四面体就是每个面都是等边三角形的四面体，正确；
对于，四面体就是每个面都是直角三角形的四面体，正确；
对于，先选取其中一点，与其余的7个点中的任意2个都不会构成钝角三角形，则不可能构成有一个面是钝角三角形的四面体，错误；
故选：．
【点评】本题考查正方体、四面体的几何结构，涉及直线与平面垂直的判定，属于基础题．
5．（5分）（2023春•南山区校级期中）在中，已知，则一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】两角和与差的三角函数；三角形中的几何计算
【专题】转化法；解三角形；数学运算；计算题；转化思想
【分析】由二倍角的余弦公式化简已知表达式，并结合余弦定理可求出的值，结合的范围可求的值，即可得解．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得，
又，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）（2023春•南山区校级期中）在中，，若三角形有两解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】解三角形；正弦定理
【专题】综合法；转化思想；计算题；数学运算；解三角形
【分析】有两组解，利用正弦定理得，代入数据，求出的范围．
【解答】解：当时，三角形有两组解，
又，，，如果三角形有两组解，
那么应满足，
即；
的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的应用与正弦定理的应用问题，属基础题．
7．（5分）（2023春•南山区校级期中）过的重心的直线分别交线段、于点、，若，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【专题】综合法；转化思想；数学运算；平面向量及应用
【分析】由为重心，且，，三点共线，可得用，的线性表示，再由题意可得用，的线性表示，可得，的关系，由“1“的活用及均值不等式可得的最小值．
【解答】解：设直线与交于，因为直线过重心，又，
而，，三点共线，所以，
所以，可得，
所以，
因为，，所以，
由均值不等式可得，
所以的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查重心的性质及向量的基本定理的应用，均值不等式的应用，属于中档题．
8．（5分）（2023春•辛集市期末）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理
【专题】转化思想；数学运算；综合法；解三角形
【分析】先根据已知条件化简可得，再将化为，结合为锐角三角形，可得的范围，进而得解．
【解答】解：因为，
所以，
则，
则，
则或，
则或（舍，
由正弦定理可得
，
又因为 是锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，即．
故选：．
【点评】本题考查三角恒等变换，解三角形与三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）（2023春•南山区校级期中）设，，为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是
A．的充要条件是B．的充要条件是
C．若，，则D．若，则
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；向量相等与共线
【专题】平面向量及应用；对应思想；定义法
【分析】根据平面向量的平行与垂直的性质即可判定．
【解答】解：，当且仅当与同向时成立，而与方向相同或相反都有，因此不是充要条件，错误；
因为和均为非零向量，所以当时，必有，则必有，正确；
因为和均为非零向量，所以当，时，有和方向相同或相反，和方向相同或相反，故与同向或反向，正确；
由可得，，则可得或，故错误．
综上，正确．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的平行、垂直的性质，属基础题．
10．（5分）（2023春•南山区校级期中）已知复数，下列结论正确的是
A．的充要条件是
B．是纯虚数的充要条件是
C．若，则
D．若，则是纯虚数
【答案】
【考点】虚数单位、复数；复数的运算；复数的模；纯虚数
【专题】数系的扩充和复数；转化法；对应思想；数学运算
【分析】根据充分必要条件判断，根据充分必要条件以及特殊值法判断，根据定义得方程组判断．
【解答】解：对于，若，则，，是充分条件，反之也成立，故正确；
对于，若是纯虚数，则且，则，是充分条件，
反之，若，则，当时，不是纯虚数，故不是必要条件，故错误；
对于，若，则，
则，则，，故正确；
对于，若，则，则，则，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了复数，充分必要条件问题，考查转化思想，是基础题．
11．（5分）（2023春•尖山区校级期中）在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是
A．正四面体的体积为
B．正四面体外接球的表面积为
C．如果点在线段上，则的最小值为
D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使最小，只需，，共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值．
【解答】解：由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，
故棱长为2，如下图示，
为底面中心，则，，共线，为体高，
故，
所以，
故正四面体的体积为，错误；
由题设，外接球球心在上，且半径，
所以，则，
故外接球的表面积为，正确；
由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，
所以且，，
又，
而，
要使最小，只需，，共线，
则，
所以，正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为，
则圆柱体的高，圆柱底面半径为，
所以其侧面积，
故当时，，正确．
故选：．
【点评】本题考查立体几何知识的综合运用，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）（2023春•南山区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，是的外接圆圆心，下列结论正确的是
A．的最大值是
B．的取值范围是
C．若，则是等腰三角形
D．的最大值是3
【答案】
【考点】正弦定理；平面向量数量积的性质及其运算
【专题】平面向量及应用；转化思想；数学运算；综合法
