2022-2023学年广东省深圳实验学校光明部高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳实验学校光明部高一（下）期中数学试卷，共45页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2017•红桥区模拟）是虚数单位，复数等于
A．B．C．D．
2．（5分）（2023春•光明区校级期中）下列四个命题正确的是
A．所有的几何体的表面都能展成平面图形
B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等
C．棱柱的各条棱长度都相等
D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
3．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知两点，，则与向量同向的单位向量是
A．B．C．D．
4．（5分）（2023春•青羊区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为
A．B．C．D．或
5．（5分）（2023春•光明区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则的取值是
A．B．C．D．3
6．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知向量，满足，，，则
A．1B．C．D．
7．（5分）（2021•江苏模拟）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是
A．B．C．D．
8．（5分）（2023春•光明区校级期中）平面四边形是边长为4的菱形，且．点是边上的点，满足．点是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为
A．13B．7C．14D．
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知是虚数单位，复数，则以下说法正确的有
A．复数的虚部为
B．
C．复数的共轭复数
D．复数在复平面内对应的点在第三象限
10．（5分）（2023春•光明区校级期中）设有下列四个命题正确的是
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行
11．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，下列结论正确的是
A．是钝角三角形B．
C．若则的面积是D．
12．（5分）（2023春•资溪县校级期中）已知向量，，则下列命题正确的是
A．若，则
B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知一个球的半径为，其体积的数值和表面积的数值满足关系，则半径 ．
14．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知中，，，，是的角平分线，则 ．
15．（5分）（2023春•大荔县期末）已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为 ．
16．（5分）（2023春•光明区校级期中）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点的坐标为 ．
四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2023春•光明区校级期中）已知是虚数单位，，．
（1）求；
（2）若满足，求实数，的值．
18．（12分）（2023春•光明区校级期中）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
19．（12分）（2023春•光明区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值．
20．（12分）（2023春•吴忠校级期中）为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线开通一条穿山隧道．如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，且测得，，．用以上数据（或部分数据）表示以下结果．
（1）求出线段的长度；
（2）求出隧道的长度．
21．（12分）（2023春•光明区校级期中）如图，在四边形中，，．
（1）若，，求；
（2）若，，，求．
22．（12分）（2023春•光明区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳实验学校光明部高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2017•红桥区模拟）是虚数单位，复数等于
A．B．C．D．
【考点】：复数的运算
【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2．（5分）（2023春•光明区校级期中）下列四个命题正确的是
A．所有的几何体的表面都能展成平面图形
B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等
C．棱柱的各条棱长度都相等
D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
【答案】
【考点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；棱柱的结构特征
【专题】空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；转化法
【分析】通过举反例，以及棱柱、棱锥的结构特征，即可求解．
【解答】解：球的表面不能展成平面图形，故错误；
棱锥的侧面个数与底面的边数相等，故正确；
棱柱的各条侧棱长度都相等，但侧棱长度与底面中的棱长不一定相等，故错误；
正六棱柱中，相对的两个侧面互相平行，但它们不是正六棱柱的底面，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查棱柱、棱锥的结构特征，属于基础题．
3．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知两点，，则与向量同向的单位向量是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】向量的概念与向量的模
【专题】综合法；数学运算；转化思想；平面向量及应用
【分析】先求出和，再利用同向单位向量公式求解即可．
【解答】解：，，
向量，，
与向量同向的单位向量是，．
故选：．
【点评】本题考查同向单位向量的求法，属于基础题．
4．（5分）（2023春•青羊区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为
A．B．C．D．或
【答案】
【考点】正弦定理
【专题】整体思想；解三角形；数学运算；综合法
【分析】由正弦定理即可求解．
【解答】解：由正弦定理，得，
又，所以，
所以为锐角，所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
5．（5分）（2023春•光明区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则的取值是
A．B．C．D．3
【答案】
【考点】余弦定理；正弦定理
【专题】转化法；解三角形；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，，，
则，即，解得（负值舍去）．
故选：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
6．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知向量，满足，，，则
A．1B．C．D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】综合法；数学运算；平面向量及应用；整体思想
【分析】由平面向量的模的运算，结合平面向量的夹角的运算求解即可．
【解答】解：已知向量，满足，，，
则，
即，
则．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题．