【分析】由余弦定理、基本不等式可得，进而求最大值，注意取值条件，由已知条件和构成三角形条件有求范围，若，，为，，中点，由外心的性质、向量线性关系可得且，即得三角形形状，将化为，根据对应线段位置关系、长度及正弦边角关系、三角恒等变换、正弦函数性质求最值．
【解答】解：设的外接圆半径为，
则根据正弦定理可得，
如下图，过作于，
由，则，
所以，仅当时等号成立，正确；
由题意，，则，错误；
若，，为，，中点，由，故，，共线，
又，所以且，故为中垂线，
所以是等腰三角形，正确；
由
，又，
则上式，
所以原式，
由，故时最大值为3，正确．
故选：．
【点评】本题考查向量与解三角形的综合问题，三角形外接圆的性质，余弦定理与正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）（2023春•库车市校级期中）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为 ．
【答案】．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；投影向量
【专题】综合法；数学运算；整体思想；平面向量及应用
【分析】对两边平方，求出，再利用投影向量的定义求解．
【解答】解：，，
，
，
在方向上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
14．（5分）（2023春•南山区校级期中）在复数范围内方程的两根为，，则 ．
【答案】．
【考点】实系数多项式虚根成对定理；复数的模；复数的运算
【专题】转化思想；数学运算；综合法；数系的扩充和复数
【分析】由题意，利用当判别式小于零时，利用根公式求得、，再根据复数的模的定义与求法，
【解答】解：复数范围内方程的两根为，，
△，、，
故、中一个等于，另一个等于，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查当判别式小于零时，求根公式的应用，复数的模的定义与求法，属于基础题．
15．（5分）（2021秋•湖北期中）若为的重心，，则的最小值为 ．
【答案】．
【考点】三角形中的几何计算
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】令，且它们的模长分别为，，夹角为，以此为基底向量，表示出的值，然后借助于基本不等式求解．
【解答】解：如图：令，且它们的模长分别为，，夹角为，
则，同理，
所以，，，
故①，
因为，所以，当且仅当时取等号，故①式，
即的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查数量积的运算以及基本不等式求最值，属于中档题．
16．（5分）（2023秋•徐汇区校级期中）水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切．若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ．
【答案】．
【考点】球的体积和表面积
【专题】数学运算；转化思想；综合法；球
【分析】以3个小球球心和与桌面的切点为顶点作三棱柱，结合图形分析可解．
【解答】解：如图所示，设3个球心分别为，，，3个球分别与水平桌面相切于，，三点，
假设半球形的容器与球相切于点，此时半球形容器内壁的半径最小，
记最小半径设为，易知是边长为4的正三角形，
记中点为，半球形容器的球心为的中心，
则．
则．
故答案为：．
【点评】本题考查内切球问题，化归转化思想，属中档题．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（2023春•淮安期中）已知，，为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）当，时，求的取值范围．
【答案】（1），，；
（2），．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）根据题意，求出与的坐标，由向量数量积的运算性质可得关于的不等式，然后求出的范围；
（2）根据题意，求出的坐标，得到的表达式，结合二次函数的性质，求出取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，，，
则，，
若与的夹角为钝角，
则有，且，
解得且，即的取值范围为，，；
（2）根据题意，，
则，
所以，
又，则，
即的取值范围是，．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
18．（12分）已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
（1）若，求与夹角的大小；
（2）试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【答案】（1）；（2），有最小值为．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】（1）由平面向量数量积运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；
（2）设点的坐标，再结合平面向量数量积运算即可．
【解答】解：（1）因为半圆的直径，由题易知：又、
又，，则，，则．
所以，，所以．
设与夹角为，则，
又因为，，
所以，
即与的夹角为．
（2）设，
由（1）知，，
则，，
所以，
又因为，
所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的坐标运算，属中档题．
19．（12分）（2022春•辽宁期中）如图，在中，，，且点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【考点】正弦定理；三角形中的几何计算
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）由，可得，求出，，再利用正弦定理求得．
（2）由和三角形的面积公式求出，再利用余弦定理可得，再求面积即可．
【解答】解：（1）由，可得，
所以或（舍去），所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理可得
解得．
（2）由，得，，
因为，，所以，
由余弦定理，
可得，解得或（舍去），
所以，
所以．
【点评】本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题．
20．（12分）（2023春•科左中旗校级期中）已知正四棱锥的侧棱长为和底面边长为2．
（1）求正四棱锥的体积和表面积；
（2）若点，，分别在侧棱，，上，且，求三棱锥的体积．
【答案】（1）正四棱锥的体积为，表面积为；（2）．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算
【分析】（1）根据锥体的体积公式，表面积公式，计算即可求解；