7．（5分）（2021•江苏模拟）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【专题】数形结合；定义法；立体几何；数学运算
【分析】根据圆锥的结构特征可知底面半径与高相等，代入面积公式求出比值．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线为，如图所示：
则，．
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征和底面积、侧面积计算问题，是基础题．
8．（5分）（2023春•光明区校级期中）平面四边形是边长为4的菱形，且．点是边上的点，满足．点是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为
A．13B．7C．14D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算
【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案．
【解答】解：如图，
由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点是四边形内或边界上的一个动点，
则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，
因为，
又，
所以
，
所以的最大值为14．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知是虚数单位，复数，则以下说法正确的有
A．复数的虚部为
B．
C．复数的共轭复数
D．复数在复平面内对应的点在第三象限
【答案】
【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的模
【专题】转化法；数系的扩充和复数；转化思想；数学运算
【分析】根据已知条件，结合虚部、共轭复数的定义，复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：对于，复数的虚部为，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，在复平面内对应的点在第三象限，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查虚部、共轭复数的定义，复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
10．（5分）（2023春•光明区校级期中）设有下列四个命题正确的是
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行
【答案】
【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理
【分析】根据平面的有关知识、线线平行、线面平行的有关知识对选项进行分析，从而确定选项．
【解答】解：对于，两两相交且不过同一点的三条直线，
共有3个不在一条直线上的3个交点，确定一个平面，故正确；
对于，空间中任意三点，若三点共线，则过空间中的这三点有无数个平面，故错误；
对于，空间两条直线不相交，可能异面，故错误；
对于，直线平行平面，则过直线的平面与平面的交线都与平行，而这样的交线有无数条，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面平行的判定与性质、平面的基本性质及推论等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
11．（5分）（2023春•龙岗区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，下列结论正确的是
A．是钝角三角形B．
C．若则的面积是D．
【答案】
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；解三角形；正弦定理
【专题】计算题；转化思想；数学运算；逻辑推理；解三角形；综合法；三角函数的求值
【分析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用及向量的夹角运算判断、、、的结论．
【解答】解：在中，已知，
设，，，
对于：利用正弦定理：，
所以，与没有关系，故错误；
对于：利用余弦定理，即，故正确；
对于：由于，，，，
所以，
故，，，
利用余弦定理，所以，故，故正确；
对于：由于，故为钝角，所以是钝角三角形，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12．（5分）（2023春•资溪县校级期中）已知向量，，则下列命题正确的是
A．若，则
B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算；投影向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；数学运算
【分析】利用向量的数量积为0，求出余弦函数值，判断；
利用向量的数量积求解向量的投影以及向量的夹角判断；
通过向量的模的求法求解判断；
利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断．
【解答】解：若，则，
则，即，
，解得，故正确；
若在上的投影为，且，则，
或，故错误；
若，，
则，即，
此时，
但，，，
故不成立，故错误；
，因为，，
则当时，的最大值为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知一个球的半径为，其体积的数值和表面积的数值满足关系，则半径 3 ．
【答案】3．
【考点】球的体积和表面积
【专题】综合法；数学运算；计算题；空间位置关系与距离；转化思想
【分析】由题意可得，求解即可．
【解答】解：根据题意有，，
由，得，
解得．
故答案为：3．
【点评】本题考查球体的表面积与体积公式，属基础题．
14．（5分）（2023春•光明区校级期中）已知中，，，，是的角平分线，则 ．
【答案】．
【考点】余弦定理；三角形中的几何计算
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；解三角形
【分析】【法一】设，由，利用三角形的面积公式即可求解的值．
【法二】由已知利用余弦定理可得的值，利用角平分线的性质可求，解得的值，利用余弦定理可求，在中由余弦定理可得的值．
【解答】解：【法一】因为中，，，，是的角平分线，
又，
所以，
设，
可得，解得．
【法二】因为中，，，，
所以由余弦定理可得，
又是的角平分线，
所以，即，
所以，解得，
因为，
所以在中，由余弦定理可得．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理以及角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
15．（5分）（2023春•大荔县期末）已知是虚数单位，复数，．若复平面内表示的点位于第二象限，实数的取值范围为 ．
【答案】．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数
【分析】根据复数的几何意义求复数的对应点的坐标，由条件列不等式求的取值范围．
【解答】解：因为，
所以复数在复平面上的对应点的坐标为，，
由已知可得，，
由可得，
由可得或，
所以，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
16．（5分）（2023春•光明区校级期中）如图，已知为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点的坐标为 ．
【答案】．
【考点】平面向量的基本定理
【专题】数形结合；平面向量及应用；向量法；数学运算
【分析】结合图中点的位置关系，算出点、的坐标，代入，即可求得点的坐标．
【解答】解：由题意得，设，，，
则．，
，
，
．，
所以，，，，
则，，，，
由得，解得，．即点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的坐标运算，属基础题．
四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2023春•光明区校级期中）已知是虚数单位，，．
（1）求；
（2）若满足，求实数，的值．
【答案】（1）；（2），．
【考点】复数的运算；共轭复数
【专题】数学运算；综合法；方程思想；数系的扩充和复数
【分析】（1）先求出，再根据复数的运算性质化简即可求解；（2）先求出复数，然后代入方程，根据复数的性质建立方程组即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得，
则；
（2）由题意可知，
代入方程，可得：，
即，所以，解得，．
【点评】本题考查了复数的运算性质以及共轭复数的求解，属于基础题．
18．（12分）（2023春•光明区校级期中）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），（2）．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【专题】平面向量及应用；计算题；数学运算；转化思想；方程思想；综合法
【分析】（1）根据题意，求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于的方程，解可得答案；
（2）根据题意，求出、的坐标，由向量数量积的计算公式可得关于的方程，解可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，向量，，
则，，
若，则有，即，
解可得，故的值为；
（2）根据题意，向量，，
则，，
若，则有，
解可得，故的值为．
【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
19．（12分）（2023春•光明区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）若，求的周长的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】余弦定理；解三角形；正弦定理
【专题】解三角形；综合法；三角函数的求值；数学运算
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，进而可求；
（2）由已知结合基本不等式可求的取值范围，进而可求周长的最大值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
即，
由余弦定理得，
由为三角形内角得；
（2）因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
解得，
故周长的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）（2023春•吴忠校级期中）为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线开通一条穿山隧道．如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，且测得，，．用以上数据（或部分数据）表示以下结果．
（1）求出线段的长度；
（2）求出隧道的长度．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】解三角形
【专题】对应思想；定义法；解三角形；数学运算
【分析】（1）由条件求出角，，在中由正弦定理即可得结果；
（2）在中由正弦定理求出，从而求解得．
【解答】解：（1）由题意可得，，，
所以，，又，，
在中，由正弦定理得，即，
解得；
（2）因为，，所以，，
又由（1）知，，
在中，由正弦定理得，
所以，即，
所以．
【点评】本题考查解三角形相关知识，属于中档题．
21．（12分）（2023春•光明区校级期中）如图，在四边形中，，．
（1）若，，求；
（2）若，，，求．
【答案】（1）2；（2）3．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【专题】平面向量及应用；数学运算；计算题；综合法；转化思想
【分析】（1）求出，，然后求解向量的数量积即可．
（2）推出，通过，转化求解即可．
【解答】解：（1）在四边形中，，，
，，，
，，
所以．
（2），
，，
，
又，
，
，
．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）（2023春•光明区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2），．
【考点】解三角形；正弦定理
【专题】综合题；解三角形；转化思想；数学运算；综合法
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角为边后，再由余弦定理可求得；
（2）由正弦定理化角为边，代入（1）中结论化简后，得出，由锐角三角形得，，化简后可得的取值范围，然后利用函数的单调性求的范围，从而得出结论．
【解答】解：（1），
由正弦定理和余弦定理得，
整理得，，又是三角形内角，；
（2）为锐角三角形，则，，，
又，
，
，
，，，
设，，则，
则，
因此当时，，，，单调递减，
当时，，，，单调递增，
，当时，，当，，，
，
，
即的取值范围为，．
【点评】本题考查解三角形，考查正余弦定理的应用，考查函数的最值的求法，属中档题．
考点卡片
1．向量的概念与向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
2．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
3．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||csθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||csθ的积．
4．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
5．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
6．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量，垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵，•（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
对于B：∵，•（﹣4，3）＝，∴B不成立；
对于C：∵，•（4，3）＝，∴C成立；
对于D：∵，•（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量，和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
7．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
8．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
9．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
10．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
12．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
13．共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数＝a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
14．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
15．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
16．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥＝Sh．
17．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台＝．
18．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
19．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
20．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
21．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/9 0:29:41；用户：初中数学；邮箱：szjmjy@xyh.cm；学号：29841565定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α