（2）根据题意，化归转化，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知四边形为正方形，
设为底面中心，则为该锥体的高，
又易知，，，
正四棱锥的体积为，
又侧面等腰三角形的高为，
正四棱锥的表面积为；
（2），，
，
，
，，
即．
【点评】本题考查正四棱锥的体积与表面积的求解，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
21．（12分）（2022春•武汉期中）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，，高为，如图水平放置，盛有水深为．
（1）求玻璃容器的体积；
（2）将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）
【答案】（1）正六棱台的体积．
（2）搅棒没入水中部分的长度为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算
【分析】（1）求解下底面面积，上底面的面积，结合台体的高，求解正六棱台的体积．
（2）设搅棒在上的点为，搅棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，画出平面的平面图，求解，，结合正弦定理求解，，然后转化求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，下底面面积为，
上底面的面积，又台体的高为，
所以正六棱台的体积
（2）设搅棒在上的点为，则，搅棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，
为正六棱台，，，，
为等腰梯形，画出平面的平面图，
，，，，
，
由勾股定理得：，
，，，
根据正弦定理得：，，
，
，
．
搅棒没入水中部分的长度为．
【点评】本题考查棱台的体积的求法，空间点、线、面距离的求法，正弦定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）（2023春•井冈山市校级期末）如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
（1）若的面积，求木栈道长；
（2）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，求木栈道的最小值．
【答案】（1）；
（2）的最小值6．
【考点】解三角形
【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算
【分析】（1）由已知可得，，进而由余弦定理可得，可求；
（2）设圆与，分别切于，，由已知可得，利用，可求木栈道的最小值．
【解答】解：（1）在中，因为的面积，所以，
则解得①，
所以，
则，所以，
两边平方得，
所以②，
在中，由余弦定理可得，
即③，
由①②③求解得；
（2）设圆与，分别切于，，
则，，，
则，，
则，，
由，可得，
由，
可得，则，
则；
；；
，
当且仅当时等号成，则的最小值6．
【点评】本题考查解三角形在生活中的应用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查三角恒等变换，属中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
3．向量相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
4．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
5．投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
【命题方向】
（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．
（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．
（3）空间几何问题：求点到平面的距离．
6．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
7．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
【命题方向】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
8．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
9．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
11．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
12．虚数单位i、复数
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
13．纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
【命题方向】
纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．
14．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
15．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
16．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
17．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
18．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥＝Sh．
19．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
20．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
21．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
22．实系数多项式虚根成对定理
【知识点的认识】
实系数多项式虚根成对定理：
n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则＝a0﹣b0i也是方程的根．
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正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